第20讲 圆中求弧长与面积的有关计算问题 培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦圆中弧长与面积计算核心知识点，系统梳理弧长公式（角度制与弧度制）、扇形面积公式（含弧长关联式），通过分解边界、割补法构建不规则图形周长与面积计算支架，衔接最值问题的函数转化方法。 资料以“知识点+解题技巧+例题变式”设计，通过内接四边形、莱洛三角形等实例，培养几何直观与推理能力，结合手工制作等情境发展应用意识。课中助力教师分层教学，课后练习帮助学生查漏补缺，强化知识迁移。

第20讲 圆中求弧长与面积的有关计算问题 典 型 例 题 题型 利用弧长公式求弧长 1 弧长公式知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.弧长公式：设扇形半径为r，圆心角为n°（角度制），弧长为l，则l = ；若圆心角为a（弧度制），则l = ra。 2.关键前提：公式适用于扇形，需明确半径和圆心角（注意角度制与弧度制换算，180° = π弧度）。 二、解题技巧 1.找已知量：优先确定题目中给出的半径r、圆心角（或可推导条件，如弦长、扇形面积）。 2.选对公式：角度制用l =，弧度制用l = ra，避免单位混淆。 3.补全条件：若仅给弦长、面积等，先通过几何关系（如勾股定理、扇形面积公式）求出半径或圆心角，再算弧长。 1 例 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 1-1 变式变式 如图，已知点A，B，C依次在上，，，则的长为 ． 1-2 变式变式 如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为 ． 1-3 变式变式 如图1，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的侧面积是 ．（结果用表示） 题型 利用扇形面积公式求面积 2 扇形面积公式知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.面积公式：角度制（圆心角n°，半径r）：S = ；弧度制（圆心角a）：S =；也可结合弧长l：S = lr。 2.适用范围：仅用于扇形，需明确半径、圆心角（或弧长），注意角度与弧度换算（180° = π弧度）。 二、解题技巧 1.抓关键量：先识别题目给出的半径、圆心角或弧长，缺量时通过已知条件（如弦长、周长）推导。 2.选最优公式：已知圆心角和半径用前两式，已知弧长和半径用S = lr，减少计算量。 2 例 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 2-1 变式变式 一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）． 2-2 变式变式 将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 2-3 变式变式 如图，小林在手工制作课上利用矩形纸片，裁剪出一个扇形，用来制作一把纸扇，其中，扇形与矩形相切于点，、在矩形的边上，长为，则裁掉扇形后的余料(图中阴影部分)的面积为 ． 题型 不规则阴影部分周长计算 3 不规则阴影部分周长计算知识点与解题技巧 一、核心知识点 1. 周长本质：不规则阴影部分周长是构成阴影边界的所有线段和曲线长度之和，常见曲线为圆的弧（需结合圆周长公式C=2πr或弧长公式计算）。 2. 关键关联：阴影边界常与正方形、长方形的边，或半圆、扇形的弧相关，需明确各边界对应的几何图形。 二、解题技巧 1. 分解边界：用虚线将阴影周长拆分为“直线段+曲线段”，分别标注各部分对应的已知条件（如边长、圆半径）。 2. 曲线转弧长：若含曲线，先确定对应圆的半径，再根据圆心角算弧长（如半圆对应πr，四分之一圆对应π r）。 3. 求和验证：将所有线段和弧长相加，避免漏算或重复计算边界。 3 例 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，则阴影部分图形的周长为 （结果保留） 3-1 变式变式 如图是一个爱心图案，它可以看作是由一个正方形和两个半圆组合而成，中间是一个边长为的正方形，两端是分别以为直径的半圆．分别取两个半圆的中点E，F，连接，则阴影部分的周长为 ． 3-2 变式变式 生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②的边长为，则这个莱洛三角形的周长为 cm． 3-3 变式变式 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 题型 不规则阴影部分面积计算 4 不规则阴影部分面积计算知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.面积本质：不规则阴影面积是阴影区域所占平面的大小，需通过“转化”为规则图形（如圆、正方形、三角形、扇形）的面积和或差来计算。 2.常用规则图形公式：正方形S=a2、三角形S=ah、圆S=πr2、扇形S=（角度制）。 二、解题技巧 1.“割补法”优先：将阴影分割成几个规则图形（割），或用大规则图形减去空白规则图形（补）。 2.找“重叠”或“对称”：若有对称图形，可利用对称性简化计算；若有重叠区域，注意面积是否重复加减。 3.标已知量：在图中标注边长、半径等关键数据，确保代入公式时数值准确，最后汇总计算结果。 4 例 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ． 4-1 变式变式 如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 4-2 变式变式 如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 4-3 变式变式 如图，扇形中，，，点C为上一点，将扇形沿折叠，使点B的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ． 题型 不规则阴影部分面积中的最值的计算 5 不规则阴影面积最值问题知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.本质逻辑：最值源于变量（如半径、边长、角度）的取值变化，需先将阴影面积表示为关于变量的函数，再求函数最值。 2.常用工具：二次函数顶点（y=ax²+bx+c，a≠0）、不等式（如均值定理）、几何图形性质（如圆中直径最长）。 二、解题技巧 1.建函数关系：用割补法将阴影面积转化为规则图形面积和/差，代入变量（如设半径为x），列出面积表达式。 2.定取值范围：根据题干条件（如边长为正、角度在0°-360°）确定变量的取值范围。 3.求最值：二次函数用顶点公式，符合均值定理条件的用“一正二定三相等”，最后验证最值是否在取值范围内。 5 例 如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 5-1 变式变式 如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 5-2 变式变式 如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 5-3 变式变式 如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 课 后 练 习 1 练 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2 练 如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3 练 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 4 练 玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5 练 四边形是平行四边形，，，，以C为圆心为半径画弧，恰好经过点D，以C为圆心为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积是（  ） A． B． C． D． 6 练 弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 7 练 如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是 ．（结果保留） 8 练 如图，在矩形中，，，以B为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点E，以D为圆心、长为半径画弧交于点F，则阴影部分面积为 ． 9 练 如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 10 练 如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 11 练 如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 12 练 如图，过的顶点，，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线 (2)若，，则________．（结果保留和根号） 13 练 如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 14 练 如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，三点恰好在半圆上，是的中点，连接并延长交半圆于点． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 15 练 如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 第20讲 圆中求弧长与面积的有关计算问题 典 型 例 题 题型 利用弧长公式求弧长 1 弧长公式知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.弧长公式：设扇形半径为r，圆心角为n°（角度制），弧长为l，则l = ；若圆心角为a（弧度制），则l = ra。 2.关键前提：公式适用于扇形，需明确半径和圆心角（注意角度制与弧度制换算，180° = π弧度）。 二、解题技巧 1.找已知量：优先确定题目中给出的半径r、圆心角（或可推导条件，如弦长、扇形面积）。 2.选对公式：角度制用l =，弧度制用l = ra，避免单位混淆。 3.补全条件：若仅给弦长、面积等，先通过几何关系（如勾股定理、扇形面积公式）求出半径或圆心角，再算弧长。 1 例 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 1-1 变式变式 如图，已知点A，B，C依次在上，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∵， ∴的长． 1-2 变式变式 如图，是两条切线，切点分别为点，点，若，的半径为2，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：过点O分别作，如图所示： ∵是两条切线，切点分别为点，点， ∴，∴， ∵，∴，∵的半径为2， 则的长度为，故答案为：． 1-3 变式变式 如图1，已知一块圆心角为的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（如图2，接缝忽略不计），此圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，则它的侧面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【详解】解：由圆锥形的烟囱帽底面圆的直径是，得底面圆的周长为， 设扇形的半径为，故，解得， 故圆锥的母线长为，故它的侧面积是，故答案为：． 题型 利用扇形面积公式求面积 2 扇形面积公式知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.面积公式：角度制（圆心角n°，半径r）：S = ；弧度制（圆心角a）：S =；也可结合弧长l：S = lr。 2.适用范围：仅用于扇形，需明确半径、圆心角（或弧长），注意角度与弧度换算（180° = π弧度）。 二、解题技巧 1.抓关键量：先识别题目给出的半径、圆心角或弧长，缺量时通过已知条件（如弦长、周长）推导。 2.选最优公式：已知圆心角和半径用前两式，已知弧长和半径用S = lr，减少计算量。 2 例 如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 【答案】/ 【详解】解：∵六边形是正六边形，∴， ∴阴影部分的面积为；故答案为． 2-1 变式变式 一把折扇打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：设，根据题意可列方程为：，解得：， 则，大扇形的半径为，扇面的宽度为， ， 则．    故答案为：． 2-2 变式变式 将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形，已知扇形的圆心角为，则扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵将一个母线长为的圆锥模型侧面展开后得到一个扇形， ∴这个扇形的半径为，又∵扇形的圆心角为，∴扇形的面积为， 故答案为：． 2-3 变式变式 如图，小林在手工制作课上利用矩形纸片，裁剪出一个扇形，用来制作一把纸扇，其中，扇形与矩形相切于点，、在矩形的边上，长为，则裁掉扇形后的余料(图中阴影部分)的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，与扇形相切于，， 四边形是矩形，， 四边形是矩形，， ，， ，，， 矩形的面积，扇形的面积， 阴影的面积矩形的面积扇形的面积． 故答案为：． 题型 不规则阴影部分周长计算 3 不规则阴影部分周长计算知识点与解题技巧 一、核心知识点 1. 周长本质：不规则阴影部分周长是构成阴影边界的所有线段和曲线长度之和，常见曲线为圆的弧（需结合圆周长公式C=2πr或弧长公式计算）。 2. 关键关联：阴影边界常与正方形、长方形的边，或半圆、扇形的弧相关，需明确各边界对应的几何图形。 二、解题技巧 1. 分解边界：用虚线将阴影周长拆分为“直线段+曲线段”，分别标注各部分对应的已知条件（如边长、圆半径）。 2. 曲线转弧长：若含曲线，先确定对应圆的半径，再根据圆心角算弧长（如半圆对应πr，四分之一圆对应π r）。 3. 求和验证：将所有线段和弧长相加，避免漏算或重复计算边界。 3 例 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点，则阴影部分图形的周长为 （结果保留） 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，∴， ∵，∴， 由作图得，∴是等边三角形，∴， ∴，∴弧的长=；弧的长， ∴阴影部分图形的周长为，故答案为：． 3-1 变式变式 如图是一个爱心图案，它可以看作是由一个正方形和两个半圆组合而成，中间是一个边长为的正方形，两端是分别以为直径的半圆．分别取两个半圆的中点E，F，连接，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【详解】解：设的中点为点O，（即左边半圆圆心为点O），连接，过点E作交延长线于点M， ∵E，F是两个半圆的中点，正方形的边长为， ∴OE⊥AD，OD=OE=OA=1cm，∠M=∠OAM=∠AOE=90°， 四边形是矩形，， 四边形是正方形，ME=AM=1cm， ∴，∴的长为 ， ∴图中左侧阴影部分的周长为， ∴由对称性可知，图中阴影部分的周长为，故答案为：． 3-2 变式变式 生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②的边长为，则这个莱洛三角形的周长为 cm． 【答案】 【详解】解：是等边三角形， ∴，， ∴， ∵每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，∴， 这个莱洛三角形的周长为．故答案为：． 3-3 变式变式 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，设两圆周相交于点，连接、， ，是等边三角形， ，，同理可得，， 阴影部分的周长为．故答案为：． 题型 不规则阴影部分面积计算 4 不规则阴影部分面积计算知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.面积本质：不规则阴影面积是阴影区域所占平面的大小，需通过“转化”为规则图形（如圆、正方形、三角形、扇形）的面积和或差来计算。 2.常用规则图形公式：正方形S=a2、三角形S=ah、圆S=πr2、扇形S=（角度制）。 二、解题技巧 1.“割补法”优先：将阴影分割成几个规则图形（割），或用大规则图形减去空白规则图形（补）。 2.找“重叠”或“对称”：若有对称图形，可利用对称性简化计算；若有重叠区域，注意面积是否重复加减。 3.标已知量：在图中标注边长、半径等关键数据，确保代入公式时数值准确，最后汇总计算结果。 4 例 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∴是的直径，， ∵分别与相切于点A和点D，∴， ∴四边形是矩形，∵，∴矩形是正方形， ∴，，，∴， ∴是等腰直角三角形，∵，∴，， ∴，∴，∴图中阴影部分的面积 故答案为：． 4-1 变式变式 如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【详解】解：根据题意，得，， 故, 故阴影部分的面积为 ． 故答案为：或． 4-2 变式变式 如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点C作于G， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， 在中，，∴， 又∵，∴是等边三角形，∴， ∴ ． 故答案为：． 4-3 变式变式 如图，扇形中，，，点C为上一点，将扇形沿折叠，使点B的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵，，∴， ∴，设，则，， 则，解得， ∴阴影部分的面积是：，故答案为：． 题型 不规则阴影部分面积中的最值的计算 5 不规则阴影面积最值问题知识点与解题技巧 一、核心知识点 1.本质逻辑：最值源于变量（如半径、边长、角度）的取值变化，需先将阴影面积表示为关于变量的函数，再求函数最值。 2.常用工具：二次函数顶点（y=ax²+bx+c，a≠0）、不等式（如均值定理）、几何图形性质（如圆中直径最长）。 二、解题技巧 1.建函数关系：用割补法将阴影面积转化为规则图形面积和/差，代入变量（如设半径为x），列出面积表达式。 2.定取值范围：根据题干条件（如边长为正、角度在0°-360°）确定变量的取值范围。 3.求最值：二次函数用顶点公式，符合均值定理条件的用“一正二定三相等”，最后验证最值是否在取值范围内。 5 例 如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解: 作点关于的对称点, 连接,与交点为D,交于点,过点作 交延长线于点，由对称可知 ，    ∵四边形是矩形,，∴， ∴， ∴阴影部分周长的最小值为，故答案为：． 5-1 变式变式 如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，设圆心为，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设到的距离为， 由题意知， ， 当最大时，最小， ∴当时，最大，如图1，作于，∴， 由勾股定理得，，∴， ∴， 故答案为：，． 5-2 变式变式 如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2． 【答案】/ 【详解】解：过点C作于E， ∵， ∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴最小值， 故答案为：． 5-3 变式变式 如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点，连接， 此时最小，即：， 由题意得，， ， ，的长， ∴阴影部分周长的最小值为． 故答案为：． 课 后 练 习 1 练 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径，∴， ∴的长为．故选：C． 2 练 如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 .故选：C. 3 练 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意，，∴是等边三角形． ∴．∴的长为．故选：D． 4 练 玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品．古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，， ，，， 阴影部分的面积．故选：C． 5 练 四边形是平行四边形，，，，以C为圆心为半径画弧，恰好经过点D，以C为圆心为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴， ∴是等腰直角三角形，，，∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 6 练 弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】18 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 7 练 如图，是半径为2的的一条弦，．将绕点逆时针旋转，当点的对应点第一次落在上时，点运动的路径长是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：连接， 由旋转得，， ∴是等边三角形，∴， ∴，∵， ∴， ∴点运动的路径长是，故答案为． 8 练 如图，在矩形中，，，以B为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点E，以D为圆心、长为半径画弧交于点F，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，设与交于点G 在矩形中， ， ∵，∴， ， 阴影部分的面积 ．故答案为：． 9 练 如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】/ 【详解】解：四边形是正方形， ， 图中阴影部分的面积为故答案为：． 10 练 如图，在矩形中， ，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线的垂线，垂足为点G，在这个移动过程中点G经过的路径长是 ． 【答案】 【详解】解：如图：连接，交于点O，取中点H，连接， ∵矩形，， ∴，，， ，， ∴是等边三角形，即 在与中，，， ∴E、O、F共线，，H是中点， ∴，则， ∴G的轨迹为以H为圆心，1为半径的圆弧， 当E与A重合时，；当E与B重合时，G与B重合； ∴G走过的路程为．故答案为． 11 练 如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据【详解】解：四边形内接于，，是直径， 且的半径为6，∴，∴的长是：，即的长． 12 练 如图，过的顶点，，与交于点，连接，． (1)求证：是的切线 (2)若，，则________．（结果保留和根号） 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接并延长交于点，交于点，连接， 是的直径，，，， ，，，， ，， 如下图所示，过点作，，， 在中，，又，， 是的半径，是的切线； （2）解：如下图所示，连接、，，， ，在中，，，，， ，． 故答案为：． 13 练 如图，以的边为直径作，点A在上，点D在线段的延长线上，． (1)求证：直线是的切线； (2)若直径，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，则， ∵，∴，∴， ∴，∴， 即是的切线； （2）解：∵，∴， 在中，，∴，，所以， 因为，所以， 所以． 14 练 如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，三点恰好在半圆上，是的中点，连接并延长交半圆于点． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径，∴．∵点是的中点，∴． ∴，∴．∴，∴． （2）解：连接，在中，，， ∴，，． ∴ ． ∴阴影部分的面积． 15 练 如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接交于点E． ∵是的切线，∴，即． ∵四边形是平行四边形，∴． ∵，∴． 又∵，∴，     ∴，∴是的切线； （2）解：如图，延长交于点F， ∵，∴. 又∵，∴， ∴垂直平分，∴.由(1)可得，， ∴平行四边形是菱形，， ，∴是等边三角形，∴， ， ∴.    由(1)知，，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $