精品解析：天津市北辰实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026—2027学年第一学期九年级第一次知识摸底 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是；（3）是整式方程． 【详解】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； C、含有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、该方程是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式， 其中二次项系数3，一次项系数，常数项是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. 3 B. 3或-3 C. -3 D. 不等于3的任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到m2-9=0，然后利用平方根的定义求出m即可． 【详解】把x=0代入2x2-x+m2-9=0得m2-9=0， 所以m=3或-3． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4. 用配方法解方程时，配方所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】配方法的步骤：先把常数项移到等式的右边；二次项系数化为1，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．据此解答即可． 【详解】， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题关键． 5. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程整理，即得出，从而可求出其根的判别式，进而得出该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】， ∴，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查由一元二次方程根的判别式判断其根的情况．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根． 6. 已知抛物线，下列关于它的图像说法正确的是（ ）． A. 当时，y随x的增大而增大 B. 顶点坐标为 C. 当时，y有最大值 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线顶点式得开口方向、对称轴、顶点坐标，再判断各选项． 【详解】解：抛物线中，，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，故时随增大而减小，A错误， 顶点坐标为，B错误， ∵抛物线开口向下，顶点为最高点， ∴当时，有最大值，C正确， ∵顶点纵坐标为，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴无交点，D错误． 7. 将抛物线向右平移1个单位，新的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，则函数解析式变为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 8. 已知抛物线y＝ 上有三点A(﹣2， )，B(﹣1，)，C(2，)，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x＝1，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断＜；根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：因为a＝＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 根据二次函数图象的对称性可知，C（2，）和（0，）关于直线x＝1对称， 因为﹣2＜﹣1＜0，故， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 9. 已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】本题主要考查了根据抛物线与x轴的交点求一元二次方程的解，根据对称性求得另一交点的坐标是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，然后根据二次函数与一元二次方程之间的关系进行即可解答． 【分析】解：∵二次函数解析式为, ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图像与x轴的一个交点是， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点是， ∴方程的两个实数根为，． 故选：A． 10. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可． 【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题． 11. 如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽，在两侧距地面高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　）（建筑物厚度忽略不计） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设出函数解析式，把和代入抛物线，用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：根据题意，抛物线过四点， ∵对称轴是轴 ∴ 设抛物线解析式为 把和代入抛物线得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为： 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法． 12. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（　　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2， ∴a＜0，b＞0 ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间 ∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间 ∴抛物线与y轴交于负半轴 ∴c＜0 ∴abc＞0，故①错误； 由图象可知：当x=-1时，y＜0 ∴，故②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（2,1） ∴ 由①，得b=-4a 将b=-4a代入②，得 整理，得c-4a=1，故③正确； ∵抛物线与x轴交于两点 ∴ ∴，故④正确； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1） ∴（m为任意实数），故⑤正确． 综上：正确的有3个 故选B． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 若关于x的方程是一元二次方程，则实数k应满足的条件是______ 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为，即可求出满足的条件． 【详解】解：原方程整理得，， 又该方程是一元二次方程， 二次项系数不为，即， ． 14. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，设共有x家公司参加商品交易会,则可列出方程为：______________________. 【答案】或 【解析】 【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有 份． 【详解】设有x家公司参加，依题意，得 ， 故答案为或. 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程. 15. 抛物线的顶点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案． 【详解】解：的顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题的关键． 16. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 【答案】2 【解析】 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， 且-5＜0， ∴当t=2时，h取最大值20， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 17. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则． 18. 已知二次函数，h为常数，当时，与其对应的y的最小值为5，则h的值为______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数图象开口向上，顶点坐标为，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，进而得到对称轴在直线左侧或在直线右侧，据此情况讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵当时，与其对应的y的最小值为5， ∴对称轴在直线左侧或在直线右侧， 当对称轴在直线左侧时，则， 解得或（舍去）； 当对称轴在直线右侧时，则， 解得或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（共66分） 19. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算； （2）利用求根公式法计算． 【小问1详解】 解：，  两边同除以得：，  开平方得：，  ∴； 【小问2详解】 解：，  ∴，  ，  ∴， ∴， ． 20. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可解得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可解得． 【小问1详解】 解：在方程中， ，，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：． 21. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：       解得：； 【小问2详解】 解：        或  解得：，． 22. 二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 2 4 6 … … 0 6 m n 0 … （1）该二次函数解析式为 ， ， ； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象直接写出下列问题： ①当 时，y有最 值（填“大”或“小”）是 ． ②若该二次函数图象上有两点和，满足，则 （从符号<，，，>，=中选择一个填空）； ③当时，x的取值范围是 ． ④当时，则y的取值范围是 ． 【答案】（1）；8；6； （2） 根据表格中的点，先描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）①2；大；8；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据表格得，二次函数经过，设二次函数解析式为：，当时，，代入求解即可确定解析式，然后求解其他函数值即可； （2）由（1）中所确定的5个点，在坐标系中描点、连线即可； （3）根据（2）中函数图象及二次函数的性质依次求解即可． 【小问1详解】 解：根据表格得，二次函数经过， 设二次函数解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为：； 当时，， 当时，， 故答案为：；8；6； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由图可得：当时，y有最大值是8， 故答案为：2；大；8； ②由图象得，对称轴为， ∵， ∴点和在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：； ③由（1）得，当时，即求当二次函数值大于6时的取值范围， 当和时，， 结合图象得：当时，，即， 故答案为：； ④由图象得，当时，，当时，， 当时，y的最大值为8， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及图象的作法、函数值的取值范围等，理解题意，结合函数图象及二次函数的基本性质求解是解题关键． 23. 某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为元． （1）涨价后每本复习资料的利润为______元，平均每天可销售______本； （2）求与的函数关系式； （3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1），；（2）；（3）当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元． 【解析】 【分析】（1）用原来的利润加上涨价的利润即为现在的利润，销量在原来的基础上减少后即可； （2）用涨价后单件的利润乘以销售量即可列出函数关系式； （3）利用公式或配方后即可确定最大值． 【详解】解：（1）涨价后每本复习资料的利润为（x−40）元，平均每天可销售90−3（x−50）＝（240−3x）本． 故答案为：， ； （2） （其中，）； （3）当时， ∴当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用和性质，解题的关键是掌握二次函数的应用和性质． 24. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，设篱笆长为x米． （1）___________米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形鸡舍面积为150平方米，求篱笆的长？ （3）矩形鸡舍面积的最大值是多少？说明理由． 【答案】（1） （2）10米 （3），理由： 设矩形鸡舍面积为， 则， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 所以当时，取得最大值，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用篱笆的总长度减去3个的长度，再加上2个小门的长度即可得； （2）先根据墙长20米求出的取值范围，再利用长方形的面积公式建立方程，解方程即可得； （3）设矩形鸡舍面积为，利用长方形的面积公式可得关于的函数关系，再根据二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：（米）， 故答案为：． 【小问2详解】 解：墙长20米， ， 解得， 若矩形鸡舍面积为150平方米，则， 解得或（舍去）， 答：篱笆的长为10米． 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； （Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A、C两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得b、c的值，令y=0，解方程可得B的坐标，利用待定系数法求直线BC的解析式； （2）根据解析式分别表示M、N两点的坐标，其纵坐标的差就是MN的长，配方后求最值即可； （3）分两种情况：①当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，②当点P不在线段OB上时，则有MN= ,根据MN=3列方程解出即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令y=0可得， ， 解 ，， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为（3，0）， 设直线BC解析式为， 把B、C坐标代入可得： ， 解得： ， ∴直线BC解析式为y=﹣x+3； （2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段OB上运动， ∴M点在N点上方， ∴﹣（m﹣）2+， ∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为； （3）∵PM⊥x轴， ∴MN∥OC， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN， 当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m， ∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根， 当点P不在线段OB上时，则有， ∴m2﹣3m=3， 解得m= 或m=． 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的最值、平行四边形的判定以及一元二次方程的解法，此题将线段的最值转化为二次函数的最值问题，同时还采用了分类讨论的方法解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级第一次知识摸底 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. 3 B. 3或-3 C. -3 D. 不等于3的任意实数 4. 用配方法解方程时，配方所得的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 已知抛物线，下列关于它的图像说法正确的是（ ）． A. 当时，y随x的增大而增大 B. 顶点坐标为 C. 当时，y有最大值 D. 与x轴有两个交点 7. 将抛物线向右平移1个单位，新的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线y＝ 上有三点A(﹣2， )，B(﹣1，)，C(2，)，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽，在两侧距地面高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　）（建筑物厚度忽略不计） A. B. C. D. 12. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（　　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 若关于x的方程是一元二次方程，则实数k应满足的条件是______ 14. 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，设共有x家公司参加商品交易会,则可列出方程为：______________________. 15. 抛物线的顶点坐标为_______． 16. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 17. 设，是方程的两个实数根，则的值为_______． 18. 已知二次函数，h为常数，当时，与其对应的y的最小值为5，则h的值为______ 三、解答题（共66分） 19. 解下列方程 （1）； （2）． 20. 解下列方程 （1）； （2）． 21. 解下列方程 （1）； （2）． 22. 二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 2 4 6 … … 0 6 m n 0 … （1）该二次函数解析式为 ， ， ； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象直接写出下列问题： ①当 时，y有最 值（填“大”或“小”）是 ． ②若该二次函数图象上有两点和，满足，则 （从符号<，，，>，=中选择一个填空）； ③当时，x的取值范围是 ． ④当时，则y的取值范围是 ． 23. 某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为元． （1）涨价后每本复习资料的利润为______元，平均每天可销售______本； （2）求与的函数关系式； （3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？ 24. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门，设篱笆长为x米． （1）___________米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形鸡舍面积为150平方米，求篱笆的长？ （3）矩形鸡舍面积的最大值是多少？说明理由． 25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； （Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $