第14讲圆优等生讲义（圆的概念和性质，弧长与扇形）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第14讲 圆 优等生讲义 （圆的概念和性质，弧长与扇形）2026年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的有关概念，掌握点和圆的位置关系 · 掌握垂径定理及其推论，能进行相关计算 · 理解弧、弦、圆心角的关系，掌握圆周角定理 · 会计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积 · 了解反证法，能解决与圆有关的综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的有关概念与点和圆的位置关系 圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合 弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧的概念 点和圆的位置关系：d>r 在圆外，d=r 在圆上，d<r 在圆内 不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形外心是三边中垂线交点 概念辨析例题：⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为3，则点P在⊙O的（ ）A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 答案：A 解析：OP=3<r=5，故点P在圆内。 ☆ 2.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦 常用辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形 弦长公式：弦长=2，d为圆心到弦的距离 概念辨析例题：⊙O半径为5，弦AB=8，则圆心O到AB的距离为多少？ 答案：3 解析：由垂径定理，半弦长=4，d==3。 ☆ 3.弧、弦、圆心角与圆周角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等 圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对弦是直径 圆内接四边形对角互补 概念辨析例题：⊙O中，圆心角∠AOB=80°，则同弧所对的圆周角∠ACB=？ 答案：40° 解析：圆周角等于同弧所对圆心角的一半，∠ACB=×80°=40°。 ☆ 4.弧长、扇形面积与圆锥 弧长公式：l=（n为圆心角度数） 扇形面积公式：S==lr 圆锥侧面积：S侧=πrl（l为母线长），全面积=πrl+πr² 圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径=母线长，弧长=底面周长 概念辨析例题：扇形圆心角为120°，半径为6，求弧长和面积。 答案：弧长=4π，面积=12π 解析：l==4π；S==12π。 📋 知识总结表 核心概念 公式/定理 注意事项 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 被平分的弦不能是直径 圆周角定理 圆周角=同弧圆心角的一半 必须是同弧所对 弧长公式 l= n是度数不是弧度 扇形面积 S= 也可=lr 圆锥侧面积 S侧=πrl l是母线不是高 圆内接四边形 对角互补 外角等于内对角 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的基本概念与点和圆的位置关系（第1-15题） · 判断点与圆位置关系比较d与r · 三角形外心是三边中垂线交点，到三顶点距离相等 · 三点确定一个圆前提是三点不共线 1．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列叙述正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．相等的弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、圆周角的概念辨析及简单运算、垂径定理的推论 【分析】本题综合考查了垂径定理推论、三角形的外心和内心的性质，圆周角定理的推论，解答关键是熟练掌握相关性质或定理． 【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，原说法错误，不符合题意； C、相等的弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； D、同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（       ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据圆的定义．平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形是圆，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是圆． 故选：C 3．（2026·上海普陀·模拟预测）下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、利用弧、弦、圆心角的关系求解、判断命题真假 【分析】根据弦的定义，等弧的定义，圆心角与弧的关系，三角形外心的定义，逐一判断命题真假即可得到结果． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，该命题为真； ②等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，该命题为假； ③只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，该命题为假； ④三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形内角平分线的交点是内心，该命题为假； 综上，真命题共1个． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，若．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、圆周角定理 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数，灵活运用圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 故选：D． 5．（23-24九年级上·北京·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求三角形外心坐标、勾股定理与网格问题、利用垂径定理求值、坐标与图形 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点，， ________________ 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【知识点】判断确定圆的条件、坐标与图形 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 【答案】不会 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【详解】解：∵龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，， ∴小明不会受到龙卷风的影响． 故答案为：不会． 8．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是______． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关概念等知识，连接，证明，则有，，再由直角三角形性质可得，然后通过勾股定理求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是___________．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【答案】①③④⑨ 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，说法正确； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误； ③面积相等的两个圆是等圆，说法正确； ④等弧所对的圆心角相等，说法正确； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误； ⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误； ⑨半圆是弧，说法正确； ⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误； 故答案为：①③④⑨． 10．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 解：如图所示： 为直径，故圆心必在上，再做的中垂线，其与交点便为圆心 【知识点】在网格中判断直角三角形、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题考查了作图，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，可求出、、的长度，可得其恰好符合勾股定理，得出的度数； （2）因为点，，是圆上三点，故作的外心（即边长中垂线的交点）即可确定圆心； 【详解】解：（1）连接，如下图： 可得，，， ∵，故为直角三角形， ∴， 故答案为：． （2）略 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】(1) 解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． (2) 【知识点】圆的基本概念辨析、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求． (2) 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 13．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图即为花坛的位置． 【知识点】画圆(尺规作图) 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，作出的外接圆即可求解，掌握三角形外接圆的作法是解题的关键． 【详解】解：①分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ②分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于、两点，连接； ③直线与相交于点，以为圆心，以的长为半径画圆，则即为花坛的位置． 14．（2025·江苏南京·二模）从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为． (1)当时，的值为 ． (2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，． 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、圆的基本概念等知识点，掌握圆的基本知识点成为解题的关键． （1）如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，得到是等腰直角三角形，求出，然后利用求解即可． （2）分3种情况，分别根据矩形的性质和圆的基本概念画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H， 由题意得，是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：①如图：当时，最大半圆的半径为：； ②如图：当时， 根据题意得，四边形，，是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴在中， ∴ 整理得， ∴解得，或（舍）； ③如图：当时，最大半圆的半径为：； 综上，当时，；当时，；当时，． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，和均为直角三角形，，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上． 【答案】证明：如图，取的中点O，以点O为圆心，长为半径作圆，连接，． 和都为直角三角形，且， ∴，分别为和斜边上的中线， ， ∴A，B，C，D四点在同一个圆上． 【知识点】判断确定圆的条件、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】取的中点O，以点O为圆心，长为半径作圆，连接，，根据直角三角形的性质求解即可； 【详解】略 【考点2】垂径定理及其应用（第16-20题） · 过圆心作弦的垂线构造直角三角形 · 弦长、半径、弦心距知二求一 · 垂径定理常与勾股定理结合 16．（2022·安徽·模拟预测）在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】根据题意画出图形，过点O作于点D，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D， 弦， ， ， 即圆心O到的距离为． 17．（2026九年级上·江苏·专题练习）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 18．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，，连接，，．若，的周长为21，则的长为___________． 【答案】4 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，由垂径定理得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴都是三角形的中位线， ∴， ∵的周长为21， ∴，即， ∵， ∴ ∴， 故答案为：4． 19．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆中弦的条数、利用垂径定理求值 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 20．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，是的直径，弦于点，已知，，求的半径． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，设圆O的半径为r，则，然后根据垂径定理得出，然后在中利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 设半径为r， ∵， ∴， ∵为的直径，，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 【考点3】弧、弦、圆心角的关系（第21-26题） · 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦一组量相等则其余各组都相等 · 证明角相等或线段相等常转化为弧相等 · 注意前提是同圆或等圆 21．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】连接，由得到，根据，得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 22．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图，A，B，C，D是上的四个点，，于点E，则为___________． 【答案】 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理． 连接，由圆内接四边形的性质得，可得，再由垂径定理得出结合等边对等角即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵A，B，C，D是上的四个点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】此题考查了弧与弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．利用，，得出，，即可得，即可证． 【详解】略 24．（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)， 【知识点】证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求证、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理推理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）连接，由C是的中点求得根据等边三角形的性质得到，求得，求得得到结论； （2）根据圆周角定理得到根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 25．（2025·上海嘉定·二模）如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得，从而可得，进而可得，然后利用圆心角、弧、弦的关系可得∠； （2）设，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵半径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条弦． (1)如果，那么_____________，_____________． (2)如果，那么_____________，_____________． (3)如果，那么_____________，_____________． (4)如果，，，垂足分别为E，F，与相等吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)与相等．理由如下： ∵于点E，于点F， ∴，， 而， ∴， ∵， ∴ ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、全等的性质和HL综合（HL）、利用垂径定理求值 【分析】（1）、（2）、（3）利用圆心角、弧、弦的关系直接求解； （4）先利用垂径定理得到，，而，则，证明，得出． 【详解】（1）解：如果，那么；； （2）解：如果，那么；； （3）解：如果，那么；； （4）略 【考点4】圆周角定理及其推论（第27-33题） · 见直径想直角，见直角想直径 · 同弧所对圆周角相等，是转化角的重要工具 · 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 27．（2023·广西柳州·模拟预测）如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 28．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、三角形的外角的定义及性质 【分析】连接，，，，根据圆周角定理得到，，，根据角的和差及等量代换，三角形外角的性质求出，最后利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 29．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．    【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、等边对等角 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．连结，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连结，    ∵边为的直径， ∴． ， ∵点E是的中点， ∴． ∴， ， ∴． 30．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，点都在上，．求证：． 【答案】 证明：点都在上， ∵， ∴， ∴， 同理：， 在和中 ， ∴． 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查同圆中等弦、同弧所对圆周角相等，以及三角形全等的判定定理；利用即可证明． 【详解】略 31．（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】 （1）如图①，连接，， 在中，，， ； （2）． 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、利用垂径定理求值、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 32．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知四边形的内角的度数之比为，判断这个四边形是不是圆内接四边形，并说明理由． 【答案】解：四边形不是圆内接四边形，理由如下： ∵四边形的内角的度数之比为， ∴设， ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ． ∵圆内接四边形的对角互补， ∴四边形不是圆内接四边形． 【知识点】多边形内角和问题、已知圆内接四边形求角度 【分析】设，根据“圆内接四边形的对角互补”判断即可． 【详解】略． 33．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段检测）【学习心得】 （1）小雯在学习完“圆”这一章内容后，意识到一些几何问题可以通过添加辅助圆的方式，使问题变得更加容易解决．例如：如图①，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图③，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）；（2）； （3）作图如下： 由作图可知：为等边三角形， ∴， 又∵四点共圆，都在以为圆心，为半径的圆上， ∴． 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、画圆(尺规作图) 【分析】本题考查圆周角定理及其推论，四点共圆，尺规作图—作圆，熟练掌握圆周角定理及其推论，是解题的关键． （1）根据圆周角定理，即可得出结果； （2）取的中点，以为半径作，连接，，斜边上的中线得到，进而得到点，，，共圆，圆周角定理即可得出结果； （3）分别以为圆心，的长为半径化弧，两弧交于点，以为圆心，的长为半径化弧，交直线于点，点即为所求． 【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，， ． （2）如图，取的中点，以为半径作，连接，． ， ，， ， 点，，，共圆， ， ， ． （3） 略 【考点5】弧长与扇形面积（第34-38题） · 牢记弧长和扇形面积公式 · 不规则图形面积用割补法转化为扇形和三角形 · 弓形面积=扇形面积±三角形面积 34．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了求不规则图形的面积、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、圆的性质，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明得到弓形的面积弓形的面积，则，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，， ，四边形是正方形， ， ， ， ， 垂直平分， ， 弓形的面积弓形的面积， ， 故选：A． 35．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A． 36．（23-24六年级上·上海崇明·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的，那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是______度． 【答案】 【知识点】求弧长、求圆心角 【分析】本题考查了弧长的计算，圆的周长等知识，根据题意列出式子即可求得结果，正确列出式子是解题的关键． 【详解】解：圆周长即为圆的周长，此时的圆周角为， ∵一个扇形的弧长等于它所在圆周长的， ∴“最美扇形”的圆心角为， 故答案为：． 37．（2024·重庆·一模）如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【知识点】求弓形面积、求扇形面积、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，，过点作于点，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出的长，根据公式求出，然后计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 根据题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，分别以点B，点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点D，E，F，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等边对等角、求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】先根据等腰直角三角形的性质计算出，的长，再计算出的面积，根据，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：∵等腰直角三角形中，， ∴，，， ∴， ， ． ∵， ∴两个扇形面积之和为， ∴阴影部分的面积为． 【考点6】圆锥的侧面积与全面积（第39-43题） · 圆锥侧面展开图是扇形，半径=母线长 · 扇形弧长=底面圆周长 · 利用勾股定理求圆锥的高、母线、底面半径 39．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 40．（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥侧面展开图的圆心角、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为， 由题意得，， ∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D， ∴， ∴， ∴， ∴在展开图中，之间的距离为， 故选：D． 41．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若圆锥的侧面展开扇形的半径为3，圆心角为，则该圆锥底面圆的半径为_______． 【答案】 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】此题考查扇形的弧长公式，根据圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径长为， ∵圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长， ∴ 解得 故答案为． 42．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥的高 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据圆的周长公式计算出剪去圆周的一个扇形的周长，这个扇形的周长就是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式计算出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】解：半径为的圆，剪去圆周的一个扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线， 则有， 解得：， ∴． 故答案为：． 43．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，从一块边长为6的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】/ 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 如图：连接，根据等边三角形的性质可求，进一步求得弧长，即底面圆的周长，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆的半径是． 故答案为：． 【考点7】点与圆的最值问题（第44-47题） · 圆外一点到圆上点的最大距离=d+r，最小距离=d-r · 圆内一点到圆上点的最大距离=d+r，最小距离=r-d · 结合三角形三边关系求最值 44．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、点与圆上一点的最值问题、坐标系中的旋转 【分析】根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点坐标为，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，找到与的关系，由此得到的最小值是的最大值，最后数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质可得： 点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点，的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交（如图）与平行（如图）， ∴如图，当时，延长交于点，过点作于点， 当，时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称、中心对称、旋转的性质、勾股定理、圆的性质、平行四边形的性质等，掌握点的运动规律，建立合理的数量关系，数形结合分析问题是关键． 45．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 【答案】2 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径， 【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， ∴， 故答案为：2． 46．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长，P是圆上的动点，若的最小值为3，则的面积为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、点与圆上一点的最值问题 【分析】连接交正方形于点M，连接并延长，交于点，过点作，先求出，再确定 当点M与点B重合时，取得最大值，此时点P与点重合，即可解答． 【详解】解：连接交正方形于点M，连接并延长，交于点，过点作，如图，    由题意可得： ， 由勾股定理可得：， 即 或（不符合题意，舍去）， ∵为的半径，的最小值为3，， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵点M在正方形的边上， ∴当点M与点B重合时，取得最大值，此时点P与点重合， ∴， ∴为的面积为． 47．（2024·浙江·二模）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．    (1)在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）． (2)如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）根据圆的性质，经过圆心的直径最大，圆心外端的圆上点最远点，圆心内端的圆上点最近点，确定这两个点的位置，后计算即可． （2）过点D作交于点M，解直角三角形计算即可． 本题考查了圆的性质，解直角三角形，熟练掌握圆的性质，解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）∵直径， ． ∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为， ， ． （2）过点D作交于点M（如图）    ∵ ∵ ， ∵， 镜面上的点到桌面的最短距离 （即）． 【考点8】反证法（第48-52题） · 反证法步骤：反设→归谬→结论 · 常见反设：否定结论，注意常见关键词的否定 · 归谬时推出与已知、定理、事实矛盾 48．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 【答案】假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，则有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立． 【知识点】角平分线的性质定理、用反证法证明命题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查反证法，涉及全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． 在和中， ∵是边上的中线． ∴， ∵，， ∴； ∴，； ∵（）是的平分线， ∴， ∴， 则， 即，与相矛盾． 因而M与点D重合是错误的． 所以点M与点D不重合． 49．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角． 【答案】 证明：假设是钝角或直角． ∵，是底边上的高， ∴． ∵是钝角或直角， ∴，不符合三角形内角和定理， ∴假设不成立， ∴是一个锐角． 【知识点】三线合一、用反证法证明命题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是反证法，熟知等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 假设是钝角或直角，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行证明即可． 【详解】略 50．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）用反证法证明：如果在中，，那么中至少有一个角不大于． 【答案】 证明：假设． ， ． 在中，， ，这与矛盾． 假设不成立． 中至少有一个角不大于． 【知识点】用反证法证明命题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了反证法及三角形内角和．利用三角形的内角和及反证法即可求解． 【详解】略 51．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段检测）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 【答案】 ；；；；，不成立． 【知识点】用反证法证明命题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的外角性质的证明，反证法等知识，根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键． 【详解】略 52．（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 【知识点】用反证法证明命题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】略 💯 课后巩固 复习建议 · 垂径定理是圆中计算的基石，务必熟练 · 圆周角定理是转化角的核心工具，多练 · 弧长扇形圆锥公式要记准，注意单位 · 点与圆最值问题要画图分析 · 反证法注意反设要正确 【作业1】．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据等边对等角的性质可得，根据同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半，可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵所对应的圆心角是，所对的圆周角是， ∴， ∴， 故选：C ． 【作业2】．（23-24九年级下·广东深圳·阶段检测）下列命题中，假命题的个数有（    ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④对角线互相垂直的四边形是菱形； ⑤两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】判断命题真假、证明四边形是菱形、实数与数轴、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了判断真假命题，根据实数与数轴，垂径定理，垂线的性质，菱形的判定，平行线的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应，故原命题是假命题； ②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题； ③平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题． 故选：C． 【作业3】．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 【作业4】．（2023·广西梧州·三模）如图是一个几何体的三视图图中尺寸单位：，则这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积、已知三视图求侧面积或表面积 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为，底面圆的半径为，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积． 【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为， 底面圆的半径为， ∴底面圆的直径为， 所以这个几何体的侧面积＝． 故选：B． 【作业5】．（23-24九年级下·广西南宁·阶段检测）如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求弧长 【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 的长为； 故选B． 【作业6】．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 【作业7】．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段检测）下列语句中正确的个数是（　　） ①圆的对称轴是直径；②直径是圆中最长的弦；③在同圆或等圆中半径相等；④矩形的四个顶点在同一个圆上． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】利用矩形的性质证明、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的相关性质以及矩形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据圆的相关性质以及矩形的性质求解即可． 【详解】解：圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故①错误； ②、③是正确的； ④矩形的四个顶点在同一个圆上，正确的，因为矩形的对角线相等且互相平分，故矩形的四个顶点在同一个圆上，故正确， 故选：B． 【作业8】．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、点与圆上一点的最值问题 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 【作业9】．（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求圆锥底面半径、求弧长 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 【作业10】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据弧相等的关系找到边、角之间的相等关系． 【详解】解：A选项：， ， ， ， 故A选项正确； B选项：和不一定相等， 和不一定相等， 故B选项不正确； C选项：， ， ， 故C选项正确； 在和中，， ， ， 故D选项正确； 故选：B． 【作业11】．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知的半径为5，点P在上，则的长为 _____． 【答案】5 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答． 【详解】解：∵的半径为5，点P在上， ∴， 故答案为：5． 【作业12】．（2025·浙江杭州·三模）如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为____________（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，连接过切点的半径是解题的关键与常作的辅助线． 连接，则，由圆周角定理得，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． 【作业13】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设___________， （_____________）． 这与___________相矛盾，故___________不成立． 与不平行． 【答案】 两直线平行，同位角相等 【知识点】两直线平行同位角相等、用反证法证明命题 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，先假设，根据平行线的性质得出，说明与矛盾，从而证明原结论正确． 【详解】证明：假设， （两直线平行，同位角相等）． 这与相矛盾，故不成立． 与不平行． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；． 【作业14】．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【知识点】用反证法证明命题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 【作业15】．（2025九年级上·北京·专题练习）若点A在以点O为圆心，为半径的圆内，则点A到圆心O的距离d的取值范围是________． 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，根据点A在圆内，则点A到圆心O的距离小于半径，且距离非负，即可得出答案． 【详解】解：∵点A在内部，的半径为， ∴， 故答案为：． 【作业16】．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）用反证法证明“在中，，且，那么．”应先假设______． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立是解题的关键．根据反证法的第一步是假设结论的反面成立，即可求解． 【详解】解：根据题意得：应先假设． 故答案为：． 【作业17】．（25-26九年级上·北京·课后作业）用反证法证明：不在同一条直线上的三点确定一个圆，证明时可以先假设_____________． 【答案】不在同一直线上的三点不能确定一个圆 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查反证法，根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，作答即可． 【详解】解：用反证法证明：在同一直线上的三点不能确定一个圆，首先应假设不在同一直线上的三点不能确定一个圆； 故答案为：不在同一直线上的三点不能确定一个圆 【作业18】．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为_________． 【答案】/60度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，先证明是等边三角形，得到即可求解． 【详解】解：如图， ∵半径为3，上有两点A、B，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对劣弧的度数为， 故答案为：． 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 圆 优等生讲义 （圆的概念和性质，弧长与扇形）2026年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的有关概念，掌握点和圆的位置关系 · 掌握垂径定理及其推论，能进行相关计算 · 理解弧、弦、圆心角的关系，掌握圆周角定理 · 会计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积 · 了解反证法，能解决与圆有关的综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的有关概念与点和圆的位置关系 圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合 弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧的概念 点和圆的位置关系：d>r 在圆外，d=r 在圆上，d<r 在圆内 不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形外心是三边中垂线交点 概念辨析例题：⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为3，则点P在⊙O的（ ）A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 答案：A 解析：OP=3<r=5，故点P在圆内。 ☆ 2.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧 推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦 常用辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形 弦长公式：弦长=2，d为圆心到弦的距离 概念辨析例题：⊙O半径为5，弦AB=8，则圆心O到AB的距离为多少？ 答案：3 解析：由垂径定理，半弦长=4，d==3。 ☆ 3.弧、弦、圆心角与圆周角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等 圆周角定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等 半圆（直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对弦是直径 圆内接四边形对角互补 概念辨析例题：⊙O中，圆心角∠AOB=80°，则同弧所对的圆周角∠ACB=？ 答案：40° 解析：圆周角等于同弧所对圆心角的一半，∠ACB=×80°=40°。 ☆ 4.弧长、扇形面积与圆锥 弧长公式：l=（n为圆心角度数） 扇形面积公式：S==lr 圆锥侧面积：S侧=πrl（l为母线长），全面积=πrl+πr² 圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径=母线长，弧长=底面周长 概念辨析例题：扇形圆心角为120°，半径为6，求弧长和面积。 答案：弧长=4π，面积=12π 解析：l==4π；S==12π。 📋 知识总结表 核心概念 公式/定理 注意事项 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 被平分的弦不能是直径 圆周角定理 圆周角=同弧圆心角的一半 必须是同弧所对 弧长公式 l= n是度数不是弧度 扇形面积 S= 也可=lr 圆锥侧面积 S侧=πrl l是母线不是高 圆内接四边形 对角互补 外角等于内对角 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的基本概念与点和圆的位置关系（第1-15题） · 判断点与圆位置关系比较d与r · 三角形外心是三边中垂线交点，到三顶点距离相等 · 三点确定一个圆前提是三点不共线 1．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段检测）下列叙述正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．相等的弧所对的圆心角相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 2．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（       ） A．直线 B．正方形 C．圆 D．菱形 3．（2026·上海普陀·模拟预测）下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，若．则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·北京·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点，， ________________ 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段检测）龙卷风是大气中最强烈的涡旋现象之一，破坏力极强．若某次形成的龙卷风的影响范围半径为，小明所在的位置距龙卷风中心，则小明______受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 8．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是______． 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是___________．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 10．（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 13．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树、、，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 14．（2025·江苏南京·二模）从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为． (1)当时，的值为 ． (2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，和均为直角三角形，，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上． 【考点2】垂径定理及其应用（第16-20题） · 过圆心作弦的垂线构造直角三角形 · 弦长、半径、弦心距知二求一 · 垂径定理常与勾股定理结合 16．（2022·安徽·模拟预测）在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 17．（2026九年级上·江苏·专题练习）《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 18．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，，连接，，．若，的周长为21，则的长为___________． 19．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 20．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，是的直径，弦于点，已知，，求的半径． 【考点3】弧、弦、圆心角的关系（第21-26题） · 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦一组量相等则其余各组都相等 · 证明角相等或线段相等常转化为弧相等 · 注意前提是同圆或等圆 21．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 22．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图，A，B，C，D是上的四个点，，于点E，则为___________． 23．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：． 24．（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，是的直径，点C，D在上，且点C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 25．（2025·上海嘉定·二模）如图，已知是半圆的直径，半径垂直于弦，垂足为点，联结，． (1)求的度数； (2)求的值． 26．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条弦． (1)如果，那么_____________，_____________． (2)如果，那么_____________，_____________． (3)如果，那么_____________，_____________． (4)如果，，，垂足分别为E，F，与相等吗？为什么？ 【考点4】圆周角定理及其推论（第27-33题） · 见直径想直角，见直角想直径 · 同弧所对圆周角相等，是转化角的重要工具 · 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 27．（2023·广西柳州·模拟预测）如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 28．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 29．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，已知，以边为直径画交边于点E，点E为的中点．若，求的度数．    30．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，点都在上，．求证：． 31．（25-26九年级上·江西赣州·期中）【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 32．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知四边形的内角的度数之比为，判断这个四边形是不是圆内接四边形，并说明理由． 33．（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段检测）【学习心得】 （1）小雯在学习完“圆”这一章内容后，意识到一些几何问题可以通过添加辅助圆的方式，使问题变得更加容易解决．例如：如图①，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______． 【初步运用】 （2）如图②，在四边形中，，，求的度数； 【方法迁移】 （3）如图③，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 由作图可知：为等边三角形， ∴， 又∵四点共圆，都在以为圆心，为半径的圆上， ∴． 【考点5】弧长与扇形面积（第34-38题） · 牢记弧长和扇形面积公式 · 不规则图形面积用割补法转化为扇形和三角形 · 弓形面积=扇形面积±三角形面积 34．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 35．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 36．（23-24六年级上·上海崇明·期末）如果一个扇形的弧长等于它所在圆周长的，那么此扇形称为“最美扇形”．那么“最美扇形”的圆心角是______度． 37．（2024·重庆·一模）如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 38．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形中，，分别以点B，点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点D，E，F，求图中阴影部分的面积． 【考点6】圆锥的侧面积与全面积（第39-43题） · 圆锥侧面展开图是扇形，半径=母线长 · 扇形弧长=底面圆周长 · 利用勾股定理求圆锥的高、母线、底面半径 39．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 40．（2025·江苏南京·二模）如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 41．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）若圆锥的侧面展开扇形的半径为3，圆心角为，则该圆锥底面圆的半径为_______． 42．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 43．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，从一块边长为6的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是______． 【考点7】点与圆的最值问题（第44-47题） · 圆外一点到圆上点的最大距离=d+r，最小距离=d-r · 圆内一点到圆上点的最大距离=d+r，最小距离=r-d · 结合三角形三边关系求最值 44．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 45．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 46．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长，P是圆上的动点，若的最小值为3，则的面积为________． 47．（2024·浙江·二模）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．    (1)在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）． (2)如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，） 【考点8】反证法（第48-52题） · 反证法步骤：反设→归谬→结论 · 常见反设：否定结论，注意常见关键词的否定 · 归谬时推出与已知、定理、事实矛盾 48．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 49．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角． 50．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）用反证法证明：如果在中，，那么中至少有一个角不大于． 51．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段检测）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 52．（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 💯 课后巩固 复习建议 · 垂径定理是圆中计算的基石，务必熟练 · 圆周角定理是转化角的核心工具，多练 · 弧长扇形圆锥公式要记准，注意单位 · 点与圆最值问题要画图分析 · 反证法注意反设要正确 【作业1】．（23-24九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24九年级下·广东深圳·阶段检测）下列命题中，假命题的个数有（    ） ①有理数与数轴上的点一一对应； ②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④对角线互相垂直的四边形是菱形； ⑤两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业3】．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【作业4】．（2023·广西梧州·三模）如图是一个几何体的三视图图中尺寸单位：，则这个几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（23-24九年级下·广西南宁·阶段检测）如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【作业7】．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段检测）下列语句中正确的个数是（　　） ①圆的对称轴是直径；②直径是圆中最长的弦；③在同圆或等圆中半径相等；④矩形的四个顶点在同一个圆上． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【作业8】．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【作业9】．（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【作业10】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业11】．（23-24九年级上·浙江丽水·期中）已知的半径为5，点P在上，则的长为 _____． 【作业12】．（2025·浙江杭州·三模）如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为____________（用含的代数式表示）． 【作业13】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设___________， （_____________）． 这与___________相矛盾，故___________不成立． 与不平行． 【作业14】．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【作业15】．（2025九年级上·北京·专题练习）若点A在以点O为圆心，为半径的圆内，则点A到圆心O的距离d的取值范围是________． 【作业16】．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）用反证法证明“在中，，且，那么．”应先假设______． 【作业17】．（25-26九年级上·北京·课后作业）用反证法证明：不在同一条直线上的三点确定一个圆，证明时可以先假设_____________． 【作业18】．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为_________． 第27章·反比例函数·期中复习·培优提高讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $