精品解析：天津市蓟州区第一中学2026-2027学年九年级上学期10月 学情自测数学试卷

2026-2027第一学期九年级数学第一次阶段性检测 一、选择题（共12题，每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据一元二次方程的三个判定条件（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为且二次项系数不为）逐一分析选项． 【详解】解：选项A：含有两个未知数，属于二元一次方程，不符合题意； 选项B：的分母含未知数，属于分式方程，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，二次项系数，符合一元二次方程的定义； 选项D：先化简，展开右边得，移项、合并同类项得，是一元一次方程，不符合题意． 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，根据其符号判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 3. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解： 故选：D． 4. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式可得二次项系数，对称轴和顶点坐标，进而判断出对应的增减性，据此可得答案． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 顶点坐标为，故C正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 6. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 7. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式求出顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后写出顶点式二次函数解析式即可． 【详解】∵， ∴原抛物线顶点坐标为（1，2）， ∵向右平移1个单位，再向上平移5个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，7）， ∴所得抛物线解析式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点坐标的变化求解更简便． 8. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率，由连续两次降价，得每次降价后价格变为原价的倍，因此两次降价后价格为原价乘以，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元， ∴， 故选：B． 9. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ， ， 当时，， 方程有2个相等的实数根，满足题意． 10. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 函数的最小值是4 D. 抛物线与轴没有交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次项系数小于0可判断A；把解析式化为顶点式得到对称轴，根据增减性可判断B；抛物线开口向下，则函数没有最小值，据此可判断C；当时，，利用判别式判断方程是否有实数根即可判断D． 【详解】解：A、∵二次项系数为， ∴抛物线开口向下，原说法错误； B、∵， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大，原说法正确； C、∵抛物线开口向下， ∴函数只有最大值，没有最小值，原说法错误； D、当时，，即， 此时， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴抛物线与轴有两个交点，原说法错误． 11. 如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（　　） A. （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22 B. （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22 C. （29﹣x）（22﹣x）＝×29×22 D. （29﹣x）（22﹣x）＝×29×22 【答案】B 【解析】 【分析】由相框所占面积为照片面积的四分之一，可得剩余部分占照片面积的四分之三，由此得到方程. 【详解】设相框边的宽度为xcm，则可列方程为： （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22. 故选：B. 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—图形面积，正确理解题意找到题中的等量关系是解题的关键. 12. 羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2+x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（ ） A. 出球点A离地面点O的距离是1m B. 该羽毛球横向飞出的最远距离是3m C. 此次羽毛球最高可达到m D. 当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点 【答案】B 【解析】 【分析】A、当x=0时代入解析式求出y的值即可； B、当y=0时代入解析式求出x的值即可； C、将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； D、由抛物线的顶点式可以得出结论． 【详解】解：A.当x＝0时，y＝1， 则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确； B.当y＝0时，﹣x2+x+1＝0， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故B错误； C. ∵y＝﹣x2+ x+1， ∴y＝﹣(x﹣)2+， ∴此次羽毛球最高可达到m，故C正确； D. ∵ ， ∴当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点．故D正确． ∴只有B是错误的． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用，二次函数顶点式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时将二次函数的解析式的一般式化为顶点式是关键． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 13. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将原方程移项整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解得， 则或， 解得，． 14. 抛物线的顶点坐标是_______________ 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】把二次函数的解析式改成顶点式，即可求得顶点坐标. 【详解】∵， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2） 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质.转化成顶点式是解题的关键. 15. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴ 即k的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系并正确的计算． 16. 矩形的长比宽多2，面积是120，则矩形的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形的宽为未知数，根据长和宽的关系表示出长，结合矩形面积公式列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到长． 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的长为，根据矩形面积公式列方程得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴矩形的宽为，长为． 17. 对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：4，（舍去）， ∴， 综上，， 故答案为：4． 18. 当时，函数的最小值为4，则a的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值，结合当时函数有最小值4，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：． ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)， 当x<1时，y随x的增大而减少，当x>1时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最小值4，分两种情况讨论： 若时，当x=a时，y的最小值是4， ∴ 若时，当x=a+1时，y的最小值是4， ∴， 解得a=-2， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键． 三、解答题（共6题，共72分） 19. 解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 得． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 解得． 【小问3详解】 解： 或 得． 【小问4详解】 解： 变形得 因式分解得 整理得 或 得． 20. 已知抛物线经过点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）直接写出时的取值范围． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）将二次函数解析式化成顶点式即可解答； （3）结合二次函数的图象即可解答． 【小问1详解】 解：把点，代入抛物线， 可得， 解得， 所以该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 所以对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：， 抛物线开口向上， 经过点， 时，即抛物线在轴下方部分，此时． 21. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】（1）该商品销售的个数为460个 （2）售价应定为60元 【解析】 【分析】（1）先算出提高的价格，用原来的销售量减去减少的销售量即可； （2）设售价提高了元，然后将单件利润和数量表示出来，根据“总利润单件利润数量”列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：当售价定为54元时，商品售价较元提高元， ∴销售量为（个）； 【小问2详解】 解：设售价提高了元，则利润为元／个， 销售数量为个， 根据题意，得， 解得或， ∵要兼顾顾客的利益， ∴， 则售价为（元）． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， ，，， ， ，即， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行判断即可； （2）把代入方程，求出的值，代回方程解方程即可求另一个根． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：把代入方程，得， 解得， 故方程为， ， ，， 另一个根为． 即的值为，方程的另一个根为． 23. 如图，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为米，宽为米 （2） 解：不能实现，理由如下， 设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 根据题意得， 方程整理得： ∵ ∴原方程无解， ∴想要建一个的矩形养鸡场，这一想法不能实现 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程； （1）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，列出方程，解方程并取符合题意的解； （2）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，列出方程，得出方程无解，进而得出结论，即可求解． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 根据题意得， 解得：或 ∵ ∴ ∴， ∴（米） 答：鸡场的长为米，宽为米 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t．（） （1）填空：____________，____________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长为5？ （3）是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由动点的运动起点、速度、方向可得，据此即可求解； （2）在中，利用勾股定理即可求解； （3）根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得： ，解得： ∵ ∴当时，； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得：（不合题意，舍去） ∴当，使得的面积为4cm2 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 25. 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2 顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2． 当y = 0时，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4 ∴B (4,0) ∴OA =1, OB = 4, AB = 5. ∵AB2 = 25, AC2 =OA2 +OC2 = 5, BC2 =OC2 +OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 =AB2. ∴△ABC是直角三角形； （3）. 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标； （2）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形； （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小． 【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 +bx-2上 ∴× (-1 )2 +b× (-1) –2 = 0 解得b = ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 =(x2 -3x- 4 ) =(x-)2-, ∴顶点D的坐标为 (, -). （2）略 （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴ ∴，∴m=． 解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n , 则，解得n = 2，. ∴. ∴当y = 0时，， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027第一学期九年级数学第一次阶段性检测 一、选择题（共12题，每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 3. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 6. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移5个单位后所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 函数的最小值是4 D. 抛物线与轴没有交点 11. 如图，要为一幅长为29cm，宽为22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框边的宽度为xcm，则可列方程为（　　） A. （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22 B. （29﹣2x）（22﹣2x）＝×29×22 C. （29﹣x）（22﹣x）＝×29×22 D. （29﹣x）（22﹣x）＝×29×22 12. 羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2+x+1的一部分，如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（ ） A. 出球点A离地面点O的距离是1m B. 该羽毛球横向飞出的最远距离是3m C. 此次羽毛球最高可达到m D. 当羽毛球横向飞出m时，可达到最高点 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 13. 一元二次方程的根是_____________． 14. 抛物线的顶点坐标是_______________ 15. 关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为______． 16. 矩形的长比宽多2，面积是120，则矩形的长为________． 17. 对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数_______． 18. 当时，函数的最小值为4，则a的值为____________． 三、解答题（共6题，共72分） 19. 解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知抛物线经过点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）直接写出时的取值范围． 21. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为1，求的值和方程的另一个根． 23. 如图，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 24. 如图，在中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动．与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．点P、Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．设移动时间为t．（） （1）填空：____________，____________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长为5？ （3）是否存在t的值，使得的面积为4？若存在请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $