专题13概率的进一步认识知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题13概率的进一步认识知题通关讲义 知识点01：概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素 (例如掷两个骰子) 并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素 (例如从 3 个口袋中取球) 时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)=，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 知识点02：频率的稳定性 1. 相关定义 1）频率：在相同条件下重复进行n次试验，事件A发生m次， 事件A发生的频率= 特点：频率依托试验产生，具有随机性，试验次数不同，频率一般不同。 2）概率：刻画随机事件发生可能性大小的固定常数，是事件本身固有的属性，不随试验改变。 2. 频率的稳定性（课本核心定理） 在大量重复试验中，如果试验条件保持不变，随着试验次数不断增大，随机事件发生的频率将会稳定在某个常数附近，这个规律叫做频率的稳定性。 解读：试验次数较少时，频率波动幅度很大；试验次数越多，波动幅度越小，频率越靠近概率。 3. 频率与概率全面对比表 知识点03：用频率估计概率 1. 适用场景 当随机试验的所有结果不具备等可能性，无法用列表法、树状图求出理论概率时，我们利用大量重复试验，用稳定后的频率估计概率。 典型例子：种子发芽率、产品次品率、篮球运动员投篮命中率、不规则几何体落地朝向。 2. 核心结论 在相同条件下进行大量重复试验，当频率逐渐稳定后，可以用这个稳定的频率作为事件发生概率的近似值。 P(A)稳定后的频率 3. 重要注意事项 ① 所有试验必须在完全相同的条件下开展； ② 少量试验的频率不能用来估计概率，只有试验次数足够多，频率才会稳定； ③ 通过频率估计得到的概率是近似值，不是精确理论值。 4. 两大常用拓展计算模型 （1）估算事件发生次数： 预计发生次数=总试验次数估计概率 （2）估算总体数量（抽样调查题型）： 总体数量= 知识点04：频率与概率的区别与联系 知识点 05 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 6几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 1、放回与不放回试验模式混淆 提醒：放回试验，每次抽取之后样本恢复原状，前后抽取对象允许重复；不放回试验，抽取之后样本不再放回，下一次的样本总数量减少1，对象不可重复；解题第一步先审题区分模式，两类试验的总等可能结果不可以互相套用。 2、树状图、列表统计等可能结果出现漏数或重复计数 提醒：使用树状图与列表法计算概率，前提是列举出的全部结果发生的可能性相等；不可合并独立的不同结果，也不可遗漏任意分支；计算概率前核对等可能结果的总个数。 3、对事件是否属于等可能事件判断失误 提醒：列表法、树状图只适用于所有结果发生概率相等的情形；当各个对象权重不相等时，不能直接采用普通列表、树状图开展概率计算。 4、频率与概率两个概念互相混淆 提醒：频率属于实际试验的统计值，会随试验总次数改变而发生波动；概率是事件本身固有的固定常数；大量重复试验下，频率逐步稳定于概率附近；不能将单次或者少数几次试验得到的频率直接等同于事件的概率。 5、少量试验数据用来估计事件概率 提醒：利用频率估计概率，必须依靠大量重复试验；试验次数较少时频率波动幅度较大，不可以选取少数几次试验得到的频率值作为概率的估计值。 6、抽取类概率题有序、无序关系分辨错误 提醒：先后抽取属于有序问题，一次性同时取出两个对象属于无序问题；二者对应的等可能结果总数不一致；树状图、列表默认按有序方式列举，求解无序问题不可直接照搬有序的统计结果。 7、概率最终计算结果未进行约分 提醒：概率的计算结果需要化简为最简分数；作答时不保留未约分的分数，一般不使用无限小数作为概率的最终答案。 8、游戏公平性判定标准运用错误 提醒：游戏公平的判定条件是双方获胜的概率大小相等；不能只对比双方获胜结果的个数直接下结论；应当分别算出各方获胜的概率之后，再进行大小比较。 题型 考察方向 难度 题型一 几何概率 ★★ 题型二 列举法求概率 ★★ 题型三 列表法或树状图法求概率 ★★ 题型四 游戏的公平性 ★★★ 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★★ 题型六 概率的综合应用 ★★★ 题型七 求某事件的频率 ★ 题型八 由频率估计概率 ★★ 题型九 用频率估计概率的综合应用 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 几何概率 1．转动如图所示的转盘，指针落在红色区域的概率为__________． 2．下列四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 3．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 4．如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，连接，随机在内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二 列举法求概率 5．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 6．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元，20元，30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是___________． 7．社团课上A、B、C三人玩足球传球游戏，游戏规则是：一开始是由其中一人将球随机地传给另外两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人（注：球从一人传给另一个人就记为传球一次）．若这样传球三次后，要使球传到B脚下的概率最小，应该从________的脚下开始传球． 8．京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色． 美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好．文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，则她抽到脸谱是B、C的概率为______． 题型三 列表法或树状图法求概率 9．某医院门诊挂号处设有A、B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者各自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为______________． 10．粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（     ） A． B． C． D． 11．为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 12．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 题型四 游戏的公平性 13．甲、乙两班进行拔河比赛，采用“抛硬币”的方法决定优先选择比赛场地的班级：抛两次硬币，若两次均为正面朝上，则甲班优先选择；若两次均为反面朝上，则乙班优先选择．此方法对两个班级________（填“公平”或“不公平”）． 14．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方确定 D．游戏双方获胜的概率相等 15．在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）． 16．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 17．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 18．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 19．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 题型六 概率的综合应用 20．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 21．如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 22．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 23．下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户．月） 户数（户） 5 22 27 31 15 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为__________． 24．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率_____． 25．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 题型七 求某事件的频率 26．“知之为知之，不知为不知．”这句话的汉字中，“知”字出现的频率为_________． 27．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（    ）． 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A．32 B．7 C． D． 28．某小组做“频率具有稳定性”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，掷出的点数是5 C．任意写一个整数，它能被2整除 D．从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球（这些球除颜色外完全相同），取到的是白球 题型八 由频率估计概率 29．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000 合格频数 47 95 188 480 763 949 合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.954 0.949 估计任抽一件衬衣是合格品的概率：________________（结果精确到0.01）． 30．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 31．从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．300 题型九 用频率估计概率的综合应用 32．一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 33．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 34．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 解答题 1．小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； (2)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 2．2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． (1)若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． (2)若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率．             第2张 第1张 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 3．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘中每一个小扇形面积均相等），并规定：顾客消费100元以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇． (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？ (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少？ (3)在（2）的条件下，乙顾客获得九折，五折待遇的概率分别是多少？ 4．下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到_______次正面，“出现正面”的频率是_______．也就是说，机器人抛掷完次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (3)如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ (4)观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13概率的进一步认识知题通关讲义 知识点01：概率的计算 （1）公式法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= （2）列表法 当一次试验要涉及两个因素 (例如掷两个骰子) 并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. （3）画树状图 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素 (例如从 3 个口袋中取球) 时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图. （4）几何概型 一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)=，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算. 游戏公平性 判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平. 知识点02：频率的稳定性 1. 相关定义 1）频率：在相同条件下重复进行n次试验，事件A发生m次， 事件A发生的频率= 特点：频率依托试验产生，具有随机性，试验次数不同，频率一般不同。 2）概率：刻画随机事件发生可能性大小的固定常数，是事件本身固有的属性，不随试验改变。 2. 频率的稳定性（课本核心定理） 在大量重复试验中，如果试验条件保持不变，随着试验次数不断增大，随机事件发生的频率将会稳定在某个常数附近，这个规律叫做频率的稳定性。 解读：试验次数较少时，频率波动幅度很大；试验次数越多，波动幅度越小，频率越靠近概率。 3. 频率与概率全面对比表 知识点03：用频率估计概率 1. 适用场景 当随机试验的所有结果不具备等可能性，无法用列表法、树状图求出理论概率时，我们利用大量重复试验，用稳定后的频率估计概率。 典型例子：种子发芽率、产品次品率、篮球运动员投篮命中率、不规则几何体落地朝向。 2. 核心结论 在相同条件下进行大量重复试验，当频率逐渐稳定后，可以用这个稳定的频率作为事件发生概率的近似值。 P(A)稳定后的频率 3. 重要注意事项 ① 所有试验必须在完全相同的条件下开展； ② 少量试验的频率不能用来估计概率，只有试验次数足够多，频率才会稳定； ③ 通过频率估计得到的概率是近似值，不是精确理论值。 4. 两大常用拓展计算模型 （1）估算事件发生次数： 预计发生次数=总试验次数估计概率 （2）估算总体数量（抽样调查题型）： 总体数量= 知识点04：频率与概率的区别与联系 知识点 05 用列举法求概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率。 （1）直接列举法：适用于一次试验中涉及一个因素，并且可能出现的等可能结果数较少； （2）列表法：适用于一次试验中涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数较多； （3）画树状图法：适用于一次试验中涉及两个及以上因素。 知识点 6几何概率（几何概型） 1. 几何概率定义 一般地，如果试验的结果有无限多个，并且每个结果出现的可能性大小相等，所有结果均匀分布在线段、平面、扇形等几何区域内，我们利用几何图形的长度、面积、角度的比值计算随机事件发生的概率，这类概率称为几何概率。 2. 几何概率通用公式 P(A)= 度量可对应线段长度、平面图形面积、扇形圆心角度数。 3. 三类常见几何概率模型 （1）线段型：(P(A)= （2）面积型（覆盖率）：P(A)= （3）转盘扇形型：P(A)= 4. 几何概率核心前提 ① 试验结果有无穷多个； ② 落点均匀分布，任意区域可能性与区域度量成正比。 1、放回与不放回试验模式混淆 提醒：放回试验，每次抽取之后样本恢复原状，前后抽取对象允许重复；不放回试验，抽取之后样本不再放回，下一次的样本总数量减少1，对象不可重复；解题第一步先审题区分模式，两类试验的总等可能结果不可以互相套用。 2、树状图、列表统计等可能结果出现漏数或重复计数 提醒：使用树状图与列表法计算概率，前提是列举出的全部结果发生的可能性相等；不可合并独立的不同结果，也不可遗漏任意分支；计算概率前核对等可能结果的总个数。 3、对事件是否属于等可能事件判断失误 提醒：列表法、树状图只适用于所有结果发生概率相等的情形；当各个对象权重不相等时，不能直接采用普通列表、树状图开展概率计算。 4、频率与概率两个概念互相混淆 提醒：频率属于实际试验的统计值，会随试验总次数改变而发生波动；概率是事件本身固有的固定常数；大量重复试验下，频率逐步稳定于概率附近；不能将单次或者少数几次试验得到的频率直接等同于事件的概率。 5、少量试验数据用来估计事件概率 提醒：利用频率估计概率，必须依靠大量重复试验；试验次数较少时频率波动幅度较大，不可以选取少数几次试验得到的频率值作为概率的估计值。 6、抽取类概率题有序、无序关系分辨错误 提醒：先后抽取属于有序问题，一次性同时取出两个对象属于无序问题；二者对应的等可能结果总数不一致；树状图、列表默认按有序方式列举，求解无序问题不可直接照搬有序的统计结果。 7、概率最终计算结果未进行约分 提醒：概率的计算结果需要化简为最简分数；作答时不保留未约分的分数，一般不使用无限小数作为概率的最终答案。 8、游戏公平性判定标准运用错误 提醒：游戏公平的判定条件是双方获胜的概率大小相等；不能只对比双方获胜结果的个数直接下结论；应当分别算出各方获胜的概率之后，再进行大小比较。 题型 考察方向 难度 题型一 几何概率 ★★ 题型二 列举法求概率 ★★ 题型三 列表法或树状图法求概率 ★★ 题型四 游戏的公平性 ★★★ 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 ★★★ 题型六 概率的综合应用 ★★★ 题型七 求某事件的频率 ★ 题型八 由频率估计概率 ★★ 题型九 用频率估计概率的综合应用 ★★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 几何概率 1．转动如图所示的转盘，指针落在红色区域的概率为__________． 【答案】 【详解】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为 ， ∴指针落在红色区域的概率为 ． 2．下列四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的求法，解题关键是求出阴影部分面积占总面积的比例，即阴影部分份数与总份数的比值，然后进行比较即可． 【详解】解：A、转盘被分成4等份，阴影部分占1份，指针落在阴影区域内的概率为； B、转盘被分成3等份，阴影部分占1份，指针落在阴影区域内的概率为； C、转盘被分成9等份，阴影部分占5份，指针落在阴影区域内的概率为； D、转盘被分成6等份，阴影部分占3份，指针落在阴影区域内的概率为； ，， ，， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是C选项． 3．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 【答案】 【分析】根据题意和图形可知，第一个图形转到红色，同时第二个图形转到蓝色或第一个图形转到蓝色，同时第二个图形转到红色，可配成紫色，画出树状图，从而可以求得可配成紫色的概率． 【详解】解：∵第一个转盘红色占， ∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色， ∵第二个转盘红色的圆心角为，占， ∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色， ∴画树状图为 由图可知，共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， ∴可配成紫色的概率是． 4．如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，，连接，随机在内投针，则针扎到阴影区域内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的面积为，由和，得出，进而得到，由推出，结合证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得出，因此，接着根据、，判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线平分面积的性质，得到，即，最后用阴影区域的面积除以的总面积，即可求出针扎到阴影区域内的概率． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴P（针扎到阴影区域内）． 题型二 列举法求概率 5．现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 【答案】 【分析】先列举出随机抽取两张卡片所有等可能的结果. 再找出其中满足较大数能被较小数整除的结果个数. 最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，从写有，，的三张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，共种等可能的结果， 其中较大数能被较小数整除的结果有：，，共种， 根据概率公式，可得所求概率为． 6．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元，20元，30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是___________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定两球金额和为50元的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元， 一次性随机摸出两个小球，所有等可能的结果共有3种： 10元和20元，和为30元， 10元和30元，和为40元， 20元和30元，和为50元． 其中，两球金额和为50元的结果只有1种． 根据概率公式可得，所求概率为． 7．社团课上A、B、C三人玩足球传球游戏，游戏规则是：一开始是由其中一人将球随机地传给另外两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人（注：球从一人传给另一个人就记为传球一次）．若这样传球三次后，要使球传到B脚下的概率最小，应该从________的脚下开始传球． 【答案】B 【分析】分别计算从，，开始传球，传球三次后球传到脚下的概率，比较概率大小即可得到结论． 【详解】解： 若从开始传球，有，，，，，，，，共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在脚下的结果有种， 此时球传到B脚下的概率为； 若从开始传球，同理共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在脚下的结果有种， 此时球传到B脚下的概率为； 若从开始传球，同理共有8种等可能的结果，其中传球三次后球在脚下的结果有种， 此时球传到B脚下的概率为； 因为， 所以要使球传到脚下的概率最小，应该从的脚下开始传球． 8．京剧脸谱是一种内涵丰富的艺术表现形式，每个脸谱都有一种主色调，以显示剧中人物的性格特征，如关羽脸谱为红色，曹操是白色，包拯是黑色，窦尔敦是蓝色． 美术课上，老师准备了如图所示的A、B、C、D四张不同的脸谱（大小、形状及背面完全相同），并将这四张脸谱背面朝上，洗匀放好．文文从这四张脸谱中同时随机抽取两张，则她抽到脸谱是B、C的概率为______． 【答案】 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：由题意，同时随机抽取两张脸谱共有，共6种等可能的结果，其中抽到脸谱是B、C的结果只有1种， 故她抽到脸谱是B、C的概率为. 题型三 列表法或树状图法求概率 9．某医院门诊挂号处设有A、B两个挂号窗口，现有甲、乙两位患者各自随机选择其中一个窗口挂号，则甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率为______________． 【答案】 【分析】根据画树状图法得到所有等可能的选择结果，统计符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 由图可知，共有4种等可能事件，其中甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号有1种， ∴甲、乙两位患者恰好都选择B窗口挂号的概率． 10．粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把昭君出塞卡片记为，帝女花卡片记为，紫钗记卡片记为，花木兰卡片记为， 树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为：． 11．为了迎接重庆北关中学90周年校庆，学校筹备了精彩的文艺汇演．现从初三某班合唱团的2名男生和2名女生中随机选取2名同学参加表演，则恰好选中1名男生和1名女生的概率是______． 【答案】 【分析】先通过树状图找出所有等可能的选取结果总数，再找出恰好选中1名男生1名女生的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，得树状图如下： 由图可知，共种等可能结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果共种， ∴所求概率为． 12．从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 题型四 游戏的公平性 13．甲、乙两班进行拔河比赛，采用“抛硬币”的方法决定优先选择比赛场地的班级：抛两次硬币，若两次均为正面朝上，则甲班优先选择；若两次均为反面朝上，则乙班优先选择．此方法对两个班级________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】列出抛两次硬币所有等可能的结果，分别计算甲班优先与乙班优先的概率，通过比较概率判断方法是否公平. 【详解】解：抛两次硬币，所有等可能的结果共有种，分别为：两次正面朝上，第一次正面朝上第二次反面朝上，第一次反面朝上第二次正面朝上，两次反面朝上. 满足甲班优先的结果有种，满足乙班优先的结果有种. 根据概率公式得：，. ， ∴此方法对两个班级公平. 14．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（    ） A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲乙双方确定 D．游戏双方获胜的概率相等 【答案】D 【分析】判断游戏是否公平不取决于谁制定游戏规则，而取决于游戏双方获胜的概率相等． 【详解】解：游戏的规则由甲方确定，获胜概率不一定不相等，故A不符合题意； 游戏的规则由乙方确定，获胜概率不一定不相等，故B不符合题意； 游戏的规则由甲乙双方确定，获胜概率不一定不相等，故C不符合题意； 游戏双方获胜的概率相等，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．游戏公平是指要计算每个参与者获胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．准确理解定义是解题的关键． 15．在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方__________（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、简单概率计算等知识，正确计算两人获胜的概率是解题关键．根据题意，可知共有4种运算结果，其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种，然后分别计算两人获胜概率，比较即可获得答案． 【详解】解：根据题意，在的两个空格口中，任意填上“”或“”， 可有4种结果，如下所示： ，，，， 其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种， 所以丽丽获胜的概率为，颖颖获胜的概率为， 又因为， 所以，这个游戏对双方公平． 故答案为：公平． 16．有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ） A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜； B．取出的两个数乘积不大于15胜，否则乙获胜； C．取出的两个数乘积大于等于20得5，否则乙得3，游戏结束后，累计得分高的人获胜； D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜． 【答案】A 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握“概率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 画树状图，共有16种可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙获胜的概率，再分别判断即可． 【详解】解：画树状图如下： A、由树状图可知，共有16可能的结果，其中在直线上的点有、、、，在直线上的点有、、， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 而，故选项A符合题意； B、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不大于15的结果有8种，乘积大于15的结果有8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项B不符合题意； C、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两个数乘积大于等于20时甲得5分的结果有6种，乙得3分的结果有10种，， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项C不符合题意； D、由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中得到的和为奇数的结果8种，得到的和为偶数的结果8种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 甲获胜的概率乙获胜的概率，故选项D不符合题意； 故选：A． 题型五 利用概率计算随机事件发生的平均次数 17．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了概率的意义及概率的简单应用，熟练掌握大量重复试验中事件发生的平均次数等于试验次数乘以事件发生的概率是解题的关键． 根据概率的意义，在大量重复试验中，事件发生的频率趋近于其概率．因此，计算事件平均每次发生的次数，可直接用试验总次数乘以事件的概率． 【详解】解：， 故答案为：． 18．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（　　）粒． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设瓶子中有豆子x粒，根据取出100粒刚好有记号的8粒列出算式，再进行计算即可． 【详解】设瓶子中有豆子粒豆子， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：估计瓶子中豆子的数量约为粒． 故选：． 【点睛】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法． 19．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 题型六 概率的综合应用 20．某航班每次飞行约有111名乘客，若飞机失事的概率为，一家保险公司要为乘客保险，许诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿41万元人民币．平均来说，保险公司应向每位乘客至少收取_____元保险费才能保证不亏本． 【答案】 【分析】根据保险公司不亏本的条件，总保险费需不小于失事时的期望赔偿金额，通过建立不等式化简求解每位乘客的最低保险费． 【详解】解：设保险公司应向每位乘客收取x元保险费， 由题意得：， 解得：， 所以保险公司应向每位乘客至少收取元保险费才能保证不亏本． 21．如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 22．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 23．下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户．月） 户数（户） 5 22 27 31 15 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为__________． 【答案】0.8． 【分析】根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论． 【详解】由表格可知这100户中， 有户为第二档人， ∴， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了概率问题，正确读懂表格是解题的关键． 24．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率_____． 【答案】． 【分析】由关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a的值，由关于x的方程x2+4x+a=0有解，可求得a的取值范围，继而求得答案． 【详解】解：∵一次函数y＝2x+a与x轴、y轴的交点分别为：（﹣，0），（0，a）， ∴， 解得：a＝±4， ∵当△＝16﹣4a≥0，即a≤4时，关于x的方程x2+4x+a＝0有解， ∴使关于x的方程x2+4x+a＝0有解，且使关于x的一次函数y＝2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用以及根的判别式与一次函数的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 题型七 求某事件的频率 26．“知之为知之，不知为不知．”这句话的汉字中，“知”字出现的频率为_________． 【答案】 【分析】先确定“知”字出现的频数，再确定这句话中汉字的总个数，根据频率等于频数除以总数计算即可． 【详解】解：由题意，这句话中共有个汉字，“知”字出现的频数为， 故“知”字出现的频率为． 27．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（    ）． 类型 健康 亚健康 不健康 数据（人） 32 7 1 A．32 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解． 28．某小组做“频率具有稳定性”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，掷出的点数是5 C．任意写一个整数，它能被2整除 D．从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球（这些球除颜色外完全相同），取到的是白球 【答案】D 【分析】根据频率折线图可知频率在0.33附近，进而得出答案. 【详解】A、抛一枚硬市、出现正面朝上的概率为0.5、不符合这一结果，故此选项错误； B、掷一个正六面体的骰子、掷出的点数是5的可能性为，故此选项错误； C、任意写一个能被2整除的整数的可能性为，故此选项错误； D、从一个装有2个红球1个白球的袋子中任取一球，取到白球的概率是，符合题意， 故选：D. 【点睛】此题考查频率的折线图，利用频率估计事件的概率，正确理解频率折线图是解题的关键. 题型八 由频率估计概率 29．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000 合格频数 47 95 188 480 763 949 合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.954 0.949 估计任抽一件衬衣是合格品的概率：________________（结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，可用频率的稳定值估计概率，根据表格中频率的变化趋势得到稳定值，再按要求精确即可． 【详解】解：观察表格可得，随着抽取件数增加，合格衬衣的频率逐渐稳定在附近； 最大抽取量为1000件时，合格频率为，将结果精确到得到； 因此估计任抽一件衬衣是合格品的概率为． 30．如图，显示了某次用计算机模拟随机投掷一枚图钉“钉尖向上”频率实验结果（注：），下面四个推断： ①钉尖向上与钉尖不向上各占一半，所以“钉尖向上”的概率是0.5； ②当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数一定是3090； ③随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620．其中关于随机投掷一枚图钉，图钉“钉尖向上”的说法正确的是________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据频率估计概率，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；故③正确，①错误； 当投掷次数是5000时，“钉尖向上”的次数可能是；故②错误； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620；故④正确； 综上正确的是③④. 31．从装有豆子的瓶中取出30粒豆子做上标记，然后放回瓶中充分摇匀后，再取出50粒豆子发现带标记的豆子有5粒，则估计此瓶中豆子的粒数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．300 【答案】D 【分析】本题考查用样本估计总体，利用总体中标记豆子的占比与样本中标记豆子的占比相等列等式，求解即可得到估计的总粒数． 【详解】解：设此瓶中豆子的粒数为粒， ∵ 摇匀后总体中标记豆子的占比与抽取样本中标记豆子的占比相等， ∴ 可得方程 交叉相乘得 计算得 ， 解得 ， 经检验 是原方程的解，符合题意， 因此估计瓶中豆子粒数为． 题型九 用频率估计概率的综合应用 32．一只不透明的袋中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.2，则袋中约有红球______个． 【答案】40 【分析】本题考查频率与概率，利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率是0.2，即可估算出球的总数，然后即可计算出红球个数． 【详解】解：由题意可得，可估计摸到白球的概率是0.2， 所以袋中约有红球（个）． 故答案为：40． 33．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 【答案】30 【分析】根据表格数据估计摸到黑球的概率，再结合球的总数求得黑球的数量即可． 【详解】解：由表可知，随着摸球次数增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，因此可估计摸到黑球的概率为， 所以黑球的个数约为个． 34．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 【答案】B 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 解答题 1．小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； (2)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由 列表如下， 第一次第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有 16 种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种， ∴自由转动转盘两次，P（指针都落在蓝色区域）； ∵自由转动转盘一次，P（指针落在黄色区域）． ∴公平． 【分析】（1）求出蓝色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，求出指针都落在蓝色区域的概率，再求出自由转动转盘一次，指针落在黄色区域即可得出答案． 【详解】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共 4 种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， ∴P指针落在红色区域； （2）略 2．2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． (1)若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． (2)若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 【答案】(1) (2)所有可能出现的结果有：             第2张 第1张 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两张卡片中都没有C”（记为事件）的结果有6种，所以． 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）列表展示出所有可能出现的结果，再找出都没有“驰驰（C）”的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是； （2）略 3．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘中每一个小扇形面积均相等），并规定：顾客消费100元以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇． (1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？ (2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少？ (3)在（2）的条件下，乙顾客获得九折，五折待遇的概率分别是多少？ 【答案】(1)不能 (2) (3)， 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，“顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会”， 甲顾客消费80元，不满足获得转动转盘的条件． （2）解：乙顾客消费150元，能获得一次转动转盘的机会． 由于转盘被均分成16份，每份被转到的机会均等， 其中打折的占5份，故获得打折待遇的概率为； （3）解：九折占2份，故获得九折待遇的概率为； 五折占1份，故获得五折待遇的概率为． 4．下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到_______次正面，“出现正面”的频率是_______．也就是说，机器人抛掷完次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (3)如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ (4)观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 【答案】(1)4； (2)；；； (3)可能会一模一样，也可能不会一模一样，因为“抛掷硬币”游戏中，出现正面还是反面是随机事件，所以每次抛掷出现的结果可能一样，也可能不一样，所以记录下的频数和频率表可能会一模一样，也可能不会一模一样． (4)当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【分析】（1）抛掷完5次后，得到1次正面，则反面次数为总抛掷次数减去正面次数，“出现反面”的频率等于1减去“出现正面”的频率． （2）观察频数和频率表即可得机器人抛掷完次后的正面次数，再用总抛掷次数减去正面次数即可得反面次数，最后用1减去“出现正面”的频率即可得“出现反面”的频率． （3）根据随机事件的特点即可得记录下的频数和频率表可能会一模一样，也可能不会一模一样． （4）观察“出现正面”的频率条形统计图即可得当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【详解】（1）解：根据题意得： （次）， ， ∴抛掷完5次后，“出现正面”的次数为1次，“出现反面”的次数为4次， “出现反面”的频率为． （2）解：观察频数和频率表即可得机器人抛掷完次后的正面次数为次，“出现正面”的频率是， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为：（次）， “出现反面”的频率为：， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为（次），“出现反面”的频率为． （3）略 （4）答：观察“出现正面”的频率条形统计图发现，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率基本稳定在左右， ∴当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $