精品解析：广西南宁市三美学校2026-2027学年秋季学期9月九年级学情调研（一）数学

2026—2027学年秋季学期九年级学情调研（一）数学学科 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 关于x的一元二次方程的一次项系数是（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式，其中 a为二次项系数、为一次项系数、c为常数项是解题的关键． 直接根据一元二次方程的一般式的定义求解即可． 【详解】解：∵方程可写为， ∴一次项系数为． 故选D． 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，根据二次函数定义：形如的多项式函数，最高次项为二次，逐项判断即可． 【详解】，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意； ，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意； ，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 3. 若二次函数，则它的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，是抛物线的顶点式，其顶点是． 直接根据顶点式作答即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：D． 4. 将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的规律：上加下减，左加右减．据此解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是 故选：D． 5. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等即可解决． 【详解】解：在平行四边形中， ∵， ∴． 6. 某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】箱线图中箱体的左边界表示第一四分位数． 【详解】解：由图可知，箱体的左边界对应的数值为， 这组数据的第一四分位数是． 7. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．把方程两边开方即可． 【详解】解： 解得：，， 故选：C． 8. 已知一元二次方程，下列判断正确的是（　　） A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题关键． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ∴ 方程有两个相等的实数根． 故选：A． 9. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中x与的值的特征，确定的解x的范围即可． 【详解】解：根据表格的： 当时，， 当时，， 则关于x的一元一次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 10. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 ，则 ，据此求解即可． 【详解】解：∵给定一元二次方程为 ，可得，， ∴． 11. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率问题的规律列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵初始能量密度为，每轮平均增长率为，共经过两轮迭代， ∴第一轮迭代后能量密度为，第二轮迭代后能量密度为， 又∵两轮迭代后能量密度为， ∴可列方程为． 12. 如图，平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，延长和，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，即可求得，再利用等腰三角形的性质求得，根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，，， ， 根据作图可得， , ， ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 抛物线的开口__________．（填“向上”或“向下”） 【答案】向下 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线，， 抛物线开口向下， 故答案为：向下． 14. 若一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 将已知的根直接代入方程即可求解． 【详解】解：代入，得， 解得， 故答案为：8． 15. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为第________个间隔． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 总离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 【答案】2 【解析】 【分析】最合理的分组满足总离差平方和最小，只需找到表格中总离差平方和最小对应的间隔序号即可． 【详解】解：∵ 离差平方和总和越小，组内数据越集中，分组越合理， ∴ 比较表格中各组的离差平方和：，，，， 可得最小的总离差平方和为，其对应的分组为第个间隔． 16. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点，且点为抛物线的顶点，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先由抛物线得到顶点，利用正方形对角线性质得出点，再将点C代入抛物线解析式列方程求解，最后结合舍去，得到． 【详解】解：连结， 由题意，得，点，关于y轴对称， 因为四边形是正方形， 所以，与互相平分． 令，则， 所以． 所以， 则． 把代入，得， 解得或． 因为， 所以． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 18. 为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 （1）直接写出表中，，的值：______，______，______． （2）求出的值； （3）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 【答案】（1）86，85，85 （2）d的值为 （3）八（2）班前5名同学的成绩较好，理由如下， 由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定， 八（2）班前5名同学的成绩较好． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义，计算即可； （2）根据方差的定义，计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数和方差分析做出决策． 【小问1详解】 解：八（2）班的平均分（分）； 八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数； 85出现了2次，次数最多，所以众数； 【小问2详解】 解：八（1）班的方差 ， 则的值为； 【小问3详解】 略 19. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）20 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 20. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元／盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元／盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元／盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元／盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）求出关于的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）74元 （3）75元，3125元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键： （1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）令，求出的值，即可； （3）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 21. 如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； （3）G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的坐标为或 （3）点G的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，设点G的坐标为，利用勾股定理求得，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴交于，如图： 由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、等腰三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 22. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 23. 综合与探究 问题情境：在一次数学活动课上，同学们用四根长度相等的木条首尾相接，围成了一个可变形的菱形框架，并对菱形角度改变后的线段关系进行探究． 如图，在菱形中，是线段上不与点D，C重合的点，连接，在射线上取一点，使，连接． （1）如图1，若，在射线上取一点，使，连接． ①求证：． ②判断的形状，并说明理由． （2）如图2，调整菱形框架，使，在射线上取一点，使得，连接．请判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）在菱形中，．点在射线上运动，且始终满足．在射线上取一点，使得，连接．请直接写出线段的长． 【答案】（1）①证明：∵四边形是菱形，， 四边形是正方形， ． 在和中， ， ； ②是等腰直角三角形．理由如下： ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，理由如下： 四边形是菱形，， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是正方形，得到，根据即可证明； ②根据得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明，得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，可知点和点重合，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理得到，根据菱形的性质得到，根据30度角的性质得到，进而求出，得到，求出x的值即可． 【小问1详解】 ①略； ②略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图3，过点作于点， 当时， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点和点重合， 设， ，， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， （负值舍去）， 四边形是菱形，，， ，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年秋季学期九年级学情调研（一）数学学科 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 关于x的一元二次方程的一次项系数是（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数，则它的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某班选拔学生参加学校的运动会，如图是测量的每位学生心率的箱线图，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 8. 已知一元二次方程，下列判断正确的是（　　） A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 9. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 -2 -0.75 1 3.75 6 A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 11. 固态电池被视为下一代动力电池的核心方向，假设某企业研发的固态电池，其初始能量密度为．经过两轮技术迭代后，能量密度达到，且每轮技术迭代后，电池能量密度的平均增长率相同．设电池能量密度每轮的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，延长和，相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 抛物线的开口__________．（填“向上”或“向下”） 14. 若一元二次方程有一个根为，则______． 15. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为第________个间隔． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 总离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 16. 如图，抛物线经过正方形的三个顶点，且点为抛物线的顶点，则的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 为了参加“市中小学生首届诗词大会”，某中学八年级的两个班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为 八（1）班：86，85，77，92，85； 八（2）班：79，85，92，85，89． 通过数据分析，列表如下： 班级 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 八（2）班 85 85 （1）直接写出表中，，的值：______，______，______． （2）求出的值； （3）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？请说明理由． 19. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 20. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元／盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元／盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元／盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元／盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）求出关于的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； （3）G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 22. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 23. 综合与探究 问题情境：在一次数学活动课上，同学们用四根长度相等的木条首尾相接，围成了一个可变形的菱形框架，并对菱形角度改变后的线段关系进行探究． 如图，在菱形中，是线段上不与点D，C重合的点，连接，在射线上取一点，使，连接． （1）如图1，若，在射线上取一点，使，连接． ①求证：． ②判断的形状，并说明理由． （2）如图2，调整菱形框架，使，在射线上取一点，使得，连接．请判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）在菱形中，．点在射线上运动，且始终满足．在射线上取一点，使得，连接．请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $