江苏南京市2026-2027学年苏科版八年级上学期期中考试数学模拟卷

2026-2027学年南京市八年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有8个小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．如果，，则的平方根为（     ） A．6 B． C． D．36 2．已知，的周长为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 第3题 第5题 4．比较的大小，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为20，，则的长为（     ）   A．4 B．6 C．8 D．10 6．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（      ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 8．已知三角形的三边的长都是整数，且， 如果，则这样的三角形共有（     ） A．12个 B．14个 C．15个 D．21个 二、填空题：本题有10个小题，每小题2分，共20分. 9．下列五个实数中，最大的无理数是______ 10．若，则的最大整数解为__________． 11．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 12．近似数万精确到__________位． 13．图中，，，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画_______条． 第13题 第14题 14．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 15．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 第15题 第16题 16．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 17．如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 第17题 第18题 18．如图，长方形中，，，点是射线上一动点不与、重合，将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为_________． 三、解答题：本大题有9个小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（12分）计算： (1)； (2) (3) 求的值：； (4)求的值：； 20．（6分）如图，，且，． (1)求证：； (2)猜想与的关系并说明理由． 21．（6分）阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 22．（6分）王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面形如长方形，点B与点C之间的距离．池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且比高出（即于点O，于点E，），为同样大小的遮阳网，，一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且，图中所有点均在同一平面内．求支撑杆的长． 23．（6分）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)的长度是________． 24．（6分）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 25．（6分）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 26．（6分）在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，若连接．若， 求证：． (2)如图2，若连接，作的中线，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 27．（10分）【综合实践】 【问题背景】学校即将举行“国庆数学素养作业”展示活动，探究小组对学校的平面布局测绘后发现：知行楼、至善楼、正心楼恰好构成一个等边，已知米，主干道是的中线． 【初步体验】 (1)如图1，励艾亭为道路的中点，小巴同学打算从正心楼出发，先到主干道上某处放置标志筒，再去励艾亭休息，当步行路线最短时，的度数为 ． 【综合应用】如图2，图书馆在道路上，连接，若米，小路平分，小蜀同学从图书馆出发，先到小路上的某处摆放展板，再回到小路上的某处张贴海报． (2)请在图中作出步行路线最短时点的位置； (3)小蜀步行路线的最短路程为 ． 【迁移拓展】 (4)如图3，电子屏是道路上靠近的一点，连接，米，的面积为，若要用警戒线在内部围出一个区域进行“国庆数学素养作业”展示，要求点在上，点在上，点在上．请求出展示区域周长的最小值（用含的代数式表示）． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年南京市八年级上学期期中考试 数学模拟卷 一、选择题：本大题有8个小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的， 1.如果√a=2,√b=3,则ab的平方根为（) A.6 B.±6 C.±6 D.36 2.已知△ABC≌△DEF,△ABC的周长为20，AB=6,BC=7,则DF的长为() A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图，A=∠2，AE=DC,欲证△ABE≌△DBC,则需补充的条件可以是() A.AB=DB B.∠A=∠D C.BE=BC D.∠A=∠C B 第3题 第5题 4.比较2,6，√5的大小，正确的是（) A.2<5<6 B.6<√5<2 C.6<2<5 D.5<6<2 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为点D,EF垂直平分AC,交BC于点E,交AC于点 F,连接AE,若BD=DE,△ABC的周长为20，AF=4,则DC的长为() A.4 B.6 C.8 D.10 6.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是() A.∠C=∠A-∠B B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a:b:c=7:24:25 D.b2=(a-c)(a+c) 7.如图，在△ABC中，AC=AD,BD=10,CD=8,记AB长为x,AC长为y·当x,y的值 第1页，共8页 发生变化时，下列代数式的值不变的是() D A.x+y B.x-V C.x2+y2 D.x2-y2 8.已知三角形的三边a,b,c的长都是整数，且a≤b<c,如果b=6,则这样的三角形共有 () A.12个 B.14个 C.15个 D.21个 二、填空题：本题有10个小题，每小题2分，共20分. 9.下列五个实数-√5,0，√7,4，π中，最大的无理数是 10.若k≤√13，则k的最大整数解为 11.在△ABC中，已知AB=5,BC=6,那么∠A ∠C(填>”、·<”或="). 12.近似数3.20万精确到 位 13.图△ABC中，∠A=20°，∠B=50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直 线最多可以画 杀 C 110 A20° 50>B D 第13题 第14题 14.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点A,B,C,D均是 格点，则∠AOC的度数为 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接 CE,若正方形ABDE的面积为74，则CE的长为 第15题 第16题 第2页，共8页 16.如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于 F,BC=8,CF=2,则AC的长为 17.如图，某校有一四边形空地.空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分 别为M,N,P,Q,连接MP与NQ相交于点O,若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪， 请计算种植花卉的总面积为 A M 0 第17题 第18题 18.如图，长方形ABCD中，AD=3,AB=5,点E是射线DC上一动点（不与C、D重合），将 △DAE沿着AE所在的直线折叠得到△FAE,连接FB·当△ABF是直角三角形时，DE的长为 三、解答题：本大题有9个小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ 19.(12分)计算： (1)27+V-22-V25 2)-16+1x8+(2 3)求x的值： e-1=1 (4)求x的值：8x3-27=0: 20.(6分)如图，AB∥DE,且AF=CD,∠B=∠E. (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)猜想BC与EF的关系并说明理由· 第3页，共8页 21.(6分)阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记.请仔细阅读，并完成相应的任务 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理 数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实 要在数轴上分别找到表示√和-√2的点，关键是在数轴上构造线段OA=OA=√2 如图1，点O与数轴的原点重合，点B表示的数为1，过点B作OB的垂线段BC,使得 BC=OB,连接OC,则OC=VOB2+BC2=√2（依据） B -2A'-1 0 A 图1 以原点O为圆心，斜边OC的长为半径画弧，与数轴分别交于点A,A',则 OA=OA=√2，点A对应的数为√2，点A对应的数为-√2. 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指 (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示√10的点Q和表示-√10的点P.(保留作图痕迹，标明 字母，不写作法) 543=2-1012345→ 图2 (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数2-√5的点M, 请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点M·(保留作图痕迹，标明字母，不写作 法) -5-4-3-2-1012345> 图3 第4页，共8页 22.(6分)王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网.如 图，鱼池的截面形如长方形BCM,点B与点C之间的距离BC=3m·池子正中央的支撑杆OA垂 直于鱼池底部且比BC高出1m(即AO⊥MN于点O,AO⊥BC于点E,AE=1m),AB、AC为同 样大小的遮阳网，AB=AC,一根与OA同规格长度的支撑杆OD斜放在池内，点D、B、O在同一 条直线上，且BDm,图中所有点均在同-平面内.求支撑杆QA的长 E 23.(6分)如图，在△ABC中，AB=10,AC=6,若点D在∠BAC的平分线所在的直线上.当 点D在△ABC的外部时，过点D作DE LAB于E,作DF⊥AC交AC的延长线于F,且 BE=CF· (I)求证：点D在BC的垂直平分线上 (2)BE的长度是 24.(6分)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是射线BC上一点，连接AD,过点B作 BF⊥AD于点F直线BF、AC交于点E· (1)如图1.求证：AC+CE=BD; (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：FC平分∠AFE; 图1 图2 第5页，共8页 25.(6分)【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小·其中一种强有力的方法是将多个方向相同的 不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式.这种方法称为同向不等式相加.核心原理：如果 a>b,c>d,那么a+c>b+d. 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键.请思考并完成以下探究问题· B 图1 图2 图3 【问题探究】 (1)(基础应用) 如图1，在△ABC中，当点P位于边BC上时（不与B、C重合），AC+BC一PA+PB (填<”，“>”，“=”) (2)(核心方法) 如图2，当点P位于△ABC内部时，完成证明：AB+AC>PB+PC· (3)(能力提升) 如图3，P、Q是△ABC内部的两点，连接BP、PQ、QC,使B、P、Q、C构成凸四边形.请 参考第二问的证明方法，求证：AB+AC>BP+PO+OC. 第6页，共8页 26.(6分)在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转 (0°<a<180)得线段AE· B B D E E 图1 图2 (1)如图1，若连接CE.若∠BAC=x(0°<￥<180) 求证：∠E+∠ADC=180° (2)如图2，若a+∠BAC=180°连接BE,作△ABE的中线AF,用等式表示线段AF、BC、BD之 间的数量关系，并证明你的结论， 第7页，共8页 27.(10分)【综合实践】 【问题背景】学校即将举行国庆数学素养作业"”展示活动，探究小组对学校的平面布局测绘后发 现：知行楼A、至善楼B、正心楼C恰好构成一个等边△ABC,已知AB=240米，主干道AD是 △ABC的中线 O D 图1 图2 图3 【初步体验】 (1)如图1，励艾亭E为道路AC的中点，小巴同学打算从正心楼C出发，先到主干道AD上某处F 放置标志筒，再去励艾亭E休息，当步行路线CF+EF最短时，∠CFD的度数为 【综合应用】如图2，图书馆G在道路AB上，连接DG,若AB=3BG=240米，小路DI平分 ∠ADG,小蜀同学从图书馆G出发，先到小路DI上的某处K摆放展板，再回到小路DG上的某处 H张贴海报， (2)请在图中作出步行路线GK+KH最短时点K的位置， (3)小蜀步行路线GK+H的最短路程为 【迁移拓展】 (4)如图3，电子屏J是道路AB上靠近B的一点，连接DJ,DJ=108米，△ADJ的面积为S,若 要用警戒线在△ADJ内部围出一个△PMN区域进行“国庆数学素养作业"展示，要求点P在AJ上， 点M在AD上，点N在DJ上.请求出展示区域△PMN周长的最小值（用含S的代数式表示）· 第8页，共8页 2026-2027学年南京市八年级上学期期中考试 数学模拟卷 1、 选择题：本大题有8个小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．如果，，则的平方根为（     ） A．6 B． C． D．36 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义，得出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为． 2．已知，的周长为，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，再利用全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：的周长为，，， ． ， ． 故选：B． 3．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴当或时，利用可以得到， 无法通过或得到； 故只有B选项符合题意. 4．比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的大小比较，利用即可判断． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 5．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为20，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据EF垂直平分得到，，根据，得到，计算即可． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的定义及勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， ， ， ， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、设，则，， ，， ， 是直角三角形，不符合题意； D、， ， 是直角三角形，不符合题意． 7．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 8．已知三角形的三边的长都是整数，且， 如果，则这样的三角形共有（     ） A．12个 B．14个 C．15个 D．21个 【答案】C 【分析】根据题目给出的边长关系，结合三角形三边关系，即两边之和大于第三边，对的所有可能取值分类计数，统计每个对应的符合条件的的个数，求和得到总三角形个数． 【详解】已知三边均为整数，满足，， ，且为正整数， 的可能取值为 由三角形三边关系得， 又， 因此得 , 对每个计算符合条件的整数的个数： 当时，，无符合条件的，共个； 当时，，仅符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 当时，，符合，共个； 总个数为， 即这样的三角形共有个． 二、填空题：本题有10个小题，每小题2分，共20分. 9．下列五个实数中，最大的无理数是______ 【答案】 【详解】解：先从五个数中区分出无理数：给定的五个数，，，，中，有理数是和，不符合要求，排除； 无理数是，，； 比较三个无理数的大小：∵ 是负数， ∴最小； ∵ ，， ∴ ，因此最大的无理数是． 10．若，则的最大整数解为__________． 【答案】 【分析】先估算的大小范围，再根据找出最大整数即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ ∴的最大整数解为． 11．在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．近似数万精确到__________位． 【答案】百 【分析】3.20万，再看2后的第一个0的位置即可． 【详解】解：3.20万，末位数字0在百位上，所以精确到百位． 13．图中，，，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画_______条． 【答案】5 【详解】如图，，，，，， 共有5个等腰三角形，即最多可以画5条. 14．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 15．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 16．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 【答案】12 【分析】结合D是的中点，，得，根据，，故，证明，得，，即可求出，再证明，则得到，根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 过作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． 17．如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 【答案】9 【分析】连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴①，②，③，④， 由得，， ∴． 18．如图，长方形中，，，点是射线上一动点不与、重合，将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为_________． 【答案】1或9 【分析】根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，再分情况讨论为直角三角形时的情况，利用勾股定理建立方程求解的长度. 【详解】解：①当点在线段上时， 如图所示：∵， ∴，，三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当点在的延长线上时， 如图2所示：∵，，， ∴，，，三点共线， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的值为1或9. 三、解答题：本大题有9个小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（12分）计算： (1)； (2) (3) 求的值：； (4)求的值：； 【详解】（1）解：； （2）解：. （3）解： ； （4）解：， ∴， 解得：. 20．（6分）如图，，且，． (1)求证：； (2)猜想与的关系并说明理由． 【详解】(1)证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴ (2)解：，理由如下： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（6分）阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【详解】(1)勾股定理 (2) 如图，点P，Q即为所求． (3) 如图，点即为所求， 22．（6分）王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面形如长方形，点B与点C之间的距离．池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且比高出（即于点O，于点E，），为同样大小的遮阳网，，一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且，图中所有点均在同一平面内．求支撑杆的长． 【答案】 【分析】求出，，设，得到，，，在中，，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：∵，于点E， ∴， 设，则， ∵一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且， ∴， 在中，， 即， 解得 即支撑杆的长为． 23．（6分）如图，在中，，，若点D在的平分线所在的直线上．当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)的长度是________． 【分析】（1）连接，，根据证明得，可证点D在的垂直平分线上； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】(1)证明：连接           ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，，           在和中， ， ∴，           ∴，           ∴点在的垂直平分线上； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 24．（6分）在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 【详解】(1)证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分。 25．（6分）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小．其中一种强有力的方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式．这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键．请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），______． （填“＜”，“＞”，“＝”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即； 26．（6分）在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，若连接．若， 求证：． (2)如图2，若连接，作的中线，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）由旋转的性质得到相应的角相等，相应的边相等，再根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）先倍长中线，得到三角形全等，再利用旋转的性质全等三角形的性质解答即可． 【详解】(1)证明：绕点逆时针旋转得线段， ， ， ， ， ， ， ， ． (2) 解： 证明：如图2，延长到，使， 是的中线， ， ， ， ， ， ， 即： ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 27．（10分）【综合实践】 【问题背景】学校即将举行“国庆数学素养作业”展示活动，探究小组对学校的平面布局测绘后发现：知行楼、至善楼、正心楼恰好构成一个等边，已知米，主干道是的中线． 【初步体验】 (1)如图1，励艾亭为道路的中点，小巴同学打算从正心楼出发，先到主干道上某处放置标志筒，再去励艾亭休息，当步行路线最短时，的度数为 ． 【综合应用】如图2，图书馆在道路上，连接，若米，小路平分，小蜀同学从图书馆出发，先到小路上的某处摆放展板，再回到小路上的某处张贴海报． (2)请在图中作出步行路线最短时点的位置； (3)小蜀步行路线的最短路程为 ． 【迁移拓展】 (4)如图3，电子屏是道路上靠近的一点，连接，米，的面积为，若要用警戒线在内部围出一个区域进行“国庆数学素养作业”展示，要求点在上，点在上，点在上．请求出展示区域周长的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)80米 (4)的周长最小值为 【分析】（1）利用等边三角形的性质和其中线定理得出，，过点C作关于的对称点，连接，交于点F，连接，此时得到，当点B，F，E三点共线时，最短，利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可得解； （2）过点G作的垂线，交于点，与边交于点，由平分，可得点G和点关于对称，过点作的垂线，垂足为H，该垂线与的交点即为所求的点K，此时为最短路径； （3）由（2）所作图可知，延长交于点，证明，，得出点H与点关于对称，，利用解含30度直角三角形即可求得最终结果； （4）作点N关于、的对称点、，利用翻折的性质证得为等边三角形，则，当点、、P、M四点共线时，，当时，有最小值，利用三角形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，是的中线， ∴，， 如图，过点C作关于的对称点，连接，交于点F，连接， ∴，即点B与点重合， ∴， ∴， 当点B，F，E三点共线时，最短， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3）解：如图，延长交于点， 由轴对称的性质可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点H与点关于对称， ∴， ∵米， ∴米，米， ∵是等边的中线， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米． （4）解：如图，作点N关于、的对称点、， 由翻折可知，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当点、、P、M四点共线时，， ∵的面积为，米， 当时，有最小值， ∴， ∴， 即的周长最小值为． 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $