第5讲：幂的运算和整式乘法 拓展讲义 -2026-2027 学年人教版八年级上册数学

第5讲：幂的运算和整式乘法 题型一：同底数幂的相乘 2 题型二：同底数幂的逆用 3 题型三：幂的乘方及其逆用 3 题型四：积的乘方及其逆用 4 题型五：幂运算综合应用 5 题型六：整式乘法计算 6 题型七：利用单（多）项数求字母或者代数式的值 6 题型八：多项式乘法中的不含某项问题 7 题型九：多项式乘法中面积问题 7 题型十：多项式乘法化简求值问题 8 题型十一：多项式乘法中规律问题 8 题型十二：整式乘法的综合问题 9 知识点1：幂的运算 1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。 3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。 4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 （） 注意00没有意义。 5、负整数指数幂： （正整数，） 6、科学记数法：如：0.00000721=7.21（第一个非零数字前零的个数） 7、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 8、零指数和负指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 （是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如： 知识点2：单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 技巧归纳 ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 知识点3、单项式乘以多项式 根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即 (都是单项式) 注意： ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 知识点点三、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 题型一：同底数幂的相乘 【例1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算（结果以幂的形式表示）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：同底数幂的逆用 【例2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型三：幂的乘方及其逆用 【例3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）按要求解答问题： (1)如果，求，的值． (2)若为正整数，且，求的值． 【变式2】．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 题型四：积的乘方及其逆用 【例4】．（26-27八年级上·广东江门·开学考试）计算： (1)； (2)． 【变式1】．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． (1)计算：①；    ②； (2)若，直接写出n的值． 【变式2】．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 题型五：幂运算综合应用 【例5】．（26-27八年级上·全国·单元复习）逆向运用幂的运算可以得到：，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则， 常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)________； (2)若，的值是________． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ 【变式1】．（25-26七年级下·四川达州·期中）阅读下列各式：，，．⋯⋯ (1)根据积的乘方得出规律：_____________，________； (2)应用规律： ①填空：____________，________________； ②计算：． 【变式2】．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 题型六：整式乘法计算 【例6】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【变式1】．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型七：利用单（多）项数求字母或者代数式的值 【例7】．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式2】．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八：多项式乘法中的不含某项问题 【例8】．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）要使的展开式中不含项，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式1】．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【变式2】．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）使乘积中不含和项的p，q的值分别是（    ） A． B． C． D． 题型九：多项式乘法中面积问题 【例9】．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·湖南株洲·模拟预测）2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型十：多项式乘法化简求值问题 【例10】．（25-26七年级下·四川·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【变式1】．（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【变式2】．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型十一：多项式乘法中规律问题 【例11】．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，观察下列各式，请猜想展开式中所有项的系数和是（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【变式1】．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【变式2】．（25-26七年级下·山东烟台·期末）观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 题型十二：整式乘法的综合问题 【例12】．（25-26七年级下·广东梅州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【变式1】．（25-26八年级下·山东青岛·期末）对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    【变式2】．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数、、、规定． 例如：． 请解答下列问题： (1)填空：__________； (2)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为、，若，求出阴影部分的面积． (3)如图2，小长方形长为，宽为，用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 一、单选题 1．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）计算 的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）学校有一块长方形的草场，长为，宽为，由于需要，按图所示，各留的小路，草场的面积是（    ）. A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（     ） A．45 B．55 C．2026 D．2027 二、填空题 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若，则的值为______． 9．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）若，则的值为___________． 10．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）若计算的结果中不含有项，则的值为__________． 11．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．小明同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利连接到了王老师家里的网络，则他输入的密码是________ 12．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1   1    1   2   1    1   3   3   1    1   4   6   4   1    请依据上述规律，展开式中含项的系数是______． 三、解答题 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 14．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 16．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 17．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为． 已知． (1)求的值； (2)若与的积的展开式中不含项，求n的值； (3)已知，且，求代数式的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲：幂的运算和整式乘法 题型一：同底数幂的相乘 2 题型二：同底数幂的逆用 3 题型三：幂的乘方及其逆用 4 题型四：积的乘方及其逆用 5 题型五：幂运算综合应用 6 题型六：整式乘法计算 9 题型七：利用单（多）项数求字母或者代数式的值 11 题型八：多项式乘法中的不含某项问题 12 题型九：多项式乘法中面积问题 13 题型十：多项式乘法化简求值问题 14 题型十一：多项式乘法中规律问题 15 题型十二：整式乘法的综合问题 17 知识点1：幂的运算 1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。 3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。 4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。 （） 注意00没有意义。 5、负整数指数幂： （正整数，） 6、科学记数法：如：0.00000721=7.21（第一个非零数字前零的个数） 7、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 8、零指数和负指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 （是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如： 知识点2：单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 技巧归纳 ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 知识点3、单项式乘以多项式 根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即 (都是单项式) 注意： ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 知识点点三、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 题型一：同底数幂的相乘 【例1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算（结果以幂的形式表示）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型二：同底数幂的逆用 【例2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)512； 【详解】（1）， ． （2）， ． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 题型三：幂的乘方及其逆用 【例3】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）按要求解答问题： (1)如果，求，的值． (2)若为正整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2)60 【详解】（1）解：， ，， ∴，． （2）解：，． 【变式2】．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)；(2)； (3)． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 题型四：积的乘方及其逆用 【例4】．（26-27八年级上·广东江门·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． (1)计算：①；    ②； (2)若，直接写出n的值． 【答案】(1)①1；② (2)2 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式2】．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：． （2）解：== ==． 题型五：幂运算综合应用 【例5】．（26-27八年级上·全国·单元复习）逆向运用幂的运算可以得到：，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则， 常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)________； (2)若，的值是________． (3)比较大小：，，，，则，，，的大小关系是什么？ 【答案】(1)(2) (3) 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：， ， ，解得； 故答案为：； （3）解：由题可知，，，， ， ， ． 【变式1】．（25-26七年级下·四川达州·期中）阅读下列各式：，，．⋯⋯ (1)根据积的乘方得出规律：_____________，________； (2)应用规律： ①填空：____________，________________； ②计算：． 【答案】(1)； (2)①1；1；② 【详解】（1）解：， ， ， …… 由此可得，． （2）解：①， ； ② ． 【变式2】．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结1：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：且，∴，即 小结2：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 因为， 所以 即 （2） 因为， 所以 即 （3） 因为， 所以 即 题型六：整式乘法计算 【例6】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【变式1】．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型七：利用单（多）项数求字母或者代数式的值 【例7】．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，解得． 【变式1】．（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵的展开式中不含的项，∴∴， 故选：B． 【变式2】．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项，∴与是同类项，∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 题型八：多项式乘法中的不含某项问题 【例8】．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）要使的展开式中不含项，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：． 要使的展开式中不含项，则，解得． 【变式1】．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）若的展开结果中不含项和x项，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：， 展开结果中不含项和x项，，，解得：，即， ． 【变式2】．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）使乘积中不含和项的p，q的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：展开并合并同类项得 ∵乘积中不含和项，∴由第一个方程得， 将代入第二个方程得 ． 解得． ∴． 题型九：多项式乘法中面积问题 【例9】．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：图中阴影部分的面积可表示为： ． 【变式1】．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 【变式2】．（2026·湖南株洲·模拟预测）2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【详解】解：大长方形的长为，宽为， 大长方形的面积为： ， A类卡片面积为，B类卡片面积为，C类卡片面积为， 需要A类卡片6张，B类卡片3张，C类卡片11张． 题型十：多项式乘法化简求值问题 【例10】．（25-26七年级下·四川·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 【变式1】．（26-27八年级上·重庆万州·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】．（25-26七年级下·浙江衢州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为18 【详解】解：原式； 当时，原式 ． 题型十一：多项式乘法中规律问题 【例11】．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它揭示了二项式乘方展开式的系数规律，观察下列各式，请猜想展开式中所有项的系数和是（     ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【详解】解：当时， ∴展开式中所有项的系数和是． 【变式1】．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【答案】A 【详解】解：①， ②， ③， …… ∴； 设所求式子为 ， ∵， ∴． 【变式2】．（25-26七年级下·山东烟台·期末）观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知算式总结多项式乘法的规律，再将所求式子变形，代入规律计算得到结果． 【详解】解：由已知算式可得规律：， 设所求式子为，可变形为， 将代入规律得：， ，两边同除以得：，故选项A符合题意． 题型十二：整式乘法的综合问题 【例12】．（25-26七年级下·广东梅州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 【变式1】．（25-26八年级下·山东青岛·期末）对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)______； (2)如图，四边形是正方形，边长，P在正方形内部，过点P分别作、的垂线与、、、相交于点E、F、G、H，连接、，，，且．求图中阴影部分的面积是多少？    【答案】(1)11 (2)3 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，∴， ∴，∵，∴， ∴； 图中阴影部分的面积 ，∵，∴原式． 【变式2】．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数、、、规定． 例如：． 请解答下列问题： (1)填空：__________； (2)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为、，若，求出阴影部分的面积． (3)如图2，小长方形长为，宽为，用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据新运算，对于； 故答案为：． （2），可得：， 即，∴，∵，∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （3）∵，∴，， ∵∴，即， ∴ ． 一、单选题 1．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）计算 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个幂的底数统一为3，通过比较指数大小判断数值大小关系． 【详解】解：，， ∵，， ∴． 3．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 故答案为D． 4．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）学校有一块长方形的草场，长为，宽为，由于需要，按图所示，各留的小路，草场的面积是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将横向小路平移至长方形上方，纵向小路平移至长方形左侧，剩余草场部分可拼成一个新的长方形， 原长方形长为，宽为，小路宽均为， 新长方形的长为，宽为， 草场的面积为． 5．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， ∵ ， ∴ ，， 解得，． 6．（25-26八年级上·全国·阶段检测）小明在计算一个多项式除以时，误算成乘以，得结果，则正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出原多项式，再用原多项式除以，即可求解． 【详解】解：原多项式为， 正确的计算结果是． 7．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（     ） A．45 B．55 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查数字变化规律．根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴第三项系数为． 二、填空题 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若，则的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）若，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 10．（26-27八年级上·海南海口·阶段检测）若计算的结果中不含有项，则的值为__________． 【答案】 【详解】解： ， 的结果中不含有项， ， ． 11．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．小明同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利连接到了王老师家里的网络，则他输入的密码是________ 【答案】 【详解】解：根据题意，运算规律为：汉字对应其拼音，中括号内的代数式化简为形式后，将的指数依次拼接，最终结果为「拼音拼接后的数字」， 化简代数式： 原式， “阳”的拼音为，化简后的指数为，的指数为，的指数为，指数拼接为，因此他输入的密码是． 12．（26-27八年级上·河南鹤壁·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）： 1   1    1   2   1    1   3   3   1    1   4   6   4   1    请依据上述规律，展开式中含项的系数是______． 【答案】 【详解】解：展开式按x的次数由大到小排列，x的指数从2026逐次递减1，的指数从0逐次递增1，根据杨辉三角系数规律可得： ∴， 其中含的项为， ∴展开式中含项的系数是． 三、解答题 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 14．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）完成以下问题 (1)已知，求的值． (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴ ． 15．（26-27八年级上·全国·课后作业）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ， ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 原式． （2）解：， ， 原式 ． 16．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 17．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的代数式用记号的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的代数式），把时的代数式的值用来表示．例如：时代数式的值记为． 已知． (1)求的值； (2)若与的积的展开式中不含项，求n的值； (3)已知，且，求代数式的值． 【答案】(1)36 (2) (3)1 【详解】（1）解：当时，； （2）解：， ∵与的积的展开式中不含项， ∴， ∴； （3）解：∵，∴，∴， ∴， ∵，∴，解得，∴，∴， ∴，， ∵， ∴ ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $