第3讲 矩形的性质及判定 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第3讲 矩形的性质及判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 掌握矩形性质 掌握矩形判定 斜边中线定理 综合运用 矩形与平行四边形关系 📚 知识梳理 ☆ 1.矩形概念 有一个直角的平行四边形 特殊平行四边形 两条对称轴 概念辨析例题：矩形特有性质 解析：一般平行四边形不具备 ☆ 2.矩形性质 四个角都是直角 对角线相等且平分 斜边中线=斜边一半 概念辨析例题：Rt△两直角边3,4斜边中线 解析：斜边=5,中线=2.5 ☆ 3.矩形判定 一个直角的平行四边形 三个直角的四边形 对角线相等的平行四边形 概念辨析例题：平行四边形加什么是矩形 解析：对角线相等即矩形 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 矩形 一个直角的平行四边形 特殊平行四边形 对角线 相等且平分 四个等腰三角形 斜边中线 =斜边 遇中点连中线 判定 先证平行四边形 再加直角或对角线等 ⚠️ 核心考点 【考点1】矩形性质（第1-10题） 四角直角对角线相等 斜边中线 1．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，则AC的长为（　　） A．9 B．13 C．17 D．20 【分析】根据矩形的性质及勾股定理即可解答． 【解答】解：∵矩形ABCD， ∴AD＝BC＝5，∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝5， 由勾股定理得AC13． 故选：B． 【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2025秋•上海期末）如图，长方形ABCD的长是14cm，宽是5cm，动点P从点A出发，沿边AD以每秒3cm的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边BC以每秒1.5cm的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发　　 秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称． 【分析】设运动时间为t秒，根据长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称，得到PD＝BQ，列出方程求解即可． 【解答】解：设运动时间为t秒，则AP＝3tcm，PD＝（14﹣3t）cm，BQ＝1.5 tcm， 当PD＝BQ时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称， 则14﹣3t＝1.5t，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 3．（2025春•罗定市期末）某市商业综合体为了方便司机停泊车辆而设计了如图1的停车位，图2是其中一个停车位的平面示意图，已知四边形ACDF是平行四边形，小车实际占用位置为矩形BCEF，若BC＝5m，CE＝2.5m，∠D＝45°，则AC的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形性质得∠A＝∠D＝45°，根据矩形性质得BF＝CE＝2.5m，∠FBC＝∠FBA＝90°，由此得△ABF是等腰直角三角形，则AB＝BF＝2.5m，据此求出AC即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝45°， ∴∠A＝∠D＝45°， ∵四边形BCEF是矩形，CE＝2.5m， ∴BF＝CE＝2.5m，∠FBC＝90°， ∴∠FBA＝∠FBC＝90°， 在△ABF中，∠FBA＝90°，∠A＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝BF＝2.5m， ∴AC＝AB+BC＝2.5+5（m）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和矩形的性质，立即平行四边形的性质和矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 4．（2026春•上海期中）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　） A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 【分析】根据三角形外角的性质得到∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝40°，再由平角的定义即可求出∠ECF． 【解答】解：∵∠ABD＝75°，∠D＝35°， ∴∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝75°﹣35°＝40°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠BCD﹣∠ACE＝180°﹣40°﹣90°＝50°， ∴50°﹣30°＝20°，即图中∠ECF应20°， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】此题考查了三角形外角性质，矩形性质，掌握相关性质是解题的关键． 5．（2025秋•金山区期中）阅读：对于线段AB与点O（点O与AB不在同一直线上），如果同一平面内点Q满足射线OQ与线段AB交于点P，且，那么称点Q为点O关于线段AB的“友好点”． 问题：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝AF＝1，连结EF，设点M是点A关于线段EF的“友好点”，如果点C与点M之间距离为d，那么d的取值范围为 　2d≤4　 ． 【分析】如图，设AM交EF于点P，根据新定义可得，过点B作BG∥FE交AD于点G，根据平行线分线段成比例定理可知：点M在线段BG上，连接CG，过点C作CM1⊥BG于点M1，最后由勾股定理和三角形的面积即可解答． 【解答】解：如图，设AM交EF于点P， ∵点M是点A关于线段EF的“友好点”， ∴， ∵AE＝AF＝1，AB＝3，AD＝4， ∴，即当M与B重合时，CM有最大值，此时CM'＝4， 过点B作BG∥FE交AD于点G， ∴AG＝AB＝3， ∴点M在线段BG上，DG＝4﹣3＝1， 连接CG，过点C作CM1⊥BG于点M1， 由勾股定理得：BG3， ∵S△BCG3×43CM1， ∴CM1＝2， ∵点C与点M之间距离为d， ∴d的取值范围为：2d≤4． 故答案为：2d≤4． 【点评】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，新定义“友好点”，三角形面积等知识，解决本题的关键是理解和运用“友好点”． 6．（2026春•徐闻县期末）如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD的交点，且∠CAE＝15°，∠BOE＝　75°　 ． 【分析】由矩形的性质得到∠BAD＝∠ABC＝90°，BO＝AO，AD∥BC，则由角平分线的定义可推出∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，则AB＝BE，证明△ABO是等边三角形，得到∠ABO＝60°，AB＝BO＝AO，则可推出∠EBO＝30°，BO＝BE，据此可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BO＝AO，AD∥BC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAO＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB＝BO＝AO，∠ABO＝60°， ∴BO＝BE，∠EBO＝30°， ∴． 故答案为：75°． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2025春•浦东新区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 　6或　 厘米/秒． 【分析】根据△AEP与△BPQ全等，得到AE＝PB，可计算出运动时间，再根据BQ＝AP，即可计算出点Q的运动速度． 【解答】解：设运动时间为ts，Q的运动速度xcm/s， 由题意得AP＝2tcm，QC＝xtcm， ∴BQ＝（16﹣xt）cm，PB＝（12﹣2t）cm， ∵△AEP与△BPQ全等， ∴BQ＝AP，AE＝PB或BP＝AP，AE＝BQ， 当BQ＝AP，AE＝PB时， ∵AE＝8cm， ∴12﹣2t＝8cm， ∴t＝2， ∴AP＝2t＝4cm， ∴16﹣xt＝4， ∴x＝6； 当BP＝AP，AE＝BQ时， ， 解方程组得t＝3，x， 故点Q的运动速度是6cm/s或cm/s． 故答案为：6或． 【点评】本题考查矩形的性质和全等三角形的性质，根据三角形全等对应的边相等建立等式是解本题的关键． 8．（2026春•泸州期中）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝30°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为　45°　 ． 【分析】由折叠性质和平行可得∠EFH＝160°，从而求得∠EFS∠EFH＝80，即可求解． 【解答】解：由折叠可得：∠GEF＝∠1＝30°， ∵AD∥BC， ∴FH∥EG． ∴∠GEF+∠EFH＝180°， ∴∠EFH＝150°， ∴∠EFS∠EFH＝75°， ∵AD∥BC， ∴∠EFB＝∠1＝30°， ∴∠2＝∠EFS﹣∠EFB＝45°， 故答案为：45°． 【点评】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键． 9．（2025•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP． （1）求证：四边形CFDP是平行四边形； （2）若四边形CFDP是矩形，且，求AB的长度． 【分析】（1）根据矩形的性质推出OF是△ACP的中位线，利用ASA证明△DEF≌△CEP，根据全等三角形的性质得到EF＝EP，结合DE＝CE，即可判定四边形CFDP是平行四边形； （2）根据矩形的性质、勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO， ∵FP＝AF， ∴OF是△ACP的中位线， ∴OF∥CP， ∴∠FDE＝∠PCE（两直线平行，内错角相等）， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△DEF和△CEP中， ， ∴△DEF≌△CEP（ASA）， ∴EF＝EP， 又∵DE＝CE， ∴四边形CFDP是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠ADE＝90°， ∴根据勾股定理，AD2+DE2＝AE2， 若四边形CFDP是矩形，则， ，FP＝CD， ∵AF＝FP， ∴， ∴， ∴AD2＝2CD2， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴CD＝AB＝1，所以AB的长度为1． 【点评】此题考查了矩形的性质，平行四边的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明△DEF≌△CEP是解题的关键． 10．（1）如图1，∠ABC是矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F．求证：若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线． （2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若，求∠F的度数． 【分析】（1）取EF的中点G，连接AG，证∠F＝∠CBF，再由直角三角形斜边上的中线性质得AG＝FG，则AG＝AB，得∠F＝∠GAF，然后证∠ABG＝∠AGB＝∠F+∠GAF＝2∠F＝2∠CBF，即可得出结论； （2）取AC的中点H，连接BH，易证∠FAB+∠F＝45°，由直角三角形斜边上的中线性质得BH＝AH＝BF，则∠HAB＝∠HBA，∠BHF＝∠F，求出∠FAB∠F，即可求解． 【解答】（1）证明：如图1，取EF的中点G，连接AG， ∵四边形BCAD是矩形， ∴AD∥BC，∠DAC＝90°， ∴∠F＝∠CBF，∠EAF＝90°， ∵点G是EF的中点， ∴AG＝EF＝FG， ∴∠F＝∠GAF， ∵EF＝2AB， ∴AG＝AB， ∴∠ABG＝∠AGB＝∠F+∠GAF＝2∠F＝2∠CBF， ∴∠ABC＝3∠CBF， ∴射线BF是∠ABC的一条三等分线； （2）解：取AC的中点H，连接BH，如图2所示： ∵四边形BCAD是矩形， ∴∠CBA＝∠CBE＝90°， ∵BF是∠CBE的角平分线， ∴∠FBE∠CBE90°＝45°， ∵∠FBE＝∠FAB+∠F， ∴∠FAB+∠F＝45°， ∵∠CBA＝90°，点H是AC的中点， ∴BH＝AH＝BFAC， ∴∠HAB＝∠HBA，∠BHF＝∠F， ∴∠BHF＝2∠HAB， ∴∠F＝2∠HAB， ∴∠FAB∠F， ∴∠F+∠F＝45°， ∴∠F＝30°． 【点评】本题考查了矩形的性质、角平分线定义、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质，证出∠ABC＝3∠CBF是解题的关键． 【考点2】矩形判定（第11-23题） 先证平行四边形 对角线相等 11．（2026春•栾城区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABD＝∠ACD B．∠ABC＝90° C．AB＝BC D．OB＝OC 【分析】根据矩形的判定方法进行分析即可． 【解答】解：A、∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AO＝OC，OB＝OD， ∴∠OAB＝∠ACD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABC＝∠ABD， ∴AO＝OB， ∴AO＝OC＝OB＝OD， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； B、∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； C、∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意； D、∵平行四边形ABCD中，AO＝OC，OB＝OD，OB＝OC， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，关键是根据对角线相等的平行四边形是矩形或者有一个直角的平行四边形是矩形解答． 12．（2026春•北京期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得▱ABCD是矩形（　　） A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 13．（2024•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得▱ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（　　） A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°， ∴∠AOD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DCA＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠DAB＝∠ABC， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键． 14．（2025春•青秀区校级期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AB＝BC 【分析】矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 【解答】解：A、由AB＝CD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意； B、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故此选项正确，符合题意； C、由AC⊥BD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意； D、由AB∥CD，AB＝BC，AC＝BD，无法判断四边形ABCD是矩形，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 15．（2024春•张北县校级月考）将两个三角形按如图所示的方式摆放组成四边形ABCD，对于甲、乙两个结论，下列判断正确的是（　　） 甲：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形； 乙：若∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠BDC，则四边形ABCD是矩形． A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 【分析】由AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，可判断甲结论是对的；由∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，根据“AAS”证明△ABD≌△CDB，得AB＝CD，AD＝CB，则四边形ABCD是平行四边形，而∠A＝90°，则四边形ABCD是矩形，可判断乙结论是对的，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故甲结论是对的； 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（AAS）， ∴AB＝CD，AD＝CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故乙结论是对的， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，证明△ABD≌△CDB是解题的关键． 16．（2024春•越秀区期末）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD为矩形，可以添加下列哪个条件？（　　） A．AC⊥BD B．∠ACB＝∠ACD C．AB＝AD D．OA＝OB 【分析】因为矩形是特殊的平行四边形，所以根据矩形的判断方法来添加条件即可． 【解答】解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：OA＝OB（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键． 17．（2026春•汨罗市校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　） A．AC＝BD B．DA⊥AB C．∠OAB＝∠OBA D．OB＝OD 【分析】根据矩形的判定追一判断即可得解． 【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当AC＝BD时，则满足该判定， 故选项A正确，不符合题意； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴当DA⊥AB时，则满足该判定， 故选项B正确，不符合题意； 当∠OAB＝∠OBA时，则有OA＝OB， ∴AC＝BD， 则满足对角线相等的平行四边形是矩形， 故选项C正确，不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，则选项D是平行四边形本身的条件， 故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．（2023秋•邵阳期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为 　此题答案不唯一，∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等　 （填一个即可）． 【分析】由在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，可判定四边形ABCD是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴当∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD时，四边形ABCD是矩形． 故答案为：此题答案不唯一，如∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等． 【点评】此题考查了菱形的判定定理．此题属于开放题，难度不大，注意掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解此题的关键． 19．（2026春•奉贤区校级期中）对于四边形ABCD，给出下列4组条件： ①∠A＝∠B＝∠C＝∠D； ②∠A＝∠B，∠C＝∠D； ③∠A＝∠C，∠B＝∠D； ④∠A＝∠B＝∠C． 其中一定能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有　①　 ．（填给定条件的序号） 【分析】①由四边形内角和等于360°得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，进而得∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，由此可得四边形ABCD是矩形； ②由四边形内角和等于360°得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，进而得∠A+∠D＝180°，∠B+∠C＝180°，则无法判定某个角为直角，因此不能判定四边形ABCD是矩形； ③由四边形内角和等于360°得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，进而得∠A+∠B＝180°，∠C+∠D＝180°，则无法判定某个角为直角，因此不能判定四边形ABCD是矩形； ④由四边形内角和等于360°得∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，进而得∠D＝360°﹣3∠A，无法判定某个角为直角，因此不能判定四边形ABCD是矩形；综上所述得故答案为①． 【解答】解：①∵四边形ABCD的内角和等于360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D， ∴4∠A＝360°， ∴∠A＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴①中的条件一定能得到四边形ABCD是矩形； ②∵四边形ABCD的内角和等于360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∵∠A＝∠B，∠C＝∠D， ∴2∠A+2∠D＝360°， ∴∠A+∠D＝180°， ∴∠B+∠C＝180°， ∵无法判定某个角为直角， ∴②中的条件不能判定四边形ABCD是矩形； ③∵四边形ABCD的内角和等于360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∴2∠A+2∠B＝360°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠C+∠D＝180°， ∵无法判定某个角为直角， ∴③中的条件不能判定四边形ABCD是矩形； ④∵四边形ABCD的内角和等于360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠D＝360°﹣3∠A， ∵无法判定∠A＝90°， ∴④中的条件中的条件不能判定四边形ABCD是矩形； 故答案为：①． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键． 20．（2025春•普陀区校级月考）如图，已知在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA、BC的延长线于点G、H，联结AC． （1）求证：四边形ACHE是平行四边形； （2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形． 【分析】（1）先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，即AE∥CH．再由点E、F分别是边AD、CD的中点，根据三角形中位线定理得出EF∥AC，即EH∥AC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出四边形ACHE是平行四边形； （2）根据直角三角形的判定定理和平行四边形的性质，余角矩形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AE∥CH． ∵点E、F分别是边AD、CD的中点， ∴EF∥AC，即EH∥AC， ∴四边形ACHE是平行四边形； （2）连接CE， ∵点E是边AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AE＝CE， ∴CE＝AE＝DE， ∴CEAD， ∴∠ACD＝90°， ∵四边形ACHE是平行四边形， ∴四边形ACFG是矩形． 【点评】此题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，线段中点的定义，解题的关键是熟记平行四边形的各种判定方法并且熟练运用． 21．（2024春•姑苏区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由． 【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证． 【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； （2）解：当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由为： ∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BD， ∴∠ADB＝90° ∵四边形AFBD为平行四边形，∠ADB＝90°； ∴四边形AFBD为矩形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 22．（2026•武威模拟）已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接AC，EF，相交于点O． （1）求证：△AOE≌△COF． （2）连接AF，EC，若AB＝AC，求证：四边形AFCE是矩形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO，再证明AE＝CF，然后由ASA证明△AOE≌△COF即可； （2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再由等腰三角形的性质得AF⊥BC，则∠AFC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO， ∵点E，F分别是边AD，BC的中点， ∴AEAD，CFBC， ∴AE＝CF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）； （2）由（1）可知，AE＝CF，AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， 又∵AB＝AC，F是BC的中点， ∴AF⊥BC， ∴∠AFC＝90°， ∴平行四边形AFCE是矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23．（2026•西华县模拟）如图，平行四边形ABCD中，点F在AD上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作AE⊥BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若DF＝BE，连接CF，求证：四边形AECF是矩形． 【分析】（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据SAS证明△CDF≌△ABE，得∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据平行四边形的性质可证∠EAD＝90°，即可证明四边形AECF是矩形 【解答】（1）解：如图，AE即为所作； （2）证明：由作图得∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D， ∴∠EAD+∠AEC＝180°， ∴∠EAD＝90°， 在△CDF和△ABE中， ， ∴△CDF≌△ABE（SAS）， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， ∴∠EAD＝∠CFD＝∠AEB＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 【点评】本题主要考查矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出图形是解答本题的关键． 【考点3】综合（第24-34题） 折叠对应边 动点分类 24．（2025秋•海城市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD＝10，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，DE，则线段DE的长是（　　） A． B． C． D．8 【分析】连接DF，证明四边形ADCF是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到EF＝BE＝AE，进而证明△BEF是等边三角形，再证明四边形ADFB是平行四边形，得到DF＝AB，根据等边对等角的性质，得出∠AED＝∠ADE＝30°，进而推出∠DEF＝90°，最后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接DF， ∵BC＝2AD＝10，点F是BC的中点， ∴AD＝BF＝CF＝5， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵DC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∴四边形ADCF是矩形， ∴∠AFC＝∠AFB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴EF＝BE＝AE， ∵∠B＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴EF＝BF＝BE＝5，∠BEF＝60°， ∴AB＝10， ∵AD∥BF，AD＝BF， ∴四边形ADFB是平行四边形， ∴DF＝AB＝10， ∵AD∥BC，∠B＝60°， ∴∠DAE＝120°， ∵AE＝BE＝BF＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝30°， ∴∠DEF＝90°， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 25．（2026春•内乡县期末）如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于（　　） A． B．5 C． D．6 【分析】证明四边形CEPD为矩形，进而得到DE＝CP，根据垂线段最短，得到CP⊥AB时CP最短，勾股定理求出AC的长，等积法求出CP的最小值，进行判断即可． 【解答】解：在△ABC中，∠BCA＝90°，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接CP， ∴四边形CEPD为矩形， ∴DE＝CP， ∵点P为斜边AB上一动点， ∴当CP⊥AB时CP最短， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 当CP⊥AB时，则，即5×12＝13CP， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴DE的长不可能为； 故选：A． 【点评】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解答本题的关键要明确垂线段的性质：垂线段最短． 26．（2025•清远一模）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【解答】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， ∴②③是正确的， 故选：D． 【点评】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 27．（2025春•槐荫区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，连接AC、BD，AC与BD交于点O，若OA＝OD＝5，AB＝6，则四边形ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．48 D．60 【分析】由AB＝CD，AD＝BC，证明四边形ABCD是平行四边形，因为OA＝OD＝5，所以AC＝2OA＝10，BD＝2OD＝10，则AC＝BD，所以四边形ABCD是矩形，则∠ABC＝90°，而AB＝6，求得BC8，所以S四边形ABCD＝BC•AD＝48，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵OA＝OD＝5， ∴AC＝2OA＝10，BD＝2OD＝10， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝6， ∴BC8， ∴S四边形ABCD＝BC•AD＝8×6＝48， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD＝10是解题的关键． 28．（2024秋•蓬莱区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　　 ． 【分析】如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，证明四边形DEPF是矩形得到EF＝DP，要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，利用三角形的等面积法求得DP′即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝15，BC＝8， ∴CD＝AB＝15，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°， ∴， ∵PF∥BC， ∴∠PFD+∠ADC＝180°， ∴∠PFD＝90°， ∵PE⊥AD， ∴∠PED＝∠EDF＝∠PFD＝90°， ∴四边形DEPF是矩形， ∴EF＝DP， 要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长， ∵， ∴， 故EF的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查矩形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短及勾股定理，得到EF的最小值为DP′的长是解答的关键． 29．（2025春•茅箭区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF＝3，则PD的长为　3　 ． 【分析】连接PB，易得PD＝PB，再证四边形PEBF是矩形，可得PD＝PB＝EF＝3． 【解答】解：连接PD， 在正方形ABCD，∠ABC＝90°，PB＝PD， ∵PE⊥AB，PF⊥BC， ∴∠PEB＝∠PFB＝∠ABC＝90°， ∴四边形PEBF是矩形， ∴PB＝EF＝3， ∴PD＝3； 故答案为：3． 【点评】本题主要考查矩形的判定和性质、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 30．（2024秋•昆都仑区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点C作CE∥AD，过点A作AE⊥AD，两线相交于点E，过点E作EF⊥AC于点F． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD＝CD，再根据CE∥AD得CE⊥BC，由此得∠ADC＝∠DCE＝∠DAE＝90°，据此即可得出结论； （2）根据矩形的性质及BD＝CDBC得BD＝CD＝AE＝2，再在Rt△ACE中，由勾股定理求出AC，进而根据三角形的面积公式可得出EF的长． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CDBC， ∴∠ADC＝90°， ∵CE∥AD， ∴CE⊥BC， ∴∠DCE＝90°， ∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝90°， ∴∠ADC＝∠DCE＝∠DAE＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：∵四边形ADCE是矩形，BD＝CDBC， 又∵BC＝4，CE＝3， ∴BD＝CD＝AD＝2， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC， ∵EF⊥AC， ∴S△ACEAC•EFAE•CE， ∴EF． 【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质是解决问题的关键． 31．（2024春•河北区期中）如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ． （1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长． 【分析】（1）首先推导出∠A＝∠CPQ＝90°，进而得证； （2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP， ∴∠CPQ＝∠A， ∵PQ⊥CP， ∴∠A＝∠CPQ＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠CPQ＝90°， 在Rt△CDQ和Rt△CPQ中， ， ∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）， ∴DQ＝PQ， 设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x， 在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2， ∴x2+22＝（6﹣x）2， 解得：x， ∴AQ的长是． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证明四边形ABCD为矩形是解决问题的关键． 32．（2023秋•焦作期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 DF∥AB，DFAB ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，则∠ADC＝90°，再证∠DAE＝90°，然后证∠AEC＝90°，即可得出结论； （2）证明DF是△ABC中位线即可得解． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN， ∴∠CAD+∠CAN180°＝90°， 即∠DAE＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：DF∥AB，DFAB，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， ∴AF＝FC， ∴F是AC中点， ∵AD是中线， ∴点D是BC中点， ∴DF是△ABC中位线， ∴DF∥AB，DFAB． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 33．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5，且t≠2.5），G，H分别是AB，DC的中点．当t的值是多少时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？ 【分析】连接GH交AC于点O，证明△OAG和△OCH全等得OG＝OH，OA＝OC，由此得OG是△ABC的中位线，则OGBC＝4cm，进而得GH＝8cm，再根据点E，F的运动得AE＝CF＝2tcm，由此得以E，G，F，H为顶点的四边形是平行四边形，因此当EF＝DH＝8cm时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形，①当点E，F相遇之前时，根据EF＝AC﹣（AE+CF）＝（10﹣4t）cm得10﹣4t＝8，由此解得t＝0.5，②当点E，F相遇之后时，根据EF＝（AE+CF）﹣AC＝（4t﹣10）cm得4t﹣10＝8，由此解得t＝4.5，综上所述即可得出答案． 【解答】解：连接GH交AC于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AB∥CD， ∴△ABC是直角三角形，∠OAG＝∠OCH， 在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm， 由勾股定理得：AC10（cm）， ∵点G，H分别是AB，DC的中点， ∴AG＝BGAB＝3cm，CH＝DHCD＝3cm， ∴AG＝CH＝3cm， 在△OAG和△OCH中， ， ∴△OAG≌△OCH（AAS）， ∴OG＝OH，OA＝OC， ∵AG＝BG， ∴OG是△ABC的中位线， ∴OGBC＝4cm， ∴OG＝OH＝4cm， ∴GH＝OG+OH＝8cm， 根据点E，F的运动得：AE＝CF＝2tcm， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∴以E，G，F，H为顶点的四边形是平行四边形， ∴当EF＝GH＝8cm时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形， ①当点E，F相遇之前时，EF＝AC﹣（AE+CF）＝（10﹣4t）cm， ∴10﹣4t＝8， 解得：t＝0.5， 即当t的值是0.5时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形； ②当点E，F相遇之后时，EF＝（AE+CF）﹣AC＝（4t﹣10）cm， ∴4t﹣10＝8， 解得：t＝4.5， 即当t的值是4.5时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形， 综上所述：当t的值是0.5或4.5时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 34．（2026春•鼓楼区校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）过点O作MN⊥BD交AD、BC于点M、N，AB＝4，求MN的长． 【分析】（1）证明平行四边形的对角线相等即可； （2）先求出∠OBN＝90°﹣∠ABO＝30°，而MN⊥BD，则，设ON＝x，则BN＝2x在Rt△BON中，由勾股定理建立方程求解，证明△AMO≌△CNO（AAS），则． 【解答】（1）证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD，即AC＝2AO，BD＝2BO， ∵△OAB是等边三角形， ∴AO＝BO， ∴AC＝BD， ▱ABCD是矩形； （2）解：如图，△OAB是等边三角形， ∴AB＝BO＝4，∠ABO＝60°， ∵矩形ABCD中，∠ABC＝90°， ∴∠OBN＝90°﹣∠ABO＝30°， ∵MN⊥BD， ∴， 设ON＝x，则BN＝2x， 在Rt△BON中，由勾股定理得，ON2+BO2＝BN2， ∴x2+42＝（2x）2， 解得（舍负）， ∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠AMO＝∠CNO，∠MAO＝∠NCO， 在△AMO和△CNO中， ， ∴△AMO≌△CNO（AAS）， ∴MO＝NO， ∴． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•海门区校级模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值是（　　） A．2.5 B．5 C．2.4 D．3 【分析】连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，先求出AB＝5，证明四边形PECF是矩形，则EF＝PC，当PC的值最小时，EF的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长，则EF的最小值是线段CH的长，然后根据三角形的面积公式求出线段CH的长即可得出答案． 【解答】解：连接PC，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB5， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴EF＝PC， ∴当PC的值最小时，EF的值为最小， ∵点P在斜边AB上（不与A、B重合）， ∴根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，PC的值为最小，最小值为线段CH的长， ∴EF的最小值是线段CH的长， ∵S△ABCAB•CHAC•BC， ∴CH2.4， ∴EF长度的最小值为2.4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，理解垂线段最短是解决问题的关键． 【练习 2】（2026春•奉贤区校级期中）如图，在Rt△ABC中，点D为斜边AB上的动点，AC＝3，BC＝4，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么线段EF的最小值是 　　 ． 【分析】连接CD，过点C作CH⊥AB于点H，先由勾股定理得AB＝5，再由三角形面积公式得CH，证明四边形DECF是矩形得EF＝CD，由此得当CD为最小时，EF为最小，根据“垂直线段最短”得CD≥CH＝12/5，则当点D与点H重合时，CD为最小，最小值为，据此可得线段EF的最小值是． 【解答】解：连接CD，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： 依题意得：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB5， 由三角形面积公式得：S△ABCAB•CHAC•BC， ∴CH， ∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F， ∴∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴∠ACB＝∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴EF＝CD， ∴当CD为最小时，EF为最小， 根据“垂直线段最短”得：CD≥CH， ∴当点D与点H重合时，CD为最小，最小值为， ∴线段EF的最小值是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，垂线段的性质，勾股定理，理解垂直线段最短，熟练掌握矩形的判定和性质，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 【练习 3】（2025•坪山区模拟）如图，已知矩形ABCD中，2AB＝BC，点E、F、P分别在线段BC、DC上，BP交EF于点M，∠EMP＝45°，AB＝6，BF＝ED＝4.5，过点B作BG∥EF交AD于点G，试求PC的长度 　4　 ． 【分析】取AB中点R，连接GR，在CB上截取CQ，使CQ＝PC，连接PQ，先证明四边形BGEF是平行四边形，得到GE＝BF＝4.5，则AG＝3，从而得AR＝AG＝3，，∠ARG＝∠AGR＝45°，继而得到∠BRG＝135°，再得出△BGR∽△PBQ，得到，然后设CQ＝PC＝x，则BQ＝12﹣，x ，则有 ，解得x＝4，即可求解． 【解答】解：取AB中点R，连接GR，在CB上截取CQ，使CQ＝PC，连接PQ，如图， ∵2AB＝BC，AB＝6， ∴BC＝12， ∵矩形ABCD， ∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝12，AD∥BC， ∵BG∥EF， ∴四边形BGEF是平行四边形， ∴GE＝BF＝4.5， ∵DE＝4.5， ∴GD＝GE+DE＝9， ∴AG＝AD﹣GD＝3， ∵点R是AB的中点， ∴， ∴AR＝AG＝3，， ∴∠ARG＝∠AGR＝45°， ∴∠BRG＝135°， ∵CQ＝PC， ∴∠CQP＝∠CPQ＝45°， ∴∠BQP＝135°， ∴∠BRG＝∠BQP， ∵BG∥EF， ∴∠GBM＝∠EMD＝45°， ∴∠RBG+∠QBP＝∠ABC﹣∠GBM＝45°， ∵∠RBG+∠BGR＝∠ARG＝45°， ∴∠BGR＝∠QBP， ∴△BGR∽△PBQ， ∴， 设CQ＝PC＝x，则BQ＝12﹣x， ， ∴， ∴x＝4，即PC＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造等腰直角三角形或相似三角形是解题的关键． 【练习 4】（2025•普陀区二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E、F分别是边AB、DC的中点，点G、H在对角线AC上（如图），如果四边形EGFH是矩形，那么AG的长等于　5　 ． 【分析】通过证明四边形AEFD是平行四边形，可得AD＝FE＝10，又勾股定理可求AO的长，即可求解． 【解答】解：如图，连接EF，交AC于O， ∵四边形ABCD是矩形，四边形EGFH是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝10，EF＝GH，EO＝FO＝GO， ∵E、F分别是边AB、DC的中点， ∴AE＝DF＝3， 又∵AB∥CD， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AD＝FE＝10， ∴EO＝5＝GO， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形AEFD是矩形， ∴∠AEO＝90°， ∴AO， ∴AG＝AO﹣GO5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【练习 5】（2025春•宝山区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，联结AF、CE． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）如果四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，求EF的长． 【分析】（1）由矩形的性质可CF∥AE，进而得出∠FCO＝∠EAO，结合O为对角线AC的中点得出△AOE≌△COF，即CF＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形，结合EF⊥AC即可得出四边形AECF是菱形； （2）根据勾股定理求出AC，然后根据菱形的性质和勾股定理求出OF，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴CF∥AE， ∴∠FCO＝∠EAO， ∵O为对角线AC的中点， ∴AO＝CO， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴CF＝AE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16， ∴∠D＝90°， ∴AC8， ∴OAAC＝4， ∵四边形AECF是菱形， ∴AF＝CF， ∴DF＝CD﹣CF＝16﹣AF， ∵AD2+DF2＝AF2， ∴82+（16﹣AF）2＝AF2， ∴AF＝10， ∴OF2， ∴EF＝2OF＝4． 【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 对角线相等 斜边中线定理 先证平行四边形 折叠对应边 勾股定理 【作业 1】（2025•南安市模拟）如图，菱形ABCD中，AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH＝ 　cm ． 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝4cm，OB＝OD＝3cm，再由勾股定理求出AB＝5cm，然后由菱形的面积公式即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC8＝4（cm），OB＝ODBD6＝3（cm）， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5（cm）， ∵S菱形ABCDAC•BD＝AB•DH， ∴DH（cm）， 故答案为：cm． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•商水县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点P以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动．若运动ts后，以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为　2或　 ．（温馨提示：长方形的四个角都等于90°） 【分析】分两种情况分别计算：当△ABP≌△PCQ时；当△ABP≌△QCP时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【解答】解：∵点P运动的时间为运动ts， ∴BP＝2tcm，CQ＝atcm， ∴PC＝（10﹣2t）cm． 根据题意得∠B＝∠C＝90°． ①若△ABP≌△PCQ，则BP＝CQ，AB＝PC， ∴6＝10﹣2t，2t＝at， ∴t＝2，a＝2； ②若△ABP≌△QCP，则BP＝CP，AB＝CQ， ∴2t＝10﹣2t，at＝6， ∴，． 综上所述，a的值为2或． 故答案为：2或． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 3】（2026•前进区校级二模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，点F在边AB上，将△BEF延FF折叠，使点B落在矩形内部P处，连接DP、CP，作PQ⊥AD，垂足为Q，当△PCD为等腰三角形时，PQ的长为 　或或2　 ． 【分析】连接PB交EF于点H，先证明∠CPB＝90°，PQ∥AB，再分三种情况讨论如下：①当PD＝CD＝4时，证明点F，P，D共线，设PF＝BF＝a，则AF＝4﹣a，FD＝a+4，在Rt△ADF中，由勾股定理求出a，则AF＝4﹣a，FD＝a+4，证明△QDP和△ADF相似得PQ；②当CP＝CD＝4时，延长QP交BC于点K，在Rt△PBC中，由勾股定理求出PB，再由三角形面积公式得PK，据此得PQ＝QK﹣PK；③当CP＝PD时，过点P作PT⊥CD于点T，根据等腰三角形的性质得DTCD＝2，证明四边形PTDQ是矩形得PQ＝DT＝2，综上所述即可得出PQ的长． 【解答】解：连接PB交EF于点H，如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝4，BC＝6， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠A＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝3， 由折叠性质得：EF是PB的垂直平分线，PF＝BF， ∴EF⊥PB，BH＝PH，∠FPB＝∠FBP， ∴∠EHB＝90°， 在△PBC中，BE＝CE＝3，BH＝PH， ∴EH是△PBC的中位线， ∴EH∥CP， ∴∠CPB＝∠EHB＝90°， ∴AB⊥AD， ∵PQ⊥AD，垂足为Q， ∴PQ∥AB，∠PQD＝90°， 当△PCD为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当PD＝CD＝4时，如图2所示： ∴设∠DPC＝∠DCP＝α， ∴∠PCB＝∠BCD﹣∠DCP＝90°﹣α， 在△PBC中，∠CPB＝90°， ∴∠PBC＝90°﹣∠PCB＝90°﹣（90°﹣α）＝α， ∴∠FBP＝∠ABC﹣∠PBC＝90°﹣α， ∴∠FPB＝∠FBP＝90°﹣α， ∴∠FPB+∠CPB+∠DPC＝90°﹣α+90°+α＝180°， ∴点F，P，D共线， 设PF＝BF＝a，则AF＝AB﹣BF＝4﹣a，FD＝PF+PD＝a+4， 在△ADF中，∠A＝90°， 由勾股定理得：DF2＝AF2+AD2， ∴（a+4）2＝（4﹣a）2+62， 解得：a， ∴AF＝4﹣a，FD＝a+4， ∵PQ∥AB， ∴△QDP∽△ADF， ∴， ∴PQ•FD＝AF•PD， ∴， ∴PQ； ②当CP＝CD＝4时，延长QP交BC于点K，如图3所示： ∵∠PQD＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴四边形QKCD是矩形， ∴QK＝CD＝4，∠PKC＝90°， 在△PBC中，∠CPB＝90°， 由勾股定理得：PB， 由三角形面积公式得：S△PBCBC•PKPB•CP， ∴PK， ∴PQ＝QK﹣PK； ③当CP＝PD时，过点P作PT⊥CD于点T，如图4所示： ∴∠PTD＝90°， 根据等腰三角形的性质得：DTCD＝2， ∵∠PQD＝∠ADC＝∠PTD＝90°， ∴四边形PTDQ是矩形， ∴PQ＝DT＝2， 综上所述：PQ的长为或或2． 故答案为：或或2． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【作业 4】（2025•吉安县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，AE平分∠BAD，则DE的长为　5　 ． 【分析】根据矩形的性质CD＝AB＝4，AD∥BC，∠C＝90°，再根据平行线的性质与角平分线定义得出∠BAE＝∠AEB，从而得出BE＝AB＝4，继而得出CE＝3，再利用勾股定理求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4，AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠DAE＝∠AEB（两直线平行内错角相等）， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝4， ∴CE＝BC﹣BE＝7﹣4＝3， ∴． 故答案为：5． 【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【作业 5】（2026春•靖江市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，，P为AB边上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则EF的最小值为　　 ． 【分析】证四边形PECF是矩形，根据矩形的性质得出EF＝CP，根据垂线段最短得出CP⊥AB时，CP最短，然后根据三角形的面积公式求出此时CP值即可． 【解答】解：如图，连接CP， ∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴∠PEC＝∠ACB＝∠PFC＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴EF＝CP， 当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小， ∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝2， ∴AB， 由三角形面积公式得， ∴CP， 即EF的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握三角形的面积，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识是解题的关键． 【作业 6】（2026•抚顺校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，EF垂直平分AC，交AC于点O，点M，N在对角线AC上．当AN＝CM＝1时，四边形EMFN的周长为　　 ． 【分析】连接AF，根据矩形的性质结合勾股定理可求得AC的长，由矩形的性质结合垂直平分线的性质证明△FCO≌△EAO（AAS），从而可得OF＝OE，进而证明四边形FNEM是菱形，设AF＝CF＝x，则DF＝CD﹣CF＝4﹣x，依据勾股定理依次求得AF，OF，NF的长，最后根据菱形的性质求解周长即可． 【解答】解：如图，连接AF， 在矩形ABCD中，CD＝4，∠D＝90°，AD＝3， ∴， ∵EF垂直平分AC，交AC于点O， ∴AF＝CF，， ∵AN＝CM＝1， ∴，即， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠FCO＝∠EAO， ∵∠FCO＝∠EAO，∠FOC＝∠EOA，OC＝OA， ∴△FCO≌△EAO（AAS）， ∴OF＝OE， ∵OF＝OE，NO＝MO，EF⊥NM， ∴四边形FNEM是菱形， 设AF＝CF＝x，则DF＝CD﹣CF＝4﹣x， 在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD2+DF2＝AF2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， 解得， 即， ∴， ∴． ∴四边形EMFN的周长为． 故答案为：． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 7】（2026春•城中区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：点D是BC的中点； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为矩形，并说明理由． 【分析】（1）证明△AEF≌△DEC，可得AF＝DC，再根据条件AF＝BD，利用等量代换即可得证； （2）首先判定四边形AFBD为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，进而可得四边形AFBD为矩形． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠ECD， ∵点E是AD的中点， ∴DE＝AE， 在△AEF与△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC， ∵AF＝BD， ∴BD＝CD， ∴点D是BC的中点； （2）解：当AB＝AC时，四边形AFBD为矩形，理由如下： ∵AF＝BD，AF∥BD， ∴四边形AFBD为平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴∠BDA＝90°， ∴四边形AFBD为矩形． 【点评】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【作业 8】（2024•温州二模）如图，在矩形ABCD中，P为边AB的一点，DP的中垂线分别交矩形两边AD，BC于点E，F，交DP于点H，BF＝CD，连结DF，PF． （1）判断△DFP的形状，并说明理由． （2）若AP＝BP＝2，求EH，EF的长． 【分析】（1）先根据线段中垂线性质得DF＝PF，再依据“HL”判定Rt△BFP和Rt△CDF全等得∠BFP＝∠CDF，进而得∠BFP+∠CFD＝90°，则∠DFP＝90°，据此可得△DFP的形状； （2）根据矩形性质及AP＝BP＝2得AB＝CD＝4，BF＝CD＝4，根据Rt△BFP≌Rt△CDF得BP＝CF＝2，则BC＝AD＝BF+CF＝6，由勾股定理可得DP，然后根据（1）的结论得FH＝PH＝DH，再证△DEH∽△DPA，利用相似三角形性质可得EH的长，进而可得EF的长． 【解答】解：（1）△DFP为等腰直角三角形，理由如下： ∵EF是DP的中垂线， ∴DF＝PF， ∴△DFP为等腰三角形， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC 在Rt△BFP和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BFP≌Rt△CDF（HL）， ∴∠BFP＝∠CDF， ∵∠CDF+∠CFD＝90°， ∴∠BFP+∠CFD＝90°， ∴∠DFP＝180°﹣（∠BFP+∠CFD）＝90°， ∴△DFP为等腰直角三角形； （2）∵AP＝BP＝2， ∴AB＝CD＝4，BF＝CD＝4， 由（1）可知：Rt△BFP≌Rt△CDF， ∴BP＝CF＝2， ∴BC＝AD＝BF+CF＝6， 在RtAPD中，由勾股定理得：DP， 由（1）可知：△DFP为等腰直角三角形， 又∵EF是DP的中垂线， ∴FH＝PH＝DHDP，∠DHE＝90°， ∴∠DHE＝∠A＝90°， 又∵∠HDE＝∠ADP， ∴△DEH∽△DPA， ∴EH：AP＝DH：AD， 即EH：2：6， ∴EH， ∴EF＝EH+FH． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形全等的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形全等的判定，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【作业 9】（2024春•铜梁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：BD＝AF； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 【分析】（1）证△BDE≌△FAE（AAS），得AF＝BD； （2）由AF＝BD，再证AF＝CD，得四边形ADCF是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEB， ∴△BDE≌△FAE（AAS）， ∴AF＝BD； （2）∵D是线段BC的中点， ∴BD＝CD， ∵AF＝BD， ∴AF＝CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF为矩形． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定，证明△BDE≌△FAE是解题的关键． 【作业 10】（2025春•黄浦区期末）某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形ABCD），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． （1）若大玻璃的长AD为2米，则乙玻璃的边AE＝　0.4　 米，AF＝　0.6　 米； （2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，则按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为多少？ 【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论； （2）根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，列方程组，解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）AE＝2÷5＝0.4（米）， 由方案一可得丙的长＝2÷2＝1（米）， 由方案二可得丙的宽＝2÷5＝0.4（米）， AF＝AB﹣BF＝1﹣0.4＝0.6（米）， 故答案为：0.4，0.6； （2）根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍， ， 解得：． 答：按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为10块16块． 【点评】本题考查了矩形的性质，二元一次方程组的应用，正确地识别图形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 矩形的性质及判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 掌握矩形性质 掌握矩形判定 斜边中线定理 综合运用 矩形与平行四边形关系 📚 知识梳理 ☆ 1.矩形概念 有一个直角的平行四边形 特殊平行四边形 两条对称轴 概念辨析例题：矩形特有性质 解析：一般平行四边形不具备 ☆ 2.矩形性质 四个角都是直角 对角线相等且平分 斜边中线=斜边一半 概念辨析例题：Rt△两直角边3,4斜边中线 解析：斜边=5,中线=2.5 ☆ 3.矩形判定 一个直角的平行四边形 三个直角的四边形 对角线相等的平行四边形 概念辨析例题：平行四边形加什么是矩形 解析：对角线相等即矩形 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 矩形 一个直角的平行四边形 特殊平行四边形 对角线 相等且平分 四个等腰三角形 斜边中线 =斜边 遇中点连中线 判定 先证平行四边形 再加直角或对角线等 ⚠️ 核心考点 【考点1】矩形性质（第1-10题） 四角直角对角线相等 斜边中线 1．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，则AC的长为（　　） A．9 B．13 C．17 D．20 2．（2025秋•上海期末）如图，长方形ABCD的长是14cm，宽是5cm，动点P从点A出发，沿边AD以每秒3cm的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边BC以每秒1.5cm的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发___________________ 秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称． 3．（2025春•罗定市期末）某市商业综合体为了方便司机停泊车辆而设计了如图1的停车位，图2是其中一个停车位的平面示意图，已知四边形ACDF是平行四边形，小车实际占用位置为矩形BCEF，若BC＝5m，CE＝2.5m，∠D＝45°，则AC的长度为（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•上海期中）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　） A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10° 5．（2025秋•金山区期中）阅读：对于线段AB与点O（点O与AB不在同一直线上），如果同一平面内点Q满足射线OQ与线段AB交于点P，且，那么称点Q为点O关于线段AB的“友好点”． 问题：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝AF＝1，连结EF，设点M是点A关于线段EF的“友好点”，如果点C与点M之间距离为d，那么d的取值范围为 ____________________ ． 6．（2026春•徐闻县期末）如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD的交点，且∠CAE＝15°，∠BOE＝________ ． 7．（2025春•浦东新区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 ____________________ 厘米/秒． 8．（2026春•泸州期中）如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝30°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为________ ． 9．（2025•鼓楼区校级模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP． （1）求证：四边形CFDP是平行四边形； （2）若四边形CFDP是矩形，且，求AB的长度． 10．（1）如图1，∠ABC是矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F．求证：若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线． （2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若，求∠F的度数． 【考点2】矩形判定（第11-23题） 先证平行四边形 对角线相等 11．（2026春•栾城区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABD＝∠ACD B．∠ABC＝90° C．AB＝BC D．OB＝OC 12．（2026春•北京期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得▱ABCD是矩形（　　） A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO 13．（2024•徐汇区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得▱ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（　　） A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC 14．（2025春•青秀区校级期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB＝CD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AB＝BC 15．（2024春•张北县校级月考）将两个三角形按如图所示的方式摆放组成四边形ABCD，对于甲、乙两个结论，下列判断正确的是（　　） 甲：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形； 乙：若∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠BDC，则四边形ABCD是矩形． A．甲对乙不对 B．甲不对乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 16．（2024春•越秀区期末）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使▱ABCD为矩形，可以添加下列哪个条件？（　　） A．AC⊥BD B．∠ACB＝∠ACD C．AB＝AD D．OA＝OB 17．（2026春•汨罗市校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（　　） A．AC＝BD B．DA⊥AB C．∠OAB＝∠OBA D．OB＝OD 18．（2023秋•邵阳期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，BD，相交于点O．请增加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，增加的条件为 ____________________ （填一个即可）． 19．（2026春•奉贤区校级期中）对于四边形ABCD，给出下列4组条件： ①∠A＝∠B＝∠C＝∠D； ②∠A＝∠B，∠C＝∠D； ③∠A＝∠C，∠B＝∠D； ④∠A＝∠B＝∠C． 其中一定能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有_____ ．（填给定条件的序号） 20．（2025春•普陀区校级月考）如图，已知在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA、BC的延长线于点G、H，联结AC． （1）求证：四边形ACHE是平行四边形； （2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形． 21．（2024春•姑苏区校级月考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由． 22．（2026•武威模拟）已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接AC，EF，相交于点O． （1）求证：△AOE≌△COF． （2）连接AF，EC，若AB＝AC，求证：四边形AFCE是矩形． 23．（2026•西华县模拟）如图，平行四边形ABCD中，点F在AD上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作AE⊥BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若DF＝BE，连接CF，求证：四边形AECF是矩形． 【考点3】综合（第24-34题） 折叠对应边 动点分类 24．（2025秋•海城市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD＝10，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，DE，则线段DE的长是（　　） A． B． C． D．8 25．（2026春•内乡县期末）如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于（　　） A． B．5 C． D．6 26．（2025•清远一模）如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 27．（2025春•槐荫区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，连接AC、BD，AC与BD交于点O，若OA＝OD＝5，AB＝6，则四边形ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．48 D．60 28．（2024秋•蓬莱区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 ____________________ ． 29．（2025春•茅箭区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF＝3，则PD的长为_____ ． 30．（2024秋•昆都仑区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点C作CE∥AD，过点A作AE⊥AD，两线相交于点E，过点E作EF⊥AC于点F． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长． 31．（2024春•河北区期中）如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ． （1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长． 32．（2023秋•焦作期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 ____________________ ． 33．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5，且t≠2.5），G，H分别是AB，DC的中点．当t的值是多少时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？ 34．（2026春•鼓楼区校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）过点O作MN⊥BD交AD、BC于点M、N，AB＝4，求MN的长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•海门区校级模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，则EF长度的最小值是（　　） A．2.5 B．5 C．2.4 D．3 【练习 2】（2026春•奉贤区校级期中）如图，在Rt△ABC中，点D为斜边AB上的动点，AC＝3，BC＝4，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么线段EF的最小值是 ___________________ ． 【练习 3】（2025•坪山区模拟）如图，已知矩形ABCD中，2AB＝BC，点E、F、P分别在线段BC、DC上，BP交EF于点M，∠EMP＝45°，AB＝6，BF＝ED＝4.5，过点B作BG∥EF交AD于点G，试求PC的长度 _____ ． 【练习 4】（2025•普陀区二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E、F分别是边AB、DC的中点，点G、H在对角线AC上（如图），如果四边形EGFH是矩形，那么AG的长等于__________________ ． 【练习 5】（2025春•宝山区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，联结AF、CE． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）如果四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，求EF的长． 💯 课后巩固 复习建议 对角线相等 斜边中线定理 先证平行四边形 折叠对应边 勾股定理 【作业 1】（2025•南安市模拟）如图，菱形ABCD中，AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH＝ ____________________ ． 【作业 2】（2025秋•商水县期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点P以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动．若运动ts后，以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为____________________ ．（温馨提示：长方形的四个角都等于90°） 【作业 3】（2026•前进区校级二模）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，点F在边AB上，将△BEF延FF折叠，使点B落在矩形内部P处，连接DP、CP，作PQ⊥AD，垂足为Q，当△PCD为等腰三角形时，PQ的长为 ____________________ ． 【作业 4】（2025•吉安县一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，AE平分∠BAD，则DE的长为_____ ． 【作业 5】（2026春•靖江市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，，P为AB边上任一点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则EF的最小值为_______________ ． 【作业 6】（2026•抚顺校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，EF垂直平分AC，交AC于点O，点M，N在对角线AC上．当AN＝CM＝1时，四边形EMFN的周长为____________________ ． 【作业 7】（2026春•城中区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连接BF． （1）求证：点D是BC的中点； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为矩形，并说明理由． 【作业 8】（2024•温州二模）如图，在矩形ABCD中，P为边AB的一点，DP的中垂线分别交矩形两边AD，BC于点E，F，交DP于点H，BF＝CD，连结DF，PF． （1）判断△DFP的形状，并说明理由． （2）若AP＝BP＝2，求EH，EF的长． 【作业 9】（2024春•铜梁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：BD＝AF； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 【作业 10】（2025春•黄浦区期末）某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形ABCD），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． （1）若大玻璃的长AD为2米，则乙玻璃的边AE＝________ 米，AF＝________ 米； （2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，则按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $