29.1.2 第2课时 过三点的圆教学设计2026—2027学年人教版九年级数学上册

29.1.2 过三点的圆 课题名称 29.1.2 过三点的圆 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 过不在同一直线上的三点作圆；三角形的外接圆与外心 内容解析 《过三点的圆》是在学生学习了圆的有关概念、线段垂直平分线性质的基础上，研究经过已知点作圆的问题。教材通过探究：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆，且圆心在这两点连线的垂直平分线上；过不在同一直线上的三点只能作一个圆，即“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”。在此基础上介绍三角形的外接圆、外心的概念。 本节课是圆这一章的重要内容，它从“作圆”的角度揭示了圆的确定性，为后续学习反证法、点和圆的位置关系打下基础。教学中渗透从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了直线形（三角形、四边形）的基础上，进一步研究一种特殊的曲线图形——圆。本章主要内容包括：圆的有关概念、圆的性质、点和圆、直线和圆的位置关系、正多边形和圆、弧长和扇形面积等。 对应课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）： ①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念； ②探索并证明垂径定理； ③了解点和圆、直线和圆的位置关系； ④会计算弧长及扇形的面积。 课时目标 1.（数学抽象·直观想象）理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”；能说出三角形的外接圆、外心的概念；能在图形中识别外心及其位置。 2.（逻辑推理·几何直观）经历探究过一点、两点、三点作圆的过程，理解为什么过同一直线上的三点不能作圆；掌握用尺规作三角形外接圆的方法。 3.（数学建模·应用意识）通过探究作圆的条件，体会分类讨论和从特殊到一般的思想；能运用“不在同一直线上的三点确定一个圆”解决实际问题（如破镜重圆、找圆心）。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能说出“不在同一直线上的三个点确定一个圆”；能在三角形图中标出外心，说明外心是三边垂直平分线的交点。 达成目标2的标志是：学生能说明过一点、两点有无数个圆；过不在同一直线上的三点只有一个圆；会用尺规作三角形的外接圆。 达成目标3的标志是：学生能解释为什么破镜可以重圆；能找到残破圆盘的圆心。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经学习了圆的概念、线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）；学生已经具备一定的作图能力和逻辑推理能力。但九年级学生容易混淆：过一点、两点有无数个圆，而过不在同一直线上的三点只有一个圆；外心是三边垂直平分线的交点（不是角平分线或中线的交点）；锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。 困惑点或探索点 学生容易混淆：为什么过同一直线上的三点不能作圆；外心是三边垂直平分线的交点（不是角平分线或中线的交点）；不同形状三角形外心的位置不同。 教学 重难点 教学重点 不在同一直线上的三个点确定一个圆；三角形的外接圆、外心的概念。 教学难点 理解过同一直线上的三点不能作圆；外心的概念及其位置与三角形形状的关系。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：“过三点确定一个圆”是圆的基本性质，它解释了为什么三角形有唯一的外接圆，也是后续学习反证法和圆的位置关系的基础。 学什么：过一点、两点、三点作圆的规律；不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形的外接圆、外心。 怎么学：采用“操作探究—归纳规律—辨析难点—应用巩固”的探究式教学。让学生用尺规尝试过一点、两点、三点作圆，在操作中发现：过一点、两点有无数个圆，过不在同一直线上的三点只有一个圆；通过反证法思路说明过同一直线上的三点不能作圆。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 1. 圆的两个要素是什么？ 2. 线段垂直平分线的性质是什么？ 复习引入 师：同学们，我们上节课学习了圆的有关概念。谁来说说，确定一个圆需要哪两个要素？ 生：圆心和半径。圆心确定位置，半径确定大小。 师：线段垂直平分线有什么性质？ 生：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 师：如果给你一个点，你能画几个圆？给你两个点呢？三个点呢？今天我们就来研究过三点的圆。（板书课题） 学生能说出圆的两个要素和线段垂直平分线的性质；能联想到作圆需要找圆心。 从圆的要素和垂直平分线性质出发，通过“过一点、两点、三点能画几个圆”设疑，自然引入新课。 概念探究 一、过一点作圆 过已知点A可以作几个圆？圆心在哪里？ 二、过两点作圆 过已知点A、B可以作几个圆？圆心在哪里？ 三、过三点作圆 过不在同一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？过同一直线上的三点呢？ 活动一：过一点作圆 师：请同学们画一个点A，然后尝试画经过A点的圆。你能画几个？ 生：能画无数个。圆心可以随便选，只要半径等于圆心到A的距离就行。 师：对，过一个点可以作无数个圆，圆心是除A外的任意点。 活动二：过两点作圆 师：画两个点A、B，尝试画经过A、B两点的圆。圆心应该满足什么条件？ 生：圆心到A和到B的距离要相等，所以圆心在AB的垂直平分线上。 师：AB垂直平分线上有无数个点，所以过A、B两点可以作无数个圆，圆心都在AB的垂直平分线上。 活动三：过三点作圆 师：画不在同一直线上的三个点A、B、C，尝试画经过这三个点的圆。圆心在哪里？ 生：圆心要在AB的垂直平分线上，又要在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线交于一点O。 师：两条不平行的直线只有一个交点，所以过不在同一直线上的三点只能作一个圆。 师：那么过同一直线上的三点呢？ 生：AB和BC的垂直平分线平行，没有交点，所以不能作圆。 教师归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 师：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。外心是三角形三边垂直平分线的交点。 学生能说出过一点、两点有无数个圆；过不在同一直线上的三点只有一个圆；能说出外心是三边垂直平分线的交点。 让学生经历“作圆—观察—归纳—辨析”的探究过程，在操作中发现过不同点数作圆的规律，理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，落实逻辑推理与几何直观素养。 课堂练习 例1：判断题 （1）经过三个点一定可以作圆； （2）任意一个三角形一定有一个外接圆； （3）三角形的外心到三角形各边的距离相等。 例2：如图，已知△ABC，用尺规作它的外接圆。 例1讲评： （1）错误。只有经过不在同一直线上的三个点才能作圆；过同一直线上的三点不能作圆。 （2）正确。三角形的三个顶点不在同一直线上，所以一定有外接圆。 （3）错误。外心到三角形三个顶点的距离相等（等于外接圆半径），不是到各边距离相等。 例2讲评： 分析：作三角形外接圆的关键是找外心，即两边垂直平分线的交点。 作法： ① 分别作边AB和BC的垂直平分线，交于点O； ② 以O为圆心，OA为半径作圆； ③ ⊙O就是所求作的△ABC的外接圆。 教师强调：外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。 例1通过判断辨析易错点；例2训练尺规作外接圆的步骤，巩固外心概念。 反思总结 学生为主体发言总结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 师：请同学们回顾一下，过几点能确定一个圆？什么叫三角形的外接圆和外心？ 生1：过不在同一直线上的三个点确定一个圆。 生2：三角形外接圆的圆心叫外心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。 师：课后请完成教材习题 29.1 第3、4题。 学生能说出过三点确定一个圆的条件；能说出外心的概念；能完成基本作图。 通过师生共同回顾，梳理作圆规律和外心概念，强化“不在同一直线上”这一前提条件。 板书设计 29.1.2 过三点的圆 一、作圆规律 过一点：无数个圆； 过两点：无数个圆，圆心在垂直平分线上； 过不在同一直线上的三点：只有一个圆。 二、三角形的外接圆与外心 外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 外心：外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等。 提纲挈领,重点突出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $