专题05 相似三角形的实际应用7大题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材青岛版

专题05 相似三角形的实际应用 提升·进阶突破 题型1. 利用影子测高问题 题型2. 平面镜反射测高问题 题型3. 标杆测量高度问题 题型4. 盲区与视线遮挡问题 题型5. 河宽（不可直接测量距离）求解问题 题型6. 小孔成像问题 题型7. 折叠类相似实际应用问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 利用影子测高问题 【模型】同一时刻太阳光平行，构造两组垂直地面的直角三角形相似。 【步骤】找出物高、影长对应边，列比例式求解。 【易错】忽略必须是同一时刻，错把影长直接当物高。 1．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 树的高度为． 故选D． 2．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了中心投影与三角形相似，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，作于E，交于F，如图，则，利用可得，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到的距离． 【详解】解：作于E，交于F，如图， 由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的距离是． 故选：B． 3．周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键设树所在线段为，过点作于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，求出，再根据即可求解． 【详解】解：设树所在线段为，过点作于点，如图： 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为_____米． 【答案】 【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论． 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，（点、、在同一直线上）．已知小明的身高是，请你帮小明求出楼高．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 过点作交于点，交于点，根据题意，易得，从而求出，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 由题可知，四边形、是矩形，，则，，， ， ， ， ，即，解得， ， 则楼高约为． 题型2 平面镜反射测高问题 【模型】光的反射定律，入射角等于反射角，得到两个直角三角形相似。 【步骤】确定反射点，找准对应角，写出对应边比例计算。 【易错 ：对应顶点找错，反射角、入射角对应的边匹配颠倒。 1．如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔的高度，他们先在水平地面上一点放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端的距离，当镜子与观测者小芳的距离时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端，已知小芳的眼睛距地面的高度，铁塔的高度为（    ）（根据光的反射原理，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例求出AB． 【详解】解：由镜面对称可知：△CDE∽△ABE， ∴， ∴， ∴AB=12米． 故选：B． 【点睛】考查了相似三角形的性质，运用镜面对称性质，得到三角形相似，再由相似比三角形对应边成比例得出最后结果，比较简单． 2．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 先证明，得到，代入求值即可解答． 【详解】解：由题意及图，得 ，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 3．如图是数学实践课上一同学设计的测量旗杆高度的示意图，其中是旗杆，是高1米的旗台，在距旗台前24米的地面D处平放一平面镜，该同学站在平面镜后2米的F处正好从平面镜里看到了旗杆的顶部A，若该同学的眼睛E距离地面1.5米，且和均垂直地面，则旗杆__________．     【答案】米 【分析】先根据光的反射定律得出，再得出，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的实际应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，，， 设， 根据光的反射定律， ∵ ∴ ∴ 即 解得 即米 故答案为：米． 4．数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ∴， 又∵， ， ， ， ， 答：旗杆的高为， 故答案为：12． 5．综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ，即； (2) (3)镜长至少为 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （3）延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，且，，， ， ， ②号“E”的测量距离为； （3）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 题型3 标杆测量高度问题 【模型】过观测点作水平线，拆分图形得到上下两组相似直角三角形。 【步骤】画出水平辅助线，分开计算高出人眼部分，再加人眼高度。 【易错】忘记加上观测者（人眼）高度，直接用相似结果当作总高。 1．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程． 【详解】解：若设竹竿的长度为尺， 竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺， ， 故选：B． 2．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 3．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． 4．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是________m． 【答案】10.5 【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE=1.2，AB=1.6，BC=12.4， ∴AC=14， ∴， ∴CD=10.5． 故答案为：10.5． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键． 5．【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】过点作的垂线，垂足为，交于点，若选择甲同学方案，利用平行，易得，从而，代入计算即可；若选择乙同学方案，利用平行，易得，，从而可得，代入计算即可． 【详解】解：若选择甲同学方案， 如图，过点作的垂线，垂足为，交于点， 由题可知，，米，米，米，米，米，米， ，， ， ， ，即， 米， 米， 则旗杆的高度为米． 若选择乙同学方案， 如图，过点作，垂足为，交于点， 由题可知，，米，厘米米，厘米米， ， ，， ，， ，即， 米， 则旗杆的高度为米． 题型4 盲区与视线遮挡问题 【模型】视线为直线，障碍物、人、远处物体构成相似三角形。 【步骤】确定视线临界点，找到相似三角形对应边长列式 【易错】分不清盲区范围，对应边选取错误。 1．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出米，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵米，米， ∴米， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 解得（米）， 故选：D． 2．如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 由题意可知目标偏离的距离为或，且，根据，得出，得出，即，求出，继而求出即可． 【详解】解：依题意得：由题意可知目标偏离的距离为或，且 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴ 故选：A． 3．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．    【答案】/ 【分析】如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）； 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 4．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 5．小明和小丽想用所学知识测量一棵树的高度，如图，小丽先站在点E处观测树的顶端A，视线与水平线的夹角为；然后，小丽继续站在E处，小明在小丽与树之间的线段上放一平面镜，经过不断调整，当平面镜放置在C处时，小丽刚好能在镜子中看到树的顶部A的像，这时测得．已知小丽同学的眼睛到地面的距离，点B、C、E在一条直线上，，，求这棵树的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】这棵树的高度为为6米． 【分析】过点D作于F，根据等腰直角三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】过点D作于F，则m，， ∵， ∴． 设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴这棵树的高度为为6米． 【点睛】本题考查的是利用相似三角形测高，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． 题型5 河宽（不可直接测量距离）求解问题 【模型】构造一组共角或平行的相似三角形，把河宽设为未知数。 【步骤】利用平行线得等角，建立边长比例方程求河宽。 【易错】混淆河宽对应的边，误把地面其他线段当作河宽。 1．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 【答案】B 【分析】设河宽米，则点P到北岸的距离为米，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设河宽米，则点P到北岸的距离为米， 由题意得，米，米， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为米． 2．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得，然后再在河岸上选点E，使得，设与交于点D，测得米，米，米，那么这条河的大致宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故选：B． 二、填空题3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 ______ 米． 【答案】38 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，利用比例性质可解决问题．过P作于F，延长交于E，由已知得米，米，米，由，，得到，，利用相似比等于对应高的比，可知，求出，再由即可求解． 【详解】解：如图所示，过P作于F，延长交于E， 由已知得米，米，米， ，， ， ，即， ， 米， 则河宽为38米． 故答案为：38． 4．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，，与交于点D．已测得，，，则河宽为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：， 解得：． 故答案为：． 5．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3) 解：可行，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【分析】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． （1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）略 题型6小孔成像问题 【模型】小孔成像，上下两个三角形对顶角相等且平行，三角形相似。 【步骤】找准物距、像距、物体高度、像高，列比例计算。 【易错】物距、像距对应关系弄反。 1．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 2．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，根据烛焰的像是烛焰的2倍即可列方程求解． 【详解】设蜡烛距小孔，则小孔距成像板， 由题意可知：， ∴， ∴，解得． 即蜡烛与成像板之间的小孔相距． 故选：C． 3．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴， 即 解得：． 4．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为___________________ ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键．根据平行关系证明，，从而得到，，计算可得，即可得到的长度． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，小亮自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为．他测得蜡烛火焰所成的像约为，蜡烛到纸筒小孔端的距离为．蜡烛火焰大约有多高？ 【答案】蜡烛火焰大约有 【分析】连接，根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算． 【详解】解：如图，连接： 由题意得，，，，，，， ， ， ， 解得． 答：蜡烛火焰大约有． 题型7 折叠类相似实际应用问题 【模型】折叠前后边角相等，结合直角构造相似三角形。 【步骤】由折叠性质转化边、角，找到相似三角形再列式。 【易错】折叠相等边、相等角识别不全，找错相似条件。 1．如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，根据，可得出，，由相似三角形的性质可得出，代入可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图①所示的是生活中常见的人字梯，也称折叠梯．如图②所示的是其工作示意图，，拉杆，则两梯杆跨度之间的距离为（    ） A．2m B．2.1m C．2.5m D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键. 由得，由证明，则，所以米，于是得到问题的答案. 【详解】， 即 即两梯杆跨度之间的距离为2.1． 故选：B. 3．如图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，，根据图②中的数据可求得C、D之间的距离为________米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，掌握好相似三角形的判定与性质是解题关键． 由可得，，则，计算出即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，即，     ∴米． 故答案为：． 4．如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________． 【答案】30 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：30． 5．材料阅读： 如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点． 解决问题： （1）图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点（无需写解答过程）； （3）如图③所示的矩形ABCD，将矩形ABCD沿CM折叠后，点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究点E的位置． 【答案】（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点；（2）详见解析；（3）E为AB的中点． 【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解； （2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求； （3）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE=∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，边之间的数量关系，从而可求出E点的位置． 【详解】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点，理由是： ∵∠A=40°， ∴∠ADE+∠DEA=140°， ∵∠DEC=40°， ∴∠BEC+∠DEA=140°， ∴∠ADE=∠BEC， ∵∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEC， ∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点； （2）作图如下： （3）若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点， 则△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM， 由折叠得：∠ECM=∠DCM，CE=CD， ∴∠BCE=∠BCD=30°， ∴BE=CE=AB， 即E为AB的中点． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的对应边成比例的性质，解题关键是读懂题目信息，理解全相似点的定义，判断出∠CED=90°，从而确定作以CD为直径的圆． $专题05 相似三角形的实际应用 提升·进阶突破 题型1. 利用影子测高问题 题型2. 平面镜反射测高问题 题型3. 标杆测量高度问题 题型4. 盲区与视线遮挡问题 题型5. 河宽（不可直接测量距离）求解问题 题型6. 小孔成像问题 题型7. 折叠类相似实际应用问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 利用影子测高问题 【模型】同一时刻太阳光平行，构造两组垂直地面的直角三角形相似。 【步骤】找出物高、影长对应边，列比例式求解。 【易错】忽略必须是同一时刻，错把影长直接当物高。 1．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　） A． B． C． D． 3．周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 4．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为_____米． 5．小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，，（点、、在同一直线上）．已知小明的身高是，请你帮小明求出楼高．（结果精确到） 题型2 平面镜反射测高问题 【模型】光的反射定律，入射角等于反射角，得到两个直角三角形相似。 【步骤】确定反射点，找准对应角，写出对应边比例计算。 【易错 ：对应顶点找错，反射角、入射角对应的边匹配颠倒。 1．如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔的高度，他们先在水平地面上一点放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端的距离，当镜子与观测者小芳的距离时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端，已知小芳的眼睛距地面的高度，铁塔的高度为（    ）（根据光的反射原理，） A． B． C． D． 2．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 3．如图是数学实践课上一同学设计的测量旗杆高度的示意图，其中是旗杆，是高1米的旗台，在距旗台前24米的地面D处平放一平面镜，该同学站在平面镜后2米的F处正好从平面镜里看到了旗杆的顶部A，若该同学的眼睛E距离地面1.5米，且和均垂直地面，则旗杆__________．     4．数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为___________． 5．综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 题型3 标杆测量高度问题 【模型】过观测点作水平线，拆分图形得到上下两组相似直角三角形。 【步骤】画出水平辅助线，分开计算高出人眼部分，再加人眼高度。 【易错】忘记加上观测者（人眼）高度，直接用相似结果当作总高。 1．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 2．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 3．露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为______． 4．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，楼高CD是________m． 5．【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 题型4 盲区与视线遮挡问题 【模型】视线为直线，障碍物、人、远处物体构成相似三角形。 【步骤】确定视线临界点，找到相似三角形对应边长列式 【易错】分不清盲区范围，对应边选取错误。 1．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ）米 A． B． C． D． 2．如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（    ） A． B． C． D． 3．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为______米．    4．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 5．小明和小丽想用所学知识测量一棵树的高度，如图，小丽先站在点E处观测树的顶端A，视线与水平线的夹角为；然后，小丽继续站在E处，小明在小丽与树之间的线段上放一平面镜，经过不断调整，当平面镜放置在C处时，小丽刚好能在镜子中看到树的顶部A的像，这时测得．已知小丽同学的眼睛到地面的距离，点B、C、E在一条直线上，，，求这棵树的高度．（平面镜大小忽略不计） 题型5 河宽（不可直接测量距离）求解问题 【模型】构造一组共角或平行的相似三角形，把河宽设为未知数。 【步骤】利用平行线得等角，建立边长比例方程求河宽。 【易错】混淆河宽对应的边，误把地面其他线段当作河宽。 1．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树挡住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为（     ） A．15米 B．22.5米 C．35米 D．37.5米 2．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得，然后再在河岸上选点E，使得，设与交于点D，测得米，米，米，那么这条河的大致宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题3．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔米有一棵树，在北岸边每隔米有一根电线杆，小丽站在离南岸边米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为 ______ 米． 4．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，，与交于点D．已测得，，，则河宽为______． 5．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 题型6小孔成像问题 【模型】小孔成像，上下两个三角形对顶角相等且平行，三角形相似。 【步骤】找准物距、像距、物体高度、像高，列比例计算。 【易错】物距、像距对应关系弄反。 1．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 3．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 4．如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为___________________ ． 5．如图，小亮自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为．他测得蜡烛火焰所成的像约为，蜡烛到纸筒小孔端的距离为．蜡烛火焰大约有多高？ 题型7 折叠类相似实际应用问题 【模型】折叠前后边角相等，结合直角构造相似三角形。 【步骤】由折叠性质转化边、角，找到相似三角形再列式。 【易错】折叠相等边、相等角识别不全，找错相似条件。 1．如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，与地面平行，已知，，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图①所示的是生活中常见的人字梯，也称折叠梯．如图②所示的是其工作示意图，，拉杆，则两梯杆跨度之间的距离为（    ） A．2m B．2.1m C．2.5m D． 3．如图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点O，，根据图②中的数据可求得C、D之间的距离为________米． 4．如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________． 5．材料阅读： 如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点． 解决问题： （1）图①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点（无需写解答过程）； （3）如图③所示的矩形ABCD，将矩形ABCD沿CM折叠后，点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究点E的位置． $