空间几何体的结构特征、表面积与体积训练—2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以空间几何体结构特征为基础，通过公式体系与多题型训练，构建从概念到复杂计算的完整认知链，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |结构特征|5例|多面体与旋转体定义辨析|从平面图形旋转生成空间几何体，建立概念关联| |直观图|4例|斜二测画法与面积转化|平面直观图与空间几何体的互化，培养几何直观| |表面积|6例|公式应用与截面计算|侧面积展开与表面积合成，强化运算推理| |体积|9例|柱锥台体积及分割法|体积公式推导与等积变换，提升空间想象| |球的问题|5例|外接球与内切球计算|球与多面体的位置关系，渗透数学建模| |截面与最值|8例|动态截面与体积最值|空间几何量的动态变化，发展逻辑思维|

空间几何体的结构特征、表面积与体积 知识点一 空间几何体的结构特征 （一）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 （2） 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 组成 分析 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体． 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体. 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 —— 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 —— 注：（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. （2）底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. （3）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 知识点二 空间几何体的直观图 1．斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： （1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 注：直观图和平面图形的面积比为． 2．平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 知识点三 空间几何体的侧面积与表面积公式 图形 侧面积公式 表面积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 —— 知识点四 空间几何体的体积公式 图形 体积公式 柱体 锥体 台体 球 一 真题导向 1.（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 2.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 4.（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 5.（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6.（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 7.（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 8.（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 9.（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______． 10.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 11.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 12.（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 13.（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． （1）求证：//平面； （2）若，求三棱锥的体积． 二 题型分类 题型一 空间几何体的结构特征 例1.（1）（多选题）（24-25高三上·贵州遵义·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．正四棱柱一定是长方体 B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 （2）（多选题）（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）下列命题不正确的有（　　） A．斜二测画法不会改变边长比例 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大 D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面 （3）（2026·安徽·模拟预测）用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面（或模型表面）、不重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“1笔”．则遍历一个正五棱柱的所有棱，至少需要（    ） A．3笔 B．4笔 C．5笔 D．6笔 例2.（1）（多选题）（2025高三上·江苏无锡·专题练习）下列命题不正确的是（    ） A．正方形的直观图是正方形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．圆锥有无数条母线 （2）（多选题）（2026·河南焦作·一模）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（   ） A．该几何体可能是三棱锥 B．该几何体可能是四棱柱 C．用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D．用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 （3）（多选题）（2026·浙江杭州·二模）选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（    ） A．， B．，， C．， D．，， （4）（25-26高三上·广东揭阳·期中）设一个简单几何体的棱数与面数之和为.用表示正棱台，表示正棱锥，则（    ） A． B．存在，使得 C． D．存在，使得 题型二 空间几何体的直观图 例3.（1）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）梯形的直观图是一个等腰梯形，等腰梯形的底角为45°，面积，则梯形的面积是（    ） A．2 B． C． D．4 （2）（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ） A． B． C． D． （3）（多选题）（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 （4）（25-26高三上·上海·期中）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角，腰和上底长均为1的等腰梯形，则平面图形的面积等于______． 题型三 空间几何体的侧面积与表面积 例4.（1）（2026·湖南长沙·模拟预测）某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． （2）（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为1和7，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． （3）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知圆锥的底面面积为，其内切球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． （4）（2026·山东日照·模拟预测）如图，圆台的下底面与圆柱的下底面重合，圆台的上底面与圆柱的上底面共面．已知圆台存在一个内切球（球与圆台的上、下底面及侧面均相切），该内切球的半径为2．在圆柱与圆台之间的空隙中，能放入的最大小球（与圆柱侧面、圆台侧面以及圆柱的上底面均相切）的半径为1，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 例5.（1）（2026·北京朝阳·模拟预测）如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． （2）（2026·河南信阳·模拟预测）正三棱台中，，与底面所成角的正切值为2，则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． （3）（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，某广场摆放了石凳供大家休息，每张石凳是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的几何体，数学上称之为阿基米德多面体.设被截正方体的棱长是，则每张石凳的表面积为（    ） A． B． C． D． （4）（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 例6.（1）（多选题）（2026·湖北十堰·模拟预测）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 （2）（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． （3）（2026·北京顺义·三模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． （4）（2026·北京·三模）如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 题型四 空间几何体的体积 例7.（1）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． （2）（26-27高三上·安徽·开学考试）已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（   ） A． B． C． D． （3）（2026·安徽滁州·三模）已知一个圆柱、一个圆锥、一个圆台，它们的高均为，圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，且，记圆柱、圆锥、圆台的体积分别为，，，则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·陕西咸阳·二模）一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为，若用一个平行于上下底面的平面截该棱台，且将棱台的高平分，则所截得的上下两个棱台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 例8.（1）（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·陕西西安·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． （3）（2026·海南·模拟预测）在正三棱台中，，，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． （4）（2026·云南昆明·二模）降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发､渗漏､流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（    ） A．暴雨 B．大雨 C．中雨 D．小雨 例9.（1）（2026·青海西宁·一模）已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． （3）（2026·安徽·模拟预测）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（   ）    A．6.1kg B．9.1kg C．12.2kg D．13.65kg （4）（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． （5）（25-26高三下·北京海淀·开学考试）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 题型五 与球的相关问题 例10.（1）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·云南昆明·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． （3）（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）球O内切于侧棱长为2的正三棱柱（与五个面均相切），球与球O以及三棱柱同一顶点的三个面均相切，则球的半径__________． （4）（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 例11.（1）（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为，侧面展开图的扇环面积为，若该圆台存在内切球，则______. （2）（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． （3）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 （4）（2026·云南·三模）将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． （5）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 题型六 几何体截面与体积、表面积最值问题 例12.（1）（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. （2）（25-26高三上·甘肃·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，现有一堑堵，，，点为棱的中点，点在棱上运动，则的周长的最小值为（   ）    A． B． C． D． （3）（2026·湖南·模拟预测）已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． （4）（26-27高三上·河北·开学考试）已知圆台的高为，上、下底面的半径之比为，圆台的侧面积为．现欲将此圆台加工成一个球体，则得到的球的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 例13.（1）（2026·广东佛山·二模）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． （3）（26-27高三上·广东深圳·开学考试）将一条长为的线段截成段，使其组成一个正三棱柱的框架，则该正三棱柱的外接球表面积的最小值为（） A． B． C． D． （4）（26-27高三上·山东聊城·开学考试）由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为的液体，在正方体自由旋转的过程中，液面形成图形记为，液体形成的几何体记为，则下列说法错误的是（    ） A．可能是正三棱锥 B．不可能为直角三角形 C．当时，的面积最大值为 D．当为三棱锥时，的体积最大值为 例14.（1）（26-27高三上·浙江·阶段检测）底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台．当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为（   ） A． B．1 C． D． （2）（2026·山东潍坊·三模）已知边长为2的菱形满足，绕边所在的直线旋转，在旋转过程中三棱锥体积的最大值为（     ） A．1 B． C． D． （3）（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高三下·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 课后练习 1.（2026·河南开封·模拟预测）已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·湖南长沙·三模）一圆台上下底面半径为另一圆锥的底面半径也为.若圆台的母线与圆锥的母线长相等，则圆台与圆锥体积比为（     ） A． B．3 C． D．7 5.（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）《九章算术》记载的“圆囷”是圆柱形粮仓.现用总长米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不计上下底），已知圆柱侧面积，侧面用料长度满足（其中为两条母线的长度和，为底面半径，为高，单位均为米）.若要使圆柱侧面积最大，则其高与底面半径之比的值为（    ） A． B． C． D． 6.（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 7.（2026·天津河西·二模）今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（   ） A．168 B．192 C．216 D．240 8.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知三棱锥的高为，，分别为棱的中点，，若为正三角形，则三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 9.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（     ） A．1 B．2 C． D． 10.（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，是棱的10等分点，过作与，均平行的平面，记此平面截正四面体所得的截面面积为.则（   ） A． B． C． D． 11.（2026·河北衡水·二模）中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（   ） A．14斤 B．24斤 C．38斤 D．56斤 12.（2026·北京西城·一模）如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为．假设上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为，在重力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过分钟后剩余沙堆的体积（为常数）．已知初始时细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为，此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为，则需再经过的时间约为（   ）（参考数据：） A．8.0分钟 B．8.6分钟 C．9.4分钟 D．10.6分钟 13.（多选题）（2026·辽宁抚顺·一模）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 14.（多选题）（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）半径为的球壳（球壳厚度不计）中可以装入（    ） A．半径为的球 B．边长为的正方体 C．底面半径和高均为的圆柱 D．底面半径和高均为的圆锥 15.（多选题）（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线AE与PB所成的角为 B．平面PAC与平面ABC所成角的余弦值为 C．△ABE周长的最小值为4+ D．如果在这个容器中放入4个小球(全部放入)，则小球半径的最大值为 16.（2026·山东青岛·三模）已知正四棱台的体积为，，，则该正四棱台的侧面积为__________． 17.（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积为_________. 18.（2026·河北邢台·三模）如图所示，已知直四棱柱的底面为平行四边形，点分别为, 的中点， 直线与交于点，则几何体的体积与直四棱柱 的体积的比值为________.    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体的结构特征、表面积与体积 知识点一 空间几何体的结构特征 （一）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 （2） 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 组成 分析 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体． 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体. 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 —— 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 —— 注：（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体. （2）底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. （3）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 知识点二 空间几何体的直观图 1．斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： （1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 注：直观图和平面图形的面积比为． 2．平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 知识点三 空间几何体的侧面积与表面积公式 图形 侧面积公式 表面积公式 圆柱 圆锥 圆台 球 —— 知识点四 空间几何体的体积公式 图形 体积公式 柱体 锥体 台体 球 一 真题导向 1.（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为，下底面面积为， 所以该棱台的体积为.故选：D 2.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B. 3.（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选：C. 4.（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【详解】取中点，连接，如图，   是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故选：A 5.（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得，解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B 6.（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.   因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以，在中，因为，所以，所以.故选：B 7.（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【详解】由球的体积公式，，解得，设的外心为，连接，由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上，不妨设在线段上，连接，设的边长为，由正弦定理可得，，再设，由题知，，解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图），所以，由三角形面积公式，. 8.（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知，即，， 故答案为：. 9.（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______． 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ，所以. 故答案为：. 10.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，   因为， 则，故，则，所以所求体积为.故答案为：. 11.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【详解】棱台的体积为.故答案为：. 12.（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 【详解】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，.故答案为： 13.（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． （1）求证：//平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)连接，设，则，，， 则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面. （2）过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以，在中，，所以，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱锥的高为， 因为，所以，所以，又，所以. 二 题型分类 题型一 空间几何体的结构特征 例1.（1）（多选题）（24-25高三上·贵州遵义·阶段检测）下列命题中为真命题的是（   ） A．正四棱柱一定是长方体 B．斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C．正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D．正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 【详解】对于A：正四棱柱一定是长方体，A选项正确；对于B：若斜四棱柱底面是平行四边形，侧棱不垂直底面，侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧面是矩形，所以斜四棱柱的侧面可以是矩形，B选项错误；对于C：若正四棱锥的侧棱与底面边长不相等时，所有侧面都是等腰三角形不是正三角形，C选项错误；对于D：正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点，D选项正确；故选：AD. （2）（多选题）（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）下列命题不正确的有（　　） A．斜二测画法不会改变边长比例 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大 D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面 【详解】选项A，在y轴上的线段或与y轴平行的线段长度变为原来的一半，所以斜二测画法可能会改变边长比例，A选项错误；选项B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能唯一确定一个平面，故选项B错误；选项C，设圆锥的母线长为，设圆锥的顶点为，轴截面为等腰三角形，截面面积，所以当时，轴截面面积最大，当时，轴截面面积不是最大，故C错误；选项D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确；故选：ABC． （3）（2026·安徽·模拟预测）用笔从空间多面体的一个顶点出发，沿棱连续划线，要求笔尖不离开纸面（或模型表面）、不重复经过任何一条棱，最终停止在起点或任意其他顶点的过程称为“1笔”．则遍历一个正五棱柱的所有棱，至少需要（    ） A．3笔 B．4笔 C．5笔 D．6笔 【详解】正五棱柱共10个顶点，每个顶点连3条棱，均为奇顶点，根据欧拉笔画定理：连通图最少笔画数奇顶点数，因此，至少需要5笔．故选：C 例2.（1）（多选题）（2025高三上·江苏无锡·专题练习）下列命题不正确的是（    ） A．正方形的直观图是正方形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 D．圆锥有无数条母线 【详解】对A，正方形的直观图是平行四边形，A错误；对于B，用一个平面去截棱锥，截面需与底面平行时底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台，B错误；对于C，各个面都是三角形的几何体不一定是三棱锥，比如，两个全等的棱锥底面重合组成的几何体，几何体各个面均为三角形，但该几何体不是三棱锥，C错误；对于D，圆锥有无数条母线，D正确.故选：ABC． （2）（多选题）（2026·河南焦作·一模）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（   ） A．该几何体可能是三棱锥 B．该几何体可能是四棱柱 C．用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D．用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 【详解】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板，像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确；对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误；对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面， 要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起，必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可，实际上，当时，，在中，， 则，则，即可得，即此时即可满足题意，C正确；对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形，设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a，因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱，则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误.故选：AC． （3）（多选题）（2026·浙江杭州·二模）选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【详解】要使正方体经过旋转后能与自身重合，旋转轴必须是正方体的对称轴， 且总旋转角度必须是该对称轴对应的基本对称角度（即满足重合的最小旋转角度）的整数倍， 正方体有三类旋转对称轴：面心轴（连接相对两个面的中心），基本对称角度为； 体对角线轴（连接相对两个顶点），如图：正方体绕旋转后重合， 故基本对称角度为； 棱心轴（连接相对两条棱的中点），基本对称角度为， 由于点是在表面上选取的，只要连线经过正方体中心，就可以成为上述三种对称轴之一， 因为所有的操作都是绕同一条直线进行的，所以最终的总旋转角度就是各次角度之和，对于A，总角度可以为，A正确；对于B，总角度可以为，B正确；对于C，总角度为或，均不是的整数倍，C错误；对于D，总角度可以为，D正确.故选：ABD. （4）（25-26高三上·广东揭阳·期中）设一个简单几何体的棱数与面数之和为.用表示正棱台，表示正棱锥，则（    ） A． B．存在，使得 C． D．存在，使得 【详解】用表示正棱台，表示正棱锥， ，A选项错误； ，要使得，所以不符合题意，B选项错误；，C选项错误；存在，使得，D选项正确；故选：D 题型二 空间几何体的直观图 例3.（1）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）梯形的直观图是一个等腰梯形，等腰梯形的底角为45°，面积，则梯形的面积是（    ） A．2 B． C． D．4 【详解】由斜二测画法可知，原图形的面积和直观图面积满足，所以梯形的面积为.故选：D （2）（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意，在直观图中，与轴平行且，所以在还原图中，与轴平行且. 直观图中，与轴重合且，所以在还原图中，与轴重合且.由题意可知，在还原图中，..故选：D （3）（多选题）（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点，因为等腰梯形中，，所以，又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确；对于C选项，作出原图形，可知，，，，故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点，则，由勾股定理得，四边形的周长为，故D错误．故选：BC. （4）（25-26高三上·上海·期中）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角，腰和上底长均为1的等腰梯形，则平面图形的面积等于______． 【详解】如图，四边形是底角，腰和上底长均为1的等腰梯形， 过点作交于点，则四边形为平行四边形，且，∴，由斜二测直观图画法规则得直观图的平面图如下： ∵，，∴，，∴，故答案为： 题型三 空间几何体的侧面积与表面积 例4.（1）（2026·湖南长沙·模拟预测）某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】因为圆锥的轴截面是等腰三角形，且轴截面是直角三角形，因此轴截面是等腰直角三角形. 设母线长为，底面圆半径为，则，化简得.轴截面面积，解得，进而圆锥侧面积为.故选：B （2）（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为1和7，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题可得，正三棱台的侧面是三个全等的梯形，上下底面分别是边长为1和7的等边三角形. 设棱台高为，梯形高为，上底面边长为，下底面边长为，上底面内接圆圆心到边的距离为，下底面内接圆圆心到边的距离为.则，同理， .所以，即.故选：A （3）（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知圆锥的底面面积为，其内切球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥底面半径为，由底面面积，解得​，设内切球半径为，由内切球表面积，解得，设圆锥的高为，母线长为，作出圆锥的轴截面如图， 由截面的面积有，即，又， 所以，（舍），所以圆锥侧面积：.故选： B （4）（2026·山东日照·模拟预测）如图，圆台的下底面与圆柱的下底面重合，圆台的上底面与圆柱的上底面共面．已知圆台存在一个内切球（球与圆台的上、下底面及侧面均相切），该内切球的半径为2．在圆柱与圆台之间的空隙中，能放入的最大小球（与圆柱侧面、圆台侧面以及圆柱的上底面均相切）的半径为1，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知圆台有内切球，且内切球半径为，因此圆台的高, 设圆台的上底面半径为，下底面半径为，根据圆台内切球的性质，圆台的母线长，且圆柱的底面半径等于圆台的下底面半径,所以空隙中最大小球的半径为，则内切圆的半径为，所以，则，由，化简得：，联立：，解得：（负值舍去）；所以圆台的上底面半径，圆台的下底面半径所以圆台的侧面积..故选：C. 例5.（1）（2026·北京朝阳·模拟预测）如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 【详解】因为这个三棱柱是正三棱柱，所以是正三角形，且所在直线与所在的平面垂直，则,如图：    作的高CE，连接DE，则平面，而平面，所以， 所以是二面角 的平面角，，，，用S表示的面积，则，， ， ，因为点是棱柱所在侧棱的中点，所以侧棱长为，所以正三棱柱的侧面积为.故选：C. （2）（2026·河南信阳·模拟预测）正三棱台中，，与底面所成角的正切值为2，则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设正三棱台的上下底面中心分别为，连接，过作于，则，，如图所示：   三棱台为正三棱台，上下底面为等边三角形，三个侧面为全等的等腰梯形；，，， ，；与底面所成角的正切值为2，，得；.过作于，则为侧面梯形的高；，； ，， ；.故选：D （3）（26-27高三上·福建福州·开学考试）如图，某广场摆放了石凳供大家休息，每张石凳是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的几何体，数学上称之为阿基米德多面体.设被截正方体的棱长是，则每张石凳的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，正方形及三角形的边长为，则正方形的面积为，三角形的面积为，所以每张石凳的表面积为.故选：A （4）（26-27高三上·安徽蚌埠·开学考试）将一个斜边为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】等腰直角三角形绕斜边旋转一周，形成的几何体是两个同底的圆锥底面重合的组合体. 设等腰直角三角形为，，斜边，由题可知：，且， 解得：，设边上的高为，利用等面积法可得： ，即，即，因此，旋转后形成的两个圆锥底面半径，母线，由圆锥的侧面积公式可得：，两个圆锥的侧面积之和为：，故所形成的几何体的表面积为.故选： B 例6.（1）（多选题）（2026·湖北十堰·模拟预测）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 【详解】正方体的体积，截去三棱锥体积， 几何体，故A正确；正方体的表面积， 截去3个直角三角形面积，新增1个边长为的正三角形面积为，该几何体的表面积为，故B错误； 该几何体与原正方体外接球相同，正方体外接球直径为，解得，故C正确； 正方体有6个面，截去一个角后，每个截面多出一条边，整体新增1个面，共7个面，故D正确． 故选：ACD （2）（2026·山东德州·三模）圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，剩下几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可画图如下： 底面直径​，故底面半径，高，过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为，由相似三角形性质，有，所以，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高，圆锥的母线长； 则；； ；故.故选：C. （3）（2026·北京顺义·三模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． 【详解】取的中点，的中点，连接，如图所示： 因为底面是矩形，所以，因为，为的中点，所以且，过点作平面的垂线，因为，所以，故点在的垂直平分线上， 故平面与平面的夹角为，，，因为，平面，所以平面，因为，所以平面，又平面，则， 所以，所以，，点到的距离为，点到的距离为，同理点到的距离为，所以，所以该四棱锥的侧面积为. （4）（2026·北京·三模）如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 【详解】设棱台上下底面的中心分别为，取的中点，的中点，连接. 由正棱台的性质可知，平面，，，且四点共面. 过作于点，则平面，且. 因为，，，所以平面，又平面，所以. 同理. 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角， 由题意可知. 因为，所以，， 又四边形为矩形，所以. 所以， 在中，，即侧面等腰梯形的高为. 上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，所以该棱台的表面积. 题型四 空间几何体的体积 例7.（1）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，且，故为的中位线，所以，同理可得，因为四边形是边长为的正方形，故，所以是边长为的等边三角形，设，由正四棱锥的结构可知：平面，且，故正四棱台的高为，所以正四棱台的体积为.故选： B （2）（26-27高三上·安徽·开学考试）已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（   ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥甲的高为，圆台乙的高为，则，， 所以圆锥甲的体积，圆台乙的体积， 所以甲、乙的体积之比为.故选：C. （3）（2026·安徽滁州·三模）已知一个圆柱、一个圆锥、一个圆台，它们的高均为，圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，且，记圆柱、圆锥、圆台的体积分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为圆柱底面半径为，高为，所以；已知圆锥底面半径为，高为，所以；由，得，所以 ，,根据基本不等式：（，等号仅当时成立，由圆台知），因此，，最终大小关系为：.故选： B （4）（2026·陕西咸阳·二模）一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为，若用一个平行于上下底面的平面截该棱台，且将棱台的高平分，则所截得的上下两个棱台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【详解】首先将正四棱台补为正四棱锥，设补出的小棱锥高为，由上下底面边长比为，且棱台的高为，由相似多边形的性质得，解得.由于平面平分棱台的高，故截面与棱台上底面的距离为，截面所在棱锥的高为，由相似比得截面边长，上下两部分棱台的高均为， 根据棱台体积公式，上部分棱台：上底面积，下底面积，高，则下部分棱台：上底面积，下底面积，高，则.因此体积比为.故选：C. 例8.（1）（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆柱的上底面圆周与分别交于点中点为交于点，因为四边形是边长为2的正方形，所以，由，得.由题意，圆柱的底面圆与正方形的四边都相切，故其半径. 又，所以，圆柱的高，所以圆柱的体积为. （2）（2026·陕西西安·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． 【详解】求上下底面的对角线长度：正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长为，故上底面对角线长为；下底面边长为，故下底面对角线长为；上底面顶点在下底面的射影落在下底面的对角线上，可得侧棱在底面的投影长度为；已知侧棱长为，由勾股定理得棱台的高；计算体积： 上底面面积，下底面面积，代入棱台体积公式．故选： B （3）（2026·海南·模拟预测）在正三棱台中，，，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，因此上下底面正三角形的面积： ,正三角形的中心到顶点的距离为边长，所以上底面中心到顶点的距离为，下底面中心到顶点的距离为，侧棱为，台体高为，所以.代入三棱台体积公式：故选：B. （4）（2026·云南昆明·二模）降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发､渗漏､流失），以计算降雨量的等级划分如下： 降雨量 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为，底面半径为，高为的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了的雨水后，桶内水深为，则当日降雨量的等级是（    ） A．暴雨 B．大雨 C．中雨 D．小雨 【详解】设水面半径为， 根据三角形相似可得，解得. 则.又接雨面积为桶的开口面积，根据降雨量定义，.结合降雨量的等级划分可得，当日降雨量的等级是暴雨.故选：A. 例9.（1）（2026·青海西宁·一模）已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以，所以圆锥的高，所以圆锥的体积与圆柱的体积比为.故选：C. （2）（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（     ） A． B． C． D． 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方，又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比，设上底面积，则下底面积， 设棱台的高，即上下底面的距离为，根据棱台体积公式可得： ，又因为在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此：，， 因此体积比：.故选D： （3）（2026·安徽·模拟预测）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（   ）    A．6.1kg B．9.1kg C．12.2kg D．13.65kg 【详解】从“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面处，   由题意可知正四棱台和的高相等，设为．因为，，则，可得， ．设剩余的米的质量为，则，解得．故选：C. （4）（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 【详解】取BD的中点E，连接AE，CE，因为，，所以在中，由余弦定理得，则，在中，由余弦定理得所以，则，所以，因为，所以平面，所以是三棱锥的高，因为，所以. （5）（25-26高三下·北京海淀·开学考试）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积是________． 【详解】如图，把几何体补全为长方体，则， ，由对称性，可得该包装盒的容积为. 题型五 与球的相关问题 例10.（1）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图， 取上下底面中心分别为，，则为正四棱台的高， 因为.又， .所以为四棱台外接球的球心，外接球半径为，所以该四棱台外接球的表面积为.故选：C. （2）（2026·云南昆明·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，若S，A，B，C均在球O的表面上，则球O的表面积为__________． 【详解】因为，，，所以，所以是直角三角形，且，又因为平面，所以三棱锥可以补成一个长方体，其外接球与三棱锥的外接球相同，长方体的体对角线就是外接球的直径， ，解得，则外接球的表面积为. （3）（26-27高三上·河北廊坊·开学考试）球O内切于侧棱长为2的正三棱柱（与五个面均相切），球与球O以及三棱柱同一顶点的三个面均相切，则球的半径__________． 【详解】如图所示，正三棱柱的高（侧棱长）为 .因为球 内切于该三棱柱，与上、下底面均相切，所以球 的直径等于三棱柱的高.球 与三棱柱的三个侧面也相切，则球 在下底面上的投影圆（即下底面正三角形的内切圆）半径为 .设正三角形 的边长为 ， 根据正三角形内切圆半径公式可得.正三角形 的外接圆半径（顶点 到下底面中心 的距离）为：设 为下底面 的中心，由于球心 在正三棱柱的中心轴线上，且到顶面的距离为 .在 中： ，球 与顶点 处相交的三个面（下底面 和两个侧面 、）均相切.球 也与这三个面均相切，且与球 外切.因此球心 必在线段 上，设球 的半径为 ，则两球心距 ，顶点 到球心 的距离 ，由两球位似可得，即，整理得，所以. （4）（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、，取的中点，连接，则.因为面面，面面，平面，所以，面，因为平面，所以.在直角三角形中，，，,得.在中，由正弦定理得，，解得，.在直角三角形中，，则，在直角三角形中，由面积公式得，，解得，，则，. 在直角三角形中，则，在直角三角形中，则，即，所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为.故选：B. 例11.（1）（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为，侧面展开图的扇环面积为，若该圆台存在内切球，则______. 【详解】设圆台的母线长为，由侧面展开图的扇环面积为，可得圆台侧面积为，所以，取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，设圆台的内切球球心为，则球心在截面内，在截面内，设圆切梯形的边分别于点， 由切线长定理可得，所以，即， 所以，又，所以. （2）（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______． 【详解】由侧棱平面，平面，得，且， 所以三棱锥可以补成长方体，如图所示. 则三棱锥的外接球与该长方体的外接球相同，则外接球的直径为长方体的体对角线.已知，，则，则， 故三棱锥外接球的表面积为. （3）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【详解】如图，设内切球的半径为，圆台上、下底面的圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处.设球与母线切于点，则，所以，，同理，圆台的母线长为.又，所以，解得.由，得，所以，，.故选C：.    （4）（2026·云南·三模）将边长为2的正方形沿对角线翻折，得到三棱锥，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可知，将沿直线翻折到平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，连接,则，且平面，，所以三棱锥的体积为：.由和均为直角三角形，和均为正三角形，，，所以三棱锥的表面积.设三棱锥内切球半径为.由，得，解得.故选：A. （5）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）如图1，在中，，，是线段的中点．将沿所在直线翻折得到三棱锥，如图2．若，则三棱锥外接球的体积为________． 【详解】在图1的中： 由​，，可得，即是等腰直角三角形，又因为是中点，因此，且.因为翻折后长度不变：，仍满足，.因为，即，结合，，可知、、三条线段两两垂直，长度均为.因此可将三棱锥补形成一个棱长为的正方体，该正方体的外接球与三棱锥的外接球完全相同，如图： 正方体的体对角线就是外接球的直径： ​，得外接球半径.由球体积公式，因此三棱锥外接球的体积为. 题型六 几何体截面与体积、表面积最值问题 例12.（1）（2026·宁夏银川·三模）正四棱锥的底面边长为，，则平面截正四棱锥外接球所得截面的面积为__________. 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为，连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心，设外接球半径为，则， 在中，，且，所以，解得，即，在中，，过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心，所以，则，所以，即平面截其外接球所得截面圆的半径为，所以截面的面积. （2）（25-26高三上·甘肃·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，现有一堑堵，，，点为棱的中点，点在棱上运动，则的周长的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【详解】由堑堵的定义可知，又，，所以， 又点为棱的中点，则，所以，，所以最小时，的周长最小，如图，将面与面展开在一个平面内，连接，与的交点即为，则此时最小，则.所以的周长的最小值为.   故选：C （3）（2026·湖南·模拟预测）已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，取棱DC上更靠近的三等分点，连接，．因为// ，所以四边形为平行四边形，所以//，.所以，，所以平面截正方体的截面为平行四边形．因为，，所以该截面的周长为． 故选：B. （4）（26-27高三上·河北·开学考试）已知圆台的高为，上、下底面的半径之比为，圆台的侧面积为．现欲将此圆台加工成一个球体，则得到的球的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆台上底面半径为，由上、下底面的半径之比为，所以圆台下底面半径为， 圆台的母线长，圆台的侧面积，解得，所圆台上底面半径，下底半径为5，母线长，圆台轴截面为等腰梯形，上底为2，下底为10，高为，腰长为8，将圆台补为圆锥，轴截面如图： 设小圆锥的高为，根据三角形相似得，解得，所以大圆锥的高为， 因为大圆锥底面半径为5，所以大圆锥的母线长为，所以大圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形，设大圆锥内切球半径为，即边长为10的等边三角形内切圆半径为，所以，所以，因为，所以大圆锥内切球完全落到圆台内部，所以圆台内最大球半径为，此时球的体积为.所以得到的球的体积的最大值为.故选：C 例13.（1）（2026·广东佛山·二模）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，，故母线，又，故，故为底面圆直径； 对三角形，设边上的高为，则其面积， 当且仅当为弧的中点时取得最大值；故三棱锥体积.故选：B. （2）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，圆台上底面圆的直径为，因此上底面圆的半径为，下底面圆的直径为，因此下底面圆的半径为，圆台的母线长为，则圆台的侧面展开图如图所示，从点到达点的最短路径即为， 假设将圆台补全为一个圆锥，设小圆锥的母线长为，则有，代入数据，解得，所以小圆锥的母线长为，即，大圆锥的母线长为，即，展开图的圆心角由下底面圆的周长决定，即，解得，由于位于内侧弧长的中点，因此， 在中，，，由余弦定理得，代入数据，解得即从点到达点的最短路径的长度为.故选：B. （3）（26-27高三上·广东深圳·开学考试）将一条长为的线段截成段，使其组成一个正三棱柱的框架，则该正三棱柱的外接球表面积的最小值为（） A． B． C． D． 【详解】设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，正三棱柱共有条棱，上下底面各条共，侧棱条共，总长度为，因此，即，正三棱柱外接球的球心位于上下底面中心连线的中点，底面正三角形的外接圆半径为，球心到侧棱中点的垂直距离为，所以外接球半径满足，由代入得，这是关于的开口向上的二次函数，当时，取得最小值，此时，因此外接球表面积的最小值为.故选：A. （4）（26-27高三上·山东聊城·开学考试）由透明玻璃制成的正方体密闭容器的棱长为1（玻璃厚度忽略不计），注入体积为的液体，在正方体自由旋转的过程中，液面形成图形记为，液体形成的几何体记为，则下列说法错误的是（    ） A．可能是正三棱锥 B．不可能为直角三角形 C．当时，的面积最大值为 D．当为三棱锥时，的体积最大值为 【详解】对于A．取正方体一个顶点为 ，与 相邻的三个顶点分别为 ．当液面所在平面为平面 ，且液体位于点 一侧时，，且 两两垂直．于是 ，三角形 为正三角形；又因为 ，所以点 到平面 的垂足为正三角形 的中心，故几何体 为正三棱锥．此时故当注入液体体积为 时， 可以是正三棱锥，A 正确． 若液面截面 Γ 为三角形，则该截面从正方体的某一个顶点处截下一个三棱锥，因此三角形 Γ 的三个顶点分别位于从该顶点引出的三条两两垂直的棱上．对于B．若 为三角形，则截平面截正方体某一顶点 引出的三条棱．设三个交点为 ，且由于这三条棱两两垂直，因此由余弦定理可知，三角形 的三个角均为锐角，故 不可能为直角三角形，B 正确．对于C．当注入液体体积为 时，取正方体的一个对角截面作为液面．该截面经过正方体中心，并把正方体分成体积相等的两部分，因此符合液体体积为 的条件．此时截面 是边长分别为 和 的矩形，所以又所以 的面积最大值不可能是 ，C 错误． 由 B 项中的位置关系可知，当 Ω 为三棱锥时，液面 Γ 为三角形，其三个顶点分别位于正方体同一顶点引出的三条棱上．对于D．当 为三棱锥时，它必为截平面从正方体某一顶点处截下的四面体．设从该顶点沿三条互相垂直的棱到液面的长度分别为 ，则因此当 时可以取到等号，所以 为三棱锥时体积的最大值为 ，D 正确．故选：C 例14.（1）（26-27高三上·浙江·阶段检测）底面边长为，高为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，得到一个正三棱锥和一个正三棱台．当正三棱台的外接球半径最小时，该正三棱台的高为（   ） A． B．1 C． D． 【详解】当正三棱台的外接球半径最小时，原正三棱锥底面的外接圆恰为外接球的大圆，在正三角形中，，所以该三角形的高为，所以其外接圆半径为高的，即，所以外接球半径为1.设此时正三棱台的高为，根据相似，可得， 所以.因为正三角形的高为.所以正三角形的外接圆半径为，由几何关系可知，解得，故高为. 故选：A. （2）（2026·山东潍坊·三模）已知边长为2的菱形满足，绕边所在的直线旋转，在旋转过程中三棱锥体积的最大值为（     ） A．1 B． C． D． 【详解】在菱形 中，，所以 ．在 中，． 由余弦定理，得因此又 ，所以 与 都是边长为 的等边三角形．设点 到直线 的垂足为 ．在等边三角形 中，同时， 绕直线 旋转时，点 在以 为圆心、 为半径的圆上运动．设旋转后点的位置为，则点到平面的距离不超过圆的半径，且当平面 时，该距离取得最大值． 因此三棱锥体积的最大值为故选：A. （3）（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为，则底面直径为，则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为，则，所以，则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为，此时面积，可知当时，即时，面积最大，此时面积.故选：D （4）（25-26高三下·云南·阶段检测）设点，，分别为的三边，，的中点，将，，分别沿直线，，向上折起，使得，，重合于同一点．若，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，，由题设.三棱锥中，，，，将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图， 则有，三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 所以，由基本不等式，当且仅当时等号成立，所以外接球表面积.故选：C 课后练习 1.（2026·河南开封·模拟预测）已知圆台的上底面半径为，母线长为，表面积为，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆台的下底面半径为，则该圆台的表面积为，整理可得，因为，解得.故该圆台的高为.故选：C 2.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设正四棱台上底边长为，则侧棱长，下底边长，设正四棱台的斜高为，高为， 则一个侧面积为，所以，又因为在正四棱台中，，即，解得，所以，所以.故选：C 3.（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，设圆台上底面圆心为，下底面圆心为，梯形为圆台的轴截面，高为，过作于，即为母线与下底面所成角，则.因为圆台的上、下底面半径分别为2和4，所以，由，所以，所以，即，由圆台的体积公式为.故选：B 4.（2026·湖南长沙·三模）一圆台上下底面半径为另一圆锥的底面半径也为.若圆台的母线与圆锥的母线长相等，则圆台与圆锥体积比为（     ） A． B．3 C． D．7 【详解】设，因为，所以.设圆台高为，母线长为，. 设圆锥高为，.所以，.圆台体积.圆锥体积.所以.故选：B 5.（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）《九章算术》记载的“圆囷”是圆柱形粮仓.现用总长米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不计上下底），已知圆柱侧面积，侧面用料长度满足（其中为两条母线的长度和，为底面半径，为高，单位均为米）.若要使圆柱侧面积最大，则其高与底面半径之比的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，将代入圆柱的侧面积公式，可得，因为，所以当时，取得最大值，将代入，可得，所以..故选：B 6.（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（   ） A．体积为 B．表面积为 C．两条母线的夹角的最大值为 D．过顶点的截面面积的最大值为2 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误；对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误；对于C，设圆锥轴截面顶角为，则，而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为而，故当，，故D正确.故选：D 7.（2026·天津河西·二模）今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（   ） A．168 B．192 C．216 D．240 【详解】将原图形补全为长方体，如下图： 因为侧面为等腰梯形，上底长米，下底长米，腰长米，所以梯形的高（即几何体的高）为：米所以长方体下底面长米、宽米，高为米，体积立方米；由于每个三棱锥的底面为直角三角形，直角边分别为：米，米，所以每个三棱锥的体积为：立方米，4 个三棱锥总体积：立方米所以该纪念碑基座的体积为立方米故选：C 8.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知三棱锥的高为，，分别为棱的中点，，若为正三角形，则三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，又分别为棱的中点，所以且， 又因为，所以为等边三角形，所以，所以，故，设三棱锥的高为，因为，故，得．故选：D 9.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（     ） A．1 B．2 C． D． 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得，注水四棱台的上底面的面积为，注水四棱台的下底面的面积为，则注水四棱台的体积为，将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥，设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则，又，则，解得，即，即此四棱锥容器倒置后，水面高度为.故选：D 10.（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，是棱的10等分点，过作与，均平行的平面，记此平面截正四面体所得的截面面积为.则（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，取的中点，连接，， 在正四面体中，易知，，又，，平面，所以平面，又平面，所以.过作的平行线，交于，再过作的平行线，交于，作交于，连接，得截面四边形，易知四边形为矩形，由相似三角形知识可知，，所以.故选：D 11.（2026·河北衡水·二模）中国古代有一种盛米的重要容器叫“方斗”，其形状是一个上大下小的正四棱台，如图.已知一“方斗”上底面边长为3，下底面边长为1，若从这个恰好盛满米的“方斗”中取出38斤米后，米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为（   ） A．14斤 B．24斤 C．38斤 D．56斤 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则，设棱台的高为，体积为，则棱台的高为，设其体积为，则，则，所以，，所以，该“方斗”可盛米的总质量为斤.所以米的高度下降了一半，则剩余的米的质量为斤.故选：A 12.（2026·北京西城·一模）如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为．假设上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为，在重力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过分钟后剩余沙堆的体积（为常数）．已知初始时细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为，此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为，则需再经过的时间约为（   ）（参考数据：） A．8.0分钟 B．8.6分钟 C．9.4分钟 D．10.6分钟 【详解】初始时，上方沙堆高度为，体积为，体积比等于高度比的立方， 经过10分钟后上方沙堆的高度降为，上方剩余沙堆的体积， 经过分钟后上方剩余沙堆的体积，经过分钟后上方剩余沙堆的体积，，，，，经过分钟后上方剩余沙堆的体积为，下方容器内的体积为，将沙漏上下颠倒，此时上方容器内的沙堆体积为，设此时上方容器的高度为，，，，倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为时，上方容器剩余沙堆的体积为，设从倒置后到高度再次降为需要的时间为，则，即，，，分钟.故选：C 13.（多选题）（2026·辽宁抚顺·一模）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 【详解】如图所示，作出圆锥的轴截面等腰，则，设小圆锥的半径，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为，所以，又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，所以，计算得，可得，小圆锥的高为3，A选项错误；由，可得，所以，则，即圆台的母线长为，C选项正确；所以大圆锥的体积为，B选项正确；圆台的表面积为，D选项错误；故选：BC 14.（多选题）（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）半径为的球壳（球壳厚度不计）中可以装入（    ） A．半径为的球 B．边长为的正方体 C．底面半径和高均为的圆柱 D．底面半径和高均为的圆锥 【详解】对于A，半径为的球，则球的直径为，而已知的球壳的半径为，则直径为，因为，半径为的球可以装入球壳，故A正确；对于B，边长为的正方体的体对角线为：，而已知的球壳的直径为，因为，所以不能装入边长为的正方体，故B错误；对于C：对于底面半径和高均为的圆柱，其轴截面如图所示： 则最宽处为的长，由，同时底面圆直径为，高为都小于已知的球壳的直径，所以能装入底面半径和高均为的圆柱，故C正确；对于D，圆锥母线长为：，同时底面圆直径为，高为都小于已知的球壳的直径，所以能装入底面半径和高均为的圆锥，故D正确.故选：ACD 15.（多选题）（25-26高三上·江苏徐州·阶段检测）如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线AE与PB所成的角为 B．平面PAC与平面ABC所成角的余弦值为 C．△ABE周长的最小值为4+ D．如果在这个容器中放入4个小球(全部放入)，则小球半径的最大值为 【详解】对于，连接、，正四面体棱长为，是的中点，等腰中，等腰中； 又，、平面，因此平面. 对任意，平面，故，即直线与所成角为，正确.对于，取中点，连接、，由正三角形性质，，，因此是平面与平面的二面角的平面角. 计算得，，由余弦定理： ，正确.对于，的周长为，只需最小化. 由知平面，故，， 设，长为，则，由余弦定理得，. 将侧面与侧面展开到同一平面后计算，最小值为，因此周长最小值为，错误.对于，4个等半径小球两两相切，每个小球与正四面体的三个面相切，四个小球的球心可构成一个棱长为的小正四面体，且该小正四面体与原正四面体同中心.原正四面体的高为，内切球半径. 小正四面体的内切球半径为原内切球半径减去小球半径，即，同时棱长为的小正四面体内切球半径为，因此 ，解得，正确.故选：ABD 16.（2026·山东青岛·三模）已知正四棱台的体积为，，，则该正四棱台的侧面积为__________． 【详解】设正四棱台的高为，斜高为，由该正四棱台的体积为，得，解得，因此，所以该正四棱台的侧面积为. 17.（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知圆锥的底面半径为，将一个半径为的球置于圆锥内，若球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，则圆锥的体积为_________. 【详解】设圆锥的高为，因为球与圆锥的底面及侧面均相切，且圆锥顶点到球面上的点距离的最小值为，所以圆锥的高.如图：   在圆锥轴截面中，，圆锥的底面半径，. 在直角三角形中，由勾股定理，得，所以圆锥母线长，又在直角三角形中，，由勾股定理，，，，解得（舍去）.因此，圆锥体积. 18.（2026·河北邢台·三模）如图所示，已知直四棱柱的底面为平行四边形，点分别为, 的中点， 直线与交于点，则几何体的体积与直四棱柱 的体积的比值为________.    【详解】如图所示，连接，因为点分别为, 的中点，可得， 又因为，所以，因为在上，所以四点共面，所以， 由与相似，且为的中点，可得，所以，设，所以， 因为，所以，因为，所以，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，所以，所以，又因为，所以几何体的体积与直四棱柱的体积比为.    1 学科网（北京）股份有限公司 $