2026-2027学年华东师大版数学九年级上册期中练习卷

2026-2027学年期中练习卷 满分：100分 测试范围：华师版九年级上册第1-4章 建议用时：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式中最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段是成比例线段的是（     ） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，6，3，9 3．一元二次方程的两根分别为，，则该一元二次方程可以因式分解为（     ） A． B． C． D． 4．正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（    ）．（精确到，参考数据：） A．15 B．14 C．11 D．10 5．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 7．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障，测得点处到点处的距离为，从点处观测点处的仰角为．已知，则可求得点处到点处的距离约为（   ） A． B． C． D． 8．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为（     ） A．75 B．78 C．80 D．81 9．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的实数_____． 12．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 13．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 15．如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的边长为___________． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．（8分）计算： (1)； (2)． 17．（7分）下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： (1)小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． (2)原方程正确的解为______________________． (3)解方程：． 18．（8分）项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 19．（10分）如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 20．（10分）阅读与思考 下面是小华同学在课外书上看到的关于二次根式的材料，请认真阅读并完成相应的任务． 材料一：分母有理化分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，使分母变为有理数，这个变形叫作分母有理化．例如，． 材料二：共轭二次根式 若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． 任务： (1)与是关于的共轭二次根式，则的值为________． (2)计算：． (3)若与是关于18的共轭二次根式，求的值（结果化为最简形式）． 21．（12分）项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告． 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构． 造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井． 测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图示 图1为藻井仰视平面图，其中线段为中间层菱形井较长的对角线（点，在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点，在同一水平直线上，且点，，，在同一竖直平面内． 数据 在点处测得点的仰角为，米；在点处测得点的仰角为，米． 结果 … 活动反思 … 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线的长（结果精确到0.1米，参考数据：）． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年期中练习卷 满分：100分 测试范围：华师版九年级上册第1-4章 建议用时：90分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式中最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组线段是成比例线段的是（     ） A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，3，4，5 D．2，6，3，9 3．一元二次方程的两根分别为，，则该一元二次方程可以因式分解为（     ） A． B． C． D． 4．正八边形承载八方纳福的吉祥寓意，手工社团要裁剪一张边长为的正八边形装饰贴纸，俯视图如图所示，要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折，忽略贴纸与画框厚度，请问正方形画框的内边长至少（    ）．（精确到，参考数据：） A．15 B．14 C．11 D．10 5．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 7．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在处操控无人机巡查，无人机从点处飞行到点处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障，测得点处到点处的距离为，从点处观测点处的仰角为．已知，则可求得点处到点处的距离约为（   ） A． B． C． D． 8．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则25次操作后图形中所有正方形的面积和为（     ） A．75 B．78 C．80 D．81 9．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若在实数范围内有意义，请写出一个符合条件的实数_____． 12．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，则这个最小数为多少？设这个最小数为，则可列方程为___________． 13．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程______． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 15．如图，将正方形纸片折叠，点的对应点落在边上，点的对应点为点，折痕分别与边，交于点，．若，，则正方形的边长为___________． 三、解答题（本大题共6小题，共55分） 16．（8分）计算： (1)； (2)． 17．（7分）下面是小明解一元二次方程的过程，阅读并解决问题： 解方程：． 解：两边都除以，得．……………………………第一步 整理，得．………………………………………………………第二步 所以．……………………………………………………………第三步 任务： (1)小明从第________步开始出现错误，产生错误的原因是_______________． (2)原方程正确的解为______________________． (3)解方程：． 18．（8分）项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 (1)求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； (2)工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 19．（10分）如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 20．（10分）阅读与思考 下面是小华同学在课外书上看到的关于二次根式的材料，请认真阅读并完成相应的任务． 材料一：分母有理化分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，使分母变为有理数，这个变形叫作分母有理化．例如，． 材料二：共轭二次根式 若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． 任务： (1)与是关于的共轭二次根式，则的值为________． (2)计算：． (3)若与是关于18的共轭二次根式，求的值（结果化为最简形式）． 21．（12分）项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告． 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构． 造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井． 测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图示 图1为藻井仰视平面图，其中线段为中间层菱形井较长的对角线（点，在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点，在同一水平直线上，且点，，，在同一竖直平面内． 数据 在点处测得点的仰角为，米；在点处测得点的仰角为，米． 结果 … 活动反思 … 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线的长（结果精确到0.1米，参考数据：）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A A B C D A B 1．D 【分析】最简二次根式的两个判定标准：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这是解题的突破口．逐个分析选项：先将每个选项的被开方数进行整理，如果被开方数是分数或小数，那么需要先化去分母；如果被开方数有整数因式，那么判断其是否含有完全平方数因数，含字母的判断是否含有完全平方形式的因式．对照最简二次根式的两个判定标准，筛选出符合要求的选项． 【详解】∵ ， ∴ A不是最简二次根式． ∵ ，， ∴ B、C不是最简二次根式． ∵ 的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式， ∴ D是最简二次根式． 2．D 【详解】解：A．，四条线段不是成比例线段； B． ，四条线段不是成比例线段； C． ，四条线段不是成比例线段； D．，四条线段是成比例线段． 3．D 【分析】利用一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系求解． 【详解】解：∵　一元二次方程的两根分别为，， ∴ 该方程因式分解为． 4．A 【分析】正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，正八边形装饰贴纸可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ， 设， 解得， 正方形边长为， 要把这张贴纸平铺放到正方形画框内部，画框不能弯折， 正方形画框的内边长至少为． 5．A 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐一判断选项即可． 【详解】解：， ， 选项，添加，无法判定，故符合题意； 选项，添加，可用两边及其夹角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意． 6．B 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根. 7．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， 答：A处到B处的距离为． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴25次操作后的图形中所有正方形的面积和为． 9．A 【分析】由网格可知：，，，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．B 【分析】根据平行四边形的性质，证明，再证明， 求得，最后用勾股定理，解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 11． （答案不唯一） 【分析】二次根式的被开方数大于等于时，二次根式在实数范围内有意义，据此求出的取值范围，任取一个范围内的值即可. 【详解】解：由题意得， 解得， 故任意小于等于的实数都符合条件，可以取，答案不唯一 12． 【详解】解：由图可知最大的数为， ∵最小数与最大数的乘积为105， ∴． 13． 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 由小明看错了一次项系数b，利用两根之积等于 ，可求出c值，由小颖看错了常数项c，利用两根之和等于，可求出b值，进而可得出正确的一元二次方程． 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 14． 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 四边形是矩形， ． 又 ， ， 则的长为． 15． 【分析】设正方形边长为，利用正方形和折叠的性质可得，，，，即得，设，则，利用勾股定理可得，设，则，连接，又由勾股定理可得，过点作于点，则四边形为矩形，得到，，即得，最后根据勾股定理构建方程求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∵折叠， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 整理得， 设，则， ， 连接， 在中，， 在中，， ， 整理得， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）． 16．(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，计算括号内的加减，再计算除法； （2）分别计算各部分的值，再合并得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．(1)一；方程两边同时除以，没有考虑等于0的情况 (2) (3) 【分析】（1）根据等式的性质可知，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，第一步没有考虑等于0的情况； （2）（3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18．(1) (2)元/个 【分析】（1）根据6月产量、8月产量与月平均增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）根据总利润单个利润月销售量列方程，结合让消费者得到实惠的条件选取较低的售价． 【详解】（1）解：设该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为； （2）解：设该零件的实际售价为t元/个， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取， 答：该零件的实际售价应定为元/个． 19．(1) (2)如图， (3) 【分析】（1）位似图形对应顶点连线交于位似中心，直线与交点即为位似中心； （2）按照位似放大倍数延长得到对应点； （3）先求对应边长得到位似比为，根据位似图形面积比等于位似比的平方，得到面积比值为． 【详解】（1）解：如图， 与交于点， 位似中心是点； （2）略 （3）解：，，，， ，， ， ． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，计算两式的乘积即可得到的值． （2）对每个分式进行分母有理化，再通过裂项相消法简化求和计算． （3）根据共轭二次根式的定义列方程，通过移项、分母有理化求解的值． 【详解】（1）解：由共轭二次根式的定义，两式的乘积为． ； （2）解：对任意正整数，有 ， 则原式； （3）解：由共轭二次根式的定义，得 展开左边，得 移项并整理含的项，得 两边同时除以，分母有理化，得 ． 21．该藻井中间层菱形井对角线的长约为米 【分析】过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，在中根据正弦、余弦的计算得到， 在中得到，由此即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴，则四边形为矩形， ，， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， （米）． 答：该藻井中间层菱形井对角线的长约为米． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $