第18讲概率的进一步认识培优讲义（知识梳理典例压轴练习）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第18讲 概率的进一步认识 培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026年北师大版九年级上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解用列举法（列表、树状图）计算两步及两步以上随机事件概率的方法 · 掌握游戏公平性的判断方法，能通过计算概率设计公平或不公平的游戏规则 · 理解频率与概率的关系，能用大量重复试验中的频率估计概率 · 会用频率估计概率解决摸球估算、标记重捕等实际问题 · 掌握几何概率的计算方法，能解决转盘、面积比、投针等几何概型问题 📚 知识梳理 ☆ 1.用树状图或表格求概率 当一次试验涉及两个因素且可能出现的结果较多时，常用列表法列举所有等可能结果 当一次试验涉及三个或更多因素时，常用树状图法按步骤列举所有等可能结果 概率公式：P(A)=，其中 n 为所有等可能结果总数，m 为事件 A 包含的结果数 用列举法求概率的前提是各种结果出现的可能性相等 概念辨析例题：同时掷两枚均匀硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：列表或画树状图可知共有（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）4 种等可能结果，两枚都正面朝上只有 1 种，故 P= ☆ 2.游戏公平性与方案设计 游戏对双方公平是指双方获胜的概率相等 判断游戏是否公平，需分别计算双方获胜的概率并比较 若游戏不公平，可通过修改规则使双方获胜概率相等来设计公平游戏 常见游戏模型：摸球、抽牌、转盘、掷骰子、配紫色等 概念辨析例题：袋中有 3 红 2 黄共 5 个球，任意摸出 1 球，摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，游戏公平吗？ 答案：不公平 解析：P(甲胜)=，P(乙胜)=，两者不相等，故游戏不公平 ☆ 3.用频率估计概率 在大量重复试验中，事件 A 发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率 当试验次数很大时，频率可作为概率的估计值 适用对象：结果不是等可能的、或无法直接列举所有结果的随机事件 通过频率估计概率可以解决摸球估算、标记重捕法估计总体数量等实际问题 概念辨析例题：某射手在相同条件下射击，结果如下表：射击 200 次中靶 186 次，估计该射手射击一次中靶的概率 答案：约 0.93 解析：用频率估计概率：P≈=0.93，故估计中靶概率约为 0.93 ☆ 4.几何概率 几何概率：事件 A 的概率等于 A 所占区域面积（长度、体积）与总区域面积（长度、体积）之比 常见模型：转盘问题（扇形圆心角之比）、投点问题（面积比）、线段问题（长度比） 转盘问题中指针落在某区域的概率等于该扇形圆心角与 360° 之比 解决几何概率问题的关键是准确计算相关区域的测度（长度、面积、体积） 概念辨析例题：一个转盘被等分成红、黄、蓝 3 个扇形，自由转动转盘，求指针落在红色区域的概率 答案： 解析：整个圆为 360°，红色扇形圆心角为 120°，P== 📋 知识总结表 方法 适用情境 关键步骤 列表法 两步试验、结果较多 列表列举所有等可能结果，数出 m 与 n 树状图法 三步及以上试验 按步骤画树状图，列举所有等可能结果 频率估计 非等可能或无法列举 做大量重复试验，用频率近似概率 几何概型 结果与区域测度有关 计算区域面积（长度）比 标记重捕 估计总体数量 ≈ 游戏公平 双方获胜比较 分别算概率，相等则公平 ⚠️ 核心考点 【考点1】列表法或树状图法求基本事件概率（第1-12题） · 两步试验用列表法，三步及以上用树状图法 · 列举时注意「放回」与「不放回」的区别，前者同一元素可重复出现 · 概率=所求结果数除以所有等可能结果总数 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”、“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个不透明的盒子内装有大小、形状完全相同的3个球，其中红球1个、绿球1个、白球1个．小明随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，则两次都摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，斗兽棋是我国一种古老的棋类游戏，双方各有八只棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狗、狼、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉手中存有的棋子为虎、猫，牛牛手中存有的棋子为狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南洛阳·一模）某校围绕“两弹元勋”邓稼先、“中国航天之父”钱学森和“中国核潜艇之父”黄旭华三位科学家的事迹开展研学活动，小刚和小明分别从这三位科学家中随机选取一位科学家进行研究，则两人选取的科学家不相同的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江大庆·中考真题）现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·三模）某校准备从《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》三首歌曲中随机选择两首进行排练，参加即将举办的“建班制合唱”选拔赛，那么恰好选中前面两首歌曲的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·贵州铜仁·一模）某校九年级（1）班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是______． 10．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等，若姐姐在左侧随机选中绳子，则妹妹在右侧随机恰好选中绳子的概率为__________． 11．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，把一个质地均匀的转盘平均分成三份，依次标上数字1，2，3，自由转动转盘两次（若指针正好指向分界线，则重新转一次），把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字记作y，则x与y的和为3的倍数的概率为________． 12．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段检测）在一个不透明的袋子中装有黄、白、蓝小球各1个，除颜色外，无其它差别．随机摸出一个小球记下颜色后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表或树形图法求两次都摸到白球的概率． 【考点2】列举法与游戏公平性、方案决策（第13-21题） · 公平性判断：分别计算双方获胜概率，相等即公平 · 修改规则使游戏公平时，应使双方概率相等 · 配紫色、选数字等综合问题需完整列举所有结果 13．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 14．（24-25九年级上·全国·期末）有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 15．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·安徽阜阳·二模）在大课间活动时，五个同学A，B，C，D，E分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏（如图）．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是_____． 17．（2025九年级·全国·专题练习）现有四张正面分别标有数，，0，1的不透明卡片，它们除数外其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，随机抽取两张，记上面的数分别为m，n，则使得代数式无意义的概率为________． 18．（23-24九年级上·山西晋城·期末）我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 19．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字，0，1，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀． (1)从口袋中随机取出一个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是______． (2)从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后再从剩下的小球中随机取出一个小球，记小球上的数字为．将有序数对记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，求得到的点坐标在第二象限的概率． 20．（26-27九年级下·全国·课后作业）在数学活动课上，某5人学习小组使用一张六人圆形学习桌进行合作学习．小明、小华、小英已按图示位置坐好，剩余三个空座位依次编号为①②③（位置关系如图所示，其中①②号座位与小明相邻）．甲、乙两名同学随机选择三个空座位中的两个坐下． (1)直接写出甲坐在与小明相邻的座位上的概率； (2)请利用画树状图法求甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的概率． 21．（2026·江西南昌·一模）“马踏新程·新年有光·少年有为”，某班开展马年迎新活动，活动中有个游戏环节，规则为每位同学只能转动转盘（图1）一次，指针落在面积相等的A，B，C，D的某个区域，对应可得一个有奔马、福马、萌马、祥云马图案的马卡龙（图2），若指针落在边界位置，则要重新转动，甲、乙两位同学各转动转盘一次． (1)事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是_________事件； A．随机    B．不可能    C．必然    D．确定性 (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的概率． 【考点3】由频率估计概率（试验与统计图）（第22-32题） · 大量重复试验下，频率稳定在概率附近 · 从折线图、条形图中读取频率数据并判断符合的试验 · 用频率值直接作为概率的估计值 22．（24-25九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 23．（2025·甘肃兰州·模拟预测）某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（    ） A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 24．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 25．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085 试估计“点落入圆形区域内”的概率____(精确到0.01) ． 26．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表，当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于___________．（精确到） 摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500 白球频率 27．（24-25九年级下·广东珠海·开学考试）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是____________________． 28．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 29．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位） 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘（如图）． 商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（落在分界线时，重新转动转盘）．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 50 100 200 400 800 1000 落在“牛奶”区域的次数m 30 61 119 242 b 603 落在“牛奶”区域的频率 0.6 0.61 0.595 a 0.59 0.603 (1)_______，_______； (2)估计当n很大时，频率将会在常数_______（结果精确到0.1）附近摆动．假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是_______； (3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 31．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 32．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【考点4】已知概率或频率求数量（第33-40题） · 摸球估算：已知频率和其中一种球数，求另一种球数 · 标记重捕法：= · 列方程求解时注意单位与比例关系 33．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（   ）个 A．15 B．8 C．16 D．18 34．（24-25九年级上·河南南阳·期末）一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．假设全班一共做了400次摸球试验，摸到白球的频数为40，且已知袋中有5个白球，估计袋中红球有_____个． 36．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 37．（2026·广西玉林·一模）为迎接年广西“三月三”，某校开展了“壮韵三月三”游园活动，其中兑奖处准备了一个不透明的抽奖箱，箱内装有绣球兑换券和铜鼓兑换券两种完全相同的奖券，其中绣球兑换券有张．为估算铜鼓兑换券的数量，工作人员设计了如下方案：每次从箱子中随机摸出一张奖券，记录奖项后放回，摇匀后再摸，重复多次后，统计数据如下表 摸奖券次数 摸到绣球兑换券次数 请根据以上数据，估算箱子中铜鼓兑换券的张数__________． 38．（2024·江苏泰州·三模）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别． 将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验． 下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 (1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为__________； (2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球后，则“一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率”与“一次性摸出两个球颜色不相同的概率”相等．你同意小明的意见吗？请说明理由． 39．（24-25七年级下·河南郑州·期末）同学们学习完频率估计概率之后，觉得特别有趣，在班级进行了一次实验验证．已知一个不透明的袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，大家进行了大量的摸球实验得到如下表格： 摸出红球的次数 10 21 32 54 90 145 203 实验的总次数 40 80 120 200 320 500 700 摸出红球的频率 0．25 0．26 0．27 0．28 0．29 (1)表格中的 ________； _______；（保留两位小数） (2)根据频率估计概率的知识，同学们算出袋子中大约有红球_______个，打开袋子发现红球的个数与计算结果相同； (3)小明经过思考，又提出了一个问题，若不透明的袋子中现在有8个除颜色外完全相同的小球，如果想让摸出红球的概率与下图所示自由转盘转到红色区域的概率相同，应该有几个红球？请你帮助小明计算出来． 40．（24-25九年级上·广东佛山·期末）某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： (1)估计完好的橙子的质量约有 千克； (2)若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？（精确到元） 【考点5】几何概率（第41-47题） · 转盘问题：概率=扇形圆心角÷360° · 投点问题：概率=阴影面积÷总面积 · 不规则图形面积可通过投点试验用频率估计 41．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图是商场促销圆形转盘，由相连的红、蓝、白3块扇形构成，随机转动转盘，指针落在红色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为_____________（精确到0.01） 43．（25-26八年级上·河南平顶山·开学考试）2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为________． 44．（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 45．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，A转盘白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，B转盘被分成面积相等的两个黑白扇形，转动A，B转盘各一次，两次指针都落在黑色区域的概率为________． 46．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）【综合与实践】测量不规则草地的面积（如下图阴影图形）． 【实践方案设计】在草地的外围画了一个长、宽的长方形，有四个小组的同学分别在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 【数据整理与计算】估计石子落在草地内的概率（精确到0.1），并算出草地的大致面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 用列举法求概率时务必画树状图或列表，避免漏数重复 · 注意「放回」与「不放回」对结果数的影响 · 频率估计概率要求试验次数足够多，单次试验不能作估计 · 几何概率要分清区域测度是长度、面积还是体积 · 游戏公平问题先算概率再比较，不要凭直觉判断 【作业1】．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段检测）小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．任意写出一个整数，能被2整除的概率 B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时朝上的点数是5的概率 C．从装有2个白球和1个红球（小球除颜色外其他都相同）的不透明袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率 D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率 【作业2】．（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【作业3】．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 【作业5】．（25-26九年级上·山东威海·期末）有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：①分别转动转盘A，B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘，（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）． (1)用列表法（或画树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率； (2)小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分．这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平． 【作业6】．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________________． 【作业7】．（2025·福建三明·一模）在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是______． 【作业8】．（2026·安徽阜阳·一模）物理学中把光线按波长从大到小分为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色光，人们通常把红、橙、黄三种颜色称为暖色，其余四种称为冷色．从七色光中任意选取两种颜色均为暖色的概率是________． 【作业9】．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某班有名同学，按出生月份的不同分成组，其中，月的频率是，月的频率是，月的有人，则月的有______人． 【作业10】．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 【作业11】．（2024·辽宁·模拟预测）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的12个白球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有____________个． 【作业12】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 【作业13】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分的面积可能是__________． 【作业14】．（2025九年级下·山东青岛·专题练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球____________个． 【作业15】．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 2949 3932 合格品频率 (1)求出表中__________，__________； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）； (3)如果生产50000顶头盔，估计有多少顶头盔是合格品？ 【作业16】．（24-25七年级下·全国·课后作业）有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻的是一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，某小组做了掷棋子试验，试验数据如下表（频率结果精确到）： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上的次数 14 a 38 47 52 66 78 88 “兵”字面朝上的频率 b (1)_______，_______； (2)根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上的频率的折线统计图； (3)观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率的变化有什么规律？ 第18讲 概率的进一步认识 培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026年北师大版九年级上册 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 概率的进一步认识 培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026年北师大版九年级上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解用列举法（列表、树状图）计算两步及两步以上随机事件概率的方法 · 掌握游戏公平性的判断方法，能通过计算概率设计公平或不公平的游戏规则 · 理解频率与概率的关系，能用大量重复试验中的频率估计概率 · 会用频率估计概率解决摸球估算、标记重捕等实际问题 · 掌握几何概率的计算方法，能解决转盘、面积比、投针等几何概型问题 📚 知识梳理 ☆ 1.用树状图或表格求概率 当一次试验涉及两个因素且可能出现的结果较多时，常用列表法列举所有等可能结果 当一次试验涉及三个或更多因素时，常用树状图法按步骤列举所有等可能结果 概率公式：P(A)=，其中 n 为所有等可能结果总数，m 为事件 A 包含的结果数 用列举法求概率的前提是各种结果出现的可能性相等 概念辨析例题：同时掷两枚均匀硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：列表或画树状图可知共有（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）4 种等可能结果，两枚都正面朝上只有 1 种，故 P= ☆ 2.游戏公平性与方案设计 游戏对双方公平是指双方获胜的概率相等 判断游戏是否公平，需分别计算双方获胜的概率并比较 若游戏不公平，可通过修改规则使双方获胜概率相等来设计公平游戏 常见游戏模型：摸球、抽牌、转盘、掷骰子、配紫色等 概念辨析例题：袋中有 3 红 2 黄共 5 个球，任意摸出 1 球，摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，游戏公平吗？ 答案：不公平 解析：P(甲胜)=，P(乙胜)=，两者不相等，故游戏不公平 ☆ 3.用频率估计概率 在大量重复试验中，事件 A 发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率 当试验次数很大时，频率可作为概率的估计值 适用对象：结果不是等可能的、或无法直接列举所有结果的随机事件 通过频率估计概率可以解决摸球估算、标记重捕法估计总体数量等实际问题 概念辨析例题：某射手在相同条件下射击，结果如下表：射击 200 次中靶 186 次，估计该射手射击一次中靶的概率 答案：约 0.93 解析：用频率估计概率：P≈=0.93，故估计中靶概率约为 0.93 ☆ 4.几何概率 几何概率：事件 A 的概率等于 A 所占区域面积（长度、体积）与总区域面积（长度、体积）之比 常见模型：转盘问题（扇形圆心角之比）、投点问题（面积比）、线段问题（长度比） 转盘问题中指针落在某区域的概率等于该扇形圆心角与 360° 之比 解决几何概率问题的关键是准确计算相关区域的测度（长度、面积、体积） 概念辨析例题：一个转盘被等分成红、黄、蓝 3 个扇形，自由转动转盘，求指针落在红色区域的概率 答案： 解析：整个圆为 360°，红色扇形圆心角为 120°，P== 📋 知识总结表 方法 适用情境 关键步骤 列表法 两步试验、结果较多 列表列举所有等可能结果，数出 m 与 n 树状图法 三步及以上试验 按步骤画树状图，列举所有等可能结果 频率估计 非等可能或无法列举 做大量重复试验，用频率近似概率 几何概型 结果与区域测度有关 计算区域面积（长度）比 标记重捕 估计总体数量 ≈ 游戏公平 双方获胜比较 分别算概率，相等则公平 ⚠️ 核心考点 【考点1】列表法或树状图法求基本事件概率（第1-12题） · 两步试验用列表法，三步及以上用树状图法 · 列举时注意「放回」与「不放回」的区别，前者同一元素可重复出现 · 概率=所求结果数除以所有等可能结果总数 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）2026年春晚吉祥物形象为“骐骐”、“骥骥”、“驰驰”、“骋骋”四匹骏马．正面印有吉祥物形象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则恰巧抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先画出树状图得到所有等可能的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片分别记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“驰驰”和“骋骋”的结果有2种， ∴恰好抽到“驰驰”和“骋骋”的概率为． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个不透明的盒子内装有大小、形状完全相同的3个球，其中红球1个、绿球1个、白球1个．小明随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，则两次都摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明两次摸到的都是白球的情况，再利用概率公式即可求得答案，正确的运算是解题的关键． 【详解】解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，小明两次摸到的球都是白球的有种情况， ∴小明两次摸到的球中都是白球的概率是：． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，斗兽棋是我国一种古老的棋类游戏，双方各有八只棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狗、狼、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉手中存有的棋子为虎、猫，牛牛手中存有的棋子为狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图， 共有种等可能出现的结果，其中莉莉获胜的结果有种， ∴莉莉获胜的概率为， 故选：． 4．（2026·河南洛阳·一模）某校围绕“两弹元勋”邓稼先、“中国航天之父”钱学森和“中国核潜艇之父”黄旭华三位科学家的事迹开展研学活动，小刚和小明分别从这三位科学家中随机选取一位科学家进行研究，则两人选取的科学家不相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人选取的科学家不相同的情况，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将3位科学家“两弹元勋”邓稼先、“中国航天之父”钱学森和“中国核潜艇之父”黄旭华分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中两人选取的科学家不相同的情况有种， 两人选取的科学家不相同的概率是为． 5．（2026·黑龙江大庆·中考真题）现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的结果有3种，即红红、黄黄、绿绿， ∴从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为． 6．（2026·河北邯郸·三模）某校准备从《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》三首歌曲中随机选择两首进行排练，参加即将举办的“建班制合唱”选拔赛，那么恰好选中前面两首歌曲的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率 【详解】解：用A、B、C分别表示《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》， 由题意，可画树状图为： 由树状图，可知共有6种等可能的结果，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种， ∴恰好选中前面两首歌曲的概率为． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，王老师手中攥着四根同样的绳子，，，，小林从手的左边随机选择一根，小新从手的右边随机选择一根，则两人恰好选中同一根绳子的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】先根据题意列表列举所有等可能结果，再根据事件概率的计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： E F G H A B C D 共有16种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的等可能结果分别是，，，，共4种，所以两人恰好选中同一根绳子的概率是． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）每年的6月14日为世界献血者日．某中学有4名教师自愿献血，其中2人血型为O型，2人血型为A型，现从他们当中随机挑选2人，选到的两人均为O型血的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，，列表得到所有的等可能的结果数，找出均为O型血的结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设2名O型血教师分别为，，2名A型血教师分别为，， 列表如下：             共有12种等可能的结果，其中两人均为O型血的有2种结果， ∴选到的两人均为O型血的概率为． 9．（2026·贵州铜仁·一模）某校九年级（1）班在以“梦想启航，马到成功”为主题的元旦联欢会上共设计了4个小游戏．如果甲同学和乙同学每人随机选择参加其中一个小游戏，则他们俩恰好选到同一个小游戏的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足题意的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设4个小游戏分别为. 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲，乙两人恰好选到同一个小游戏的结果数为. 因此两人恰好选到同一个小游戏的概率为． 10．（23-24七年级下·山东烟台·期中）如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等，若姐姐在左侧随机选中绳子，则妹妹在右侧随机恰好选中绳子的概率为__________． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列举法求概率的知识，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 由三根同样的绳子、、穿过一块木板，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵共有三根同样的绳子、、穿过一块木板， ∴姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子BB1的概率为：． 故答案为：． 11．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，把一个质地均匀的转盘平均分成三份，依次标上数字1，2，3，自由转动转盘两次（若指针正好指向分界线，则重新转一次），把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字记作y，则x与y的和为3的倍数的概率为________． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】画出树状图，利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，画出树状图如图： 共9种等可能的结果，其中x与y的和为3的倍数的结果有3种， ∴. 12．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段检测）在一个不透明的袋子中装有黄、白、蓝小球各1个，除颜色外，无其它差别．随机摸出一个小球记下颜色后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列表或树形图法求两次都摸到白球的概率． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 黄 白 蓝 黄 （黄，黄） （黄，白） （黄，蓝） 白 （白，黄） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，黄） （蓝，白） （蓝，蓝） 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有1种， ∴两次都摸到白球的概率为 【考点2】列举法与游戏公平性、方案决策（第13-21题） · 公平性判断：分别计算双方获胜概率，相等即公平 · 修改规则使游戏公平时，应使双方概率相等 · 配紫色、选数字等综合问题需完整列举所有结果 13．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【知识点】列举法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 14．（24-25九年级上·全国·期末）有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将四张卡片置于暗箱摇匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法求概率、同底数幂相乘、二次根式的加减运算、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率的计算．熟练使用列举法或树状图法列出所有可能情况是解题的关键． 先判断每个算式是否正确，然后通过列举法找出四张卡片种随机抽取两张的所有可能情况，再找出两张卡片算式都正确的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：算式①中，并非，该算式错误； 算式②中正确； 算式③中不能合并同类项，该算式错误； 算式④正确； 抽取两张卡片的所有情况有：①②、①③、①④、②③、②④、③④共6种， 其中抽取的两张卡片上的算式都正确的情况有：②④，共1种， 所以抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是， 故选C． 15．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 16．（2026·安徽阜阳·二模）在大课间活动时，五个同学A，B，C，D，E分别站在正五边形的5个顶点处做传球游戏（如图）．规定：球不得传给相邻的人，没有传球失误，现在球在A手上，则经过两次传球后又传到A手上的概率是_____． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】根据题意画树状图，可得两次传球共有4种等可能结果，球又回到A手上的结果数为2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知：有4种等可能结果，球又回到A手上的结果数为2种， ∴经过两次传球后又传到A手上的概率是． 17．（2025九年级·全国·专题练习）现有四张正面分别标有数，，0，1的不透明卡片，它们除数外其余完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，随机抽取两张，记上面的数分别为m，n，则使得代数式无意义的概率为________． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 通过列表得出所有等可能结果，从中找到使代数式 无意义（即 ）的结果数，再根据概率公式求解． 【详解】解：列表如下： -2 -1 0 1 -2 —— -1 —— 0 —— 1 —— 由表知，共有种等可能结果，其中 的结果有：、、、、、、、，有种结果， 故使得代数式 无意义的概率为 ， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·山西晋城·期末）我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 【答案】(1) (2)0.25 (3) 【知识点】求某事件的频率、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了列表法或树状图法： （1）根据概率公式求解； （2）根据频率的定义求解； （3）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为； 故答案为： （2）解：根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是； 故答案为：0.25 （3）解：列表如下． 第二次第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种， 两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为． 19．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标有数字，0，1，每个小球除数字不同其余均相同，每次取出前都先摇匀． (1)从口袋中随机取出一个小球，取出的小球上的数字不为0的概率是______． (2)从口袋中随机取出一个小球不放回，记小球上的数字为，摇匀后再从剩下的小球中随机取出一个小球，记小球上的数字为．将有序数对记为点坐标，标记到平面直角坐标系中，求得到的点坐标在第二象限的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列举法求概率、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合要求的结果数求出概率的即可． 【详解】（1）解：从口袋中随机取出一个小球结果有种，它们是等可能性的，取出的小球上的数字不为0的结果有两种， ∴取出的小球上的数字不为0的概率是； （2）画树状图为： 共有种等可能的结果数，得到的点坐标在第二象限的是 ，结果有种， ∴概率为． 20．（26-27九年级下·全国·课后作业）在数学活动课上，某5人学习小组使用一张六人圆形学习桌进行合作学习．小明、小华、小英已按图示位置坐好，剩余三个空座位依次编号为①②③（位置关系如图所示，其中①②号座位与小明相邻）．甲、乙两名同学随机选择三个空座位中的两个坐下． (1)直接写出甲坐在与小明相邻的座位上的概率； (2)请利用画树状图法求甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的概率． 【答案】(1)甲坐在与小明相邻的座位上的概率为； (2)甲，乙两人都坐在与小明相邻的座位上的概率为． 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵①、②号座位与小明相邻， 甲坐在与小明相邻的座位上的概率为； （2）解：画树状图如图所示， 共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的结果有2种， ∴甲、乙两人都坐在与小明相邻的座位上的概率． 21．（2026·江西南昌·一模）“马踏新程·新年有光·少年有为”，某班开展马年迎新活动，活动中有个游戏环节，规则为每位同学只能转动转盘（图1）一次，指针落在面积相等的A，B，C，D的某个区域，对应可得一个有奔马、福马、萌马、祥云马图案的马卡龙（图2），若指针落在边界位置，则要重新转动，甲、乙两位同学各转动转盘一次． (1)事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是_________事件； A．随机    B．不可能    C．必然    D．确定性 (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的概率． 【答案】(1)A (2) 【知识点】事件的分类、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据事件的分类即可解答； （2）列表求出总的结果数和甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙的结果数，利用概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：事件“甲同学得到有福马图案的马卡龙”是随机事件； （2）解：列表如下：                            甲 乙 A B C D A B C D 故P（甲、乙两位同学抽到图案相同的马卡龙）． 【考点3】由频率估计概率（试验与统计图）（第22-32题） · 大量重复试验下，频率稳定在概率附近 · 从折线图、条形图中读取频率数据并判断符合的试验 · 用频率值直接作为概率的估计值 22．（24-25九年级上·四川成都·期中）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共10个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，所以可以认为摸到红球的概率是0.4，用小球的总数乘以摸到红球的概率即可求出袋中红球的个数． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中红球可能有（个）． 故选：C． 23．（2025·甘肃兰州·模拟预测）某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（    ） A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率即可解答问题． 【详解】解：A、大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确； B、由A可知转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，故C选项正确； D、随机事件，结果不确定，故D选项不正确． 故选：D． 24．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 【答案】B 【知识点】折线统计图、由频率估计概率、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可． 【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下， 一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； 故选：． 25．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）为了解该微信二维码中间带微信图标小正方形区域的面积，某小组同学做了抛掷点的实验，实验数据如下： 在正方形内投掷的点数n 100 200 300 400 600 800 900 1000 落入小正方形区域的频数m 9 15 27 34 50 66 76 85 落入小正方形区域的频率 0.090 0.075 0.090 0.085 0.083 0.0825 0.084 0.085 试估计“点落入圆形区域内”的概率____(精确到0.01) ． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，“点落入圆形区域内”的频率逐渐稳定到附近， 所以估计“点落入圆形区域内”的概率为， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表，当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于___________．（精确到） 摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500 白球频率 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，根据摸球次数足够多时摸到白球的频率就是概率解题即可． 【详解】解： 摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于， 故答案为：． 27．（24-25九年级下·广东珠海·开学考试）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是____________________． 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率． 首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可． 【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近， ∴小石子落在不规则区域的概率为， ∵正方形的边长为， ∴面积为， 设不规则部分的面积为s， 则， 解得：， 故答案为． 28．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，某团队设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行随机调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)这次参与调查的共有 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)如果某市有万人在使用手机： ①则估计该市最喜欢用“微信”进行沟通的人数为 万人； ②在该市使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，则抽取的最喜欢使用“”沟通的概率是 ． 【答案】(1)； (2) 补充条形统计图： (3)①；② 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中获取需要的信息是解题的关键． （1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可； （2）先求出短信沟通的人数，再根据种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”的人数，从而补全条形统计图； （3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可； ②先求出抽取的恰好使用“”的频率，再用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：∵喜欢用“电话”进行沟通的人数为，所占百分比为， ∴此次共抽查了（人）， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；； （2）解：喜欢用“短信”进行沟通的人数为：（人）， 喜欢用“微信”进行沟通的人数为：（人）； （3）解：①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有人， ∴该某市的万人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（万人）， 故答案为：； ②由（1）可知：参与这次调查的共有人，其中喜欢用“”进行沟通的人数为人， ∴在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的频率是， ∴用频率估计概率，在该市使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的概率是， 故答案为：． 29．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，某商场有一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物元以上获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 (1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）； (2)转动该转盘次，获得洗发水的概率约是__________（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) 表格补充完整如下： 转动转盘的次数 落在“洗发水”的次数 落在“洗发水”的频率 (2) 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率 【分析】（）根据频率的计算方法计算出空格部分的频率，再填入表格即可求解； （）根据频率估计概率即可； 本题考查了用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：，，． （2）解：由表中数据可知，随着实验次数的增大，指针落在“洗发水”的频率稳定在左右， ∴转动该转盘一次，获得洗发水的概率约是， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商场进行开业有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘（如图）． 商场规定：顾客购物200元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（落在分界线时，重新转动转盘）．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 50 100 200 400 800 1000 落在“牛奶”区域的次数m 30 61 119 242 b 603 落在“牛奶”区域的频率 0.6 0.61 0.595 a 0.59 0.603 (1)_______，_______； (2)估计当n很大时，频率将会在常数_______（结果精确到0.1）附近摆动．假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是_______； (3)转盘中，表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)，472 (2)， (3) 【知识点】求扇形统计图的圆心角、由频率估计概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，扇形统计图，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近0.6，然后根据利用频率估计概率得“牛奶”的概率约是0.6； （3）可根据获得“面粉”的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可得到表示“面粉”区域的扇形的圆心角． 【详解】（1）解：；， 故答案为：0.605；472； （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，你获得“牛奶”的概率约是0.6， 故答案为：0.6；0.6； （3）解：， ∴表示“面粉”区域的扇形的圆心角约是． 31．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 1964 2949 3932 合格品频率 0.982 0.986 0.980 a b 0.983 (1)求出表中a=_______，b=_______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是_____（精确到0.01）； (3)如果要出厂49000顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】(1)，； (2)； (3)该厂估计要生产50000顶头盔 【知识点】用频率估计概率的综合应用、求某事件的频率、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 32．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球． (1)先从袋子里取出个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A． ①如果事件A是必然事件，则m的值是多少？ ②如果事件A是随机事件，则m的值是多少？ (2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个红球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1)①3②2或1 (2)1 【知识点】用频率估计概率的综合应用、事件的分类 【分析】（1）①在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的7个红球和3个白球，要使“摸出红球”是必然事件，则袋子中必须全是红球，故需将3个白球全部取出，所以． ②要使“摸出红球”是随机事件，则袋子中必须既有红球又有白球，故取出的白球个数需满足，因为为整数，所以的值是1或2； （2）先从袋子中取出个白球，再放入个一样的红球，此时袋中有个红球，个白球，球的总数为个，随机摸出一个红球的概率为，因为随机摸出一个红球的频率在附近摆动，所以，解得． 【详解】（1）解：①如果事件A是必然事件，则m的值为3； ②如果事件A是随机事件，则m的值为2或1； （2）解：根据题意，可得袋子里共有10个球， 则， 解得， 故的值为1． 【考点4】已知概率或频率求数量（第33-40题） · 摸球估算：已知频率和其中一种球数，求另一种球数 · 标记重捕法：= · 列方程求解时注意单位与比例关系 33．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（   ）个 A．15 B．8 C．16 D．18 【答案】A 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中黄球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中黄球约有15个， 故选：A． 34．（24-25九年级上·河南南阳·期末）一个不透明的袋子里装有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， 摸到白球的概率会接近， 袋中白球的个数为， 估计袋子中共有（个）球， 可估计袋子中黑球的个数为（个）， 故选：C． 35．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）一个不透明的袋子中装有若干个白球和红球，这些球除颜色外都相同．假设全班一共做了400次摸球试验，摸到白球的频数为40，且已知袋中有5个白球，估计袋中红球有_____个． 【答案】45 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，摸到白球的频率为，即摸到白球的概率为，据此设出红球的个数，利用概率计算公式求解即可． 【详解】解：设袋中红球有x个，则袋中球共有个， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴估计袋中红球有45个， 故答案为：45． 36．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为_______粒． 【答案】120 【知识点】已知概率求数量、概率的其他应用 【分析】本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键． 由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答． 【详解】解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为， 所以瓶子中豆子的总数为粒． 故答案为：120． 37．（2026·广西玉林·一模）为迎接年广西“三月三”，某校开展了“壮韵三月三”游园活动，其中兑奖处准备了一个不透明的抽奖箱，箱内装有绣球兑换券和铜鼓兑换券两种完全相同的奖券，其中绣球兑换券有张．为估算铜鼓兑换券的数量，工作人员设计了如下方案：每次从箱子中随机摸出一张奖券，记录奖项后放回，摇匀后再摸，重复多次后，统计数据如下表 摸奖券次数 摸到绣球兑换券次数 请根据以上数据，估算箱子中铜鼓兑换券的张数__________． 【答案】 【知识点】已知概率求数量、分式方程的其它实际问题、由频率估计概率 【分析】本题利用频率估计概率的知识点，先根据大量重复试验中，频率可估计概率，由表格数据可知，摸到绣球兑换券的频率逐渐稳定在，即估计摸到绣球兑换券的概率为． 【详解】解：设箱子中铜鼓兑换券有张， 由表格中的数据可知，当摸奖次数为时，摸到绣球兑换券的频率为，由此估计摸到绣球兑换券的概率约为， 根据概率公式得：， 解方程：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意． 38．（2024·江苏泰州·三模）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别． 将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验． 下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 (1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为__________； (2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球后，则“一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率”与“一次性摸出两个球颜色不相同的概率”相等．你同意小明的意见吗？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)解：不同意小明的意见；理由如下： 列表：设红球为，白球为，， 一共有12种等可能的结果，一次性都摸到球的颜色相同的情况有4种，一次性都摸到球的颜色不相同的情况有8种， ∴一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率，一次性摸出两个球恰好颜色不同的概率， ∵， ∴“一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率”与“一次性摸出两个球颜色不相同的概率”不相等． 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）用总球数乘以摸到红球的概率即可得出答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求出概率，即可得出答案． 此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：由表可得：当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率为， ∴红球的个数：； （2）略 39．（24-25七年级下·河南郑州·期末）同学们学习完频率估计概率之后，觉得特别有趣，在班级进行了一次实验验证．已知一个不透明的袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，大家进行了大量的摸球实验得到如下表格： 摸出红球的次数 10 21 32 54 90 145 203 实验的总次数 40 80 120 200 320 500 700 摸出红球的频率 0．25 0．26 0．27 0．28 0．29 (1)表格中的 ________； _______；（保留两位小数） (2)根据频率估计概率的知识，同学们算出袋子中大约有红球_______个，打开袋子发现红球的个数与计算结果相同； (3)小明经过思考，又提出了一个问题，若不透明的袋子中现在有8个除颜色外完全相同的小球，如果想让摸出红球的概率与下图所示自由转盘转到红色区域的概率相同，应该有几个红球？请你帮助小明计算出来． 【答案】(1)； (2)2 (3)3个 【知识点】已知概率求数量、几何概率、根据数据描述求频率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，几何概率，用频率估计概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可； （2）根据表格可得摸出红球的频率逐步稳定在附近，则摸出红球的概率约为，再根据概率计算公式求解即可； （3）用球的总数乘以自由转盘转到红色区域的概率即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解；由表格可知，随着实验次数的增加，摸出红球的频率逐步稳定在附近， ∴摸出红球的概率约为， ∴袋子中大约有红球个； （3）解：个， ∴应该有3个红球． 40．（24-25九年级上·广东佛山·期末）某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： (1)估计完好的橙子的质量约有 千克； (2)若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？（精确到元） 【答案】(1) (2)元 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、由频率估计概率 【分析】此题考查了利用频率估计概率，一元一次方程的应用，解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据图形即可得出橙子损坏率，再用整体减去橙子损坏率即可得出橙子完好率，然后乘以即可得出答案； （2）设每千克的售价应为元，根据每千克的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据所给的图可得：橙子损坏率估计值为， 橙子完好率估计值为， 估计完好的橙子的质量约有（千克）； 故答案为：； （2）解：设每千克的售价应为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每千克的售价应大约为元． 【考点5】几何概率（第41-47题） · 转盘问题：概率=扇形圆心角÷360° · 投点问题：概率=阴影面积÷总面积 · 不规则图形面积可通过投点试验用频率估计 41．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图是商场促销圆形转盘，由相连的红、蓝、白3块扇形构成，随机转动转盘，指针落在红色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何概率 【详解】解：指针落在红色区域的概率是：. 42．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）1777年，法国科学家布丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题．在平面上画有一组间距为的平行线，将一根长度为的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率，同时也证明了这个概率是．某数学兴趣小组做了这个试验来估计的近似值，他们取，得到试验数据如下： 试验次数 500 相交频数 157 相交频率 0.314 由此估计的近似值为_____________（精确到0.01） 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了频率估计概率，根据这个概率是，，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∴的近似值为， 故答案为：． 43．（25-26八年级上·河南平顶山·开学考试）2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为________． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查几何概率．用阴影部分的面积除以正方形的总面积，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴图③的面积为， 图④的面积为， 正方形的面积为， ∴停在阴影部分的概率为， 故答案为： 44．（25-26七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．数学活动课上，小明用一张正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，如果在此“天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是_______． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形、几何概率 【分析】设七巧板拼成的正方形总面积为，根据七巧板的结构特征确定各块板的面积占比，识别图2中黑色部分对应的板件，计算黑色部分面积与总面积的比值即可． 【详解】解：如图所示， 设七巧板拼成的正方形总面积为，七巧板由2个大等腰直角三角形（A），1个中等腰三角形（B），2个小等腰直角三角形（C），1个正方形（D），1个平行四边形（E）构成， ∴1个大等腰直角三角形A的面积为， 中等腰直角三角形B的面积为， 正方形D的面积为， 平行四边形E的面积均为， 1个小等腰直角三角形C的面积均为， ∵“天鹅”作品黑色部分为1个大等腰直角三角形和1个正方形， ， “天鹅”作品中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是． 45．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，A转盘白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，B转盘被分成面积相等的两个黑白扇形，转动A，B转盘各一次，两次指针都落在黑色区域的概率为________． 【答案】 【知识点】几何概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了几何概率的求法，把A图黑色扇形等分成两份，再画树状图求解概率即可． 【详解】解：如图，把A图黑色扇形等分成两份， 画树状图如下： ∴所有的等可能的情况数有6种，两次指针都落在黑色区域的情况数有2种， ∴两次指针都落在黑色区域的概率为； 故答案为：． 46．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图所示的是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？ 【答案】指针落在红色区域的概率，指针落在白色区域的概率． 【知识点】几何概率 【分析】根据红色区域的圆心角求出指针落在红色区域的概率，进而可知指针落在白色区域的概率． 【详解】解：指针落在红色区域的概率， 则指针落在白色区域的概率． 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）【综合与实践】测量不规则草地的面积（如下图阴影图形）． 【实践方案设计】在草地的外围画了一个长、宽的长方形，有四个小组的同学分别在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．记录结果如下： 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 【数据整理与计算】估计石子落在草地内的概率（精确到0.1），并算出草地的大致面积． 【答案】石子落在草地内的概率0.8，草地的大致面积为 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】本题考查用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即是概率，根据表格中的四组数据，计算出相应频率，估计出石子落在草地内的概率，进而由几何概率模型求法：概率阴影部分面积正方形面积，代值计算即可得到答案，熟练掌握用频率估计概率及几何概率模型求概率方法是解决问题的关键． 【详解】解：分别求出四个小组石子落在草地内的次数与石子落在长方形内的次数比． 一组：； 二组：； 三组：； 四组：； 故估计石子落在草地内的概率为0.8， 草地的大致面积为． 💯 课后巩固 复习建议 · 用列举法求概率时务必画树状图或列表，避免漏数重复 · 注意「放回」与「不放回」对结果数的影响 · 频率估计概率要求试验次数足够多，单次试验不能作估计 · 几何概率要分清区域测度是长度、面积还是体积 · 游戏公平问题先算概率再比较，不要凭直觉判断 【作业1】．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段检测）小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．任意写出一个整数，能被2整除的概率 B．掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时朝上的点数是5的概率 C．从装有2个白球和1个红球（小球除颜色外其他都相同）的不透明袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率 D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率 【答案】C 【知识点】由频率估计概率、根据概率公式计算概率 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故A选项错误； B、掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时朝上的点数是5的概率为，故B选项错误； C、从装有2个白球和1个红球（小球除颜色外其他都相同）的不透明袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是，故C选项正确； D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，故D选项错误． 故选：C． 【作业2】．（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 【作业3】．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、几何概率、根据正方形的性质证明 【分析】过点作正方形两边的垂线，构造出两个全等的直角三角形，利用全等三角形面积相等将阴影部分面积转化为正方形面积的，再根据几何概率公式求解. 【详解】解：如图，过点作于，于， 点为正方形的中心， ，， ，， ， 在和中 ， ， ， . 【作业4】．（25-26九年级下·山西太原·开学考试）2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出小陈和小赵选择游戏相同的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记三个挑战游戏分别为，，． 根据题意，画出树状图： 所有等可能的结果总数为9种．其中小陈和小赵选择相同游戏的结果有种． 所以小陈和小赵选择的游戏相同的概率为． 【作业5】．（25-26九年级上·山东威海·期末）有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：①分别转动转盘A，B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘，（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）． (1)用列表法（或画树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率； (2)小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分．这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平． 【答案】(1) 每次游戏可能出现的所有结果列表如下：            转盘B 转盘A     的数字 的数字 4 5 6 1 2 3 数字之积为3的倍数概率为，数字之积为5的倍数概率为 (2)不公平，修改得分规定为：若数字之积为3的倍数，小明得3分；若数字之积为5的倍数，小亮得5分即可 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了游戏公平性判断及列表法求概率． （1）通过列表法列出两个转盘数字相乘的所有可能结果，再分别统计“积为3的倍数”“积为5的倍数”的结果数，代入公式计算概率即可； （2）判断游戏是否公平，关键看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】（1）解：由表可知，表格中共有9种等可能的结果， 则数字之积为3的倍数的有5种，其概率为，数字之积为5的倍数的有3种，其概率为． （2）解：这个游戏对双方不公平， ∵小明平均每次得分为（分），小亮平均每次得分为（分）， 由于， ∴游戏对双方不公平，修改得分规定为： 若数字之积为3的倍数，小明得3分；若数字之积为5的倍数，小亮得5分即可． 【作业6】．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________________． 【答案】 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了简单概率的计算，根据概率计算公式求得所有可能的结果即所有正方形格子的面积，击中黑色区域的结果即黑色区域的面积，即可求解． 【详解】解：设一个小格子的面积为1，则所有格子的面积和为16，其中黑色区域的面积为5， 故击中黑色区域的概率是； 故答案为：． 【作业7】．（2025·福建三明·一模）在一个不透明的盒子中装有8个大小相同的乒乓球，做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502，估计盒子中的红球的个数是______． 【答案】2 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先求出摸到红球的频率，再利用频率估计概率，然后乘以球的总数即可得． 【详解】解：∵做了2000次摸球试验，摸到红球的频数是502， ∴摸到红球的频率是， ∴估计盒子中的红球的个数是（个）， 故答案为：2． 【作业8】．（2026·安徽阜阳·一模）物理学中把光线按波长从大到小分为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色光，人们通常把红、橙、黄三种颜色称为暖色，其余四种称为冷色．从七色光中任意选取两种颜色均为暖色的概率是________． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：可画树状图为： 由树状图可知一共有42种等可能性的结果数，其中任意选取两种颜色均为暖色的结果数有6种， ∴任意选取两种颜色均为暖色的概率是． 【作业9】．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某班有名同学，按出生月份的不同分成组，其中，月的频率是，月的频率是，月的有人，则月的有______人． 【答案】 【知识点】由频率估计概率、根据数据描述求频数 【分析】本题考查了频率的计算，用频率估计概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出月的频率与月的频率和，再用乘频率和得到这两组的人数和，最后再减去月的人数即可得解． 【详解】解：由题意知：月的频率与月的频率和是， 这两组的人数和是（人）， 月人数是（人）， 故答案为：． 【作业10】．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为______． 【答案】126 【知识点】概率的其他应用 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 【作业11】．（2024·辽宁·模拟预测）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的12个白球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有____________个． 【答案】18 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是“已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率”． 设袋中黑球有x个，根据摸到白球的概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中黑球有x个． 根据题意，得，解得． 检验，当时，． 原分式方程的解为， 故答案为：18． 【作业12】．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 560 1100 2750 正面朝上"的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.56 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（   ） A．0.50 B．0.55 C．0.56 D．0.60 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到2000次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 【作业13】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分的面积可能是__________． 【答案】4 【知识点】用频率估计概率的综合应用、由频率估计概率 【分析】本题主要是利用频率估计概率、概率的应用等知识点，掌握当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率是解题的关键． 根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积即可． 【详解】解：由表格可知： 当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近，即空白区域的面积占总面积的， ∴空白部分的面积=． 故选答案为4． 【作业14】．（2025九年级下·山东青岛·专题练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球____________个． 【答案】32 【知识点】分式方程的其它实际问题、由频率估计概率 【分析】此题考查了利用频率估计概率，分式方程，解题关键是要读懂题意，找出的等量关系列出方程，注意分式方程要验根． 设盒子里有白球x个，根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”列出分式方程，再进行计算，即可得出答案． 【详解】解：设盒子里有白球x个，根据题意得： 解得：， 经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球32个． 故答案为：32． 【作业15】．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 491 986 1470 2949 3932 合格品频率 (1)求出表中__________，__________； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是__________（精确到）； (3)如果生产50000顶头盔，估计有多少顶头盔是合格品？ 【答案】(1)1964； (2) (3)49000 【知识点】用频率估计概率的综合应用、由样本所在的频率区间估计总体的数量、由频率估计概率 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，再由频率估计概率可判断任意抽取一只头盔是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：估计有49000顶头盔是合格品． 【作业16】．（24-25七年级下·全国·课后作业）有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻的是一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，某小组做了掷棋子试验，试验数据如下表（频率结果精确到）： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上的次数 14 a 38 47 52 66 78 88 “兵”字面朝上的频率 b (1)_______，_______； (2)根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上的频率的折线统计图； (3)观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率的变化有什么规律？ 【答案】(1)18； (2) 画出频率分布折线图，如下图： (3)当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在0.55附近浮动 【知识点】根据数据描述求频率、频数分布折线图、由频率估计概率、根据数据描述求频数 【分析】本题考查了利用频率估计概率、画频率分布折线图、频率与频数，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键； （1）根据图中信息，用频率，即可解答； （2）根据表格，描点连线，可得折线图，从而解答此题． （3）根据图中信息，用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：18，； （2）略 （3）解：根据表中数据，试验频率为，，，，，，，，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在左右， 所以，当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在附近浮动. 1 学科网（北京）股份有限公司 $