专题07 整式的加减与表达规律 期中复习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题07整式的加减与表达规律期中复习讲义 1.同类项概念：能准确识别同类项，掌握同类项判定条件：所含字母相同，相同字母的指数也相同；会判断常数项都是同类项，能区分易混淆项。 2.合并同类项：熟练运用合并同类项法则，只把系数相加，字母和字母的指数保持不变；规范化简整式，减少计算失误。 3.去括号法则：牢记去括号规则，括号前是正号，去括号不变号；括号前是负号，括号内各项全部变号；括号前带有数字因数时，要用数乘遍括号内每一项。 4.整式加减运算：整式加减本质就是去括号、合并同类项。能完整完成整式的加减化简，化简后代入数值求值，掌握化简求值的标准解题步骤。 5.探索与表达规律：观察数字、图形、表格的变化规律，寻找变化量与序号之间的关系，用整式写出通用规律表达式；会验证猜想的规律。 6.综合应用能力：利用整式加减解决图形周长、面积等实际问题；能结合整体代入思想进行化简求值。 7.易错点辨析：去括号负号变号容易漏项；分配律漏乘括号里面某一项；判断同类项只看字母，不看系数；规律探究时，找不准序号与数量之间的对应关系。 题型 考察方向 难度 题型一 同类项的判断 ★ 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 ★★ 题型三 合并同类项 ★★ 题型四 去括号与添括号 ★★ 题型五 整式的加减运算 ★★★ 题型六 整式的加减中的化简求值 ★★★ 题型七 整式加减中的无关型问题 ★★★★ 题型八 整式加减的应用 ★★★ 题型九 带有字母的绝对值化简问题 ★★★★ 题型十 数字类规律探索 ★★★ 题型十一 图形类规律探索 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 同类项 分类 详细完整内容 标准定义 所含字母完全相同，并且相同字母对应的指数也分别相等的项；所有常数项（不含字母的数字）都互为同类项。 四条判定细则 1.只看字母种类与对应指数，和项前面的系数正负、大小无关； 2.和字母书写先后顺序无关，如3xy与-2yx是同类项； 3.只要有一组相同字母指数不相等，就不是同类项； 4.单独数字之间，无论正负都是同类项。 正确举例（同类项） 1.7a2b 和 -5a2b； 2.-12 和 8； 3.xy3和 xy3 反例（非同类项） 1. x 和 x2（字母相同，指数不同）； 2. 2ab 和 3ac（所含字母不一样）； 3. m2n和 mn2相同字母指数不对应） 知识点02：两大运算法则 1.合并同类项 定义：把多项式中所有同类项合并成一项 法则：同类项系数相加，字母和字母的指数保持不变 理论依据：乘法分配律逆运算 ax+bx=(a+b)x 完整步骤： 标记式子中所有同类项； 同类项系数相加； 字母部分原样抄写； 不同类项保留，不能合并。 示例：3x2-5x+2x2+x=(3+2)x2+(-5+1)x=5x2-4x 2.去括号法则（分 3 类详细） （1）括号前是 “+” 号 去掉括号和正号，括号内每一项符号不变 公式：a+(m-n+p)=a+m-n+p （2）括号前是 “-” 号 去掉括号和负号，括号内每一项全部变号 公式：a-(m-n+p)=a-m+n-p （2）括号前存在数字因数（必考难点） 先用乘法分配律，数字乘括号内每一项，再去括号，严禁漏乘 公式：2(3x-4)=6x-8；-3(x+2)=-3x-6 知识点03：整式加减标准运算步骤 1.有括号先去括号； 2.准确找出全部同类项； 3.合并同类项； 4.最终结果化为最简整式（无括号、无同类项）。 知识点04：常考题型 1.单纯合并同类项基础计算； 2.求两个整式的和、差：列式时多项式必须整体添加括号； 例：求3a-2与a+6的差，列式为(3a-2)-(a+6) 3.化简求值题型：先化简代数式，再代入数值计算，减少计算量。 知识点05：探索与表达规律 一.通用解题思想：由特殊到一般 固定解题五步流程： 1.列举前 3 组特殊数字 / 图形数量； 2.观察、对比，寻找数量变化关系； 3.猜想通用规律，用含正整数n的代数式表示； 4.利用整式加减化简代数式； 5.代入n=1、2、3验证式子是否符合已知数据。 二．三大必考规律题型 题型分类 常见特征 解题方法 典型结论 数列数字规律 等差、等比、平方型数列 列出前 3 组数字，找相邻数字差值 / 倍数关系，写出第n项 1,3,5,7… 第n项：2n-1 日历数字规律 横向相邻数差 1，纵向上下数差 7 设中间数字为x，其余数字用含x代数式表示，整式求和 十字框 5 数和 = 中间数 ×5；3×3 九宫格 9 数和 = 中间数 ×9 图形排列规律 第 1、2、3 个图形对应数量依次变化 数出每组图形数量，转化为数列规律，用n表示第n个图形总数 摆小棒、点阵、正方形拼接类题目通用 三、数字游戏类题型解题要点 两位数表示：十位数字a，个位数字b，两位数写作10a+b； 三位数表示：百位a、十位b、个位c，写作100a+10b+c； 解题关键：先用字母表示多位数，再通过整式加减化简，解释固定运算结果的数学原理 知识点06：易错点汇总 易错板块 详细细分易错点 错误示范 标准正确做法 同类项判断 1. 相同字母指数不一致，误判为同类项2. 误以为系数不同就不是同类项 把x和x2判定为同类项 只对比字母和对应指数，与系数大小、正负无关 运算法则运用（合并、去括号） 1. 不同类项强行合并，随意相加字母2. 括号前负号，只改变第一项符号3. 括号外数字因数漏乘括号内某一项 2a+3b=5ab；x-(2x-1)=x-2x-1 1. 只有同类项可以合并，字母、指数不变；2. 负号去括号，括号内所有项全部变号；3. 数字分配律乘遍括号内每一项 整式和差列式 两个多项式求差，后一个多项式不加括号 2x-1与x+3的差写成2x-1-x+3 做减法时，后整个多项式外加括号：(2x-1)-(x+3) 化简求值 不化简原式，直接把数字代入复杂长式子 直接将数值代入未化简多项式 先化简整式得到最简形式，再代入数值计算 数列、图形规律 1. 仅两组数据就写出规律，式子出错2. 写出代数式不化简、不代入验证3. 令n=0代表第一个图形 数列2,4,6直接写2n+2 1. 至少观察 3 组数据；2. 用整式加减化简式子，代入n=1、2、3验证；3.n取正整数，n=1对应第一个图形 日历计算 记错竖列数字差值，合并同类项计算失误 中间数x，下方数字写成x+1 横向相邻差 1，纵向相邻差 7；全部代数式相加后合并同类项推导总和关系 数字游戏列式 直接将十位、个位字母相加表示两位数 十位a个位b，写成a+b 两位数标准写法10a+b，三位数100a+10b+c 题型一、同类项的判断 1．下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：与是同类项，故A不符合题意； 与、与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，都是同类项，故B和C不符合题意； 与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意． 2．有下列四对单项式： （1）与；（2）与；（3）与；（4） 与．其中所有不是同类项的序号为_______ 【答案】（1）（2） 【分析】根据同类项的定义，即可求得． 【详解】根据同类项的定义，与是同类项， 与是同类项 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 3．下列各组单项式中，是同类项的有（　　） ①﹣3与﹣；②62与b2；③9ab与9abc；④πx与﹣2x；⑤3x2y与﹣3yx2 A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的单项式叫做同类项，两个常数也是同类项，由此进行判断即可． 【详解】①﹣3与﹣是同类项； ②62与b2不是同类项； ③9ab与9abc不是同类项； ④πx与﹣2x是同类项； ⑤3x2y与﹣3yx2是同类项， 综上所述，是同类项有①④⑤共3组． 故选B． 【点睛】此题主要考查了同类项的定义，关键是掌握：所含字母相同，相同字母的指数也相同，两者缺一不可． 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 4．若与为同类项，则的值为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】利用同类项的定义得到的值，再通过变形所求代数式，整体代入计算结果． 【详解】解：与是同类项， ∴， ． 5．关于的单项式与的和是一个单项式，那么___________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明两个单项式是同类项，根据同类项相同字母指数相等列等式求解即可． 【详解】解：∵两个单项式与的和是单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，， 将代入， 得， 解得， ∴． 6．若和的和是单项式，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项的意义，可得答案． 【详解】由题意，得3m＝3，解得m＝1， 12m−24＝12-24=-12. 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，利用单项式的和是单项式得出同类项是解题关键． 题型三、合并同类项 7．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项的定义以及合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项运算错误； B．与不是同类项，不能合并，故该选项运算错误； C．与不是同类项，不能合并，故该选项运算错误； D．，故该选项运算正确． 8．如果单项式与单项式的和是单项式，那么的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查合并同类项与同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则及同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据两个单项式的和是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数相等，列出方程求解． 【详解】解：∵单项式与单项式的和是单项式， ∴它们是同类项， ∴且， 解得，， ∴． 故答案为：4． 9．已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得这个多项式为 . 题型四、去括号与添括号 10．下列去括号、添括号的结果中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当括号前为负号时，去、添括号后括号内各项均需变号，否则不变号，据此逐项判断即可． 【详解】解∶A．，故该选项正确，符合题意； B．，与左侧不相等，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 11．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，去括号法则，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项法则和去括号法则逐一计算即可． 【详解】解：A，，原计算错误，不符合题意； B，和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C，，原计算错误，不符合题意； D，，原计算正确，符合题意； 故选：D． 12．下列去括号或添括号：①；②；③；④，其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据添括号和去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①，故本选项正确； ②，故本选项错误； ③，故本选项错误； ④，故本选项正确； 其中正确的有①④； 故选：B． 【点睛】本题考查的是去括号和添括号，添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号内的各项都不改变符号，若括号前是“—”，添括号后，括号内的各项都改变符号；去括号时，若括号前是“+”，去括号后，括号内的各项都不改变符号，若括号前是“—”，去括号后，括号内的各项都改变符号． 题型五、整式的加减运算 13．与相等的整式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 14．定义一种新运算“※”，规定：．若，则______． 【答案】 【分析】根据新运算规则化简所求式子，再将已知条件整体代入计算． 【详解】解：由新运算规则，得 ∵， ∴． 15．如图，王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后遮住了一个二次三项式，则所遮的多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整式的减法运算解答即可． 【详解】解：∵， ∴所遮的多项式为． 16．若，互为相反数，则化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用  和 互为相反数的关系，即 ，代入表达式化简，或直接提取公因式后利用求解. 【详解】解：∵  和 互为相反数， ∴. 原式 = 　 ∵， ∴ 原式. 【点睛】本题考查了相反数，整式的混合运算，熟知互为相反数的两个数相加得0是解题的关键. 题型六、整式的加减中的化简求值 17．若，则的值为（   ） A．10 B．6 C．22 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整体思想． 由已知方程可得，然后代入所求表达式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 18．若，则_______． 【答案】11 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先去括号，再合并同类项，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：11． 19．已知，，则代数式的值是（    ） A．-101 B．-99 C．99 D．101 【答案】C 【分析】原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵m−n＝100，x＋y＝−1， ∴原式＝x-n+m+y＝（m−n）＋（x＋y）＝100+（-1）＝99， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型七、整式加减中的无关型问题 20．若关于，的多项式为一个三次二项式，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的加减运算以及多项式的次数、项数等基本概念。解答本题的关键是先对多项式进行化简，然后根据“三次二项式”的定义，即最高次项为三次且化简后只有两项，来确定参数的值． 去括号合并同类项后，使二次项系数为零求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵多项式为三次二项式， ∴， ∴． 故选C． 21．已知，，m，n是常数，若的差不含二次项，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的加减运算的无关型问题．计算得，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求出m和n，再计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的差不含二次项， ∴， 解得， ∴ 故答案为：1． 22．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵多项式不含项和项， ∴，． 解得，． 23．若多项式的值与的取值大小无关，那么a，b一定满足（    ） A．且 B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项，根据整式的值与的取值大小无关，得到含项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵多项式的值与的取值大小无关， ∴， ∴，； 故选D． 题型八、整式加减的应用 24．李老师做了一个长方形教具，其中相邻两边的长分别为，，则该长方形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 25．如图，两个正方形的面积分别为，两阴影部分的面积分别为（），则的值等于______． 【答案】 【分析】设空白部分的面积为，可得，，再代入计算即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ∵两个正方形的面积分别为，两阴影部分的面积分别为（）， ∴，， ∴，， ∴． 26．国庆假期小陈一家游览南京玄武湖公园，园内布置一处主题花坛，如图矩形，花坛宽、，设计师将整个花坛划分成四块区域，分别摆放不同主题的节日花卉造型，四块区域的面积依次记为、、、，如果，则的值为_________（用含a，b的式子表示）. 【答案】 【分析】根据长方形面积公式及题目给出的面积比例关系，先求出和与长方形总面积的关系，进而确定点、的位置，计算出的面积，最后利用面积和差关系求出． 【详解】解：设长方形的面积为 长方形中，， 同理 解得 ，且 ， 解得 ． 题型九、带有字母的绝对值化简问题 27．已知，则有理数一定是（     ） A．正数或0 B．0 C．正数 D．负数或0 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 故为负数或． 28．已知，，若，则的值是_______． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到，的所有可能取值，再利用得到，筛选出符合条件的组合后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 当时，无论还是，都有，不符合要求，舍去； 当，时，，符合要求，此时； 当，时，，符合要求，此时. ∴的值为或． 29．已知a，b，c均是有理数，，则（     ） A．或0 B． C．0 D．或或0 【答案】C 【分析】由可得，a，b，c中负数的个数为1或3，若有3个负数时，则，与题干条件矛盾，故a，b，c中负数只有1个，再化简代数式即可． 【详解】解：由可得，a，b，c中负数的个数为1或3， 若有3个负数时，则， 与题干条件矛盾， 故a，b，c中负数只有1个 不妨设 则． 题型十、数字类规律探索 30．一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的规律探索，观察每个多项式中b的指数变化，总结规律即可得到第n个多项式． 【详解】解：观察给出的多项式： 第1个多项式：，b的指数为， 第2个多项式：，b的指数为， 第3个多项式：，b的指数为， 第4个多项式：，b的指数为， 且每个多项式的第一项始终为，第二项始终为的幂次， ∴可得第个多项式中，b的指数为， 即第个多项式为． 31．对于正整数，定义，其中表示的首位数字的平方与末位数字的平方之差的绝对值，例如：，． 规定：，（为正整数）， 例如：，． 按此定义，________，________． 【答案】 【分析】按照定义依次计算前几个的值，找出循环规律，再根据规律计算目标结果． 【详解】解：根据定义可得：， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ……， 由此可得，从开始，每次计算为一个循环，依次为， 计算得， ， 余数为，对应循环中第个数值，即． 32．观察下面三行数，并按规律填空： ①，，，，，，······ ②，，，，，，······ ③6，，18，，66，，······ 请你取每行数的第个数，这三个数的和是______． 【答案】 【分析】先推导第一行数字的规律，再找出第二行、第三行数字与第一行数字的对应关系，计算出第9个数后求和． 【详解】解：首先分析第一行规律，第一行第个数为， 当时，第一行第9个数为； 对比第一行和第二行对应位置的数，可得第二行每个数比第一行对应位置的数大， 因此第二行第个数为， 当时，第二行第9个数为； 对比第一、二、三行对应位置的数，可得第三行每个数等于第一行与第二行对应位置的数之和， 因此第三行第9个数为， 计算三个数的和：． 题型十一、图形类规律探索 33．观察如图图形，第1个图中共有1个圆圈，第2个图中有3个圆圈，第3个图中有6个圆圈，照此规律，第7个图中有（     ）个圆圈． A．18 B．21 C．28 D．36 【答案】C 【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律得到通项公式，最后求解即可． 【详解】解：第1个图中有圆圈， 第2个图中有个圆圈， 第3个图中有个圆圈， …， 按照这种规律，则第n个图中圆圈的个数是， ∴第7个图中圆圈的个数是． 34．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…，则第9个图案需要用矩形的个数为_______． 【答案】 【分析】观察图形可知，第1个图案有3个矩形，第2个图案有5个矩形，第3个图案有7个矩形，矩形个数每次增加2个，归纳出第个图案的矩形个数为，代入计算即可． 【详解】解： 第1个图案用了3个矩形，； 第2个图案用了5个矩形，； 第3个图案用了7个矩形，； ， 由此可得，第个图案需要用矩形的个数为； 当时，矩形的个数为． 35．如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要杯子的个数为（     ） A．37 B．45 C．55 D．66 【答案】C 【分析】先观察发现第1～4个图形需要杯子的数量分别为个、个、个、个，则归纳类推得第n个图形需要杯子的数量为个，其中n为正整数，再将代入计算即可得． 【详解】解：观察发现：第n个图形需要杯子的数量为个，其中n为正整数， 所以第10个图形需要杯子的数量为（个）， 解答题 36．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了去括号和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 37．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 38．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，； (3)，其中，． 【答案】(1)， (2)， (3)，4 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当，时，原式． （3）解： ． 当，时，原式． 39．如图是某新款手机的摄像头模组示意图：模组是长为、宽为的长方形，模组内有个半径为的大圆（主摄像头）、旁边的小圆（辅助摄像头）面积是一个大圆面积的． (1)用含、、的代数式表示模组中除摄像头外的空白部分面积； (2)若关于、的单项式与是同类项，且，求空白部分的面积．（取） 【答案】(1)模组中除摄像头外的空白部分面积为； (2)空白部分的面积为． 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，同类项，已知字母的值，求代数式的值． （1）用长方形的面积，减去两个大圆和一个小圆的面积，即可得模组中除摄像头外的空白部分面积； （2）根据同类项的定义，可得，，代入（1）所得的空白部分面积的表达式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴模组中除摄像头外的空白部分面积为． （2）解：∵关于、的单项式与是同类项， ∴，， 又∵，， ∴ ． ∴空白部分的面积为． 40．“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． (1)已知a，b是有理数，当，时，求的值； (2)已知，求的值； 【类比探究】 (3)已知，且，求m的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）将、的取值代入式子，结合绝对值的性质计算； （2）由得异号，分两种情况讨论计算； （3）先利用化简的表达式，再根据的符号分类讨论，比较各情况的值得最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴异号． 当，时，，， ∴． 当，时，，， ∴． 综上所述，的值为或． （3）解：由题意得，，． ∵， ∴，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴不可能全正或全负，只能为两正一负或一正两负． ①两正一负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ②一正两负：若，，，则． 若，，，则． 若，，，则． ∵， ∴的最小值为． 41．定义新运算：．例如：． (1)计算的值； (2)已知，试说明的值与的取值无关． 【答案】(1)； (2)的值为常数，与的取值无关． 【分析】本题考查新定义运算的应用以及整式的加减运算． （1）直接根据新运算的定义，将对应数值代入公式计算即可； （2）先利用新运算定义将两个等式展开，得到关于、、的方程，再通过消元法消去，推导出为固定常数，从而说明其与无关． 【详解】（1）解：； （2）解：， ①； ， ②； 将①②得：， 整理化简得：； 的值为常数，与的取值无关． 42．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为_____． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为_____． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为_____ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察图形发现部分①的面积为，部分②的面积为，部分③的面积为； （2）由（1）得求的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为，用总面积减去阴影部分面积即可解题； （3）根据材料二两边同时乘以，然后相减解题即可； （4）利用材料二两边同时乘以，然后相减解题即可． 【详解】（1）解：正方形边长为1， 正方形面积为1， ①是边长为1的正方形纸片面积的一半， ①的面积为， 依此类推，②的面积为， ③的面积为； （2）解：求的值， 即为求将图形分割下去空白部分的面积， 此时剩余阴影部分面积为：， ； （3）解：令①， 等式两边同时乘以5，得②， 由②式减去①式，得， ， ； （4）解：令①， 等式两边同时乘以4，得②， ②一①得，， ， 即． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题07整式的加减与表达规律期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.同类项概念：能准确识别同类项，掌握同类项判定条件：所含字母相同，相同字 母的指数也相同，会判断常数项都是同类项，能区分易混淆项。 2合并同类项：熟练运用合并同类项法则，只把系数相加，字母和字母的指数保持 不变：规范化简整式，减少计算失误。 3去括号法则：牢记去括号规则，括号前是正号，去括号不变号：括号前是负号， 括号内各项全部变号；括号前带有数字因数时，要用数乘遍括号内每一项。 4.整式加减运算：整式加减本质就是去括号、合并同类项。能完整完成整式的加减 化简，化简后代入数值求值，掌握化简求值的标准解题步骤。 5.探索与表达规律：观察数字、图形、表格的变化规律，寻找变化量与序号之间的 关系，用整式写出通用规律表达式：会验证猜想的规律。 6.综合应用能力：利用整式加减解决图形周长、面积等实际问题，能结合整体代入 思想进行化简求值。 7易错点辨析：去括号负号变号容易漏项：分配律漏乘括号里面某一项：判断同类 项只看字母，不看系数：规律探究时，找不准序号与数量之间的对应关系。 题型梳理 题型 考察方向 难度 题型一 同类项的判断 ★内 题型二 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型三 合并同类项 ★★ 题型四 去括号与添括号 ★★★ 题型五 整式的加减运算 ★★★ 题型六 整式的加减中的化简求值 ★★★★ 题型七 整式加减中的无关型问题 试卷第1页（共3页） ★★★ 题型八 整式加减的应用 ★★★★ 题型九 带有字母的绝对值化简问题 ★★★ 题型十 数字类规律探索 ★★★ 题型十一 图形类规律探索 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 合井同类项 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同 的项叫作同类项. 判断同类项主要看三点：①都是单项式；②所含字母相同；③ 相同字母的指数相同. 合并同类项 概念：根据运算律把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系 整式的加减 数，字母和字母的指数不变.其实质是逆用乘法的分配律 步骤：(1)发现同类项：(2)确定各同类项系数：(3)合并同类项. 去括号 括号前面是“+“号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号 里各项的符号都不改变 括号前面是“.”号，把括号和它前面的”.”号去掉，括号 里各项的符号都要改变 整式的加减 实质 整式加减的实质就是合并同类项，若有括号，就要先用去括号法则 去掉括号，然后合并同类项 步骤 (1)如果有括号，那么先去括 (2)找出同类项，合并同类项： (3)没有同类项的项照写。 试卷第2页（共3页） 知识点01同类项 分类 详细完整内容 所含字母完全相同，并且相同字母对应的指数也分别相等的项；所 标准定义 有常数项（不含字母的数字）都互为同类项。 1.只看字母种类与对应指数，和项前面的系数正负、大小无关； 2.和字母书写先后顺序无关，如3xy与-2yx是同类项； 四条判定细则 3.只要有一组相同字母指数不相等，就不是同类项； 4.单独数字之间，无论正负都是同类项。 正确举例（同类 1:7ah和5ah:2-12和8；3xy和y 倾) 1.x和x2(字母相同，指数不同)； 反例（非同类项） 2.2ab和3ac(所含字母不一样)； 3. m2n和mn相同字母指数不对应) 知识点02：两大运算法则 1.合并同类项 定义：把多项式中所有同类项合并成一项 试卷第3页（共3页） 法则：同类项系数相加，字母和字母的指数保持不变 理论依据：乘法分配律逆运算ax+bx=(a+b)区 完整步骤： 标记式子中所有同类项： 同类项系数相加： 字母部分原样抄写； 不同类项保留，不能合并。 示例：3x2-5x+2x2+x=(3+2)x2+(-5+1)x=5x2-4x 2去括号法测（分3类详细） (1)括号前是“+”号去掉括号和正号，括号内每一项符号不变 公式：a+(mn+p)=a+m-n+p (2)括号前是“”号去掉括号和负号，括号内每一项全部变号 公式：a-(m-n+p)=a-m+n-p (2)括号前存在数字因数（必考难点） 先用乘法分配律，数字乘括号内每一项，再去括号，严禁漏乘 公式：2(3x-4)=6x-8;-3(区+2)=-3x-6 知识点03：整式加减标准运算步骤 1有括号先去括号： 2.准确找出全部同类项； 3.合并同类项； 试卷第4页（共3页） 4最终结果化为最简整式（无括号、无同类项）。 知识点04：常考题型 1.单纯合并同类项基础计算； 2求两个整式的和、差：列式时多项式必须整体添加括号； 例：求3a-2与a+6的差，列式为(3a-2)-(a+6) 3.化简求值题型：先化简代数式，再代入数值计算，减少计算量。 知识点05：探索与表达规律 一通用解题思想：由特殊到一般 固定解题五步流程： 1列举前3组特殊数字/图形数量； 2观察、对比，寻找数量变化关系； 3猜想通用规律，用含正整数n的代数式表示； 4.利用整式加减化简代数式： 5.代入n=1、2、3验证式子是否符合已知数据。 二.三大必考规律题型 题型分类 常见特征 解题方法 典型结论 等差、等 列出前3组数字，找相邻1,3,5,7.…第n项： 数列数字规律 比、平方型 数字差值/倍数关系，写 2-1 试卷第5页（共3页） 题型分类 常见特征 解题方法 典型结论 数列 出第n项 横向相邻数 设中间数字为x,其余数 十字框5数和=中间 日历数字规律差1，纵向 字用含x代数式表示，整 数×5；3×3九宫格9 上下数差7 式求和 数和=中间数×9 第1、2、3 数出每组图形数量，转化 个图形对应 摆小棒、点阵、正方形 图形排列规律 为数列规律，用n表示第 数量依次变 拼接类题目通用 n个图形总数 化 三、数字游戏类题型解题要点 两位数表示：十位数字a,个位数字b,两位数写作10a+b; 三位数表示：百位a、十位h、个位c,写作100a+10b+c; 解题关键：先用字母表示多位数，再通过整式加减化简，解释固定运算 结果的数学原理 知识点06：易错点汇总 试卷第6页（共3页） 易错板快 详细细分易错点 错误示范 标准正确做法 1.相同字母指数不一 同类项判致，误判为同类项2. 把x和x判定为同只对比字母和对应指数， 断 误以为系数不同就不是类项 与系数大小、正负无关 同类项 1.不同类项强行合 1.只有同类项可以合并， 运算法则 并，随意相加字母2. 字母、指数不变；2.负号 运用（合括号前负号，只改变第2a+3h=5ab;x 去括号，括号内所有项全 并、去括 一项符号3.括号外数(2x-1)=x-2x-1 部变号；3.数字分配律乘 字因数漏乘括号内某 遍括号内每一项 项 整式和差 两个多项式求差，后一2x-1与x+3的差写做减法时，后整个多项式 列式 个多顶式不加括号 成2x-1-x+3 外加括号：(2x-1)-(x+3) 不化简原式，直接把数直接将数值代入未 先化简整式得到最简形 化简求值 字代入复杂长式子 化简多项式 式，再代入数值计算 数列、图 1.仅两组数据就写出 数列2,4,6直接写1. 至少观察3组数据； 试卷第7页（共3页） 易错板快 详细细分易错点 错误示范 标准正确做法 规律，式子出错2.写 2.用整式加减化简式子， 出代数式不化简、不代 代入n=1、2、3验证： 形规律 2n+2 入验证3.令n=0代表 3.n取正整数，n=1对应第 第一个图形 一个图形 横向相邻差1，纵向相邻 记错竖列数字差值，合中间数x,下方数 日历计算 差7；全部代数式相加后 并同类项计算失误 字写成x+1 合并同类项推导总和关系 数字游戏 直接将十位、个位字母十位a个位b,写 两位数标准写法10a+b, 列式 相加表示两位数 成a+b 三位数100a+10b+c ☆ 题型精析 题型一、同类项的判断 1.下列各组单项式中不是同类项的是() A.23与32 B.6a2mb与-a2bm C.12ay与2a3y D.与w 1 2.有下列四对单项式： 1h与的，6220与6g,32与3，与5.其中所有不 试卷第8页（共3页） 是同类项的序号为 3.下列各组单项式中，是同类项的有() 1 ①-3与-3：②6与；③9b与9abc:④r与-2x;⑤3xy与-3x2 A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 题型二、已知同类项求指数中字母或代数式的值 4.若x25动与4x为同类项，则4a-10b+6的值为（) A.8 B.10 C.12 D.14 5.关于xy的单项武式3y与-y的和是一个单项式，那么m+n= 7x3y2-11x3my2 6.若 和 的和是单项式，则代数式12m-24 的值是() A.-3 B.-4 C.-5 D.-12 题型三、合并同类项 7.下列运算正确的是（) A.5m+n=5mn B.4m-n=3 C.3m2+4m23=7m3 D.-m'n+2m2n=m2n 0x3y6+6 8.如果单项式 -6xa+3y4 与单项式 的和是单项式，那么a-b的值为 9.已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1,则这个多项式是() A.-5x-1 B.5x+1 C.-13x-1 D.13x+1 题型四、去括号与添括号 10.下列去括号、添括号的结果中，正确的是() A.a-3x+2y-3=a+(-3x+2y-3) 2x-y-a+1=-(2x+y)+(a-1) 试卷第9页（共3页） c.d-(2a-b)=a2-2a-b D.3x-[5y-(22-]=3x-5y-2z+1 11.下列计算正确的是() A.-ab-ab=0 B.8a-6a2=2a2 C.5b-2a)=5b-2a D.-(a+b)=-a-b 12.下列去括号或添括号：0-5ab+3=a-[山-6-5o】,@ a-2b-3c+=a2-2b+3c-l:®-5a-a6+3=(-a）-(5a+3):0 3ab-[5ab2-(2ab-2)-db]=3ab-5ab+2ab-2+a62,其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 题型五、整式的加减运算 13.与2(5-x) 相等的整式为() A.-10+x B.-10-x C.-10-2x D -10+2x 14.定义一种新运算“※”，规定：a※b=a-4b.若m+2n=2,则m-2m)※(m+m)= 15.如图，王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后遮住了一个二次三项式，则 所遮的多项式为() +(-x+3)=x2+3x- A.x2-x-2 B.-2x2-2x-2 C.x2+4x-4 D -x2-2x+4 试卷第10页（共3页） 16若m,n互为相反数，则化简m2m-小aa-2m)的结果为《) A.2m B.0 C.m-n D.-1 题型六、整式的加减中的化简求值 17.若x2+5x-2=6,则2x2+10x-6的值为() A.10 B.6 C.22 D.12 18.若a+b=3,b=-2,则 （4a-5b-3ab)-(3a-6b+ab)= 19.已知m-n=10,x+y=-,测则代数式-)-(m-八的值是{) A.-101 B.-99 C.99 D.101 题型七、整式加减中的无关型问题 20.若关于4，b的多项式（a6-0+)+(a+2a6+b)为一个三次二项武，则”的值是 () A.-2 B.-1 C.1 D.2 21.已知4=2-四，B=3(m-刘列+1，m,n是常数，若A-B的差不含二次项，则 mn= 3-(a-2)x3+5x2+(b+3)x-1 22.若多项式 中不含和x项，则a、b的值为() A.2,3 B.-2,3 C.-2,-3 D.2,-3 23.若多项式5：-侧)+(r+3g+y)-(6-+2y）的值与的取值大小无关，那 么a,b一定满足() A.a=0且b=0 B.a=4b C.ab=0 D.a=1, b=4 题型八、整式加减的应用 24.李老师做了一个长方形教具，其中相邻两边的长分别为2a+b,a-b,则该长方形的 试卷第11页（共3页） 周长为() A.6a+b B.6a C.3a D.10a-b 25.如图，两个正方形的面积分别为32,25，两阴影部分的面积分别为，b(a>b),则 a-b的值等于 26.国庆假期小陈一家游览南京玄武湖公园，园内布置一处主题花坛，如图矩形ABCD, 花坛宽AB=a、BC=b,设计师将整个花坛划分成四块区域，分别摆放不同主题的节日花 卉造型，四块区域的面积依次记为S、S,、S、S,如果8=8，=S,+S),则5，的值 (用含a,b的式子表示)· D S2 F S S B E 题型九、带有字母的绝对值化简问题 a =-a 27.已知 ,则有理数“一定是() A.正数或0 B.0 C.正数 D.负数或 0 28.已知=5，所=3，若+州-a+0),则0-b的指是 a b clabd 29.已知a,b,c均是有理数，a+b+c=0,abc<0,则abc abe() A.-4或0 B.-4 C.0 D.4或 -2或0 题型十、数字类规律探索 试卷第12页（共3页） 30.一组按规律排列的多项式：a-b,a-b,a-b,a-b’,,第n个多项式是(） A.a-b"-1 B.a-b"+2 C.a-b2n-I D.a-b2n n2,(n<10) 3引，对于正整数n,定义F四)- f(n),(n≥l0),其中f(n)表示n的首位数字的平方与末 位数字的平方之差的绝对值，例如：F(6)=6=36.F(123)=2-3=8 规定： F(m=F(m),R(a)=F(E.(a》(k为正整数)， 例如： F(123)=F(123)=8F(123)=F(E(123)=F(8)=82=64 按此定义， E(5)= F3026(5)= 32.观察下面三行数，并按规律填空： ①2,4,8，-16,32,64，… ②4，-2,10，-14,34，-62.… ③6，-6,18，-30,66，-126， 请你取每行数的第9个数，这三个数的和是 题型十一、图形类规律探索 33.观察如图图形，第1个图中共有1个圆圈，第2个图中有3个圆圈，第3个图中有6个 圆圈，照此规律，第7个图中有()个圆圈 ● ● ●● ● ●●● 图1 图2 图3 A.18 B.21 C.28 D.36 34.生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案， 如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩 形，…，则第9个图案需要用矩形的个数为 试卷第13页（共3页） 第1个 第2个 第3个 图① 图② 35.如图，若按照下列规律进行叠杯子游戏，则第10个图形需要杯子的个数为() A.37 B.45 C.55 D.66 解答题 36.化简： ①3ab-ab2+2ah-3ab 22(r-3x--31-2x+3x2) 37.化简： a)-r+5x+4)+5x-4+2r) 23a-ab+7八-(5ab-4a2+7） 6)3r+2-4y-(3gy-4y2+3x2) ④5x-2y+3-3(-2y-2+) 38.先化简，再求值： 0)4g-3a)-(-4a+402）,其中a=2g ②h+(Bab-ab）-2ah-a0）,其中a=1,b=-2, (+y)+[-3w(e-y】其申x=-1,y=2 试卷第14页（共3页） 39.如图是某新款手机的摄像头模组示意图：模组是长为aCm、宽为bcm的长方形，模组 内有2个半径为℃m的大圆（主摄像头）、旁边的小圆（辅助摄像头）面积是一个大圆面 1 积的4· (I)用含a、b、r的代数式表示模组中除摄像头外的空白部分面积： ②若关于六、》的单项式少与y ”与是同类项，且=1，求空白部分的面积。(”取3) 40.“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学 思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题， 【知识背景】 当a>0时，网=a:当a=0时，=0，当a<0时，网=-a a b )已知a,b是有理数，当a=-2,b=3时，求回可的值： a b (2)已知ab<0,求a 可的值： 【类比探究】 m= 3b+d 2a+d la+b (3)已知 a b c,且a+b+c=0,求的最小值. 41.定义新运算：a®b=(a+b).例如：-305=-3×(-3+5)=-6. (1)计算4©(-2)的值： (2)已知1®a=4b+n,-2⊕b=3a-2n,试说明a+10b的值与n的取值无关. 42.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.阅读材料，并完成下列相关问题， 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面 积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则 试卷第15页（共3页） 阴影都分的面视是交6耐，空白部分的面积之和为：十宁+宁+宁宁1分 11 1,1,1,1,1,1 26 材料二：欲求1+2+4+8+16+…+2的值，可以按照如下步骤进行： 令S=1+2+4+8+16++20① 等式两边同时乘以2，得2S=2+4+8+16+32+…+2② 由②式减去①式，得S=21-1, .1+2+4+8+16+…+230=231-1 ⑥ ④ (4) 6✉ (5) ② ⑤ (2) ③ (3) ① (1) 图1 图2 解决问题： (1)图1部分③的面积为」 (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得 11,1,1, 2+2+2+2+… 22024的值为。 (3)利用材料二提供的方法，请你求出1+5+52+53+54+…+52”的值. 1,1,1, 1 ④)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：4十平+不+ 410o的值为 试卷第16页（共3页)