函数专题09求函数值域的问题（专项训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数专题09求函数值域的问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01求一次、二次函数的值域 题型02分式型函数的值域 题型03根式型函数的值域 题型04判别式法求函数的值域 题型05分段函数的值域 题型06利用单调性求函数的值域 题型07复杂型的函数值域问题 题型08函数值域中含参的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01求一次、二次函数的值域 1．（26-27高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)． 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 题型02分式型函数的值域 5．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的值域； 6．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 8．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象是中心对称图形 D．在上单调递减，则 题型03根式型函数的值域 9．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 题型04判别式法求函数的值域 13．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 14．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 15．（26-27高三·全国·一轮复习）求函数的值域． 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2) 题型05分段函数的值域 17．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）设，若是的最小值，则的取值范围为_____． 19．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 20．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则函数的值域为______ 题型06利用单调性求函数的值域 21．（26-27高一上·天津和平·开学考试）已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________． 22．（2026高一上·全国·专题练习）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 23．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 24．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 题型07复杂型的函数值域问题 25．（25-26高一上·上海·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 26．（2026·河北·三模）对，都有恒成立，那么的取值范围是__________. 27．（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）函数的最大值为______. 28．（25-26高一下·全国·单元测试）函数在区间的最大值为______. 题型08函数值域中含参的问题 29．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是________ 31．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，记函数，其中实数，若的最小值、最大值分别为9，11，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 32．（2026高一·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的最值； (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值． 1．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·北京·强基计划）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 4．（25-26高一上·河北保定·期末）的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 5．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·专题练习）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．0 D．不存在 7．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）函数，其中，记在区间上的最小值为，则函数的最大值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（25-26高一上·广东湛江·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江西南昌·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 12．（25-26高一·全国·课后作业）函数的最大值为______. 13．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为___________. 14．（25-26高一上·北京丰台·期中）设函数，若，则的值域是_______；若的值域是，则实数的取值范围是_______. 15．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2)． 16．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数专题09求函数值域的问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01求一次、二次函数的值域 题型02分式型函数的值域 题型03根式型函数的值域 题型04判别式法求函数的值域 题型05分段函数的值域 题型06利用单调性求函数的值域 题型07复杂型的函数值域问题 题型08函数值域中含参的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01求一次、二次函数的值域 1．（26-27高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案. 【详解】对于A,由于,所以,所以的值域为,不合题意; 对于B,的值域为,不合题意; 对于C,由于,所以的值域为,符合题意; 对于D,由于,所以 ,此函数的值域为,不符合题意. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即函数的值域为. （2）， 因为，所以的图象如图所示， 所以，当时，函数取得最小值； 所以的值域为. 3．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 4．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 【答案】 【分析】由二次函数的性质得出值域. 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 题型02分式型函数的值域 5．（26-27高一上·全国·课后作业）求函数的值域； 【答案】 【分析】分离常数后即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则函数的值域为． 6．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 7．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 8．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知函数，则（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象是中心对称图形 D．在上单调递减，则 【答案】ABC 【分析】对于A，令即可得到函数的定义域；对于B，利用分离常数法将化为即可求出函数的值域；对于C，证明即可得到函数的对称中心，从而证明；对于D，求出的单调区间，根据是单调区间的子集，列不等式即可求出的取值范围. 【详解】令，解得，所以函数的定义域为，故A正确； ，因为，所以函数的值域为，故B正确； 因为，所以函数的图象是中心对称图形，对称中心为，故C正确； 由B选项知，，所以函数在，上单调递减，若在上单调递减，则或，解得或，故D错误； 故选：ABC. 题型03根式型函数的值域 9．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 10．（25-26高一上·山东济南·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 11．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 12．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 题型04判别式法求函数的值域 13．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 14．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）求函数的值域． 【答案】 【分析】法一：运用分离常数法得到，再根据，利用不等式的性质逐步求得的范围，最终得解； 法二：运用反表示法，将表示为，再解分式不等式即可得解. 【详解】法一：， ， ，则，， 得，即， 即函数的值域为． 法二：由得， 即， 当时，方程等价为，不成立，则， 则，得且，解得， 故函数的值域为. 15．（26-27高三·全国·一轮复习）求函数的值域． 【答案】 【分析】方法1：利用分离常数的方法，结合二次函数的值域求解； 方法2：转化为方程有实数根．讨论和，利用判别式法求函数值域. 【详解】解法1：，因为， 所以，故． 解法2：由于，原函数转化为方程有实数根． 当时，，矛盾，方程无解； 当时，方程有实数根，则， 整理得，则． 综上所述，． 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）化简的解析式，利用换元法，结合对勾函数的性质求得正确答案. （2）化简的解析式，利用换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令，根据对勾函数的单调性可知在上是严格递增函数， 所以，所以，所以， 所以的值域为. （2）函数， 当时，； 当时，， 若时，，当且仅当即取等号， 则，所以， 若时，，当且仅当即取等号， 则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 题型05分段函数的值域 17．（26-27高一上·全国·课后作业）设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 18．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）设，若是的最小值，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】当，函数为二次函数，是的最小值，则，得，且， 当时，利用基本不等式可得，则，解得，两种情况取交集即可得到的取值范围. 【详解】当，对称轴为， 因为是的最小值，所以，即得，可得， 当时，可得， 当且仅当时等号成立， 因为函数的最小值为，则，解得， 综上可得实数的取值范围为． 故答案为：. 19．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由函数的值域为，分三种情况结合对勾函数性质求解即可. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. 20．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则函数的值域为______ 【答案】 【分析】先得出，再作出其图象求解. 【详解】由题意，， 得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数的值域为， 故答案为： 题型06利用单调性求函数的值域 21．（26-27高一上·天津和平·开学考试）已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】把二次函数化为顶点式，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点，在给定区间，要求最小值在处取到，最大值在处取到，因此区间必须包含，且区间右端点不能超出. 【详解】如图所示：因为，开口向上，对称轴为直线， 因为关于对称轴对称的点为， 因为区间必须包含，且区间右端点不能超出， 所以，解得. 22．（2026高一上·全国·专题练习）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式代入，化简得到，则需满足即可求的取值范围；（2）去掉绝对值把函数写成分段二次函数，分别求出两段的对称轴，依据正负判断对称轴是否落在对应定义域，求出每一段的局部最小值，再比较两段得到整个函数的最小值。 【详解】（1）因为函数，所以， 故，所以，解得. （2）当时，， 所以，如图所示： 当时，，所以，如图所示： 综上所述：. 23．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 24．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，进而求出，换元法即可求出函数的最值. 【详解】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. 题型07复杂型的函数值域问题 25．（25-26高一上·上海·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)最大值和最小值分别为 【分析】（1）利用复合函数单调性，结合二次函数单调性求出单调区间. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最大值. 【详解】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 26．（2026·河北·三模）对，都有恒成立，那么的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先利用分离常数法求出，然后求出最值，再根据恒成立条件即可得 【详解】由题意可知，恒成立， 当时，恒成立， 当时，， 而，当且仅当时，等号成立，所以； 综上所述：. 故答案为： 27．（25-26高三下·重庆渝中·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 令，，因为函数在上单调递增，所以， 即，则， 即函数的最大值为，当且仅当时取等号. 故答案为： 28．（25-26高一下·全国·单元测试）函数在区间的最大值为______. 【答案】/3.5 【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 题型08函数值域中含参的问题 29．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 30．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据已知得到，令，结合得，进而有且求参数范围. 【详解】由在上单调递减， 由题意，即，则， 所以，令， 所以，，则， 综上，，且， 所以. 故答案为： 31．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，记函数，其中实数，若的最小值、最大值分别为9，11，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数，借助对勾函数的单调性，按分类求出最值，进而求出范围. 【详解】由，得， 由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，在上单调递减且的值域为， 则，，解得，因此； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又为的最小值，，且的值域为， 则，即，解得，因此， 所以a的取值范围为. 故选：B 32．（2026高一·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的最值； (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值． 【答案】(1)最小值为，最大值为； (2)． 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干所给函数的性质求解即可； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解即可． 【详解】（1）， 设 则． 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 即的最小值为，最大值为； （2）因为在上为减函数，故， 由题意，使得成立， 故的值域是的值域的子集， 所以，即， 解得. 1．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【详解】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，再根据一元二次函数的性质得出，利用集合的交集概念即可. 【详解】得，故， ，故， 故 故选：A 3．（25-26高三·北京·强基计划）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】利用判别式可求函数的值域. 【详解】设题中函数为，则， 当时，； 当时，视其为关于x的二次方程， 判别式， 综上，故值域为． 故选：C. 4．（25-26高一上·河北保定·期末）的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设可得，配方后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设， 则， 因为，所以时，的最大值是， 故选：A. 5．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 6．（2026高一·全国·专题练习）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．0 D．不存在 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据函数单调性的运算判断函数的单调性，从而求得函数的最小值． 【详解】由函数表达式可知函数的定义域为， 因为，分别在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以最小值为． 故选：A． 7．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）函数，其中，记在区间上的最小值为，则函数的最大值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】把函数变形为，分三种情况：；；进行讨论，由一次函数单调性即可求得，根据特征可求其最大值． 【详解】， （1）当时，，是增函数， 在的最小值为，则， （2）当时，，； （3）当时，，是减函数， 在上的最小值为，， 所以 因此最大值为1， 故选：C． 8．（25-26高一上·广东湛江·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的值域为，得到不等式求解的取值范围. 【详解】当时，，值域为，不满足题意，故， 因为的值域为，所以， 解得，即的取值范围是. 故选：D. 9．（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 10．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为函数的定义域为，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为在内单调递增，则， 所以函数的最小值不为2，故C错误； 对于选项D：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故D正确. 11．（25-26高一上·江西南昌·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则函数的递增区间为 B．若，则函数的值域为 C．若的值域为，则的取值范围为 D．若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可判断，对于B由即可判断，对于C令，则，根据的情况，分类讨论即可判断，对于D，由对恒成立，根据的情况，分类讨论即可判断. 【详解】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 12．（25-26高一·全国·课后作业）函数的最大值为______. 【答案】 【分析】令，先利用二次函数性质得到，再由反比例函数性质得到，即得解 【详解】由题意，令 故 由反比例函数性质， 故函数的最大值为 故答案为： 13．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则， ， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，时等号成立， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为： 14．（25-26高一上·北京丰台·期中）设函数，若，则的值域是_______；若的值域是，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】第一空，利用二次函数与反比例函数的性质即可得解；第二空，作出二次函数与反比例函数的图象，分析的取值范围，数形结合即可得解. 【详解】第一空：当时，， 当时，， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以的值为； 当时，函数为单调递减函数，其值域为， 综上，的值域是； 第二空：作出函数与的图象，如图， 因为的值域是， 当时，， 若，由图象可知可取得无穷小，不满足题意， 由第一空可知也不满足题意，则必有， 所以，得，则， 当时，，， 且当时，解得或， 即，，结合图象可知， 综上，，即实数a的取值范围是. 故答案为：；. 15．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将函数变形为即可讨论值域;(2)换元，将原函数转化为二次函数即可. 【详解】（1）， 因为，所以，即， 得，即函数的值域为； （2），由，得， 所以函数的定义域为， 令，则，， 所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得最小值，最小值为， 故函数的值域为． 16．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)利用二次函数的顶点式，结合待定系数法即可求解； (2)利用分三段区间讨论，来求二次函数在闭区间上的最大值即可； (3)利用二次函数值域能取遍，则满足，即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数，又因为，所以， 即二次函数； （2）当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：； （3）函数， 由的值域为， 则满足或， 即实数的取值范围或 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $