2.6 直角三角形 同步练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

2026-2027学年浙教版数学八年级上册2.6直角三角形章节拔高练习（浙江地区适用） 一、选择题 1.下列句子中，是命题的是（     ）。 A．明天可能是晴天 B．这两条直线平行吗？ C．过一点画已知直线的垂线 D．直角三角形两锐角互补 2.某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（     ）。 A． B． C． D． 3.如图，直线被直线所截，，，则（     ）。 A．36° B．54° C．46° D．44° 4.如图，在中，，是边上一点，是的中点。若的垂直平分线经过点，，则为（    ）。 A． B． C． D． 5.将一块含角的三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数是（     ）。 A． B． C． D． 6.如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　 ）。 A． B． C． D． 7.如图，点、、在同一条直线上，，，，，，，则的长为（     ）。 A．2 B．3 C．4 D．7 8.如图，是等边三角形，是边上的高，，分别是，的中点，连接、，则下列结论错误的是（    ）。 A． B． C． D． 9.如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，B分别落在A1，B1的位置，A1B1交AD于点E，若∠BNM＝65°，以下结论：①∠B1NC＝50°；②∠A1ME＝50°；③A1M∥B1N；④∠DEB1＝40°。正确的个数有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（     ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11.如图，中，，若，则__________。 12.若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是______。 13.如图，在中，。以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F。若，则的大小是______度。 14.如图，在中，，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为______。 15.如图，已知，点是上一定点，点是射线上一动点，和的平分线，交于点，则_____。 16.如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动。点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是______。 三、解答题 17.写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明。 18.如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使等于的一半。（保留作图痕迹，不要求写作法） 19.在中，平分交于点D，，垂足为点H，若，，求的度数。 20.如图，已知中，，E是的中点，垂直平分。 （1）求证：； （2）若，求的度数。 21.如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，求的度数。 22.如图，在，E、F分别是的中点，求证：。 23.如图，中，，，于，平分分别与，交于点，。 （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长。 24.如图，在中，。 （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，为外的一点，连接，且，；过点作交的延长线于点．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点。点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接。若，请直接写出取得最小值时的值。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙教版数学八年级上册2.6直角三角形章节拔高练习（浙江地区适用） 一、选择题 1.下列句子中，是命题的是（     ）。 A．明天可能是晴天 B．这两条直线平行吗？ C．过一点画已知直线的垂线 D．直角三角形两锐角互补 【答案】D 【分析】根据命题的概念“具有判断句的语义”，由此即可求解。 【详解】解：、明天可能是晴天，不是命题，故原选项不是命题，不符合题意； 、这两条直线平行吗？是疑问句，不是命题，故原选项不是命题，不符合题意； 、过一点画已知直线的垂线，是陈述句，不是命题，故原选项不是命题，不符合题意； 、直角三角形两锐角互补，是定理（性质），是命题，符合题意； 故选：。 2.某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可。 【详解】解：∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：A。 3.如图，直线被直线所截，，，则（     ）。 A．36° B．54° C．46° D．44° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，求得，即可求得。 【详解】解：如图， ， ， ，， ， ， 故选B。 4.如图，在中，，是边上一点，是的中点。若的垂直平分线经过点，，则为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键。 由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得。 【详解】解：∵的垂直平分线经过点， ∴， ∵，是的中点， ∴， 故选：C。 5.将一块含角的三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，根据对顶角相等可得到，，根据余角的定义可得到，最后根据三角形的内角和为，即可计算出的度数。 【详解】解：如图所示： 根据题意可得：，，， ， ， 故选：B。 6.如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　 ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质即可求解。 【详解】解：中，，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， 故选B。 7.如图，点、、在同一条直线上，，，，，，，则的长为（     ）。 A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】先证明，然后利用证明≌得到，，则。 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴≌， ∴，， ∴， 故选：B。 8.如图，是等边三角形，是边上的高，，分别是，的中点，连接、，则下列结论错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中线的性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练运用这些知识是关键。 由等边三角形三线合一的性质得，则可判定A；由直角三角形斜边上中线的性质得，可判定B；由是中线得，则可判定C；，则有，从而得，可判定D。 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，， 故选项A正确； ∵是的中点，是边上的高， ∴， 故选项B正确； ∵分别是一边上的中线， ∴，， ∴， 故选项C不正确； ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项D正确； 故选：C。 9.如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，B分别落在A1，B1的位置，A1B1交AD于点E，若∠BNM＝65°，以下结论：①∠B1NC＝50°；②∠A1ME＝50°；③A1M∥B1N；④∠DEB1＝40°。正确的个数有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得∠B1NM=∠BNM＝65°，再根据平角的定义可得∠B1NC，故可判断①；根据平行线的性质可得∠AMN＝115°，由折叠得∠A1MN＝115°，依据∠AMN+∠A1MN-180°=50°可判断②；由∠B1NM+∠A1MN=180°可判断③；根据直角三角形的两个锐角互余可得④。 【详解】解：在长方形纸片ABCD中，∠A=90°，AD∥BC， ∴∠BNM+∠AMN=180°， ∵∠BNM＝65°， ∴∠AMN＝115°， 由折叠的性质可得：∠B1NM=∠BNM＝65°，∠AMN＝∠A1MN＝115°， ∵∠BNM+∠B1NM+∠B1NC=180°， ∴∠B1NC＝50°；故①正确； ∵∠AMN＝∠A1MN＝115°， ∴∠A1ME＝∠AMN+∠A1MN-180°=50°，故②正确； ∵∠A1MN＝115°，∠B1NM＝65°， ∴∠B1NM+∠A1MN=180°， ∴A1M∥B1N，故③正确； ∵∠A1=∠A=90°， ∴∠A1ME+∠A1EM=90°， ∵∠A1ME=50°， ∴∠DEB1=∠A1EM＝40°，故④正确； 故选D。 10.如图，在中，，，，是的中点，两边、分别交于点，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中所有正确结论的序号为（     ）。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的性质等知识点，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证，推出，，即可判定①②，推出，求出，即可判定③，由，而只有是的中位线时，，即可判定④，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键。 【详解】中，，，是中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ①②正确，符合题意； ， ， ， ③正确，符合题意； 是等腰直角三角形，是的中点， ， 不是的中位线， ， 故④错误，不符合题意； 即正确的有①②③， 故选：A。 二、填空题 11.如图，中，，若，则__________。 【答案】60°/60度 【分析】根据平行线的性质求出∠B，再根据直角三角形的性质求出∠A。 【详解】解：∵CE∥AB，∠BCE=30°， ∴∠B=∠BCE=30°， ∵Rt△ACB中，∠ACB=90°, ∴∠A=60°， 故答案为60°。 12.若直角三角形斜边上的高是，面积是，则斜边的中线长是______。 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、直角三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的面积公式求出直角三角形的斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出直角三角形斜边的中线长。 【详解】解：设直角三角形斜边的长为， 直角三角形斜边上的高是，面积是， ， 解得：， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 斜边上的中线长是， 故答案为：。 13.如图，在中，。以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F。若，则的大小是______度。 【答案】20 【分析】根据作图过程得到，利用直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的两底角相等求解即可。 【详解】解：根据题意，得，则， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：20。 14.如图，在中，，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为______。 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据线段垂直平分线的性质可得，再由直角三角形的性质，可得，然后根据，可得，结合，可得，即可求解。 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵F为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4。 15.如图，已知，点是上一定点，点是射线上一动点，和的平分线，交于点，则_____。 【答案】/45度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识。根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，即可求出，根据三角形内角和定理即可求出。 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：。 16.如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动。点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是______。 【答案】2 【分析】本题考查三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，全等三角形的性质，关键是由三角形三边关系定理得到。连接，由勾股定理求出，由全等三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值。 【详解】解：连接， ，， ， ， 点M是的中点，点N是的中点，， ，， 由三角形三边关系定理得到：， 的最小值是， 故答案为：。 三、解答题 17.写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明。 【答案】解：有两个角互余的三角形是直角三角形。这个逆命题是真命题。 已知：在中，， 求证：是直角三角形， 证明：如图所示，在中，（三角形三个内角的和等于）。 （等式的性质）， 已知， （等量代换）， 是直角三角形。 【分析】本题考查写逆命题，并证明命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据命题写出已知，求证，进行证明即可。 【详解】略 18.如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使等于的一半。（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】如图，点即为所求； 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据作垂线的方法作图即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键。分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点；连接，交于点；则点即为所求。 【详解】解：根据作图可知，垂直平分， ∴为中点， ∵在中，， ∴。 19.在中，平分交于点D，，垂足为点H，若，，求的度数。 【答案】 【分析】根据三角形的角平分线算出，再根据三角形内角和定理算出，再根据算出，最后可算出。 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴。 20.如图，已知中，，E是的中点，垂直平分。 （1）求证：； （2）若，求的度数。 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2） 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等等，根据三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等推出是解题的关键。 （1）三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，由此得到； （2）根据等边对等角得到，，利用三角形外角的性质得到，则。 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴。 21.如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，求的度数。 【答案】。 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质可得，结合直角三角形的锐角互余，即可求解。 【详解】解：， ， ， ∴∠ACB′=3∠B， ∵折叠， ∴， ， ，， ，即， ， ∴。 22.如图，在，E、F分别是的中点，求证：。 【答案】证明：连接、，如图。 ，为的中点， ，， ， 又为的中点， 。 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的三线合一，正确连出辅助线是解题的关键。 连接、，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，即，再根据等腰三角形的三线合一即可得到结论。 【详解】略 23.如图，中，，，于，平分分别与，交于点，。 （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长。 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）4 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练运用等腰三角形及等边三角形的性质及判定是解题的关键。 （1）由可得，根据平分得，根据，得到，从而，即可得是等边三角形； （2）由是等边三角形得到，证明，得到，从而，由，可得。 【详解】（1）略 （2）解： 由（1）知是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 。 24.如图，在中，。 （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，为外的一点，连接，且，；过点作交的延长线于点．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点。点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接。若，请直接写出取得最小值时的值。 【答案】（1）6 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）过C作，交延长线于，根据等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得和，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，分别证明和得到，，再根据勾股定理求得，进而可证得结论； （3）由题意，，当共线时取等号，当点重合时，取得最小值，最小值为，此时的值为，如图2，取的中点，连接，，作于，根据直角三角形的斜边上的中线性质和勾股定理求解即可解答。 【详解】（1）解：过C作，交延长线于，则， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵在，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （3）解：由题意，，当共线时取等号， ∴当点重合时，取得最小值，最小值为，此时的值为， 如图2，取的中点，连接，，作于， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， 故取得最小值时的值为。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $