广西柳州市柳江中学2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

**基本信息** 聚焦空间观念与运算推理，通过四棱锥证明、翻折问题及轨迹方程设计，考查数学眼光观察与逻辑思维，适配高二上学期月考能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数几何意义、直线方程、点到直线距离|基础概念辨析，如第4题奇函数性质考查抽象能力| |多选题|3/18|直线倾斜角与截距、三角函数性质|多维度辨析，如第9题直线性质综合判断推理意识| |填空题|3/15|圆锥侧面积、直线垂直、数形结合求最值|数学语言表达，如第14题转化为距离和体现数学眼光| |解答题|5/77|四棱锥线面平行、圆的轨迹、翻折问题二面角|综合应用，如第19题翻折问题考查空间观念与创新意识|

2028届高二（上）数学(2) 一、单项选择题： 本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，则在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 A． B． C． D． 3．点到直线的距离是 A． B． C． D． 4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 5．若，，，则下列结论错误的是 A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 6．若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的 正弦值为 A． B． C． D． 7．在中，，，，O是的外心，则的面积为 A． B． C． D． 8．已知为正实数，且，则下列选项错误的是 A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 二、多选题多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于直线：，下列说法正确的有 A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 10．已知函数，则 A．在区间上单调递增 B．的最大值是 C．的一条对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11．如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则 A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆锥展开图的侧面积为π，且为半圆，则底面半径为_______． 13．过点且与直线垂直的直线方程为_______. 14．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 16．（15分）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 17．（15分）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 18．（17分）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分）在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2028届高二（上）数学(2)参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B D C D A B AC BCD ACD 1．由题意得，则对应于复平面的点为，在第一象限. 2．，代入点斜式方程得直线方程为. 3．点到直线的距离为. 4．因为函数是定义域为的奇函数，所以. 5．对于A，由可得,因,则事件与相互独立，故A正确；对于B,因,故B正确；对于C，因，故事件与不互斥，即C错误；对于D，由A项可得事件相互独立，故,即D正确. 6．取为基底，不妨设，则由题意知， ，， 又，， 所以， 设直线与所成角为（），则， 直线与所成角的正弦值为. 7．由余弦定理，得， 所以，又因为，，所以， 所以，， 所以的面积为． 8．因为，所以，A：由基本不等式：， 平方得，即，当且仅当等号成立，即，因此的最大值为，故A正确；B：将代入得：，这是开口向上的二次函数，对称轴， 得最小值为，B错误；C：， 得到的最小值为8，当且仅当等号成立，故C正确；D：， 由（1）知，所以，即，当且仅当等号成立，符合条件，因此的最小值为，故D正确. 9．直线：可化为.对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为， 故A正确；对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误；对于C，作出直线的图象：由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10．， 对于A：，单调递增区间应满足，解得，所以单调递增区间为，因为不完全在增区间内，故A错误；对于B：，当取到最大值时，函数取最大值为，故B正确；对于C：，此时取到了的最大值，所以函数的一条对称轴为，故C正确；对于D：的图象向左平移个单位长度，得，故D正确. 11．由题意可得，又因为，平面，平面，所以 为底面上的高，选项A，因为由翻折得到，所以.在中，，边上的高为，所以，A正确.选项B，在中，， 可得 ，所以直线与直线所成角的余弦值为，B错误. 选项C，由题意得，设点到平面的距离为， 由，可得，解得,所以直线与平面所成角的正弦值为，C正确.选项D，由选项B知，， 所以，所以的外接圆半径 设三棱锥的外接球半径为，因为平面，所以，解得 .所以外接球的体积是，D正确. 12．【详解】设底面半径为，母线长为，由已知，，，． 13．【详解】直线的斜率为，设待求直线斜率为，则由题意，得，解得.所以待求直线方程为，即. 14．【详解】， 表示点到点和的距离之和，如图所示， 点是关于轴的对称点，所以， ，故最小值为， 此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 15．(1)证明：取的中点F，连接，， 因为E是的中点，所以且，因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为，的延长线交于一点， 平面，平面，所以平面， 又因为，所以，，两两垂直， 所以以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设，则，， ，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 设平面与平面的夹角为，则. 16．（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 17．（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到，所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得，所以. 18．(1)由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． （2）由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 19．(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即二面角的余弦值的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $