专题14圆拓展综合：两圆位置.内切圆.正多边形与圆精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦圆拓展综合核心知识点，系统梳理两圆位置关系（圆心距与半径数量关系判断）、三角形内切圆（内心外心性质及半径计算）、正多边形与圆（中心角、直角三角形模型及面积公式），构建从位置关系到特殊图形综合应用的递进学习支架。 资料亮点在于易错点精准剖析（如动圆相切漏解、内心外心混淆），题型分层设计（8类题型含难度星级），解题思路强调转化（如正多边形转化为直角三角形）。通过几何直观培养数学眼光，推理与运算发展数学思维，模型应用强化数学语言，课中辅助教师系统教学，课后助力学生针对性练习查漏补缺。

专题14圆拓展综合：两圆位置.内切圆.正多边形与圆 课堂核心立意 本节课学习圆与圆的位置关系、三角形内切圆、正多边形与圆，学会利用线段数量关系判断图形位置，掌握内心外心性质、内切圆半径计算，利用直角三角形求解正多边形相关线段与面积，处理判断、计算类题型。 圆与圆的位置关系 设圆心距d，大圆半径R，小圆半径r。 五种位置：外离d＞R+r；外切d=R+r；相交R-r＜d＜R+r；内切d=R-r；内含d＜R-r。 重要性质：两圆相切，连心线过切点；两圆相交，连心线垂直平分公共弦；动圆相切要同时考虑内切、外切两种情况，防止漏解。 三角形的内切圆 1. 内心：三角形三条角平分线交点，恒在三角形内部，内心到三边距离相等，该距离就是内切圆半径。 2. 外心：三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等，注意和内心区分，做题不要混淆。 3. 半径公式：通用公式r=；直角三角形：r=（c为斜边）；常配合切线长定理进行边长、半径互算。 正多边形与圆 1. 基础概念：正多边形外接圆圆心叫中心；中心角=，区分中心角和多边形内角。 2. 计算模型：外接圆半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，大部分计算都转化为这个直角三角形求解。 3. 面积公式：S=周长边心距}，直接套用公式计算面积。 1. 判断两圆内切、内含时，不区分大小圆直接半径相减，造成判断错误；动圆相切只算一种情况，漏解。 2. 混淆内心、外心的性质，张冠李戴用错条件。 3. 计算正多边形时，误把内角当作中心角代入计算。 4. 不会构造直角三角形，无法求解正多边形的边长、边心距。 题型 考察方向 难度 题型一 圆与圆的位置关系 ★★★ 题型二 三角形内心有关应用 ★★★★ 题型三 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★★ 题型四 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型五 求正多边形的中心角 ★★★ 题型六 已知正多边形的中心角求边数 ★★★ 题型七 正多边形和圆的综合 ★★★★★ 题型八 尺规作图 —— 正多边形 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一 圆与圆的位置关系 解题思路：①找出题目给出两圆的半径R、r，计算圆心距d；②对比d与R+r、R‑r的大小关系，判断五种位置；③动态类题型，必须同时考虑内切、外切两种情况，防止漏解；④用到性质：相切则连心线过切点；相交则连心线垂直平分公共弦。 1．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 2．已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】根据两圆圆心距、半径与两圆位置和公共点个数的对应关系即可求解． 【详解】解：和的半径分别是5和7，且，， A、当时，，两圆内切，有1个公共点，故A错误； B、当时，，两圆相交，有2个公共点，故B错误； C 当时，，两圆内含，没有公共点，故C错误； D 当时，，两圆相交，有2个公共点，故D正确． 3．已知点，到直线L的距离分别为和，满足条件的直线L的条数是______． 【答案】 【分析】将问题转化为判断两圆的位置关系，以为圆心为半径作圆，以为圆心为半径作圆，满足条件的直线是两圆的公切线，公切线的条数即为所求． 【详解】解：如图所示： ， ∴， ∵两圆半径分别为，， ∴ ，即 两圆外离，外离的两圆共有条公切线 ∴故满足条件的直线的条数为条． 4．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的性质，分两圆外切和两圆内切两种情况讨论，利用圆心距等于两半径之和或之差求解． 【详解】解：设圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，则 ，． 两圆相切， 分两圆外切和两圆内切两种情况： 当两圆外切时，如图1，圆心距 ； 当两圆内切时，如图2，圆心距 ． 综上所述，， 两点的距离等于或． 题型二 三角形内心有关应用 解题思路：①明确内心是三角形三条角平分线的交点；②核心性质：内心到三角形三边距离相等，这个距离就是内切圆半径，同时内心平分三角形内角；③读题区分内心和外心：内心到边相等，外心到顶点相等，不要混淆；④结合角平分线、切线性质，求解角度或者线段长度。 5．如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的内切圆， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 6．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 7．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【答案】 【分析】连接，根据内切圆的性质得到，，然后证明四边形为正方形，求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 8．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，设与、直线分别相切于点D、E、F、H，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H， ∵的周长为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴剪下的三角形的周长为， 故选：C． 题型三 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题思路：①牢记核心公式：r=（S三角形面积，C三角形周长）；②公式来源：三角形分割为3个以内心为顶点的小三角形，面积相加推导；③已知面积、周长，直接求内切圆半径r；④已知r和周长求面积；已知r和面积求周长。 9．如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则_______． 【答案】110° 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE． 【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−50°−60°＝70°， ∵E，D是切点， ∴∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE＝360°−90°−90°−70°＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆和切线的性质，三角形内角和，四边形内角和，是基础知识要熟练掌握． 10．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 11．如图，已知三角形周长为C，从三角形内部去掉一个半径为r的最大的圆，阴影部分的面积是______．（用含C和r的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，连接，根据三角形的面积公式和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∴ ， ∵， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 12．如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，解直角三角形求得，进而得出结果． 【详解】解：如图， 连接，，设与相切于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型四 三角形内切圆与外接圆综合 解题思路：①分清两个圆心：内心为角平分线交点，到三边距离相等，对应内切圆；外心为垂直平分线交点，到三个顶点距离相等，对应外接圆；②直角三角形特殊结论：内切圆r=；外接圆半径等于斜边的一半；③审题圈出条件，判断条件给的是内心还是外心；④结合勾股定理、切线长定理联立求解线段 13．如图，是的内切圆，若，则的度数为___．    【答案】130 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 16．已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（   ） 甲的作法 …（如图） 乙的作法 以A为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题重点考查三角形的外接圆与外心、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定等知识，连接，由甲的作法可知，于点P，所以，则，所以的外心为点O，可判断甲正确；由乙的作法可知，假设的外心为点O，则，推导出，与已知条件不符合，可判断乙不正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，连接， 由甲的作法可知，于点P， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴的外心为点O， 故甲正确； 如图2，连接， 由乙的作法可知， 假设的外心为点O，则， ∴，与已知条件不符合， ∴的外心不一定为点O， 故乙不正确， 故选：A． 题型五 求正多边形的中心角 解题思路：①记住公式：中心角=；②找到题干中正多边形边数，直接代入公式计算；③注意区分中心角与多边形内角，二者公式不要记混。 17．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 18．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 19．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 20．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 题型六 已知正多边形的中心角求边数 解题思路：①公式变形：边数=；②把题目给出的中心角度数代入；③计算结果一定为正整数，用来检验计算是否出错。 21．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键． 设边数为，根据所有圆心角之和为，列式求解即可． 【详解】解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为， ∴设边数为，则， 解得， ∴该正多边形边数为9． 故选：B． 22．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 23．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 24．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 题型七 正多边形和圆的综合 解题思路：①把正多边形问题转化为直角三角形：外接圆半径、边心距、边长的一半，构成直角三角形；②已知其中任意两个量，利用勾股定理求第三个；③求面积套用公式：S=周长边心距；④结合圆的半径、角度，求解边长、边心距、周长、面积。 25．已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，等边三角形的判定与性质． 正六边形外接圆的半径等于其边长，故正六边形可划分为六个等边三角形，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵正六边形外接圆的半径为2， ∴正六边形的中心角为， ∵外接圆半径相等， ∴每个分成的三角形均为等边三角形， ∴边长等于外接圆半径， ∵外接圆半径为2， ∴边长为2， 故选：C． 26．如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正多边形内角公式求出，根据三角形内角和及等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴． 27．如图，正五边形内接于半径为的，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，，由正五边形求出圆心角，结合半径为利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴的长为：． 28．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 题型八 尺规作图 —— 正多边形 解题思路：①原理：在圆上截取相等的弦，弦相等对应的圆心角相等；②常见作图：作正方形作互相垂直的两条直径，作正六边形以半径长在圆周依次截取得等分点；③依次连接圆上各个等分点，即可得到圆内接正多边形；④作图保留尺规痕迹。 29．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 30．我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 31．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 解答题 1．如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先过点作，再分别在上截取，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形，根据可得四边形是正方形． 【详解】略 2．如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点． (1)求证：； (2)若圆心、间的距离为10，，求的长． 【答案】(1) 证明：分别过作垂足分别为， 是的中点， ， 在和中 ， ， ， 根据题意可得 ， ∴， ∵， ∴． ∴． (2)2 【分析】（1）分别过作垂足分别为，由已知条件证，所以，进而可证明． （2）根据，得出，根据垂径定理得出，则，设，则，根据题意，在和中，根据勾股定理得，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 根据题意， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大，是中考常见题型． 3．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 【答案】(1)内 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内心、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据内心的定义，即可获得答案； （2）根据切线长定理可得，设，则有，进而可得，解得的值，然后计算的值； （3）连接，设半径为，证明四边形为正方形，易得，进而可得，，结合，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心． 故答案为：内； （2）解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∵，，，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：如下图，连接， ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴，， 设半径为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 5．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 【答案】(1)证明见解析； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形的内切圆性质，圆的切线性质，圆锥的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求出，即可证明； （2）根据扇形的弧长求出圆锥的底面圆的半径为，作的内切圆，证明四边形是平行四边形，从而得到是等腰直角三角形，设圆的半径为，再利用 ，求出，由于，可以判断出可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图： ， ， ， ， ∵圆的半径为2， ∴点在圆上， ， ∴与相切； （2）解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下： ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ， 过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图： 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 作的内切圆，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是等腰直角三角形， ， 设圆的半径为， ， ， 解得：， ， ∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 6．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)解：． 理由如下：连接，，如图， ∵六边形是等边半正六边形． ，． 在与中， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴； (3)作法一：如图，六边形即为所求， 作法二：如图，六边形即为所求， 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和； （ 2）连接，，通过已知条件可证，得到，进一步证明出进而得到； （ 3）作法一：分别连接并延长，，，以点为圆心，以适当长为半径画圆（不要画在三角形内或圆上），交，，的延长线于点，，，连接，即可得到半正六边形； 作法二：分别作、、垂直平分线，注意作三条边的垂直平分线时画弧的半径要相等，且弧的交点不能取圆上或三角形内，交点分别为点，，，连接，即可得到半正六边形． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴， ∴，即 ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为； （2）略 （3）解：作法一：∵是正三角形，是它的外接圆， ∴、、分别为、、的垂直平分线，，，， ∴，，， ∴，，， 由作图可知， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴六边形即为等边半正六边形． 作法二同理可证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14圆拓展综合：两圆位置.内切圆.正多边形与圆 课堂核心立意 本节课学习圆与圆的位置关系、三角形内切圆、正多边形与圆，学会利用线段数量关系判断图形位置，掌握内心外心性质、内切圆半径计算，利用直角三角形求解正多边形相关线段与面积，处理判断、计算类题型。 圆与圆的位置关系 设圆心距d，大圆半径R，小圆半径r。 五种位置：外离d＞R+r；外切d=R+r；相交R-r＜d＜R+r；内切d=R-r；内含d＜R-r。 重要性质：两圆相切，连心线过切点；两圆相交，连心线垂直平分公共弦；动圆相切要同时考虑内切、外切两种情况，防止漏解。 三角形的内切圆 1. 内心：三角形三条角平分线交点，恒在三角形内部，内心到三边距离相等，该距离就是内切圆半径。 2. 外心：三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等，注意和内心区分，做题不要混淆。 3. 半径公式：通用公式r=；直角三角形：r=（c为斜边）；常配合切线长定理进行边长、半径互算。 正多边形与圆 1. 基础概念：正多边形外接圆圆心叫中心；中心角=，区分中心角和多边形内角。 2. 计算模型：外接圆半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，大部分计算都转化为这个直角三角形求解。 3. 面积公式：S=周长边心距}，直接套用公式计算面积。 1. 判断两圆内切、内含时，不区分大小圆直接半径相减，造成判断错误；动圆相切只算一种情况，漏解。 2. 混淆内心、外心的性质，张冠李戴用错条件。 3. 计算正多边形时，误把内角当作中心角代入计算。 4. 不会构造直角三角形，无法求解正多边形的边长、边心距。 题型 考察方向 难度 题型一 圆与圆的位置关系 ★★★ 题型二 三角形内心有关应用 ★★★★ 题型三 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★★ 题型四 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型五 求正多边形的中心角 ★★★ 题型六 已知正多边形的中心角求边数 ★★★ 题型七 正多边形和圆的综合 ★★★★★ 题型八 尺规作图 —— 正多边形 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一 圆与圆的位置关系 解题思路：①找出题目给出两圆的半径R、r，计算圆心距d；②对比d与R+r、R‑r的大小关系，判断五种位置；③动态类题型，必须同时考虑内切、外切两种情况，防止漏解；④用到性质：相切则连心线过切点；相交则连心线垂直平分公共弦。 1．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 2．已知圆和圆的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 3．已知点，到直线L的距离分别为和，满足条件的直线L的条数是______． 4．如图，两圆与直线相切，定圆的半径是，动圆的半径是．动圆在直线上移动，当两圆相切时，，两点的距离等于（     ） A．或 B． C． D． 题型二 三角形内心有关应用 解题思路：①明确内心是三角形三条角平分线的交点；②核心性质：内心到三角形三边距离相等，这个距离就是内切圆半径，同时内心平分三角形内角；③读题区分内心和外心：内心到边相等，外心到顶点相等，不要混淆；④结合角平分线、切线性质，求解角度或者线段长度。 5．如图，是的内切圆，分别连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 7．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 8．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 题型三 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题思路：①牢记核心公式：r=（S三角形面积，C三角形周长）；②公式来源：三角形分割为3个以内心为顶点的小三角形，面积相加推导；③已知面积、周长，直接求内切圆半径r；④已知r和周长求面积；已知r和面积求周长。 9．如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则_______． 10．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 11．如图，已知三角形周长为C，从三角形内部去掉一个半径为r的最大的圆，阴影部分的面积是______．（用含C和r的式子表示） 12．如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（    ） A． B．4 C． D． 题型四 三角形内切圆与外接圆综合 解题思路：①分清两个圆心：内心为角平分线交点，到三边距离相等，对应内切圆；外心为垂直平分线交点，到三个顶点距离相等，对应外接圆；②直角三角形特殊结论：内切圆r=；外接圆半径等于斜边的一半；③审题圈出条件，判断条件给的是内心还是外心；④结合勾股定理、切线长定理联立求解线段 13．如图，是的内切圆，若，则的度数为___．    14．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 15．如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 16．已知锐角中，O是的中点，甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（   ） 甲的作法 …（如图） 乙的作法 以A为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 题型五 求正多边形的中心角 解题思路：①记住公式：中心角=；②找到题干中正多边形边数，直接代入公式计算；③注意区分中心角与多边形内角，二者公式不要记混。 17．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 18．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 19．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 20．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型六 已知正多边形的中心角求边数 解题思路：①公式变形：边数=；②把题目给出的中心角度数代入；③计算结果一定为正整数，用来检验计算是否出错。 21．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 22．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 23．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 24．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 题型七 正多边形和圆的综合 解题思路：①把正多边形问题转化为直角三角形：外接圆半径、边心距、边长的一半，构成直角三角形；②已知其中任意两个量，利用勾股定理求第三个；③求面积套用公式：S=周长边心距；④结合圆的半径、角度，求解边长、边心距、周长、面积。 25．已知正六边形外接圆的半径为2，则该正六边形的边长是（   ） A． B．3 C．2 D． 26．如图，正五边形内接于，则的度数为________． 27．如图，正五边形内接于半径为的，则的长为______． 28．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 题型八 尺规作图 —— 正多边形 解题思路：①原理：在圆上截取相等的弦，弦相等对应的圆心角相等；②常见作图：作正方形作互相垂直的两条直径，作正六边形以半径长在圆周依次截取得等分点；③依次连接圆上各个等分点，即可得到圆内接正多边形；④作图保留尺规痕迹。 29．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 30．我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 31．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 2．如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点． (1)求证：； (2)若圆心、间的距离为10，，求的长． 3．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 4．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 5．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 6．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $