精品解析：河南省驻马店高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

河南省驻马店高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平行，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 6 7. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B. 若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点不共面 D. 若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，当时， 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A. 以为直径的圆与圆相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，直线，若，则___________． 13. 若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是______. 14. 已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． （1）求圆的方程 （2）若，求点的轨迹的方程． 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，．求到平面的距离． 17. 已知的顶点边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）求点的坐标． 18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求 （1）的长； （2）直线与所成角的余弦值． 19. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； （3）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2. 已知直线与平行，则a=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程写出圆心及半径，求圆心到直线的距离，然后由垂径定理求得弦长. 【详解】圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 6. 如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先应用空间向量的加法，再结合空间向量的数量积公式及运算律计算求解模长. 【详解】依题意，由， 又因为， 得， 所以． 故选：A. 7. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B. 若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底 C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点不共面 D. 若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，当时， 【答案】B 【解析】 【分析】选项ABC考查向量共面，选项D注意倾斜角范围为，对应值不是单调递增. 【详解】选项A，若所给的三个向量共面，则不在该平面内的向量无法由它们表示.. 选项B，设，整理得. 因为是基底，，，不共面，所以，，， 解得.故，，不共面，可以构成空间向量的另一组基底. 选项C，，即可由平面内的向量线性表示，故在平面内. 选项D，取，，则而，此时不成立. 8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】 设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短 设，， 则， ， ，， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线与之间的距离是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解A；利用数量积的运算律及模的运算求解判断B；利用数量积是否为0判断向量是否垂直判断C；根据空间向量夹角余弦公式求解判断D. 【详解】对于A，根据题意可得，又，， 所以可得， 即，正确； 对于B，由（1）知， 所以， 所以，B正确； 对于C，易知， 此时， 所以与不垂直，即C错误； 对于D，由选项C可得，且，即； ， 即； 所以可得，即D正确. 故选：ABD 10. 已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，当点的横坐标为时，直线的斜率等于，则（ ） A. B. 是定值 C. 任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于 D. 可能是直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，由重心坐标公式得，，结合直线斜率求出，可判断A，利用抛物线的定义求得，判断B，求出三点横坐标后判断C，再求出三点纵坐标，计算边长的平方，判断D. 【详解】A，设，焦点为，， 因为焦点是的重心，所以，， 所以，，又，，， 所以，所以，A正确； B，由抛物线的定义分别等于三点到准线的距离，而准线方程为， 所以， 所以为定值，B正确； C，由得，即， 又，则， 所以，即， 将其看作关于的一元二次方程， 因为存在，则，解得， 同理，， 当时，，， 此时重合，不能构成三角形，故， 同理，， 综上，任意一个顶点的横坐标的绝对值都小于.故C正确. D，不妨设，即， ，， 则， 因为，， 所以， 由C可知，即， 则，无实数解， 所以不可能是直角三角形.故D错误. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A. 以为直径的圆与圆相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】设的中点为，则，即可判断A；设直线与圆的切点为，直线为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D. 【详解】对于选项A，设的中点为，则， 以为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆相切，故A正确； 对于选项B，因为点是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆的切点为， 则，故直线的斜率为. 即直线为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即. 所以双曲线的离心率为，故B错误； 对于选项C，设的中点为，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得. 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线的斜率为. 所以的中点在直线上，故C错误； 对于选项D，设，因为， 所以，由双曲线的定义得. 因为，代入得，化简整理得， 即，即. 解得，又， 所以的面积为，故D正确. 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，直线，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两条直线平行列式计算即可. 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 13. 若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据对立事件可得，利用“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为A，B互为对立事件，则，且，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 14. 已知椭圆的左焦点为F，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若，则椭圆离心率的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理利用弦长公式求解，进而求出线段AB的中垂线所在直线方程，求出和，利用得，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，，，则直线， 联立方程，消去y得：， ，则， ，， 则， 设线段AB的中点，则，，即， 线段AB的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则，即椭圆离心率的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为圆． （1）求圆的方程 （2）若，求点的轨迹的方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】(1)运用直接法，根据题设距离比值条件，先利用两点间距离公式列式，再化简配方求得阿氏圆方程即可；(2)运用相关点代入法，先由向量相等得到中点关系，建立主动点P与从动点Q的坐标关系式，再将P点坐标用Q点坐标表示后代入已知曲线方程，最后求出Q点的轨迹方程即可. 【小问1详解】 设 ， ∵，∴，∴， 化简得：，即： 圆的方程是：. 【小问2详解】 设 ，为中点 ∴ ，即：， 在圆上，代入 ， ， 即：， 点的轨迹的方程为：. 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，．求到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，因为四边形为矩形， 所以点为的中点，又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面平行判定定理即可得证； （2）法一：可建立适当空间直角坐标系，求出及平面的法向量后，利用空间中点到平面距离公式计算即可得；法二：借助等体积法，利用计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 又，则在法向量上的投影长度为， 故到平面的距离为. 法二：由（1）知平面， 到平面的距离为到平面的距离， 在中，，， 由平面，平面，故， 由底面为矩形，则，又，、平面， 故平面，又平面，故， 则， ∴，则， 故， 由，， 设到平面的距离为， ∴，解得， 故 PB 到平面 AEC 的距离为． 17. 已知的顶点边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件的应用求出直线的斜率，进一步求出直线 的方程． （2）利用二元一次方程组的应用求出交点的坐标． 【小问1详解】 边上的高所在的直线的方程为， 所以直线上的高的斜率，直线的斜率为． 所以直线的方程为，整理得． 【小问2详解】 角的平分线所在直线的方程为． 所以，解得故． 18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求 （1）的长； （2）直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设向量,由向量的线性运算可得，两边平方求解即可； （2）由向量的线性运算可得，，求出两向量的数量积和模，由向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 设向量, 由题意可得：, 底面为正方形，故， 由， 得， ， 因为， 所以 ， 所以， 即； 【小问2详解】 ，， 所以 ， 又， 所以， 同理可得, 设直线与所成角为 （取锐角）， 则：. 19. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. （1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； （3）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 【答案】（1）甲、乙两队打成平局的概率为 （2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为 （3）甲队第5个球员需出场罚球的概率为 【解析】 【分析】（1）平局包含两人都罚进或两人都罚不进两个互斥事件，利用独立事件乘法分别计算两种情况的概率，再相加即可. （2）3 轮后两队各剩 2 次罚球机会，落后方最多追回2分，因此分差≥3时比赛提前终止. 3轮内分差≥3，仅有两种极端比分：甲 3:0 乙、乙 3:0 甲（前两轮分差均未达终止条件，天然成立）.分别计算两种比分的概率，求和即得总概率. （3）分析甲队第5个球员需出场的前提条件：前两轮甲队2:0领先，若甲队第5个球员需出场，说明第三、四轮罚球结束后比赛未提前终止，即前四轮总比分甲队与乙队的分差不超过1分，分别计算三种比分情况2:1、2:2、3:2的概率，再计算概率之和即可. 【小问1详解】 设甲队球员罚进点球为事件，未罚进为事件，乙队球员罚进点球为事件，未罚进为事件. 因为，所以；同理，因为，所以. 则甲、乙均罚进的概率为， 甲、乙均未罚进的概率为， 所以甲、乙两队打成平局的概率为. 【小问2详解】 设踢完轮后，甲队总得分为，乙队总得分为. 分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束， ①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即，则概率为： ​ ②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即，则概率为： 综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为. 【小问3详解】 因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或，则需要分以下情况来讨论： ①比分为的概率为： . ②比分为的概率为： . ③比分为的概率为： . 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $