第10讲 反比例函数的图像及性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数的图像及性质核心知识点，系统梳理从定义（三种等价形式）到图像特征（双曲线、象限分布、对称性）、性质（增减性、k的几何意义），再到与一次函数、几何图形综合应用的知识脉络，构建完整学习支架。 资料以思维导图总览课程内容，通过分层考点设计（基础定义到创新压轴）和实际应用案例（如功率与时间、桔槔汲水问题），培养学生抽象能力、几何直观的数学眼光，提升推理与运算的数学思维，强化模型意识的数学语言。课中辅助教师精准教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

第10讲 反比例函数的图像及性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解反比例函数的概念，能准确判断反比例函数，掌握其三种表达形式。 · 掌握反比例函数的图像特征，能根据 k 的符号判断图像所在象限及增减性。 · 熟练运用反比例函数的性质比较函数值大小、解决与一次函数的综合问题。 · 理解反比例函数图像的平移规律，能分析图像变换后的性质。 · 体会数形结合、类比迁移、分类讨论的数学思想。 知识梳理 · 核心概念与性质 ☆反比例函数定义 · 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。 · 三种等价形式： 2. （分式形式） 2. （负指数形式） 2. （乘积形式） · 自变量取值范围：x≠0的一切实数，函数值y≠0。 ☆图象与性质 · 图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称，且关于直线y=x和y=-x轴对称。 · 两支曲线无限接近坐标轴但永不相交（坐标轴是渐近线）。 · k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小。 · k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。 · 注意：谈论增减性时必须强调“在每个象限内”，跨象限不能直接比较。 ☆k的几何意义 · 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。 · 若连接该点与原点，则与坐标轴围成的直角三角形面积为|k|2。 · 这个性质常被用于求k的值或比较面积大小。 ☆反比例函数与一次函数综合 · 求交点：联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标。若一次函数为，则交点的横坐标满足，转化为一元二次方程求解。 · 利用图象解不等式：在平面直角坐标系中，比较两个函数图象的上下位置，从而确定自变量的取值范围。 · 对称性：正比例函数与反比例函数如果有两个交点，则这两个交点关于原点对称。 ☆反比例函数与几何综合 · 常结合三角形、矩形、梯形等图形，利用点坐标表示线段长，建立方程求解。 · 涉及面积时，通常利用k的几何意义或割补法。 · 等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题的处理：设出关键点坐标（注意点在曲线上），根据几何性质（如边相等、垂直、中点等）列方程求解，注意分类讨论。 核心考点 · 4大考点精讲 【考点1】反比例函数的定义 （第1—7题） 📌 方法总结： · 判断依据：形如 y = k/x（k ≠ 0），或 xy = k，或 y = kx⁻¹。 · 注意：k ≠ 0，x ≠ 0。 · 含参数时，由指数为 −1 且系数不为0 确定参数值。 1．（2026春•宝山区校级月考）如果函数y＝（k+1）x|k|﹣2是反比例函数，那么k的值为（　　） A．6 B．﹣1 C．1 D．2或3 【分析】反比例函数的形式为y＝kx﹣1（k≠0），因此需满足指数为﹣1且系数非零，据此进行分析，即可作答． 【解答】解：由题意可得k+1≠0，|k|﹣2＝﹣1， ∴k≠﹣1，|k|＝1， 解得k＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 2．（2026春•虹口区期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义逐一判断选项即可，反比例函数的定义为：形如，其中k为常数且k≠0的函数是反比例函数． 【解答】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、符合反比例函数定义，常数2≠0，符合题意； C、是正比例函数，不符合题意； D、未说明k≠0，当k＝0时不是反比例函数，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是关键． 3．（2026•宝山区二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】形如yk为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y，y不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数， y中y是（x+1）的反比例函数，而非x的反比例函数， y中y是x的反比例函数， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2025秋•虹口区校级期中）下列函数关系式：（1）y；（2）；（3）y；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　②③　 （填入序号）． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意． 【解答】解：①y是二次函数； ②y是反比例函数； ③y是反比例函数； ④y﹣1不是反比例函数； ⑤y不是反比例函数； 故答案为：②③． 【点评】此题主要考查了反比例函数定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）若是反比例函数，则n的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据反比例函数的定义得n2+n﹣1＝﹣1且n2+2n≠0，由此解出n的值即可． 【解答】解：∵函数是反比例函数， ∴n2+n﹣1＝﹣1且n2+2n≠0， 由n2+n﹣1＝﹣1，解得：n＝0，或n＝﹣1， 由n2+2n≠0，解得：n≠0且n≠﹣2， ∴n＝﹣1， 即当n＝﹣1时，是反比例函数． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确理解反比例函数的定义是解决问题的关键． 6．（2024•闵行区三模）若函数y＝﹣2xm是反比例函数，则m的值是 　﹣1　 ． 【分析】形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，也可以写成y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），据此解答即可． 【解答】解：若函数y＝﹣2xm是反比例函数， 则m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟知其定义是解题的关键． 7．（2026春•松江区期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，；当时，z＝﹣2． （1）求z关于x的函数表达式； （2）当x＝16时，求z的值． 【分析】（1）根据题意设把x＝8时，代入，求得k的值；设z＝ny，把，z＝﹣2，代入计算求出n的值，即可确定z与y的函数解析式；将代入z＝ny，可求得z与x的函数解析式， （2）将x＝16代入（1）中的解析式再计算即可． 【解答】解：（1）设，z＝ny， ∵当x＝8时，， ∴， ∴k＝4， ∴， ∵当时，z＝﹣2， ∴， ∴n＝﹣6， ∴z＝﹣6y， ∴，即． （2）将x＝16代入， 得． 【点评】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 【考点2】反比例函数的图像 （第8—19题） 📌 方法总结： · 由 k 的符号判断双曲线所在象限。 · 一次函数与反比例函数图象共存问题，先由反比例函数确定 k 符号，再判断一次函数。 · 图像平移规律：左加右减（x 方向），上加下减（y 方向）。 · 注意双曲线是中心对称图形，对称中心为原点（或平移后的中心）。 8．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数图象是双曲线的是（　　） A．y＝5x B．y＝5 C． D． 【分析】只需判断各选项的函数类型，根据反比例函数的图象是双曲线即可得到答案． 【解答】解：A、y＝5x是正比例函数，图象为过原点的直线，不符合要求．； B、y＝5是常函数，图象为平行于x轴的直线，不符合要求； C、是正比例函数，图象为过原点的直线，不符合要求； D、可变形为，属于反比例函数，反比例函数的图象是双曲线，符合要求． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2026春•闵行区月考）函数y＝kx﹣k与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与性质，分k＜0和k＞0两种情况讨论，能同时成立的即为正确答案． 【解答】解：根据一次函数和反比例函数的图象与性质，分k＜0和k＞0两种情况讨论如下： 当k＜0时，反比例函数的图象分布在二、四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限；B符合题意； 当k＞0时，反比例函数的图象分布在一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，没有符合题意的图象． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2026春•松江区期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故符合题意； B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故不符合题意； C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故不符合题意； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、二、四象限，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 11．（2025春•杨浦区期中）已知关于x的函数y＝k（x﹣1）和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】由函数y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点，且两个函数的图象所在象限不同，据此可得． 【解答】解：由函数y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点，且函数y＝k（x﹣1）与函数的图象经过的象限恰好相反， 故选：B． 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象，根据y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点是解题的关键． 12．（2026春•浦东新区期末）如图所示是三个反比例函数y，y，y的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是 k1＜k3＜k2 ．（用“＜”连接） 【分析】反比例函数|k|越大，开口越小，根据反比例函数的图象性质可知． 【解答】解：根据图象可知|k|越大，开口越小， 则k1＜0，k2＞k3＞0， 所以k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2． 故答案为：k1＜k3＜k2． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质，体现了数形结合的思想． 13．（2026•硚口区一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电阻R＝6Ω时，则对应的电流是　6　 A． 【分析】先设出电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I（U≠0）利用待定系数法求出解析式，进而求出当R＝6时，I的值即可得到答案． 【解答】解：设电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I（U≠0）， 把（9，4）代入I（U≠0）中得：4（U≠0）， ∴U＝36， ∴电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I， ∴当R＝6时I6， ∴电流I的大小为6A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 14．（2026•锦江区校级模拟）直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b的解集为x＜﹣2或0＜x＜3　 ． 【分析】先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图象即可得出答案． 【解答】解：∵直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象的交点的横坐标是﹣2和3， ∴关于x的不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜3， 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，用了数形结合思想． 15．（2026春•伊川县期中）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被墨水污染了一部分，已知点A，B在格点上，则k＝　12　 ． 【分析】根据直角坐标系设点A（2，n），则点B（3，n﹣2），将两点代入反比例函数，可得出2n＝3（n﹣2），进而求出A（2，6），则可得出k的值． 【解答】解：设点A（2，n），则点B（3，n﹣2）， 由条件可得2n＝3（n﹣2）， 解得n＝6． ∴A（2，6）， 则k＝2×6＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了求反比例函数解析式，熟练掌握该知识点是关键． 16．（2025秋•栾城区校级期中）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则a＝　﹣4　 ，此时不等式的解集为x＜0或x＞4　 ． 【分析】利用左加右减的平移规律即可得到结论；根据图象即可求得． 【解答】解：将函数y的图象向右平移4个单位得到函数y的图象，则a＝﹣4； 故答案为：﹣4； 函数y向左平移a个单位得到函数的图象， 观察图象，不等式的解集为x＞4或x＜0． 故答案为：﹣4，x＜0或x＞4． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 17．（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． （1）填写表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y1 … 　﹣1　 ﹣3 3 　　 1 … y2 … 1 　3　 ﹣3 … （2）以表格中的对应值为点的坐标，在图中画出函数图象． 【分析】（1）根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可； （2）以表格中的对应值为点的坐标，描出点连线即可画出函数图象； 【解答】解：（1）当x＝﹣3时，；当x＝2时，； 当x＝﹣1时，，当x＝3时，； ∴填写表格如下： x ⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 ⋯ y1 ⋯ ﹣1 ﹣3 3 1 ⋯ y2 ⋯ 1 3 ﹣3 ﹣1 ⋯ （2）画函数图象如下： 【点评】本题考查了画反比例函数图象，掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键． 18．（2025•前郭县模拟）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）写出功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图象，求当功率小于100W时，做功时间t的取值范围． 【分析】（1）先设出P与t的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可； （2）描点连线即可； （3）把P＝100代入函数解析式即可． 【解答】解：（1）设功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式P（k≠0）， 把t＝10，P＝120代入解析式得：120， 解得：k＝1200， ∴功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式为P． （2）如图所示： （3）当P＝100时，100， ∴t＝12， ∴当功率小于100W时，做功时间t的取值范围为t＞12． 【点评】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式，用反比例函数的知识解决实际问题． 19．（2024秋•长春期末）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间是 　10　 小时． （2）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式． （3）当棚内温度不低于16℃时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长的时间是 　12.5　 小时． 【分析】（1）根据图象直接得出保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10（小时）； （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，把y＝16分别代入一次函数和反比例函数的解析式即可求得时间段，求出出差即可解决问题． 【解答】解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10小时； 故答案为：10； （2）设当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+14， 把A（2，18）代入得18＝2k+14， ∴k＝2， ∴y＝2x+14（0≤x≤2）； （3）∵点B（12，18）在双曲线y上， ∴k＝12×18＝216， ∴y（x＞12）， 把y＝16代入得，16， 解得x＝13.5， 把y＝16代入y＝2x+14得，16＝2x+14， 解得x＝1， 所以这天该蔬菜能够快速生长的时间是13.5﹣1＝12.5小时． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练应用待定系数法解决问题． 【考点3】反比例函数的性质 （第20—35题） 📌 方法总结： · 增减性前提：在每个象限内。 · 比较函数值大小时，先判断点所在象限，再根据增减性判断。 · 利用对称性可快速确定对应点坐标。 · |k| 的几何意义：矩形面积，常用于求面积或参数。 20．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．y＝﹣3x D．y＝3x 【分析】根据两种函数的性质逐一判断各选项即可． 【解答】解：A、 是反比例函数 k＝3＞0 y仅在每个象限内随x增大而减小，在全体定义域内不满足y随x增大而减小，故A错误； B、 是反比例函数 k＝﹣3＜0 y在每个象限内随x增大而增大，故B错误； C、y＝﹣3x 是正比例函数∵k＝﹣3＜0∴y随x的增大而减小，故C正确； D、y＝3x 是正比例函数∵k＝3＞0∴y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数与反比例函数的增减性，熟练掌握以上知识点是关键． 21．（2026春•浦东新区校级期中）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点（﹣1，2） C．图象位于第二、四象限 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵反比例函数， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A不正确，符合题意； 图象必经过点（﹣1，2），故选项B正确，不符合题意； 图象位于第二、四象限，故选项C正确，不符合题意； 若x＞1，则﹣2＜y＜0，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 22．（2026春•崇明区期中）若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】反比例函数y的图象位于第二、四象限，比例系数k﹣1＜0，即k＜1，根据k的取值范围进行选择． 【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第二、四象限， ∴k﹣1＜0， 即k＜1． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 23．（2026春•浦东新区校级月考）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，3） B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质，当k＜0时，图象位于第二、四象限，关于原点对称，且在每一象限内y随x的增大而增大． 【解答】解：反比例函数中，k＝﹣3＜0， A、∵当x＝﹣1时，，∴图象经过点（﹣1，3），正确，不符合题意； B、k＜0，图象位于第二、四象限，正确，不符合题意； C、反比例函数图象关于原点对称，正确，不符合题意； D、∵k＜0，∴当x＜0时，在第二象限，y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 24．（2024秋•上海校级期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　） ①函数图象经过点（1，﹣1）；②图象经过第二象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大． A．y＝﹣x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣1 D． 【分析】根据一次函数的增减性可得y＝﹣x不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得y＝x﹣2不满足②；根据平行于x轴的直线的性质可得y＝﹣1不满足③；根据反比例函数的性质可得满足①②③． 【解答】解：根据一次函数与反比例函数图象的性质逐项分析判断如下： A、在y＝﹣x中，一次项系数小于0，则y随x的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在y＝x﹣2中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； C、y＝﹣1中，y不随着x的变化而变化，不符合③，不符合题意； D、在中，﹣1＜0，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，当x＝1时，，则该函数图象经过点（1，﹣1），故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2025•奉贤区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（　　） A．x＞0时，y的值随x的增大而减小 B．x＜0时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 【分析】函数y可看作是由反比例函数y经过平移得到的．我们可以通过分析函数的单调性、函数值的正负等性质来判断各选项． 【解答】解：反比例函数y向右平移2个单位即可得到函数y， A、x＜2或x＞2时，y的值随x的增大而减小，故不符合题意； B、x＜0时，y的值随x的增大而减小，故不符合题意； C、图象不经过第二象限，故符合题意； D、图象经过第四象限，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键． 26．（2024秋•浦东新区校级期末）已知函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它和函数y＝﹣kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴k＞0， ∴双曲线在第一、三象限， ∴函数y＝﹣kx的图象经过第二、四象限， 故选：A． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k的影响． 27．（2026春•嘉定区期末）如果反比例函数y＝（m+1）x|m|﹣4（m是常数）的图象在第二、四象限，那么m的值是　﹣3　 ． 【分析】根据反比例函数的定义及图象与性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为y＝（m+1）x|m|﹣4（m是常数）是反比例函数， 所以|m|﹣4＝﹣1且m+1≠0， 解得m＝±3． 又因为该反比例函数的图象在第二、四象限， 所以m+1＜0， 即m＜﹣1， 所以m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质及反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 28．（2026•碑林区校级模拟）已知反比例函数，，当1≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则a+b的值为　2　 ． 【分析】根据反比例函数的增减性，分别求出两个反比例函数在1≤x≤4范围内的最大值a和b，再计算a+b即可． 【解答】解：反比例函数中， ∵k＝3＞0， ∴当1≤x≤4时，y1随x的增大而减小， ∴当x＝1时，y1取得最大值； 反比例函数中， ∵k＝﹣4＜0， ∴当1≤x≤4时，y2随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y2取得最大值； ∴a+b＝3+（﹣1）＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 29．（2026•闵行区三模）函数y的定义域是x≠﹣2　 ． 【分析】根据函数y，可知x+2≠0，从而可以求得x的取值范围． 【解答】解：∵函数y， ∴x+2≠0， 解得，x≠2， 故答案为：x≠﹣2． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 30．（2026•虹口区三模）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数在第一象限的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，由图中给出的信息，我们可以得到k的值是　4　 ． 【分析】根据题意可设M（1，m），则N（2，m﹣2），则k＝1•m＝2•m﹣2，据此求解即可． 【解答】解：设M（1，m），则N（2，m﹣2）， ∴k＝1•m＝2•（m﹣2）， ∴m＝4， ∴k＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键． 31．（2025秋•虹口区校级期中）反比例函数，已知在每个象限内，g（x）的函数值随着x的增大而增大，且当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2．设p＝|g（m）|，q＝|g（m﹣a）|（m≠0且m≠a），请写出p≤q时m的取值范围　且m≠1　 ． 【分析】首先根据g（x）的函数值随着x的增大而增大，可知k＞0，根据当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2可知k＝a＝1，可得：，，分情况列不等式求解即可． 【解答】解：∵在每个象限内，的函数值随着x的增大而增大， ∴﹣k＜0， 可得：k＞0， ∴反比例函数在每个象限内随着x的增大而减小， ∵当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a， ∴，即k＝a， ∵当1≤x≤2时，函数g（x）的最小值是a﹣2， ∴， 解得：a＝1， 可得：，， ∴，， ∵p≤q， ∴且m﹣1≠0， 当m＞1时，m＞m﹣1＞0， ∴， ∴成立； 当0＜m＜1时，，， ∵， ∴， 解得：； 当m＜0时，m﹣1＜m， ∴， ∴； 综上所述，m的取值范围是且m≠1． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 32．（2026春•长治期末）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图（1）中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高y和脚长x之间是　①　 函数关系（填序号）； ①一次函数 ②反比例函数 ③正比例函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，估计这个人的身高． 【分析】（1）根据表中数据描点即可； （2）由图知坐标系中点呈直线分布，所以身高y和脚长x之间是一次函数关系； （3）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （4）将x＝25.8代入y＝7x﹣5即可． 【解答】解：（1） （2）因为坐标系中点呈直线分布，所以身高y和脚长x之间是一次函数关系， 故答案为：①； （3）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵当x＝23时，y＝156；当x＝24时，y＝163， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式y＝7x﹣5； （4）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝175.6， ∴估计这个人的身高为175.6cm． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，一次函数的应用，熟知以上知识是解题的关键． 33．（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是　120　 ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【解答】解：（1）∵1×300＝1.5×200＝2×150＝3×100＝300， ∴点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变， ∴； 故答案为：120； （2）F与l之间的函数图象，如图所示： （3）由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 34．（2025秋•太原校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【分析】（1）分别列出点P在AB和BC上运动时，y关于x的函数关系式即可； （2）画出（1）中解析式的图象，并从增减性上答出一条性质即可； （3）根据图象，当y1＝y时x的取值估读为x1≈2.4，x2≈9.6． 【解答】解：（1）根据题意，当点P在AB上运动时，解析式为y2x（0＜x≤6）； 当点P在BC上运动时，解析式为：y6×（10﹣x）＝30﹣3x（6＜x＜10）， ∴y， （2）图象如图所示，性质如下： 【增减性】：当0＜x≤6时，y随x的增大而增大； 当6＜x≤10时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． （3）根据图象所示，两个函数的交点的横坐标估值为：x1≈2.4，x2≈9.6． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握作图技巧是关键． 35．（2025秋•南山区校级期中）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … ﹣4 ﹣2 ﹣1 … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当x＞　1或x＜1　 时，y随x的增大而 　增大　 （填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 　（1，0）　 ； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数y图象，直接写出当y≥﹣2时，x的取值范围是 x≥2或x＜1　 ． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）观察图象即可解答； （3）当y≥﹣2时，即，整理得到，再结合（1）中的图象即可解答． 【解答】解：（1）函数图象如图： （2）①当x＞1或x＜1时，y随x的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（1，0）； 故答案为：①x＞1或x＜1，增大；②（1，0）； （3）当y≥﹣2时，即， 整理得：， 由（1）中图象得当x≥2或x＜1时，有， ∴当y≥﹣2时，x的取值范围是：x≥2或x＜1． 故答案为：x≥2或x＜1． 【点评】本题考查了描点法画函数图象、中心对称图形、图象法解不等式，正确画出函数图象是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题 （第36—39题） 📌 方法总结： · 类比分数与分式，将假分式化为带分式，从而转化为反比例函数研究性质。 · 利用反比例函数图象进行作图（如线段等分点）。 · 结合实际应用（如桔槔、销售等）建立反比例模型。 · 注意数形结合，利用图象直观解决问题。 36．（2025•平定县二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … … ﹣1 1 … 2．描点． 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x＝6时，y有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求x﹣1的最大值→求x的最大值 通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x＝6时，y有最小值． 任务：（1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：　数形结合思想　 ．（写出一个即可） （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值． （3）直接写出的最小值． 【分析】（1）数形结合思想；函数思想：类比思想；（写一个即可）； （2）小红的方法：画出图象观察即可；小明的方法：求出1﹣x的最小值为1，可得的最大值为1，从而求出2的最大值为3； （3）y1，先求出x﹣1的最大值为﹣3，则的最小值为，即可求出y＝1的最小值为． 【解答】解：（1）数形结合思想；函数思想：类比思想；（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想； （2）小红的方法：通过观察图象可知：当﹣8≤x≤0时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝0时，y有最大值3； 小明的方法：∵﹣8≤x≤0， ∴1≤1﹣x≤9， ∴1﹣x的最小值为1， ∴的最大值为1， ∴2的最大值为3； （3）y1， ∵﹣6≤x≤﹣2， ∴﹣7≤x﹣1≤﹣3， ∴x﹣1的最大值为﹣3， ∴的最小值为， ∴y＝1的最小值为． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，根据所给的阅读材料，数形结合，利用函数思想类比解题是关键． 37．（2025•海珠区一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价x（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量y（千克） 50 60 75 90 100 （1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似地反映试销期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【分析】（1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可． 【解答】解：（1）根据表格数据可知：18×50＝900，15×60＝900，12×75＝900，10×90＝900，9×100＝900， 乘积恒为900，说明y与x成反比例函数， 设反比例函数解析式为y，代入x＝18，y＝50得：k＝18×50＝900， ∴反比例函数解析式为y． （2）根据题意，试销5天销售总量为50+60+75+90+100＝375， 剩余量1575﹣375＝1200（千克）， 后续销售10天，销量＝90×10＝900， 剩余量1200﹣900＝300（千克）， 设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意得： 2300， 解得a＝6． 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 38．（2025•长治一模）阅读与思考下面是小李同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点 今天，我在图书馆一本数学杂志上看到一段材料：将一条线段三等分是数学史上较为经典的问题之一，利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点．我对此方法充满了好奇，便认真阅读了这段内容，并把它写 在今天的数学日记里，具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线AP上连续截取PQ，QR，使PQ＝QR＝AP． 第三步：过点R作RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，则． 第四步：在射线OA上连续截取OD，DE，使OD＝DE＝BC，则D，E为OA的三等分点． 但是BC为什么等于呢？我写出以下证明过程： 设OA＝m，则点A的坐标为（m，0）． ∵PA⊥x轴于点A，交的图象于点P， ∴点P的坐标为． … 写完这段材料后我有如下思考：用上面方法也一定能作出线段OA的五等分点． 任务： （1）请将日记中小李剩余部分的证明过程补充完整； （2）请参照日记中的作法，在图2中作出线段OA的五等分点．（画出作图过程即可，不需要证明） 【分析】（1）先求出点R的坐标为．再得出点C的纵坐标为．把代入，得，解得，可得点B的坐标为，得出．再求解即可； （2）仿照（1）的方法进行解答即可． 【解答】解：（1）∵PQ＝QR＝AP， ∴点R的坐标为． ∵RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C， ∴点C的纵坐标为． 把代入反比例函数的解析式，得， 解得， ∴点B的坐标为， ∴BC． ∵OA＝m， ∴BCOA． （2）如图，M，N，K，L就是线段OA的五等分点． 具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：过点T作TF⊥y轴于点F，交反比例函数的图象于点W，则． 第三步：在射线AP上连续截取PQ，QR，RS，ST，使PQ＝QR＝AP＝RS＝ST． 第四步：在射线OA上连续截取OM，MN，NK，KL，LA，使OM＝MN＝NK＝KL＝LA， 则M，N，K，L就是线段OA的五等分点． 【点评】本题是反比例综合题，考查了反比例函数的性质，性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 39．（2024春•夹江县期末）著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． （1）把假分式化为带分式的形式为 　　 ； （2）我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当x＞0时，y随着x的增大而 　增大　 （填“增大”或“减小”）； （3）求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 【分析】（1）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，再根据反比例函数的性质即可求解； （3）将分式化为带分式，再根据横、纵坐标均为整数确定x的值，进一步确定y的值即可得到答案． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， ∵﹣7＜0， ∴当x＞0时，随着x的增大而增大， ∴当x＞0时，随着x的增大而增大， 故答案为：增大； （3）∵， 若纵坐标为整数，即为整数，且横坐标为整数，即x为整数， ∴x﹣1＝±1， ∴x＝0或2， 当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5， ∴函数图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标为（0，3）和（2，5）． 【点评】本题考查了分式的加减运算，反比例函数的性质，（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•同步）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1　＜　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】反比例函数y（k＜0），根据在同一个象限内，y随x的增大而增大即可得答案． 【解答】解：∵点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，且0＜x1＜x2， 且在同一个象限内，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查反比例函数的增减性，掌握k＜0时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 【练习2】（2026春•同步）已知下列反比例函数：y，y，y，y．其中，图象位于第一、三象限的函数是y　 ；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是y，y，y　 ． 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得出答案． 【解答】解：∵k＞0时，函数y的图象位于第一、三象限，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小， k＜0时，函数y的图象位于第二、四象限，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴图象位于第一、三象限的函数是y；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是y，y，y． 故答案为：y；y，y，y． 【点评】此题主要考查了反比例的性质，正确掌握反比例函数图象的分布规律和性质是解题关键． 【练习3】（2026•衡阳模拟）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3．则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3 ．（用“＜”连接） 【分析】根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第一、三象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴在每一象限y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴C点在第一象限，A、B点在第三象限， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为：y2＜y1＜y3． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 【练习4】（2026•龙华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　﹣6　 ． 【分析】作高，由等腰三角形的性质可得S△AODS△AOC|k|，进而求出k的值． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D， ∵AC＝AO， ∴CD＝DO， ∵函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴OA＝OB， ∵S△ABC＝12， ∴S△AOC6， ∴S△AODS△AOC|k|， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，理解正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称是解决问题的关键． 【练习5】（2026春•奉贤区期末）小华用“描点法”绘制一个正比例函数图象和一个反比例函数图象，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： x … a 1 2 … y1 … ﹣2 2 1 … 表2： x … a 1 2 … y2 … b 2 4 … （1）请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； （2）求表格中a、b的值； （3）在平面直角坐标系中（如图），画出这两个函数的大致图象，并结合这两个函数的图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据表格中的自变量和函数值进行判断即可； （2）根据所求函数解析式进行解答即可； （3）根据表格画出函数图象，根据函数图象的位置和交点坐标写出自变量x的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据表1可知xy＝2×1＝2， ∴表1对应反比例函数，即， 根据表2可知，2＝1×2，4＝2×2，即， ∴表2对应正比例函数，即， （2）由题意可得， 解得a＝﹣1， 由题意可得，b＝2a＝﹣2， （3）根据表格画出函数图象， 根据图象可知，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 反比例函数象限作业2 函数图象共存作业3 图象与参数作业4 反比例函数与一次函数图象 作业5 实际应用（功率与速度）作业6 图象与系数作业7 反比例函数参数范围 作业8 分式方程与反比例函数作业9 比较函数值作业10 新定义“闭函数”作业11 面积与反比例 作业12 求反比例函数表达式作业13 反比例函数性质作业14 整数点问题 作业15 反比例函数图象平移作业16 正比例与反比例综合 💡 复习建议 概念清晰：准确判断反比例函数，注意 k ≠ 0 和 x ≠ 0 的条件。 图象记忆：由 k 的符号联想双曲线所在的象限和增减性，注意“每个象限内”的前提。 数形结合：解决综合题时，画出函数图象，直观判断交点、不等式解集。 类比迁移：研究复杂分式函数时，先化为“带分式”，再类比反比例函数性质。 实际建模：多练习物理、经济中的反比例关系，提高建模能力。 【作业1】（2026•大姚县二模）反比例函数y的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【分析】根据反比例函数图象的性质，k＝﹣5，反比例函数图象位于第二、四象限进行解答． 【解答】解：∵k＝﹣5＜0， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数y的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 【作业2】（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与的大致图象可能是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】利用反比例函数的图象及正比例函数的图象分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限，正比例函数的图象位于一三象限，①正确；当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，正比例函数的图象位于二四象限，②正确；故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数及正比例函数的图象，属于函数的基础知识，难度不大． 【作业3】（2026•古冶区三模）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则k＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【分析】观察网格，设点M（x，y）、N（x﹣2，y﹣1），将点M（x，y）、N（x﹣2，y﹣1）代入反比例函数得到，结合x、y均为正整数，且x＞0，据此解答即可． 【解答】解：设点M（x，y）、N（x﹣2，y﹣1），由条件可得： ， 整理得， 由于点M，N在格点上，且在y轴右侧， 则x、y均为正整数，且x＞0， 当y＝﹣1时，，解得，x＝4， ∴点M（4，﹣1），k＝4×（﹣1）＝﹣4， 则点N（2，﹣2），满足k＝2×（﹣2）＝﹣4； ∴k＝﹣4． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 【作业4】（2026春•香坊区校级同步）若反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数y＝kx+2的图象大致是（　　） A．过一、二、三象限 B．过一、二、四象限 C．过一、三、四象限 D．过二、三、四象限 【分析】根据反比例函数的性质可以确定k的符号，再根据一次函数的性质即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴k＜0， 则一次函数y＝kx+2图象经过一、二、四象限， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，先利用反比例函数的性质确定k的取值，再利用一次函数的性质求解． 【作业5】（2026•恩施市校级模拟）某玩具汽车的电动机工作时的功率P保持恒定，其牵引力F与速度v的关系如图所示，根据图象可知，当牵引力F超过50N时，速度v可能的范围是（　　） A．v＞2.4m/s B．v＜2.4m/s C．v≤2.4m/s D．v≥2.4m/s 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出F＝50时，v的值，根据增减性，进行求解即可． 【解答】解：由题意，设， 由条件可得P＝12×10＝120， ∴， ∴， ∴当输出力F超过50N时，v＜2.4m/s． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 【作业6】（2026春•同步）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k　＜　 0；在图象的每一支上，y随着x的增大而　增大　 ． 【分析】直接利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案． 【解答】解：如果反比例函数y（k≠0）的图象位于第二、四象限，那么k＜0；在图象的每一支上，y随着x的增大而增大． 故答案为：＜，增大． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业7】（2026春•河口区期末）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＜2026　 ． 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限得到k﹣2026＜0，然后求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2026＜0， 解得k＜2026． 故答案为：k＜2026． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业8】（2026春•沙坪坝区校级同步）若关于x的方程的解为非负整数，且反比例函数的图象在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是　5　 ． 【分析】根据反比例函数的性质可得a+3＞0，从而可得a＞﹣3，解分式方程求得x，根据关于x的方程的解为非负整数，即可求得a＝1或4，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴a+3＞0， ∴a＞﹣3， ， 去分母得，a+x＝﹣2（x﹣2）， 去括号得，a+x＝﹣2x+4， 移项、合并得，3x＝4﹣a， 解得，x， ∵关于x的方程的解为非负整数，且，a＞﹣3， ∴a＝1或4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是1+4＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 【作业9】（2026•铜川二模）已知反比例函数（k为常数）的图象过点（2，2）．若点A（x1，y1），B（x2，y2）是这个反比例函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关系是y1　＜　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的系数k，再根据x1＜0＜x2判断两点A，B所在象限，比较y1与y2的大小． 【解答】解：∵反比例函数（k为常数）的图象过点（2，2）， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的解析式为， ∵k＝4＞0， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵x1＜0＜x2， ∴点A（x1，y1）在第三象限，点B（x2，y2）在第一象限， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业10】（2026•合肥模拟）给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b时，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”． （1）已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5），则它是“　2　 型闭函数”； （2）已知反比例函数（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝　2024　 ． 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先得到故，，则，再由定义得到，可得ab＝1，然后根据完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）对于一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5），可知y随x的增大而增大， 根据定义，当x＝1时，m＝1；x＝5时，n＝9， ∴n﹣m＝k（5﹣1）＝8，故k＝2； 故答案为：2； （2）对于反比例函数可知在第一象限内，y随x的增大而减小， 故，， ∴， 又∵反比例函数是“k型闭函数”， ∴， 可得ab＝1， ∵， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2026﹣2＝2024． 故答案为：2024． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业11】（2026•铁岭模拟）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA 【分析】先求CD长度，再求点B坐标，进而得出函数解析式，可求得面积． 【解答】解：∵BD＝4，， ∴， 由条件可知， ∴， 把B坐标代入得k＝18， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案为：9． 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 56．（2026春•同步）如图，点A（﹣1，﹣3）、B（2，a）在某个反比例函数的图象上．求这个反比例函数的表达式与a的值． 【分析】根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，把B（2，a）代入即可求出a的值， 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y图象上， ∴k＝﹣1×（﹣3）＝3． ∴反比例函数的解析式是y， ∵B（a，2）在反比例函数y的图象上， ∴2， ∴a． 【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，充分利用反比例函数图象上点的坐标特征是本题的关键． 57．（2025秋•路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围； （3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1＝1×2， 解得k＝3； （2）∵在函数y图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1； （3）点C不在这个函数的图象上，理由如下： ∵k＝13，有k﹣1＝12， ∴反比例函数的解析式为y． 将点B的坐标代入y，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数y的图象上， 将点C的坐标代入y，由5，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数y的图象上． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 58．（2026•拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”． （1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有　4　 个“整数点”； （2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围． 【分析】（1）L2经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）画出图象； （2）根据图象求k的范围． 【解答】解：（1）当k＝﹣12时，y经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）， 如图，画出L2的图象， 由图可知：L2和L1之间（不含边界）有4个优点， 故答案为：4． （2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣2，5），（﹣2，4），（﹣3，3），（﹣4，2）时，﹣12≤k＜﹣10； 如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣1，5），（﹣1，4），（﹣2，2），（﹣4，1）时，﹣4＜k≤﹣3； 故答案为：﹣12≤k＜﹣10或﹣4＜k≤﹣3． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，读懂题意，在网格中画出反比例函数图象是解题的关键． 59．（2025秋•固始县期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①　图象是中心对称图形　 ，②　当x＞﹣1时，y随着x的增大减小　 ． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　左　 平移 　1　 个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　﹣1＜x＜3　 时，y3＞3． 【分析】（1）描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答两条不同的性质； （3）理解运用：结合图象即可得出结论 （4）灵活应用：结合图象可准确填空． 【解答】解：（1）如图： ； （2）观察图象， ①图象是中心对称图形； ②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小． 故答案为：图象是中心对称图形；当x＞﹣1时，y随着x的增大减小； （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位． 故答案为：左；1． （4）灵活应用：函数的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足﹣1＜x＜3时，y3＞3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键． 60．（2025春•上蔡县月考）已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0）当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，． （1）求a，b的值； （2）当y1＝y2时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）将数据代入两个解析式即可得到a、b的值； （2）先确定两个函数解析式，再列方程求出x值即可； （3）数形结合，直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，， ∴1，即m＝﹣2， ∴4，即b， ∴a＝﹣2n，即n＝﹣1，a＝2， 故a＝2，b； （2）由（1）可知y1；y2＝﹣x， 当y1＝y2时，， x； （3）如图： 当y1﹣y2＞0时，x的取值范围为x＜0或x． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 反比例函数的图像及性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解反比例函数的概念，能准确判断反比例函数，掌握其三种表达形式。 · 掌握反比例函数的图像特征，能根据 k 的符号判断图像所在象限及增减性。 · 熟练运用反比例函数的性质比较函数值大小、解决与一次函数的综合问题。 · 理解反比例函数图像的平移规律，能分析图像变换后的性质。 · 体会数形结合、类比迁移、分类讨论的数学思想。 知识梳理 · 核心概念与性质 ☆反比例函数定义 · 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。 · 三种等价形式： 2. （分式形式） 2. （负指数形式） 2. （乘积形式） · 自变量取值范围：x≠0的一切实数，函数值y≠0。 ☆图象与性质 · 图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称，且关于直线y=x和y=-x轴对称。 · 两支曲线无限接近坐标轴但永不相交（坐标轴是渐近线）。 · k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小。 · k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。 · 注意：谈论增减性时必须强调“在每个象限内”，跨象限不能直接比较。 ☆k的几何意义 · 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|。 · 若连接该点与原点，则与坐标轴围成的直角三角形面积为|k|2。 · 这个性质常被用于求k的值或比较面积大小。 ☆反比例函数与一次函数综合 · 求交点：联立两个函数解析式，解方程组得到交点坐标。若一次函数为，则交点的横坐标满足，转化为一元二次方程求解。 · 利用图象解不等式：在平面直角坐标系中，比较两个函数图象的上下位置，从而确定自变量的取值范围。 · 对称性：正比例函数与反比例函数如果有两个交点，则这两个交点关于原点对称。 ☆反比例函数与几何综合 · 常结合三角形、矩形、梯形等图形，利用点坐标表示线段长，建立方程求解。 · 涉及面积时，通常利用k的几何意义或割补法。 · 等腰三角形、直角三角形、平行四边形等存在性问题的处理：设出关键点坐标（注意点在曲线上），根据几何性质（如边相等、垂直、中点等）列方程求解，注意分类讨论。 核心考点 · 4大考点精讲 【考点1】反比例函数的定义 （第1—7题） 📌 方法总结： · 判断依据：形如 y = k/x（k ≠ 0），或 xy = k，或 y = kx⁻¹。 · 注意：k ≠ 0，x ≠ 0。 · 含参数时，由指数为 −1 且系数不为0 确定参数值。 1．（2026春•宝山区校级月考）如果函数y＝（k+1）x|k|﹣2是反比例函数，那么k的值为（　　） A．6 B．﹣1 C．1 D．2或3 2．（2026春•虹口区期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026•宝山区二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•虹口区校级期中）下列函数关系式：（1）y；（2）；（3）y；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　 　 （填入序号）． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）若是反比例函数，则n的值为 　 　 ． 6．（2024•闵行区三模）若函数y＝﹣2xm是反比例函数，则m的值是 　 　 ． 7．（2026春•松江区期末）已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，；当时，z＝﹣2． （1）求z关于x的函数表达式； （2）当x＝16时，求z的值． 【考点2】反比例函数的图像 （第8—19题） 📌 方法总结： · 由 k 的符号判断双曲线所在象限。 · 一次函数与反比例函数图象共存问题，先由反比例函数确定 k 符号，再判断一次函数。 · 图像平移规律：左加右减（x 方向），上加下减（y 方向）。 · 注意双曲线是中心对称图形，对称中心为原点（或平移后的中心）。 8．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数图象是双曲线的是（　　） A．y＝5x B．y＝5 C． D． 9．（2026春•闵行区月考）函数y＝kx﹣k与在同一坐标系中的大致图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 10．（2026春•松江区期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．（2025春•杨浦区期中）已知关于x的函数y＝k（x﹣1）和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（　　） A． B． C． D． 12．（2026春•浦东新区期末）如图所示是三个反比例函数y，y，y的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是 　 　 ．（用“＜”连接） 13．（2026•硚口区一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电阻R＝6Ω时，则对应的电流是　 　 A． 14．（2026•锦江区校级模拟）直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b的解集为　 　 ． 15．（2026春•伊川县期中）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被墨水污染了一部分，已知点A，B在格点上，则k＝　 　 ． 16．（2025秋•栾城区校级期中）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则a＝　 　 ，此时不等式的解集为　 　 ． 17．（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． （1）填写表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y1 … 　 　 ﹣3 3 　 　 1 … y2 … 1 　 　 ﹣3 … （2）以表格中的对应值为点的坐标，在图中画出函数图象． 18．（2025•前郭县模拟）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）写出功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）结合图象，求当功率小于100W时，做功时间t的取值范围． 19．（2024秋•长春期末）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间是 　 　 小时． （2）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式． （3）当棚内温度不低于16℃时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长的时间是 　 　 小时． 【考点3】反比例函数的性质 （第20—35题） 📌 方法总结： · 增减性前提：在每个象限内。 · 比较函数值大小时，先判断点所在象限，再根据增减性判断。 · 利用对称性可快速确定对应点坐标。 · |k| 的几何意义：矩形面积，常用于求面积或参数。 20．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．y＝﹣3x D．y＝3x 21．（2026春•浦东新区校级期中）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点（﹣1，2） C．图象位于第二、四象限 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0 22．（2026春•崇明区期中）若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 23．（2026春•浦东新区校级月考）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，3） B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 24．（2024秋•上海校级期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　） ①函数图象经过点（1，﹣1）；②图象经过第二象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大． A．y＝﹣x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣1 D． 25．（2025•奉贤区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（　　） A．x＞0时，y的值随x的增大而减小 B．x＜0时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 26．（2024秋•浦东新区校级期末）已知函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它和函数y＝﹣kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 27．（2026春•嘉定区期末）如果反比例函数y＝（m+1）x|m|﹣4（m是常数）的图象在第二、四象限，那么m的值是　 　 ． 28．（2026•碑林区校级模拟）已知反比例函数，，当1≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则a+b的值为　 　 ． 29．（2026•闵行区三模）函数y的定义域是　 　 ． 30．（2026•虹口区三模）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数在第一象限的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，由图中给出的信息，我们可以得到k的值是　 　 ． 31．（2025秋•虹口区校级期中）反比例函数，已知在每个象限内，g（x）的函数值随着x的增大而增大，且当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2．设p＝|g（m）|，q＝|g（m﹣a）|（m≠0且m≠a），请写出p≤q时m的取值范围　 　 ． 32．（2026春•长治期末）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图（1）中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高y和脚长x之间是　 　 函数关系（填序号）； ①一次函数 ②反比例函数 ③正比例函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，估计这个人的身高． 33．（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是　 　 ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 34．（2025秋•太原校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 35．（2025秋•南山区校级期中）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … ﹣4 ﹣2 ﹣1 … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当x＞　 　 时，y随x的增大而 　 　 （填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 　 　 ； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数y图象，直接写出当y≥﹣2时，x的取值范围是 　 　 ． 【考点4】创新及压轴题 （第36—39题） 📌 方法总结： · 类比分数与分式，将假分式化为带分式，从而转化为反比例函数研究性质。 · 利用反比例函数图象进行作图（如线段等分点）。 · 结合实际应用（如桔槔、销售等）建立反比例模型。 · 注意数形结合，利用图象直观解决问题。 36．（2025•平定县二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … … ﹣1 1 … 2．描点． 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x＝6时，y有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求x﹣1的最大值→求x的最大值 通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x＝6时，y有最小值． 任务：（1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：　 　 ．（写出一个即可） （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值． （3）直接写出的最小值． 37．（2025•海珠区一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价x（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量y（千克） 50 60 75 90 100 （1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似地反映试销期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 38．（2025•长治一模）阅读与思考下面是小李同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点 今天，我在图书馆一本数学杂志上看到一段材料：将一条线段三等分是数学史上较为经典的问题之一，利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点．我对此方法充满了好奇，便认真阅读了这段内容，并把它写 在今天的数学日记里，具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线AP上连续截取PQ，QR，使PQ＝QR＝AP． 第三步：过点R作RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，则． 第四步：在射线OA上连续截取OD，DE，使OD＝DE＝BC，则D，E为OA的三等分点． 但是BC为什么等于呢？我写出以下证明过程： 设OA＝m，则点A的坐标为（m，0）． ∵PA⊥x轴于点A，交的图象于点P， ∴点P的坐标为． … 写完这段材料后我有如下思考：用上面方法也一定能作出线段OA的五等分点． 任务： （1）请将日记中小李剩余部分的证明过程补充完整； （2）请参照日记中的作法，在图2中作出线段OA的五等分点．（画出作图过程即可，不需要证明） 39．（2024春•夹江县期末）著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． （1）把假分式化为带分式的形式为 　 　 ； （2）我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当x＞0时，y随着x的增大而 　 　 （填“增大”或“减小”）； （3）求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•同步）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，那么y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【练习2】（2026春•同步）已知下列反比例函数：y，y，y，y．其中，图象位于第一、三象限的函数是　 　 ；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是　 　 ． 【练习3】（2026•衡阳模拟）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3．则y1，y2，y3的大小关系是　 　 ．（用“＜”连接） 【练习4】（2026•龙华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　 　 ． 【练习5】（2026春•奉贤区期末）小华用“描点法”绘制一个正比例函数图象和一个反比例函数图象，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： x … a 1 2 … y1 … ﹣2 2 1 … 表2： x … a 1 2 … y2 … b 2 4 … （1）请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； （2）求表格中a、b的值； （3）在平面直角坐标系中（如图），画出这两个函数的大致图象，并结合这两个函数的图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 反比例函数象限作业2 函数图象共存作业3 图象与参数作业4 反比例函数与一次函数图象 作业5 实际应用（功率与速度）作业6 图象与系数作业7 反比例函数参数范围 作业8 分式方程与反比例函数作业9 比较函数值作业10 新定义“闭函数”作业11 面积与反比例 作业12 求反比例函数表达式作业13 反比例函数性质作业14 整数点问题 作业15 反比例函数图象平移作业16 正比例与反比例综合 💡 复习建议 概念清晰：准确判断反比例函数，注意 k ≠ 0 和 x ≠ 0 的条件。 图象记忆：由 k 的符号联想双曲线所在的象限和增减性，注意“每个象限内”的前提。 数形结合：解决综合题时，画出函数图象，直观判断交点、不等式解集。 类比迁移：研究复杂分式函数时，先化为“带分式”，再类比反比例函数性质。 实际建模：多练习物理、经济中的反比例关系，提高建模能力。 【作业1】（2026•大姚县二模）反比例函数y的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限 【作业2】（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与的大致图象可能是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【作业3】（2026•古冶区三模）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则k＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【作业4】（2026春•香坊区校级同步）若反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数y＝kx+2的图象大致是（　　） A．过一、二、三象限 B．过一、二、四象限 C．过一、三、四象限 D．过二、三、四象限 【作业5】（2026•恩施市校级模拟）某玩具汽车的电动机工作时的功率P保持恒定，其牵引力F与速度v的关系如图所示，根据图象可知，当牵引力F超过50N时，速度v可能的范围是（　　） A．v＞2.4m/s B．v＜2.4m/s C．v≤2.4m/s D．v≥2.4m/s 【作业6】（2026春•同步）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k　 　 0；在图象的每一支上，y随着x的增大而　 　 ． 【作业7】（2026春•河口区期末）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　 　 ． 【作业8】（2026春•沙坪坝区校级同步）若关于x的方程的解为非负整数，且反比例函数的图象在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　 ． 【作业9】（2026•铜川二模）已知反比例函数（k为常数）的图象过点（2，2）．若点A（x1，y1），B（x2，y2）是这个反比例函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关系是y1　 　 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【作业10】（2026•合肥模拟）给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b时，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”． （1）已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5），则它是“　 　 型闭函数”； （2）已知反比例函数（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝　 　 ． 【作业11】（2026•铁岭模拟）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA，BC，若点C（2，0），BD＝4，S△BCD＝5，则S△AOC＝　 　 ． 【作业12】（2026春•同步）如图，点A（﹣1，﹣3）、B（2，a）在某个反比例函数的图象上．求这个反比例函数的表达式与a的值． 【作业13】（2025秋•路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【作业14】（2026•拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”． （1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有　 　 个“整数点”； （2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围． 【作业15】（2025秋•固始县期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①　 　 ，②　 　 ． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　 　 平移 　 　 个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　 　 时，y3＞3． 【作业16】（2025春•上蔡县月考）已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0）当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，． （1）求a，b的值； （2）当y1＝y2时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $