第1讲 空间几何体的体积与表面积专项训练-2027届高三数学一轮复习

空间几何体的体积与表面积 立体几何 · 专题篇 柱锥台的体积 求体积这件事，公式只有三个：柱体是底面积乘高，锥体在同样的乘积上再除以三，台体则要把上下底面积连同它们的几何平均一起带上。公式本身不难记，真正的功夫在判断「哪一个是底面、高落在哪里」。 底面可以在任何方向。同一个几何体换个方向看，底面就换了，计算量也跟着变。选底面的标准只有一条：选出来的那个面，面积好算、高也好求。底面是直角三角形、等腰三角形或者正多边形时面积最快；高如果能顺着垂直关系直接读出来，就不必绕路。有些题把顶点换一个位置看，原来的高变成了侧棱，反而更好求。 同一个几何体用不同的面作底面，算出来的是同一个体积，这条恒等关系就是等体积法。它最典型的用处是求点到平面的距离：把一个四面体用两种方式各算一次体积，令两式相等，待求的高就解出来了。凡是题目绕开距离公式、只给棱长，都可以往这条路上想。 不规则几何体先想着拼或拆。补形是把缺的部分补上，凑成柱、锥这些熟悉的样子，再减去补上的那一块；分割是把它切成几个规则几何体分别求和。两种做法都要先把切割面画清楚，切面画错，后面每个数都是错的。常见的切法有沿对角面切、沿中截面切，以及把斜的几何体补成直的。 比较两个几何体的体积，先看它们能不能共用底面或共用高。等底时体积比就是高之比，等高时体积比就是底面积之比；同样的底面和同样的高，锥体与柱体的体积之比恒为一比三。把一个斜着放的三棱锥换成同底同高的直三棱锥再计算，是这类题最省力的一步。 有两处最容易大意。台体的体积公式里，上下底面积的乘积还要开方，漏掉这一项是最常见的失分点；旋转体则要先定准旋转轴，同一条边换成不同的轴，得到的几何体会完全不一样。此外，条件里若只给了侧棱长和底面边长，高必须另算，正棱锥、正棱台的高都是从中心竖直量到底面的，不能拿棱长当作高。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的，则圆柱和圆锥的体积之比为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度等于质量除以体积），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 正四棱台中，，则四棱台的体积为（ ） A. B. C. 56 D. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 例3（单选·★★☆☆☆） 已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（填空·★★★☆☆） 三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________. 表面积与侧面积 求表面积之前先数面：柱体有两个底面，锥体只有一个，台体又有两个，侧面则随几何体的形状而定。题目问的是整个几何体还是只要侧面，往往就差那么一个底面，读题时先把这个数定下来。 曲面上的面积不能直接量，办法是沿着一条母线把侧面剪开摊平。摊平之后，圆柱的侧面成了矩形，圆锥的侧面成了扇形，圆台的侧面成了扇环。这样就回到了平面图形，用矩形、扇形、扇环的面积公式去算就行。摊平的过程中不改变面积，但形状会变，所以剪开的位置可以任选，算出来的结果一样。 棱锥、棱台的侧面是三角形和梯形，它们自己的高叫斜高。斜高既不是侧棱，也不是几何体的高，这三条线常被弄混。在正棱锥里，斜高、几何体的高、底面中心到边的距离恰好构成一个直角三角形，斜高是斜边；正棱台里则是斜高、几何体的高、上下底边心距之差构成直角三角形。把斜高求出来，是这类题必走的第一步。 侧面摊平以后可以发现，柱、锥、台三者的侧面积可以用一个式子统一起来：上底周长与下底周长的平均值，乘以母线或斜高。柱体上下底面周长相同，锥体的上底周长取零，台体居中。记住这一条，三个侧面积公式就不必分别去背，也不容易记串。 反过来给表面积求体积，思路是先由表面积解出未知的边长或半径，再回到体积公式；给体积求表面积，则要先定出几何体的高或母线。这类题给的条件往往不多不少，正好够用，中间任何一步绕开不算，后面都会卡住。 两处容易混。一是把母线、斜高与几何体的高混用，圆锥里母线、底面半径、高构成直角三角形，母线是斜边，它总比高要长；二是把侧面积当成表面积交上去，尤其题目里出现多个几何体时，要先看清问的是哪一个。 例4（单选·★☆☆☆☆） 底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 例5（填空·★★☆☆☆） 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________． 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 例6（单选·★★☆☆☆） 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ） A. 148 B. C. 168 D. 80 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 展开图 展开图的题目只做两件事：把曲面摊平，再把摊平前后的量一一对应起来。侧面是曲的，面积没法直接量；沿一条母线剪开摊平之后就成了平面图形，扇形、矩形、扇环的面积都能算。 摊平的过程中，侧面上与底面平行的那些圆，变成了扇形或扇环的弧。所以有一条处处要用的等式：展开图中弧的长，等于底面圆的周长。题目给圆心角、给弧长、给半径，绕的都是这一条。圆锥展开后的半径就是母线，圆台展开后内外半径之差就是母线，把这两个对应关系认清楚，条件基本就能串起来。 三类侧面摊开后的形状要记牢。圆柱摊成矩形，一边是底面周长、另一边是母线；圆锥摊成扇形，弧长是底面周长、半径是母线；圆台摊成扇环，内外两条弧分别是上下底面的周长。形状认错，后面的对应关系就会全盘错位。 扇形的圆心角与半径共同决定弧长，三者中知道两个就能求第三个。题目常把圆心角写成圆周率的倍数，这其实是在提示这段弧占整圆的多大比例，按比例换算往往比套公式更快，也不容易出错。 还有一类题目把多面体直接摊成平面图形，问还原之后某两条线的关系。做法是先弄清哪两个面折起来会重合、哪条边与哪条边贴合，把顶点认全之后再判断平行与垂直。这类题靠空间想象，拿不准时可以在纸上把展开图重新折回去核对。 几何体表面上两点间的最短路径同样靠展开：把路径经过的几个面摊平，两点之间线段最短。摊平的时候要保证经过的面是连成一片的，不能让路径跨过被剪开的那道口子。常见错误除了把展开半径当成几何体的高，还有算完侧面就忘了底面；另外圆台摊开是扇环而不是扇形，漏掉减去内层那一块，面积会算大。 例7（单选·★☆☆☆☆） 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★☆☆☆） 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 变式8-1（多选·★★★☆☆） 用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台。若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（ ） A. 小圆锥的高为1 B. 大圆锥的体积为 C. 圆台的母线长为 D. 圆台的表面积为 例9（单选·★★★☆☆） 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 变式9-1（填空·★★★★☆） 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面。若，则该圆台的体积为______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体的体积与表面积 立体几何 · 专题篇 柱锥台的体积 求体积这件事，公式只有三个：柱体是底面积乘高，锥体在同样的乘积上再除以三，台体则要把上下底面积连同它们的几何平均一起带上。公式本身不难记，真正的功夫在判断「哪一个是底面、高落在哪里」。 底面可以在任何方向。同一个几何体换个方向看，底面就换了，计算量也跟着变。选底面的标准只有一条：选出来的那个面，面积好算、高也好求。底面是直角三角形、等腰三角形或者正多边形时面积最快；高如果能顺着垂直关系直接读出来，就不必绕路。有些题把顶点换一个位置看，原来的高变成了侧棱，反而更好求。 同一个几何体用不同的面作底面，算出来的是同一个体积，这条恒等关系就是等体积法。它最典型的用处是求点到平面的距离：把一个四面体用两种方式各算一次体积，令两式相等，待求的高就解出来了。凡是题目绕开距离公式、只给棱长，都可以往这条路上想。 不规则几何体先想着拼或拆。补形是把缺的部分补上，凑成柱、锥这些熟悉的样子，再减去补上的那一块；分割是把它切成几个规则几何体分别求和。两种做法都要先把切割面画清楚，切面画错，后面每个数都是错的。常见的切法有沿对角面切、沿中截面切，以及把斜的几何体补成直的。 比较两个几何体的体积，先看它们能不能共用底面或共用高。等底时体积比就是高之比，等高时体积比就是底面积之比；同样的底面和同样的高，锥体与柱体的体积之比恒为一比三。把一个斜着放的三棱锥换成同底同高的直三棱锥再计算，是这类题最省力的一步。 有两处最容易大意。台体的体积公式里，上下底面积的乘积还要开方，漏掉这一项是最常见的失分点；旋转体则要先定准旋转轴，同一条边换成不同的轴，得到的几何体会完全不一样。此外，条件里若只给了侧棱长和底面边长，高必须另算，正棱锥、正棱台的高都是从中心竖直量到底面的，不能拿棱长当作高。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的，则圆柱和圆锥的体积之比为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 【切入点】两者底面半径与高的比例关系都给全了，直接用体积公式写出两个式子再作比。 【关键】先设出参数：圆锥的底面半径与高分别为 、，圆柱的对应量则是 、。分别代入体积公式，圆柱的体积为 ，圆锥的体积为 ，两者之比为 。故选 A。 【易错】一是把「圆柱底面半径是圆锥的 倍」顺手当成高也是 倍，条件给的却是高为一半，两个方向相反。二是作比时漏掉锥体公式里的 ，那样会得到 。 【答案】A 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度等于质量除以体积），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】质量和密度先换出总体积，再把总体积按圆锥与圆柱的比例拆开。 【关键】陀螺的圆锥部分高为 。设底面半径为 ，总体积为 。由密度公式得总体积为 ，于是 。故选 C。 【易错】一是把圆锥的高当成 （总高是圆锥与圆柱之和）。二是密度、质量、体积三者关系写反，用体积去乘密度。三是算出 就填上去，忘了底面面积还要乘 。 【答案】C 例2（单选·★★☆☆☆） 正四棱台中，，则四棱台的体积为（ ） A. B. C. 56 D. 【切入点】正四棱台只给了边长和侧棱，高得自己求；求高的关键是上下底面对角线之差。 【关键】由 得 、、。上下底面的对角线长分别为 与 ，它们的一半之差为 的两倍即 ，所以棱台的高为 。上下底面积分别为 与 ，体积为 。故选 B。 【易错】一是拿上下底边长之差去求高，正四棱锥、正四棱台的高都是从中心竖直量到底面的，要沿对角线方向换算。二是台体体积公式漏掉 这一项，少了它结果会变成 。 【答案】B 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 【切入点】整体体积已知，求其中一块的体积，要找两者的底面积之比与高的关系。 【关键】设上底边长为 ，则下底边长为 ，上下底面积分别为 与 。棱台体积为 ，得 。三棱锥 的底面是下底面的一半，面积为 ，高就是棱台的高 ，体积为 。 【易错】一是把三棱锥的底面当成整个下底面，那样算出 。二是怀疑三棱锥的高不等于棱台的高， 到底面的距离正是棱台的高。 【答案】 例3（单选·★★☆☆☆） 已知平行六面体的体积为4，若将其截去三棱锥，则剩余几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】截出来的三棱锥是平行六面体的一部分，先定出它占整体的几分之几，再用减法求剩余。 【关键】沿对角面 把平行六面体切成两个体积各为 的三棱柱，三棱锥 落在含 的那个三棱柱里。三棱柱可以分成三个等体积的三棱锥，而 与其中之一的 同顶点，且 与 到直线 的距离相等，两个底面三角形面积相同，所以两者体积相等。于是截去部分的体积为 ，剩余几何体的体积为 。故选 C。 【易错】一是把 当成剩余部分（它是被截去的那一块）。二是没看出 与 等体积，于是不知道从哪里下手。 【答案】C 变式3-1（单选·★★★☆☆） 在正四棱锥中，是棱PA的中点，平面EBC将该正四棱锥分割成两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【切入点】被平面切开的两部分都不是柱、锥、台，先想清楚截面是什么形状，再分别算两块。 【关键】设底面正方形边长为 、棱锥的高为 。 是 的中点，平面 与棱 相交于点 ，由对称性 是 的中点，于是 且 。含顶点 的那部分是四棱锥 ，沿 分成四面体 与 分别求体积，合起来为 ；整个棱锥的体积为 。所以含 的部分较小，另一部分为 ，两者之比为 。故选 B。 【易错】一是把 当成棱 上的任意一点，它由平面 唯一确定，恰好是中点。二是凭图形感觉把含 的那一块当成大块，实际它只占 。 【答案】B 变式3-2（填空·★★★☆☆） 三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________. 【切入点】两条对棱相等、另外四条棱也相等，这种三棱锥的两条对棱互相垂直，体积可以用对棱长和它们的公垂线段表示。 【关键】设 ，其余四条棱长为 。由 知 与 互相垂直，设它们的中点分别为 、，则 与 、 都垂直。由 得 。体积为 。记 ，对 求导再开方，得当 时体积最大，此时体积为 。 【易错】一是把「一组对棱」理解成相邻的两条棱。二是忽略公垂线段长对 的限制（须有 ），把 取到了取值范围之外。 【答案】 表面积与侧面积 求表面积之前先数面：柱体有两个底面，锥体只有一个，台体又有两个，侧面则随几何体的形状而定。题目问的是整个几何体还是只要侧面，往往就差那么一个底面，读题时先把这个数定下来。 曲面上的面积不能直接量，办法是沿着一条母线把侧面剪开摊平。摊平之后，圆柱的侧面成了矩形，圆锥的侧面成了扇形，圆台的侧面成了扇环。这样就回到了平面图形，用矩形、扇形、扇环的面积公式去算就行。摊平的过程中不改变面积，但形状会变，所以剪开的位置可以任选，算出来的结果一样。 棱锥、棱台的侧面是三角形和梯形，它们自己的高叫斜高。斜高既不是侧棱，也不是几何体的高，这三条线常被弄混。在正棱锥里，斜高、几何体的高、底面中心到边的距离恰好构成一个直角三角形，斜高是斜边；正棱台里则是斜高、几何体的高、上下底边心距之差构成直角三角形。把斜高求出来，是这类题必走的第一步。 侧面摊平以后可以发现，柱、锥、台三者的侧面积可以用一个式子统一起来：上底周长与下底周长的平均值，乘以母线或斜高。柱体上下底面周长相同，锥体的上底周长取零，台体居中。记住这一条，三个侧面积公式就不必分别去背，也不容易记串。 反过来给表面积求体积，思路是先由表面积解出未知的边长或半径，再回到体积公式；给体积求表面积，则要先定出几何体的高或母线。这类题给的条件往往不多不少，正好够用，中间任何一步绕开不算，后面都会卡住。 两处容易混。一是把母线、斜高与几何体的高混用，圆锥里母线、底面半径、高构成直角三角形，母线是斜边，它总比高要长；二是把侧面积当成表面积交上去，尤其题目里出现多个几何体时，要先看清问的是哪一个。 例4（单选·★☆☆☆☆） 底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件只给了半径与高，母线要先用勾股定理求出来。 【关键】底面半径 、高 ，母线 。侧面积为 。故选 B。 【易错】一是直接把高当母线用，算出 。二是记错关系式，把母线当直角边。圆锥里母线最长，半径、高、母线三者中它作斜边。 【答案】B 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】给了母线和高，先求底面半径，再分别算侧面积与底面积。 【关键】底面半径 。侧面积为 ，底面积为 ，表面积为 。故选 C。 【易错】一是只算出侧面积 就选（那是本题最有吸引力的干扰项）。二是求半径时把 当成正值来算，母线是斜边，被减数只能是它。 【答案】C 例5（填空·★★☆☆☆） 已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为________． 【切入点】圆台的侧面积由上下底面半径与母线直接给出，代入公式即可。 【关键】上下底面半径分别为 与 ，母线长为 ，侧面积为 。 【易错】一是只用下底面半径去算，得到 （漏掉了上底面那一圈）。二是把母线长当成高，圆台的母线通常比高长，两者只在高为零时才相等。 【答案】 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 【切入点】正三棱台的侧面是等腰梯形，它的高要用棱台的高与上下底边心距之差求出。 【关键】上下底面边长分别为 与 。正三角形边心距等于边长的 倍，故上下底边心距分别为 与 。斜高为 。侧面积为 。故选 B。 【易错】一是拿上下底面边长之差去求斜高，应当用边心距之差（边长之差要先化成边心距之差）。二是把斜高当成棱台的高，两者在这个直角三角形里互为直角边与斜边。 【答案】B 例6（单选·★★☆☆☆） 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】侧面积给出后，先求斜高，再求棱锥的高，最后回到体积公式。 【关键】底面边长为 ，底面积为 ，侧面积为 。四个侧面全等，每个面积 ，由 得斜高 。棱锥的高为 ，体积为 。故选 A。 【易错】一是用底面边长 去代斜高，斜高比它长，要先由侧面面积解出来。二是求高时减错量，斜高、高、底面中心到边的距离构成直角三角形，第三边是边长的一半而不是边长。 【答案】A 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ） A. 148 B. C. 168 D. 80 【切入点】先由体积解出棱台的高，再求斜高，最后把侧面积与两个底面加起来。 【关键】上下底面边长分别为 与 ，底面积分别为 与 。体积为 ，得 。上下底面的边心距分别为 与 ，斜高为 。侧面积为 ，表面积为 。故选 A。 【易错】一是只算侧面积 就选。二是求斜高时用边长之差 ，应当用上下底边心距之差 。 【答案】A 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先由侧面积与底面积的比例定出斜高，再求棱锥的高。 【关键】底面边长为 ，底面积为 ，侧面积为 。三个侧面全等，每个面积 ，由 得斜高 。底面正三角形的边心距为 ，棱锥的高为 。体积为 。故选 D。 【易错】一是把「侧面积是底面积的 倍」理解反。二是求高时用边长或半边长去减，应当减去的是底面中心到边的距离即边心距。 【答案】D 展开图 展开图的题目只做两件事：把曲面摊平，再把摊平前后的量一一对应起来。侧面是曲的，面积没法直接量；沿一条母线剪开摊平之后就成了平面图形，扇形、矩形、扇环的面积都能算。 摊平的过程中，侧面上与底面平行的那些圆，变成了扇形或扇环的弧。所以有一条处处要用的等式：展开图中弧的长，等于底面圆的周长。题目给圆心角、给弧长、给半径，绕的都是这一条。圆锥展开后的半径就是母线，圆台展开后内外半径之差就是母线，把这两个对应关系认清楚，条件基本就能串起来。 三类侧面摊开后的形状要记牢。圆柱摊成矩形，一边是底面周长、另一边是母线；圆锥摊成扇形，弧长是底面周长、半径是母线；圆台摊成扇环，内外两条弧分别是上下底面的周长。形状认错，后面的对应关系就会全盘错位。 扇形的圆心角与半径共同决定弧长，三者中知道两个就能求第三个。题目常把圆心角写成圆周率的倍数，这其实是在提示这段弧占整圆的多大比例，按比例换算往往比套公式更快，也不容易出错。 还有一类题目把多面体直接摊成平面图形，问还原之后某两条线的关系。做法是先弄清哪两个面折起来会重合、哪条边与哪条边贴合，把顶点认全之后再判断平行与垂直。这类题靠空间想象，拿不准时可以在纸上把展开图重新折回去核对。 几何体表面上两点间的最短路径同样靠展开：把路径经过的几个面摊平，两点之间线段最短。摊平的时候要保证经过的面是连成一片的，不能让路径跨过被剪开的那道口子。常见错误除了把展开半径当成几何体的高，还有算完侧面就忘了底面；另外圆台摊开是扇环而不是扇形，漏掉减去内层那一块，面积会算大。 例7（单选·★☆☆☆☆） 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】展开图是半圆，说明弧长等于圆周长的一半，据此可以先定出底面半径。 【关键】展开的半圆半径为 ，即母线 ，弧长为 。弧长等于底面周长，由 得 。圆锥的高为 ，体积为 。故选 C。 【易错】一是把展开半径 直接当成底面半径，那样会算出 。二是由弧长反求半径时漏掉一处 。 【答案】C 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】展开图是扇形，半径就是母线，弧长就是底面周长。 【关键】母线 ，弧长为 ，由 得 。高为 ，体积为 。故选 A。 【易错】一是把展开半径当成底面半径，那样母线就被漏掉了。二是求高时把半径与母线的位置弄反，写成 就没有意义了。 【答案】A 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先由大圆锥的展开图求出它的底面半径与高，被截去的小圆锥与原圆锥相似。 【关键】大圆锥母线为 ，展开是半圆，弧长为 ，由 得 ，高为 ，体积为 。小圆锥底面半径为 ，与原圆锥的相似比为 ，高为 ，体积为 。圆台的体积为 。故选 C。 【易错】一是把半圆的半径当成底面直径。二是小圆锥的体积按相似比的一次方去缩，体积要按相似比的立方缩才对。 【答案】C 例8（单选·★★☆☆☆） 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】母线已经给出，由圆心角求弧长，再由弧长求底面半径。 【关键】母线 ，展开扇形的弧长为 。由 得 。侧面积为 ，底面积为 ，表面积为 。故选 C。 【易错】一是把侧面积 当成表面积交上去。二是圆心角按角度处理， 已经是弧度，直接乘半径就是弧长。 【答案】C 变式8-1（多选·★★★☆☆） 用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台。若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（ ） A. 小圆锥的高为1 B. 大圆锥的体积为 C. 圆台的母线长为 D. 圆台的表面积为 【切入点】小圆锥的展开图给全了，先由弧长与圆心角求出它的母线与底面半径，再借助相似把大圆锥的量一一算出来。 【关键】小圆锥侧面展开的弧长为 、圆心角为 ，故小圆锥的母线为 ，底面半径为 ，高为 ，所以 A 项「小圆锥的高为 」错误。小圆锥与大圆锥的高之比为 ，故大圆锥底面半径为 ，体积为 ，所以 B 项正确。大圆锥的母线为 ，圆台的母线为 ，所以 C 项正确。圆台的侧面积为 ，还要再加上下两个底面共 ，所以 D 项错误。故选 BC。 【易错】一是把小圆锥的母线当成圆心角直接读出的量。二是 D 项把侧面积当表面积，圆台有两个底面，漏掉它们就会误判 D 正确。 【答案】BC 例9（单选·★★★☆☆） 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（ ） A. π B. 2π C. 4π D. 8π 【切入点】圆台摊开是扇环而不是扇形，先用圆心角写出扇环面积，再找出内外半径与上下底面半径的关系。 【关键】展开后是半个圆环，即圆心角为 。设外半径为 、内半径为 ，扇环面积为 ，得 。两条弧的长分别为 与 ，它们等于上下底面的周长，故下底面半径为 、上底面半径为 。上下底面面积之差的绝对值为 。故选 B。 【易错】一是把圆台摊开当成扇形，直接用扇形的面积公式算。二是外弧与底面周长的对应关系搞反，把外弧当成上底面。 【答案】B 变式9-1（填空·★★★★☆） 如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面。若，则该圆台的体积为______. 【切入点】扇环围成圆台，扇环的内外两条弧分别成为上下底面的周长。 【关键】、，圆心角为 ，故外弧长为 、内弧长为 。它们分别等于下底面与上底面的周长，得下底面半径为 、上底面半径为 。圆台的母线为扇环的径向宽度 ，高为 。体积为 。 【易错】一是把外弧长当成上底面周长，扇环的外弧围在外面，对应的是较大的下底面。二是求高时直接拿母线长，忘了还要减去上下底面半径之差。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $