专题06幂的运算与乘法公式知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题06幂的运算与乘法公式知题通关讲义 知识点01:幂的基本认识 形如 an，a 为底数，n 为指数 含义：an表示 n 个 a 相乘 区分： -an：底数只有 a (-a)n：底数是 -a 期末最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02:幂的运算 1. 同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ✅ 公式:aman=am+n ✅ 拓展：多个相乘也适用，amanap=am+n+p ✅ 逆用：am+n=aman（求值、化简超好用） ⚠坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是 1（如a=a1），别漏算！ 2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘 ✅ 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ✅ 拓展：多层乘方也能算，[(am)n]p=amnp ✅ 逆用：：amn=(am)n=(an)m ⚠坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个 “指数相乘”，一个 “指数相加” 3. 积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ✅ 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ✅ 拓展：多个因式也适用，(abc)n=anbncn ✅ 逆用：anbn=(ab)n（遇指数相同，直接合并底数超省事） ⚠坑点：每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)32a3b3） 知识点03:三大核心幂运算公式（详细拓展 + 对比表格） 深度拓展区分（老师必讲） 1.同级运算（乘、除）→ 指数加减 2.高级运算（乘方）→ 指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点04:幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2.先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3.再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4.处理特殊指数：零指数、负指数化简 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点05.乘法公式 1.必考五大变式（整体代入求值必考） 2.公式使用要点 (1)公式中a、b可代表单项式、多项式，学会整体换元； (2)区分平方差与完全平方，完全平方不要遗漏中间2ab项； (3)既可正向展开化简，也可逆用简化大数计算。 3.补充拓展：补充十字相乘简单拓展（期末选填偶尔涉及） (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 知识点06:整式混合运算运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内；能用乘法公式优先套用公式简化计算。 1. 同底数幂乘法，指数运算规则混淆 提醒：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；不可误将指数相乘，底数不能直接相乘。 2. 幂的乘方，指数运算规则混淆 提醒：幂的乘方，底数不变，指数相乘；不可误将指数相加，区分同底数幂乘法与幂的乘方。 3. 积的乘方漏乘部分因式 提醒：积的乘方需要给每一个因式分别乘方，不可只对部分因式乘方，遗漏其余因式。 4. 同底数幂除法忽略底数不为0的限制 提醒：同底数幂相除，底数不变，指数相减；底数不能为0，00无意义。 5. 负数乘方漏加括号，符号判断失误 提醒：底数为负数时，必须添加括号；(-a)n和-an意义不同，二者不可等同。 6. 平方差公式误判式子结构 提醒：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，要求一组项相同、另一组项互为相反数，不符合结构不能套用。 7. 完全平方公式展开遗漏交叉项 提醒：完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，展开不可漏掉2ab项，不能错写为a2+b2或a2-b2。 8. 完全平方公式中间项符号判断出错 提醒：(a-b)2展开后中间项为-2ab，平方项结果恒为正，不可将平方项写为负数。 9. 乘法公式中a、b识别错误 提醒：公式中的a、b可以代表单项式或多项式，不能简单认为a、b只能是单个数字或字母。 10. 混合运算混用幂运算与乘法公式 提醒：整式混合运算，先识别式子结构，不能混淆幂的运算法则与乘法公式。 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 ★★ 题型三 幂的乘方运算 ★ 题型四 幂的乘方的逆用 ★★ 题型五 积的乘方运算 ★ 题型六 积的乘方的逆用 ★★ 题型七 幂的混合运算 ★★ 题型八 运用平方差公式进行运算 ★★ 题型九 平方差公式与几何图形 ★★★ 题型十 运用完全平方公式进行运算 ★★ 题型十一 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型十三 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型十四 整式的混合运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一 同底数幂相乘 1．计算：__________． 【答案】 【分析】运用同底数幂的乘法法则：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”即可求解． 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法法则分别计算，即可判断． 【详解】解：，A选项计算错误，不合题意； ，B选项计算正确，符合题意； ，C选项计算错误，不合题意； ，D选项计算错误，不合题意． 3．______． 【答案】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，解题关键是掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则． 根据同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加），进行计算即可． 【详解】． 故答案为． 4．若，是正整数，且满足，则下列和的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用合并同类项和同底数幂的乘法法则化简等式，再根据同底数幂相等则指数相等推导与的关系． 【详解】解：∵， ， ∵等式左右两边同底数幂相等， ∴对应指数相等， ∴． 题型二 同底数幂乘法的逆用 5．若，，则（     ） A．11 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】利用同底数幂乘法公式运算解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 6．若整数是一个10位数，则的所有可能值是（    ） A．11，12，13 B．10，12，14 C．12，13，14 D．13，14，15 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂乘法法则、积的乘方法则以及对整数位数的理解．解题关键是熟练掌握同底数幂乘法法则． 首先利用同底数幂乘法法则将变形为 ，因为是位数．根据是10位数，得 乘一个数后变为10位数，这个数的范围是 ．最后根据的取值范围，进而得出的可能值． 【详解】， 是一个位数， 整数是一个10位数， ， 可能是，，， 可能是12，13，14． 故选：C． 7．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于________． 【答案】128 【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】由题意知，调整后，甲袋中有个球，乙袋有个球，丙袋有个球， 因为一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 所以调整后每只袋中有（个）球， 所以，， 则，， 因此． 题型三 幂的乘方运算 8．计算________． 【答案】 【详解】解：． 9．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D错误． 10．已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则将用和表示，根据底数相同的幂值相等时指数相等，即可得到a，b，c的数量关系． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 可得． 11．若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将等式左右两侧分别化简为同底数幂的形式，再根据同底数幂相等则指数相等，推导得到与的关系式即可． 【详解】解：∵左边为个相加， ∴左边， ∵右边为个相乘， ∴右边， ， ，即． 题型四 幂的乘方的逆用 12．若，则，的大小关系是(   ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．通过将指数化为相同的幂次，比较底数大小，即可求解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即 故选：B． 13．已知，，其中为正整数，则________________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据幂的乘方运算法则可得，，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：12． 14．已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，将原方程化为，得到，，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，进而求出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴，， ∵a，b，c为正整数， ∴当时，；则有：； 当时，；则有：； 当时，，则有：； ∴不可能为8． 故选：D． 题型五 积的乘方运算 15．计算：____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．计算： 的结果是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先计算得到，再积的乘方运算法则计算． 【详解】解：， 故答案为：． 17．下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）不存在同类项，无法加和 （2）运用同底数幂相乘法则计算即可； （3）运用乘方法则计算； （4）运用积的乘方法则计算即可 【详解】解：（1）无法计算，故题目计算错误； （2），故题目计算错误； （3），故题目计算错误； （4），故题目计算错误． 故正确个数为个， 故选：A． 18．如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是 _____； （2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为 _____． 【答案】 a+b=c 80 【分析】（1）根据积的乘方法则，结合定义计算； （2）根据定义解答即可． 【详解】解：（1）∵（4，12）=a，（4，5）=b，（4，60）=c ∴， ∵12×5=60， ∴， ∴， ∴a+b=c； 故答案为：a+b=c. （2）设（m，16）=p，（m，5）=q，（m，t）=r ∴ ∵（m，16）+（m，5）=（m，t）， ∴p+q=r ∴， ∴，即16×5=t ∴t=80． 故答案为：80． 【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． 题型六 积的乘方的逆用 19．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 20．若，则 的值是__________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质分别求出、的值，再利用积的乘方的逆用即可得出答案． 【详解】 ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 21．若为正整数．且，则的值为（    ） A．4 B．16 C．64 D．192 【答案】D 【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可． 【详解】解析： ， 故选D． 【点睛】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 题型七 幂的混合运算 22．计算：_______． 【答案】 【分析】先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 23．已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法可得，再根据幂的乘方可得，然后再代入，求值即可． 【详解】解： ， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 24．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 题型八 运用平方差公式进行运算 25．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 26．下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式适用于两数和与两数差的乘积，即的形式，需逐一检查各选项是否匹配此结构，即可作答． 【详解】解： 、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； 、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； 、两个因式互为相反数，不符合平方差公式，故该选项不符合题意； 、具有相同项和相反项，符合平方差公式，故该选项符合题意； 故选：． 27．若，，则_______． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 28．下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A： 与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B： ∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C： 与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D： 与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 题型九 平方差公式与几何图形 29．如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，图2梯形的高为， 左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 30．如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平方差公式，解答关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b 则阴影面积的底为 ，高为， ∴阴影面积为， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影面积为 故答案为：． 31．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过题意，分别表示出图（甲）和图（乙）中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图（甲）中边长为的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， 图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 题型十 运用完全平方公式进行运算 32．已知，，则_____． 【答案】3 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴． 33．下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据完全平方公式的结构特征，判断各选项能否转化为两个相同二项式相乘的形式． 【详解】解：与均符合平方差公式结构，不适用完全平方公式， A、B不符合题意； 的两个二项式各项系数均不对应相等，无法转化为相同二项式相乘的形式， C不符合题意； ，可运用完全平方公式计算， D符合题意． 34．若，则的值为_________；若，则_________． 【答案】 【分析】第一空利用完全平方公式展开左边，对比对应项系数求解；第二空先化简所求代数式，再整体代入已知条件计算结果． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∵ 又∵， 即， ∴原式． 35．已知满足，则的值为（        ） A．1 B．－5 C．－6 D．－7 【答案】A 【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17）， ∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11 ∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0， ∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0 ∴a-3=0，b+1=0，c-1=0， ∴a+b-c=3-1-1=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出的值，准确进行计算． 题型十一 通过对完全平方公式变形求值 36．已知，则的值为（     ） A．13 B．25 C．31 D．37 【答案】A 【分析】根据完全平方公式变形代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 37．代数式的最大值为____ ． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴， ， ∴代数式的最大值为3． 38．对于实数a，b，我们规定，若，则的值为（     ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【分析】设，，则有，根据新定义运算得到，可通过换元法结合完全平方公式，将所求式子转化为用已知条件表示的形式进行计算． 【详解】解：设，， ∴变形得，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． 39．规定新运算：． （1）计算：_____． （2）若正数满足，则代数式的最小值为_____． 【答案】 【分析】（1）代入新运算解答即可； （2）根据新运算可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵正数满足， ∴， ∴，即， ∴， 即当时，代数式取得最小值，最小值为16． 题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 40．有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a和b（）的长方形纸片，6张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路是将各选项边长展开为完全平方，根据纸片数量限制判断是否符合条件，再比较符合条件的边长大小得到结果． 【详解】解：∵ 4张边长为的正方形最多可提供面积，即的系数最大为； 4张长宽的矩形最多可提供面积，即的系数最大为； 6张边长为的正方形最多可提供面积，即的系数最大为； 且要求每种纸片至少取一张，因此完全平方式中三个项的系数都至少为． 将各选项边长展开得： 选项A：，符合要求但边长较小； 选项B：，符合要求，边长为； 选项C：，各系数满足，，，符合要求，边长为； ∵ ，∴，可得； 选项D：，系数，超出现有数量，排除； ∴ 拼成的正方形边长最长为，故选C． 41．如图，分别记边长为a，b的两个正方形面积为，，记长为a，宽为b的长方形面积为．已知，，则边长为的正方形面积是________． 【答案】 【分析】根据正方形和长方形的面积公式得出与的值，利用完全平方公式将边长为的正方形面积展开，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得：，，． 因为，， 所以，． 边长为的正方形面积为： ． 42．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 即正方形和正方形的面积之和为． 题型十三 求完全平方式中的字母系数 43．若关于x的多项式是一个完全平方式，则常数k的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的多项式是完全平方式， ∴， ∴. 44．当__________时，关于的二次三项式是完全平方式． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：， 设该完全平方式为， 展开得， 将其与对比系数，得 ， 解得， ． 45．若关于的方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】已知二次项和常数项为平方项，完全平方式的一次项有正负两种情况，据此列方程计算的值即可． 【详解】解：方程的左边为完全平方式，且，， 根据完全平方公式，可得，即， 分两种情况计算： 当时，解得， 当时，解得， 的值为或． 46．若b为常数，且是完全平方式，那么_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求完全平方式中字母的值，根据题意可确定两平方项为，进而根据完全平方式的特点得到，据此计算求解即可． 【详解】解：， ∵是完全平方式，b为常数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十四 整式的混合运算 47．化简：______________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的乘除混合运算，熟练掌握整式乘除运算的法则是解题的关键． 先运用积的乘方和幂的乘方进行化简，然后分子分母约去公因式即可得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 48．下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 先根据整式的乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意； 因为运用完全平方公式，所以D符合题意． 故选：D． 49．对于任何实数，我们规定符号的意义，按照这个规定请你计算：当时，的值______． 【答案】 【分析】根据新定义下的实数运算法则及整式的混合运算法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算法则，整式的混合运算法则，已知式子的是求代数式的值，明确新定义下的实数运算法则是解题的关键． 50．，，，都是正数，如果，，那么，的大小关系是　　 A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】设，可得，再根据，，…，都是正数,则＞0，即可完成解答． 【详解】解：设 ∵，，…，都是正数 ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算法则以及对整式进行灵活变形成为解答本题的关键． 解答题 1．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法法则计算的，再合并同类项即可得答案. （2）先根据积的乘方法则、幂的乘方法则计算的，最后再合并同类项即可得答案. （3）先根据积的乘方法则的逆运算计算的得，再根据同底数幂的乘法逆运算计算，进一步计算即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【分析】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即（是正整数，）．也考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． （2）应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）解：原式 ． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当，时，原式． 4．如图1，在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形边长为________． (2)请你用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，并用等式表示． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)两种不同的方法表示为，；等式表示为 (3)阴影部分的面积为 【分析】（1）根据图，得出小长方形的长和宽分别为和，即可得到阴影部分的正方形边长； （2）根据（1），可知阴影部分的正方形边长为，再根据正方形的面积公式，即可得出图2中阴影部分的面积，另一种表示方法为首先算出大正方形的面积，然后再减去四个小长方形的面积，即可得到阴影部分面积，然后列出等式即可． （3）设、，可得，，利用完全平方公式求出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵小长方形的长和宽分别为和， ∴阴影部分的正方形边长为． （2）解：①∵阴影部分是边长为的正方形， ∴阴影部分的面积为， ②∵沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形， ∴阴影面积为， ∴． （3）解：设、， ∵以，为边向两边作正方形，面积分别是和，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积为， 答：阴影部分的面积为8． 5．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由图2、图1中的阴影部分面积相等，即可得出结果； （2）将转化为，再利用平方差计算即可． 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 6．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)4 (3)64 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公变形应用，式整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题06幂的运算与乘法公式知题通关讲义 知识梳理 知识点01：幂的基本认识 形如a”,a为底数，n为指数 含义：a"表示n个a相乘 区分： -a":底数只有a (a)":底数是a 期末最大基础陷阱：括号决定底数范围 知识点02：幂的运算 1.同底数幂相乘：底数不变，指数相加 ☑公式：ama=amn ☑拓展：多个相乘也适用，ama”aP=am+np ☑逆用：am"=ama”(求值、化简超好用) △坑点：底数必须完全相同，单独字母指数是1（如a=)，别漏算！ 2.幂的乘方：底数不变，指数相乘 ☑公式：(a”=a." (m、n为正整数) ☑拓展：多层乘方也能算，[aIP=amp ☑逆用：：am=(a)n=(am △坑点：别和同底数幂相乘搞混！一个“指数相乘”，一个“指数相 试卷第1页（共3页） 加” 3.积的乘方：因式分别乘方，再乘幂 ☑公式：(ab"=ab" (n为正整数) ☑拓展：多个因式也适用，(bc=abc ☑逆用：ab"=(ab)”(遇指数相同，直接合并底数超省事) △坑点： 每个因式都要乘方，别漏乘（如(2ab)3≠2ab3) 知识点03：三大核心幂运算公式（详细拓展+对比表格) 运算名称 公式 运算法则 易错点 同底数幂相乘 a".a"-a 底数不变，指数相加 相乘指数加，不是乘 幂的乘方 (a）n=am.n 底数不变，指数相乘 不要指数相加 积的乘方 (ab)"=a"b" 每个因式分别乘方 最容易漏系数乘方 深度拓展区分（老师必讲）》 1.同级运算（乘、除)→指数加减 2.高级运算（乘方）→指数相乘 3.只有同底数才能进行指数加减运算，底数不同不能直接运算 知识点04：幂的混合运算标准解题流程（满分答题模板） 1.先判底数：统一底数，区分正负底数 2先算乘方：幂的乘方、积的乘方优先计算 3再算乘除：同底数幂乘除，指数加减 4处理特殊指数：零指数、负指数化简 试卷第2页（共3页） 5.最后整理：结果禁止保留负指数，全部化为正指数 知识点05.乘法公式 公式名称 表达式 结构特征 注意事项 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个二项式相乘，一项相同， 结果为相同项的平方减相反 一项互为相反数 项的平方 完全平方公式 (a+b)2-a2+2ab+b2 二项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符 号与二项式符号一致 完全平方公式 a-b)2=a2-2ab+b3 二项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符 号与二项式符号相反 1.必考五大变式（整体代入求值必考） 1.a2+b2=(a+b)2-2ab 2.a2+b2=(a-b)2+2ab 3.(a+b)2-(a-b)2=4ab 4.(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 5.配凑构造完全平方式：已知x2士kx+4求k值（常数项拆成平方，求一次项系数） 2.公式使用要点 (1)公式中a、b可代表单项式、多项式，学会整体换元： (2)区分平方差与完全平方，完全平方不要遗漏中间2ab项： (3)既可正向展开化简，也可逆用简化大数计算。 3补充拓展：补充十字相乘简单拓展（期末选填偶尔涉及） (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 知识点06：整式混合运算运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减：有括号先算括号内：能用乘法公式优先套 用公式简化计算。 试卷第3页（共3页） 高频易错点 同底数幂乘法，指数运算规则混淆 提醒：同底数幂相乘，底数不变，指数相加：不可误将指数相乘，底数 不能直接相乘。 2. 幂的乘方，指数运算规则混淆 提醒：幂的乘方，底数不变，指数相乘：不可误将指数相加，区分同底 数幂乘法与幂的乘方。 3.积的乘方漏乘部分因式 提醒：积的乘方需要给每一个因式分别乘方，不可只对部分因式乘方， 遗漏其余因式。 4. 同底数幂除法忽略底数不为0的限制 提醒：同底数幂相除，底数不变，指数相减：底数不能为0,00无意 义。 5. 负数乘方漏加括号，符号判断失误 提醒：底数为负数时，必须添加括号；(a)”和-a”意义不同，二者不可等 同。 6. 平方差公式误判式子结构 提醒：平方差公式(a+b)a-b)-a-b,要求一组项相同、另一组项互为相反 数，不符合结构不能套用。 7. 完全平方公式展开遗漏交叉项 提醒：完全平方公式(a±b)-a±2ab+b,展开不可漏掉2ab项，不能错写 试卷第4页（共3页） 为a+b或a2-b2。 8. 完全平方公式中间项符号判断出错 提醒：(a-b)展开后中间项为-2ab,平方项结果恒为正，不可将平方项写 为负数。 9. 乘法公式中a、b识别错误 提醒：公式中的a、b可以代表单项式或多项式，不能简单认为a、b只能 是单个数字或字母。 10.混合运算混用幂运算与乘法公式 提醒：整式混合运算，先识别式子结构，不能混淆幂的运算法则与乘法 公式。 3 题型通关 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 幂的乘方运算 ★★ 题型四 幂的乘方的逆用 题型五 积的乘方运算 ★★ 题型六 积的乘方的逆用 ★★ 题型七 幂的混合运算 试卷第5页（共3页） ★★ 题型八 运用平方差公式进行运算 ★★★ 题型九 平方差公式与几何图形 题型十 ★★ 运用完全平方公式进行运算 ★★★ 题型十一 通过对完全平方公式变形求值 ★★★ 题型十二 完全平方公式在几何图形中的应用 ★★★ 题型十三 求完全平方式中的字母系数 ★★★ 题型十四 整式的混合运算 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★压轴 4 分题型精讲 题型一同底数幂相乘 1.计算：aa=」 2.下列计算正确的是() A.a2+a=a B.a2.a=a C.3"+2"=5mD.a2+a2=2a 3.（x）小（←02（←= 4.若m,n是正整数，且满足3"+3m+3m=3”×3”×3”,则下列m和n的关系正确的是 () A.m=n B.4m=n C.m+1=3nD.3n-m=0 题型二同底数幂乘法的逆用 试卷第6页（共3页） 5.若2=3,2”=5，则2+y=() A.11 B.15 C.30 D.45 6.若整数m=2”×5是一个10位数，则n的所有可能值是() A.11,12,13 B.10,12,14 C.12,13,14 D.13, 14,15 7.如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2个球 放入乙袋，再从乙袋中取出2”个球放入丙袋，最后从丙袋中取出(2+2)个球放入甲袋， 此时三只袋中球的个数相同，则2+y的值等于 甲袋 29 2x+2y 29 2 53 乙袋 丙袋 题型三幂的乘方运算 8.计算aaa2 9.下列计算正确的是() A.aa=as B.(a)=a C.a3.a=a2D.a2+a2=1 10.已知5=2,5=6,5=48，则a,b,c之间的数量关系是 11.若a,b是正整数，且满足 +2°+…+2=2×2×…×2 ，则a与b的关系正确的是 16个2相加 16个2”相乘 () A.4+a=16b B.4a=16b C.a+16=4bD.a=4+16b 试卷第7页（共3页） 题型四幂的乘方的逆用 12.者m=2,n=3 ,则m,”的大小关系是() A.m>n B.m<n C.m=n D.无法确 定 13.己知4=3,8”=2，其中m,n为正整数，则22m+6”= 14.已知a,b,c为正整数，且满足2°×3×4=384，则a+b+c的取值不可能是() A.5 B.6 C.7 D.8 题型五积的乘方运算 15.计算 (3xy22= )3 16.计算： a+a+...+a 的结果是 m个 17.下列计算中，运算正确的个数是() (1)x3+x4=x2 （23y2y2=3y (3)[(a+b]°=(a+b° 4nj-w A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 18如果)，那么我们规定，)=1.例如：因为3=9，所以(3,9)=2. (1)记(4,12)=a,(4,5)=b,(4,60)=c,则a,b,c三者之间的数量关系是 (2)若(，16)+(m,5)=(,t),则t的值为 试卷第8页（共3页） 题型六积的乘方的逆用 20.若-2+2+刊=0，则ry的值是 21.若n为正整数.且a2=4,则(2a-4(户的值为《） A.4 B.16 C.64 D.192 题型七幂的混合运算 22.计算：(-2a+3d2a-a= 23.已知= 8’x”=16,则x2m+n的值为 24.已知a,b,c为自然数，且满足2×3×6=288，则a+b+c可取的值有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 题型八运用平方差公式进行运算 25.计算： (1-2x)1+2.x)= 26.下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是() A.(x-1-x) B.(a-b)(-a+b) c.（1-3x0+3x) D.（a+3)(-a-3) 4 27.若a+h=3,a-b=3则d-b2+2026= 28.下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是() A,（-x+2y-2x+y) B.(x+2y-3(x-2y+3) c.(2y-xx-2) D.(2y-x+3(-x+2y+3) 试卷第9页（共3页） 题型九平方差公式与几何图形 29.如图1，在边长为“的正方形中剪去一个边长为 b(axb) 的小正方形，将剩下的部分对 折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是() 6 b b a a (图1) (图2) ab-b2=b(a-b) B.a'-bi=(a+b)(a-b) C.a2+2ab+b=(a+b) D.a2-2ab+b2=(a-b) 30.如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABFH是面积为17的正方形，点E,G分别 在FH,CD上，且四边形EFCG是正方形，连接AE,DE.若正方形EFCG的面积为 5,则图中阴影部分的面积为 G B 31.将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得 到的数学公式是() a 6 b b b (甲) (乙) A.(a+b)=d2+2ab+b2 B.(a-b)'=a2-2ab+b2 试卷第10页（共3页） C.a'-bi=(a+6)(a-b) D.（a+2b)(a-b)=d2+ab-2b2 题型十运用完全平方公式进行运算 32.已知(a+b=7,h=1,则a-b= 33.下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是() A.(2a+3(2a-3) B.(2a+3)3-2a) c.(2a+33a+2) D.(2a+3(-3-2a) 34.若2x+40=42-20m-1g+16 ,则m的值为 一：若+2-1=0，则 (a-b)2+b(2a+b)= 35.已知a6,c a2+2b=7,b2-2c=-1,c2-6a=-1 满足 7,则a+h-C的值为() A.1 B.-5 C.-6 D.-7 题型十一通过对完全平方公式变形求值 36.已知a+b=5,ab=6,则d2+b2的值为() A.13 B.25 C.31 D.37 37.代数式m+3m+的最大值为 38对于实数a,6,我们规定ab=G+,若226-x-2027)=-3,则 (2026-x)★(x-2027) 的值为() A.5 B.7 C.9 D.10 39.规定新运算： a*b=(a+b2-(a2+b2) (1)计算： 3*(-2)= 试卷第11页（共3页） (2)若正数mn满足m*n=16,则代数式m+n的最小值为一 题型十二完全平方公式在几何图形中的应用 40.有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a和b(b>a)的长方形纸片，6张边 长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片 拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以 为() A.a+b B.2a+b C.a+2b D.3a+b S S2 41.如图，分别记边长为a,b的两个正方形面积为°，心2，记长为a,宽为b的长方形面 积为3.已知8+8，=29，=10 则边长为 a+b) 的正方形面积是 S b S3 6 Q b a 42.如图，长方形ABCD的周长是20cm,分别以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方 形ADGH.当长方形ABCD的面积为l6cm时，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和 为() A.84cm2 B.68cm2 C.34cm2 D.22cm2 题型十三求完全平方式中的字母系数 试卷第12页（共3页） 43.若关于x的多项式x+6x+k是一个完全平方式，则常数k的值是() A.-9 B.9 C.3 D.-3 44.当m= 时，关于x的二次三项式9x2-3x+m是完全平方式. 45.若关于×的方程9r-(k+2)x+4= 的左边可以写成一个完全平方式，则《的值为 () A.10 B.10或-11 C.10或-14 D.-10或 14 4x2-2(b+2)+x+25 46.若b为常数，且 是完全平方式，那么b= 题型十四整式的混合运算 47.化简： (ab2'(-5ab)÷(-5ab)= 48.下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是() A.(2a+b)(2a-b) (2a+b)(b-2a) c.(2a+b(a+2b) D.(2a+b0-b-2a) a c a c =ad-bc 49.对于任何实数，我们规定符号bd的意义bd ,按照这个规定请你计算： 3xx-1 当x2-3x+1=0时，x+1x-2的值 50.4.4.… a0l6都是正数，如果 =(a1+a2+..+a2o15)(a2+a3+..+a2o16) N=(a1+a2+.+a2o16(a2+a3+..+a2015 ,那么M,N的大小关系是 ) A.M>N B.22=1 4 c D.不确定 试卷第13页（共3页） 解答题 1.计算： r+x 2(-2gy）°+(-3x2y)j of"c".Gm 2.(1)计算：a÷aa+(ay°-(-2a (2)计算：(rx-（←2x 3.先化简，再求值： [3x-2y3x+2)-x(9x-2y月]÷y,其中x=3,y=-2 4.如图1，在一个长为2a,宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方 形，然后按图2的形状拼成一个正方形， 6 a b B F G 图1 图2 图3 (1)图2中阴影部分的正方形边长为 (2)请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示. (3)如图3，点C是线段4B上的一点，以4C,BC为边向两边作正方形，面积分别是S和 S ,设MB=8,两正方形的面积和 +S2=32 ,求图中阴影部分面积. 5.如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影 部分拼成的一个长方形. 试卷第14页（共3页） b b 图1 图2 (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 (2)运用(1)中得到的公式，计算：2022-2021×2023」 6。对于任意四个有理数a,么，c,d,可以组成两个有理数对(a)与(c,d) 我们规定： (a,b)(c,d)=a2+d2-bc .例如：(12)8(3,4=P+4-2×3=1 E G 若6)8(2-) 是一个完全平方式，求常数k的值： @倒若2x+y=8,且3x+2+3y)©(3r-3）48,求9的值： (3)在(2)的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分 别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG.若AB=2x,BC=8x,CE=y, CG=4y ,求图中阴影部分的面积. 试卷第15页（共3页）