江苏省泰州市2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟卷

江苏省 泰州市2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟卷 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1．25的平方根为（　　） A．±5 B．± C．5 D．± 2．在2，﹣1，π，四个数中，最小的数是（　　） A． B．2 C．π D．﹣1 3．若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 4．下列四个图中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 5．下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．12，18，22 D．7，8，9 6．如图，∠ABM＝60°，AB＝4，点C在射线BM上，下列AC的长度中，不能唯一确定△ABC的是（　　） A． B．4 C． D． 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为斜边AB上的中点，则CD为 __________________ ． 8．若点A（a﹣5，a﹣3）在第二、四象限的角平分线上，则A点的坐标为 ___________ ． 9．若等腰三角形中有一个角为80°，则它的底角为 ____________ ． 10．若2（x﹣1）3＝128，则x＝_____ ． 11．等腰三角形的两边长分别为4cm和11cm，则它的周长为_________ ． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是_________________ ． 13．比较2，，的大小为 ____________________ ． 14．小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：__________ ． 15．在平面内，到△ABC三边距离相等的点有_____ 个． 16．已知6个正数a，b，c，d，e，f满足：a+b+c＝3，d+e+f＝2，代数式的值记为m，则m的取值范围是____________________ ． 三．解答题（共10小题，共102分） 17．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，0，，1.414，． （1）整数集合：{ }； （2）分数集合：{ }； （3）有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }． 18．已知CD为△ABC的中线，AD＝BD＝CD． （1）∠ACB是怎样的角？ （2）证明你的猜想． 19．已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1． （1）当n＝19时，写出的值_______ ； （2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______ ；（直接写出答案） （3）小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 20．如图为边长是1的正方形构成的6×6网格，点A、B、C、D均在格点上． （1）直接写出下列线段的长度：AB＝________________ ，BC＝________________ ； （2）连结BD，判断△ABD的形状，并说明理由． 21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，E为AC上一点，且AE＝DE．（1）试说明：DF⊥DE； （2）若AC＝BC，∠BDF＝15°，求∠AED的度数． 22．已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，AD，BE交于点P，BQ⊥AD于点Q． （1）求证：∠ABE＝∠CAD； （2）若PQ＝5，PE＝2，求BE的长． 23．小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，n≠0），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，2n2＝m2． 由于上式左边2n2是偶数，所以右边m2也是偶数，从而可知m是偶数． 设m＝2p（p是正整数）， 把m＝2p代入2n2＝m2，得2n2＝4p2，即n2＝2p2． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 24．小明：七下课本认识了等腰三角形，而八上课本第6页有一个“大角对大边”，这两个知识都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系． 小红：是的．课本第87页的勾股定理“在△ABC中，若∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系． 小明：我猜想，如果∠C≠90°，三边平方之间也有某种关系．比如：①当∠C＞90°时，AB2＞AC2+BC2或②当∠C＜90°时，AB2＜AC2+BC2． 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例． 25．如图，△ABC是等腰三角形，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足． （1）求证：△DEF是等边三角形； （2）若BC＝8，求EF的长． 26．（1）如图1，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．求证：BD＝AE． （2）如图2，△ABC中，点P为三角形内一点，PQ∥BC交AB于点Q，过点P的直线交BC，AC于点D，E，若∠AQP+∠AEP＝180°，∠A＝70°，求∠CDE． （3）如图3，在（1）的条件下，点G为边BC上的动点，连接EG，DG，点N为DG中点，以EG为斜边，在EG上方作等腰直角△EGM，在点G从点C运动到点B的过程中，∠MCN的大小是否发生改变，如不改变，求出∠MCN的大小，如发生改变，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．25的平方根为（　　） A．±5 B．± C．5 D．± 【解答】解：25的平方根为±5， 故选：A． 2．在2，﹣1，π，四个数中，最小的数是（　　） A． B．2 C．π D．﹣1 【解答】解：∵1＜2＜π， ∴最小的数是：． 故选：A． 3．若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 【解答】解：∵点M在第二象限，且到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴点M的横坐标是﹣2，纵坐标是1， ∴点M的坐标是（﹣2，1）． 故选：C． 4．下列四个图中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、B、C的图形中，线段BE不是△ABC的高，故A、B、C不符合题意； D、线段BE是△ABC的高，故D符合题意． 故选：D． 5．下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．12，18，22 D．7，8，9 【解答】解：A．∵22+32＝4+9＝13，42＝16， ∴22+32≠42， ∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵32+42＝9+16＝25，52＝25， ∴32+42＝52， ∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵122+182＝144+324＝468，222＝484， ∴122+182≠222， ∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵72+82＝49+64＝113，92＝81， ∴72+82≠92， ∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．如图，∠ABM＝60°，AB＝4，点C在射线BM上，下列AC的长度中，不能唯一确定△ABC的是（　　） A． B．4 C． D． 【解答】解：过A作AH⊥BM于H， ∵∠B＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∴BHAB4＝2， ∴AH2， A、4，因此C只能在H的右侧唯一存在，故A不符合题意； B、AC＝AB＝4，因此C只能在H的右侧唯一存在，故B不符合题意； C、24，因此C可能在H的左侧或右侧，故C符合题意； D、2，C和H重合，唯一存在，故D不符合题意． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为斜边AB上的中点，则CD为 　　 ． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵点D为斜边AB上的中点， ∴CDAB5， 故答案为：． 8．若点A（a﹣5，a﹣3）在第二、四象限的角平分线上，则A点的坐标为 　（﹣1，1）　 ． 【解答】解：∵点P在第二、四象限角平分线上， ∴a﹣5+a﹣3＝0， ∴a＝4， ∴A点的坐标为（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 9．若等腰三角形中有一个角为80°，则它的底角为 　80°或50°　 ． 【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°， ①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°， ②设该等腰三角形的底角是x， 则2x+80°＝180°， 解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°； 故答案为：80°或50°． 10．若2（x﹣1）3＝128，则x＝　5　 ． 【解答】解：两边都除以2得，（x﹣1）3＝64， 由立方根的定义得，x﹣1＝4， 解得x＝5． 故答案为：5． 11．等腰三角形的两边长分别为4cm和11cm，则它的周长为　26cm ． 【解答】解：当4cm为底时， 其它两边都为11cm， 4cm、11cm、11cm可以构成三角形， 周长为26cm； 当4cm为腰时， 其它两边为4cm和11cm， ∵4+4＝8＜11，所以不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有26cm． 故答案为：26cm． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是　　 ． 【解答】解：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1， 由勾股定理得，， 则点D表示的数为． 故答案为：． 13．比较2，，的大小为 　2　 ． 【解答】解：∵26＝64，（）6＝125，（）6＝49， ∴2， 故答案为：2． 14．小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：　16.39　 ． 【解答】解：∵， ∴． 根据这些数据猜想：16.39， 故答案为：16.39． 15．在平面内，到△ABC三边距离相等的点有　4　 个． 【解答】解：如图，△ABC外角平分线的交点共有3个，内角平分线的交点有1个， 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得： 到三边距离相等的点共有3+1＝4个． 故答案为：4． 16．已知6个正数a，b，c，d，e，f满足：a+b+c＝3，d+e+f＝2，代数式的值记为m，则m的取值范围是　　 ． 【解答】解：根据题意可知，， ， ， ∴， 当a，b，c和d，e，f成比例时，m最小， 此时，其中k是常数， ∴， ， ， ∴， 由于a+b+c＝3，且a＝kd，b＝ke，c＝kf， 则kd+ke+kf＝3， ∴， ∴m＝2， 则m的取值范围是． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 17．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，0，，1.414，． （1）整数集合：{ }； （2）分数集合：{ }； （3）有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }． 【解答】解：（1）， 整数集合：{，0}； （2）分数集合：{，，1.414}； （3）有理数集合：{，，0，，1.414 }； （4）无理数集合：{，，，}． 18．已知CD为△ABC的中线，AD＝BD＝CD． （1）∠ACB是怎样的角？ （2）证明你的猜想． 【解答】（1）解：∠ACB是直角． （2）证明：∵AD＝BD＝CD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD， ∴∠ACD+∠BCD＝∠A+∠B， ∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B＝180°， ∴∠ACD+∠BCD180°＝90°， ∴∠ACB＝90°． 19．已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1． （1）当n＝19时，写出的值　20　 ； （2）当n＝3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是　24　 ；（直接写出答案） （3）小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【解答】解：（1）a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1， ∴a+b＝n2+1+2n＝（n+1）2， 当n＝19时，a+b＝（19+1）2＝202＝400， ∴20； 故答案为：20； （2）a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1， 当n＝3时，a＝32+1＝10，b＝2×3＝6，c＝32﹣1＝8， ∴b2+c2＝100＝a2， ∴这个三角形是直角三角形，且a是斜边， ∴这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）小明的发现正确，理由如下： ∵a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1， ∴b2+c2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+（n2）2﹣2n2+1＝（n2+1）2＝a2， ∴b2+c2＝a2， ∴当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数． 20．如图为边长是1的正方形构成的6×6网格，点A、B、C、D均在格点上． （1）直接写出下列线段的长度：AB＝　　 ，BC＝　　 ； （2）连结BD，判断△ABD的形状，并说明理由． 【解答】解：（1），； 故答案为：，； （2）△ABD为等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∴△ABD为等腰三角形， ∵AB2+BD2＝13+13＝26，且AD2＝26， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴∠ABD＝90°， ∴△ABD为等腰直角三角形． 21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，E为AC上一点，且AE＝DE．（1）试说明：DF⊥DE； （2）若AC＝BC，∠BDF＝15°，求∠AED的度数． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AE＝DE， ∴∠CAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴DE∥AB， ∵DF⊥AB， ∴DF⊥DE； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠CAB＝∠ABC， 由（1）可知AB∥ED， ∴∠CED＝∠CAB， ∴∠ABC＝∠CED， 又∵∠CED+∠AED＝180， ∴∠ABC+∠AED＝180°， ∵∠ABC＝90°﹣15°＝75°， ∴∠AED＝180°﹣75°＝105°． 22．已知：如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，AD，BE交于点P，BQ⊥AD于点Q． （1）求证：∠ABE＝∠CAD； （2）若PQ＝5，PE＝2，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°． 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE＝∠CAD； （2）∵∠ABE＝∠CAD，∠BAD+∠CAD＝60°， ∴∠BAD+∠ABE＝60°． ∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°， ∴BP＝2PQ＝10， ∴BE＝BP+PE＝10+2＝12． 23．小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，n≠0），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，2n2＝m2． 由于上式左边2n2是偶数，所以右边m2也是偶数，从而可知m是偶数． 设m＝2p（p是正整数）， 把m＝2p代入2n2＝m2，得2n2＝4p2，即n2＝2p2． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 【解答】证明：假设不是无理数，那么是有理数． 设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数）， 根据平方根的意义：，即． ∴m2＝3n2． 由上式右边3n2是3的倍数， ∴m2是3的倍数，m2分解质因数时必有质因数3， ∴m一定有质因数3（或m是3的倍数）． 设m＝3p（p为正整数）， ∴m2＝（3p）2＝9p2． ∴9p2＝3n2． ∴n2＝3p2． ∴n2是3的倍数． ∴n是3的倍数． 这样m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾． ∴不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1）． ∴是无理数． 24．小明：七下课本认识了等腰三角形，而八上课本第6页有一个“大角对大边”，这两个知识都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系． 小红：是的．课本第87页的勾股定理“在△ABC中，若∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系． 小明：我猜想，如果∠C≠90°，三边平方之间也有某种关系．比如：①当∠C＞90°时，AB2＞AC2+BC2或②当∠C＜90°时，AB2＜AC2+BC2． 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例． 【解答】解：小明的猜想正确， 证明①，如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即AB2＝AD2+（BC+CD）2， ∴AB2＝AC2﹣CD2+BC2+2BC•CD+CD2＝AC2+BC2+2BC•CD， ∵2BC•CD＞0， ∴AB2＞AC2+BC2， 同理可证②． 25．如图，△ABC是等腰三角形，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F分别为垂足． （1）求证：△DEF是等边三角形； （2）若BC＝8，求EF的长． 【解答】（1）证明：∵∠A＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴∠BDE＝∠CDF＝60°， ∴∠EDF＝60°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE与△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE＝60°， ∴△DEF是等边三角形； （2）解：∵BD＝CD，BC＝8， ∴BD＝4， 在Rt△BDE中， ∵∠B＝30°， ∴EDBD＝2， ∵△DEF是等边三角形， ∴EF＝2． 26．（1）如图1，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC．求证：BD＝AE． （2）如图2，△ABC中，点P为三角形内一点，PQ∥BC交AB于点Q，过点P的直线交BC，AC于点D，E，若∠AQP+∠AEP＝180°，∠A＝70°，求∠CDE． （3）如图3，在（1）的条件下，点G为边BC上的动点，连接EG，DG，点N为DG中点，以EG为斜边，在EG上方作等腰直角△EGM，在点G从点C运动到点B的过程中，∠MCN的大小是否发生改变，如不改变，求出∠MCN的大小，如发生改变，请说明理由． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE＝90°+∠ACD， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE； （2）解：在四边形AQPE中，∠AQP+∠AEP＝180°， ∴∠A+∠EPQ＝180°， ∵∠A＝70°， ∴∠EQP＝110°， ∴∠DPQ＝70°， ∵PQ∥BC， ∴∠CDE＝∠DPQ＝70°； （3）解：如图，延长CN到点F，使CN＝FN，连接FG并延长交CE于点K，连接MF， ∵点N为DG中点， ∴DN＝GN， 在△CND和△FNG中， ， ∴△CND≌△FNG（SAS）， ∴CD＝FG，∠D＝∠FGN， ∴FG＝CE，CD∥FG， ∵DC⊥CE， ∴FG⊥DE，即∠FKE＝90°， ∵△EGM为等腰直角三角形， ∴∠GME＝90°，GM＝EM， ∴∠GME+∠GKE＝180°， ∴∠MGK+∠MEC＝180°， ∵∠MGK+∠MGF＝180°， ∴∠MGF＝∠MEC， 在△MGF和△MEC中， ， ∴△MGF≌△MEC（SAS）， ∴MF＝MC，∠FMG＝∠CME， ∴∠FMG+∠CMG＝∠CME+∠CMG＝∠GME＝90°， ∴△MFC是等腰直角三角形， ∴∠MCN＝45°， ∴在点G从点C运动到点B的过程中，∠MCN的大小不发生改变，始终为45°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $