四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高一上学期12月质量检测数学试题

仁寿一中北校区高2025级12月质量检测 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 5. ，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：，） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1 8. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则的值为 C. 函数的减区间是 D. 已知，，，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数，且，则实数________． 13. 已知，且，则__________． 14. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 16. 已知集合，． （1）当时，求，；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，，每件产品售价为6元，假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级12月质量检测 高一数学参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】因为，所以 2. 已知，则定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C【详解】由条件可知，得，且.所以函数的定义域为，且. 3. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】对A：当时，单调递减，故A错误； 对B： 的定义域为，故为非奇非偶函数，故B错误； 对C：是定义域为的偶函数，且当时，， 即上单调递增，故C正确；对D：的定义域为，但，故不是偶函数，故D错误.故选：C 4. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】解：， 又因为函数在区间上都是增函数，所以在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.故选：C. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】易知，又，在上单调递减，所以. 又，所以.故选：A 6. 已知函数，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A【详解】因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数，易知在定义域上单调递增，由，得到，所以，解得，故选：A 7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：，） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1 【答案】A【详解】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，得到， 两边同时取自然对数得， ，则， 则给氧时间至少还需要小时.故选：A 8. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】当时，函数，则， 因此函数在上的值域为，函数在上递增， 因此函数在上的值域为，即， 由，，使得， 得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即， 则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，D错误.故选：BC 10. 已知，则函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD【详解】∵，∴，又，定义域为，A选项错误；∴函数与的单调性相同，结合各选项可得B，D符合题意，C不符合题意．故选：BD 11. 下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若，则的值为 C. 函数的减区间是 D. 已知，，，则的最小值为 【答案】ABD【详解】对于A，因， 因为函数为减函数，故得，即A正确； 对于B，由，可得 则，故B正确； 对于C，由，可得，解得，即函数的定义域为， 设，显然该函数在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域上为增函数，故函数的减区间为，即C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，即D正确.故选：ABD . 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数，且，则实数________． 【详解】因为，，即，解得，所以，则. 13. 已知，且，则__________． 【答案】7【详解】， 则 则有，若，则故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】【详解】由，得或， 即函数的定义域为，令，则， 因为函数为定义域上的单调增函数，在上递增， 函数单调增区间为，因为函数在上单调递增， 所以，所以，故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 ； 【小问2详解】. 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【小问1详解】．当时， 所以，； 【小问2详解】是的充分不必要条件，∴A是B的真子集，故 即，所以实数m的取值范围是. 17. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 【小问1详解】∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，．∴ 【小问2详解】当时，，当时，取得最大值． 当时，，当且仅当，即时，取得最大值15．∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 分析】（1）由奇函数定义计算即可得； （2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式； （3）计算出及的值域后，对任意的，总存在，使得成立即为的值域为的值域的子集，计算即可得. 【小问1详解】因为函数为奇函数，所以， 即在定义域上恒成立，整理得，故； 【小问2详解】解法一：由（1）知， 所以函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 所以，解得；所以此时不等式的解集为； 解法二：因为，令，则可化简为， 即，即，解得，即． 所以此时不等式的解集为； 【小问3详解】在的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立，即， 所以，解得. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据奇函数的定义，求证即可； （2）（ⅰ）法一：设函数图象的对称中心为，设，根据（1）的结论即可求得，，进而得解； 法二：设，通过计算可得，根据为奇函数即可求解； （ⅱ）根据与关于对称即可求解. 小问1详解】证明：因为为奇函数，并且定义域为R， 所以，所以，则， 而，则， 所以，所以，因为，所以， 综上若函数为奇函数，则实数d和f为定值，均为0． 【小问2详解】（ⅰ）（法一）因为，，，，所以， 设函数图象的对称中心为， 设，由题可知函数为奇函数， 因为 ， 若为奇函数，由（1）可得，解得，， 则函数图象的对称中心为． （法二）因为，，，，所以， 设，所以 ， 因为的定义域为R，并且， 所以为奇函数，根据题可得函数的图象关于中心对称． （ⅱ）因为，所以与关于对称， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $