专题02 空间中的夹角和距离问题8大题型47题（期中专项训练）高二数学上学期沪教版

专题02 空间中的夹角和距离问题 基础·固本强基 题型一、求异面直线的夹角 题型二、求线面角（重点） 题型三、求二面角（重点） 题型四、求点到平面的距离（重点） 题型五、求平面到平面的距离 提升·进阶突破 题型六、已知线面角、二面角求其他（重点） 题型七、求线面角、二面角的取值范围（难点） 拔高·压轴破难 题型八、线面角、二面角的探索性问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、求异面直线的夹角 【模型】平移法模型：将异面直线平移至相交，把空间角转化为相交直线所成平面角，范围。 【步骤】①选点平移直线，构造相交角；②证明该角为异面直线夹角；③放入三角形，解三角形求角度。 【易错】求出钝角未取其补角；未证明构造出的角就是异面直线夹角，直接计算。 1．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在 中， 由余弦定理： 2．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，如图： 由题可知：，又为的中点，所以，则， 所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且， 又，所以， 所以. 故选：C 3．如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 【答案】/ 【详解】如图，取棱AC的中点F，连接EF，DF． 因为E，F分别是棱，AC的中点，所以， 则是异面直线DE与所成的角或其补角． 直三棱柱的所有棱长都相等，设，则， 则， 即异面直线DE与所成角的余弦值是． 4．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为___________. 【答案】 【详解】由题意可知，延长与平面交于点，延长与平面交于点，连接，即平面所在平面为平面，如图所示 因为平面平面，平面平面，又， 所以. 同理可证, 所以所成角的大小与所成角的大小相等， 在正方体中，， 所以是等边三角形， 所以所成角就是, 所以所成角的正弦值为. 故答案为：. 5．在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为_________. 【答案】 【详解】 设为中点，又E，F分别是AD，BC的中点，所以，， 故就是则异面直线AC与BD的夹角或其补角， ∵AC=BD=4，∴，又， ，故异面直线AC与BD的夹角为， 故答案为： 6．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，，且，是侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】(1)如图，连接，设与交于点， 在正方形中，为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，取中点，连接， 、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 由于，则，而，，则， 而，，则， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以直线与夹角的余弦值为. 题型二、求线面角 【模型】定义法模型：线面角为直线与其在平面内射影的夹角，是直线与平面中所有直线所成角的最小角，范围。 【步骤】①找直线上一点向平面作垂线；②连接垂足与斜足得到射影；③在直角三角形中求解线面角。 【易错】作垂线时无法证明垂直，直接认定射影；混淆线面角与斜线和平面内某条直线的夹角。 7．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则与侧面所成的角是________． 【答案】/ 【详解】如图所示，取的中点，连接，，，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 故与侧面所成角即为， 由侧棱长为，底面三角形的边长为，可得，， 故，所以， 所以与侧面所成的角是. 8．在四棱锥中，平面，底面是正方形.若，则直线与平面所成的角的大小为___________. 【答案】/ 【详解】如图，将四棱锥放入正方体内，不妨设，连接，相交于， 易知，，平面， 故平面，则为直线与平面所成的角， 在中，，，则， 即直线与平面所成的角为. 9．如图，已知是直角三角形且是圆锥的轴截面，点为下底面圆周上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为______． 【答案】/ 【详解】过点作，垂足为，连接， 易得平面，因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以与平面所成的角为， 设，所以， 因为为圆的直径，所以，则，，， 因为是直角三角形，所以，则， 因为平面，所以， 则与平面所成的角的正弦值为. 10．如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②． (1)求证：平面． (2)若平面，求直线与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)由图①得，折起后有， 且，平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为平面，而平面，所以， 由于垂直于底面，线段即为斜线在平面上的射影， 因此即为直线与平面所成的夹角， 在正方形中，边长为1，则， 且有，在中，， 则. 11．如图，在三棱台中，平面，，，． (1)证明：平面． (2)若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：因为平面，平面， 所以． 因为，，， 所以由可得， 则，所以． 因为，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为平面平面， 所以与平面所成的角即为与平面所成的角． 如图，取上靠近点A的三等分点M，连接，， 则，， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角． 因为，，， 所以， 即与平面所成角的正切值为． 12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，点是的中点，所以，平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为， 又，则， 设到平面的距离为，由，得到，解得， 设直线与平面所成的角为，则， 又，所以. 13．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是平行四边形，所以． 因为是边的中点，是边的中点，所以，则． 而平面，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略. （2）因为平面，，所以平面， 则点到平面的距离即为长. 而，所以点到平面的距离为． （3）因为平面，，平面，所以，， 则即为二面角的平面角，即．    因为，由余弦定理得， 即，解得，所以． 如图，过点作于点，连接． 因为平面，平面，所以． 而，，平面，所以平面． 在中，， 因为是边的中点，所以点到平面的距离是点到平面 距离的一半，即．   因为平面，平面，所以， 即四边形是直角梯形，由（1）知，． 在等腰三角形中，． 所以在直角梯形中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 题型三、求二面角 【模型】平面角模型：在棱上取点，分别在两个面内作棱的垂线，两条垂线的夹角即为二面角平面角。 【步骤】①找准二面角的棱；②在棱上取点，在两个面内作棱的垂线；③判断平面角是锐角或钝角，解三角形求值。 【易错】作两条垂线时未保证都垂直于棱；不判断二面角是锐角还是钝角，直接套用计算结果。 14．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，在阳马中，若平面ABCD，且，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面ABCD，底面为长方形， 所以,,, 所以平面， 所以, 所以就是二面角的平面角， 三角形是直角三角形，, 所以, , 所以二面角的余弦值为. 15．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为，，所以， 又，，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，，则， 所以，故二面角的余弦值为. 16．如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，，分别为，的中点，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：由侧面与侧面均为等边三角形，可知， 又为的中点， 所以，， 又，且平面， 故平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以，. 易知，所以为等腰直角三角形， 所以. 所以，则. 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以. 所以是平面与平面所成的角， 易知为等腰直角三角形， 又为的中点， 所以，故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17．如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． (2)． 【分析】 【详解】（1）略 （2）由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，， 中，，，， 由余弦定理得， 所以，所以， 又因为平面，所以平面， 而平面，所以， 所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 18．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又是的中点，所以， 又底面是矩形，则，所以， 又，平面， 所以平面， 平面，所以． (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2）由（1）知为二面角的平面角， 在中，，，， 则， 在中，， 记，则， 在中，，， 因为，即，， 设， ， 所以， 由余弦定理知 ， 故， 在中，由余弦定理得， 又，所以． 19．已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且为等边三角形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】(1)设正方形边长为，由已知得，且， 所以四边形为平行四边形． 则，又平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1），为边长为的等边三角形， 则，连接， 由为中点，得，． 又，平面，平面，平面平面， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 在三角形中，由余弦定理可得：， 所以，即平面与平面所成二面角的大小为. 题型四、求点到平面的距离 【模型】垂线段模型：点到平面距离是点向平面作垂线，点与垂足之间线段的长度。 【步骤】①过点作平面的垂线，确定垂足；②构造包含垂线段的三角形；③利用几何关系求出垂线段长度。 【易错】随意找垂足，没有证明线段垂直平面；不会利用面面垂直性质来找垂线。 20．已知正方体的棱长为2，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中、、都是正方形面的对角线，长度均为， 所以是边长为的正三角形，其面积为. 设点到平面的距离为，以为底面， 则四面体的体积. 换一个底面：取为底面、顶点为. 因为，，所以平面， 即到平面的距离就是； 而是直角边长均为的直角三角形，面积为. 所以同一个四面体的体积. 由解得. 21．如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________；若点在底面上的投影是，则点到平面的距离为________． 【答案】 / / 【详解】 如图，取中点为,连接,，，所以 ,因为，所以,, ,,所以,所以 因为平面,所以平面， 所以在底面投影是的中点， 取中点为,连接,则，所以直线与所成的角是直线与所成的角, , ,在中，由余弦定理得 所以直线与所成角的余弦值是； 底面面积：是中点，； 三棱锥体积 中，所以 ， 设到平面距离为，则 所以，所以 则点到平面的距离是. 22．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)因为点C在底面圆周上，是圆O的直径， 所以，即，     因为垂直于圆O所在的平面，平面，所以，     又，平面，平面，所以平面，     又平面，所以． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，过点A作，交于点H， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，平面，平面，所以平面， 则的长度即是点A到平面的距离．     在中，，     由，即， 解得，即点A到平面的距离为．     方法二：由题可得．     设点A到平面的距离为h， 由题意知，即，     即，解得， 即点A到平面的距离为． 23．如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) 因为，，，所以，故， 取的中点，连接，如图所示： 因为，故， 又因为，即，故四边形为平行四边形，所以且， 因为，故，即， 所以， 因为，所以，故， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，故，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为，则， 取的中点，连接，如下图所示： 因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以， 因为，故， 因为平面，平面，所以，故， 由得，解得， 故点到平面的距离为. 24．如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，是的中点，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)若，异面直线与所成角的余弦值为，求此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接， 在中，、分别为、的中点，因此， 取中点，连接、， 因为为等边三角形，是中点，由三线合一得 ， 而因为是中点，是中点，故是的中位线，因此 ， 由为等腰直角三角形，且，得，， 在平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与垂直， 因此与重合，即、、三点共线，故， 因此， 又平面，平面，由线面平行的判定定理得平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）过点作，且，连接、， 则即为异面直线与所成的角，由题意， 由且，得四边形为平行四边形，故， 因平面，平面，故，， 设，则，， 在中，由余弦定理，， 化简得，解得，即， 因，，故、都在平面内， 因此平面与平面是同一个平面， 点到平面的距离等价于点到平面的距离，设为， 因为，在底面内，到底面的距离即为， 由（1）知，垂足为，则 ，为点到直线的距离， 等边的高，中位线，故， 因此的面积，， 因此， 由平面得，又，且，故平面， 因平面，所以，即是中边上的高， 在中，，，故， 因此的面积，， 由，代入得， 则.    题型五、求平面到平面的距离 【模型】面面平行模型：只有两平面平行才有距离，转化为一个平面内任意一点到另一平面的距离。 【步骤】①先证明两平面互相平行；②在一个平面任选一点；③求该点到另一个平面的距离。 【易错】两平面不平行时也求面面距离；直接取面上两点连线当作面面距离。 25．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解. 26．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于______. 【答案】 【详解】如图所示， 取中点，中点，连接，，，， 是等边三角形，是等腰直角三角形，， ，， 又，，平面， 所以平面， ∵，， 又， ，平面，∴平面， 所以四点共面，平面， 又平面，平面， 平面平面，平面平面， 因为，平面，所以平面，又平面， 所以平面平面， 又平面，平面，， 又平面平面，且平面平面，平面平面， ， 则作出平面如图所示， 设，则，， 又，，， ，，，， 设过点作与，分别交于点，， 则即为两平面间距离，. 故答案为：. 27．已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 【答案】(1) 由平面，平面，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则平面平面； (2) 依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面， 由（1）知平面，则平面，， 所以平面，平面， 由平面，平面，平面平面， 所以，又点为的中点，则是的中点， 所以平面到平面的距离为. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 28．（1.4.3空间向量的应用--距离问题）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1) 证明：法一:连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系， 则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 29．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明： 由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2）由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 提升·进阶突破 题型六、已知线面角、二面角求其他 【模型】条件反推模型：将已知角度作为条件，还原对应的直角三角形，反向推导边长或位置关系。 【步骤】①根据角度定义，画出对应的空间角；②列出边角关系式；③解三角形，求出目标线段或角度。 【易错】还原空间角时图形构造错误；混淆各类空间角的定义，列错边角等式。 30．如图所示，圆柱的底面半径为r，矩形是轴截面，，若直线与截面所成的角为，则圆柱的母线长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，取中点，连接， 由题知，矩形是轴截面，则且，所以四边形为平行四边形， 则，所以直线与截面所成的角，即直线与截面所成的角， 又，则为等边三角形，所以， 由是轴截面，则平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 所以为直线与截面所成的角，即， 易知，所以，在中，，则， 在中，，即圆柱母线长为. 31．在正四棱锥中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱锥的体积是_______． 【答案】32 【详解】设，连接， 可知平面，则侧棱与底面所成角大小为， 由题意可得：，即，解得， 则， 所以该正四棱锥的体积. 故答案为：32. 32．如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，设. (1)证明：平面； (2)直线与平面所成的角为，求的值 【答案】(1)证明：连接， 在中，、分别为、的中点，则为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角为， 因为三棱柱为直三棱柱，则平面， 又平面，所以， 因为，则， 又，、平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，即， 在中，， 又，，所以. 33．如图，在直三棱柱中， 分别为的中点， (1)证明：平面 (2)设直线与平面所成的角为， 求长度. 【答案】(1)证明：在 中，、 分别为 、 中点， 由三角形中位线定理得：. 又 平面 ，平面 ， 根据线面平行的判定定理，可得平面 . (2) 【详解】（1）略 （2）因为几何体为直三棱柱，所以侧棱 底面 , 由线面角定义：斜线 与平面 所成角为其射影 与 的夹角，即 , 在 中，， 故 为等腰直角三角形，, 由于 ，， 根据勾股定理：, 又因为 为 中点，所以 . 34．在四棱锥中，分别为的中点，平面，.    (1)若平面，求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求的长. 【答案】(1)证明: 因为平面，又面，所以， 又，，面， 所以面，又面， 所以， 又平面，面，面面，所以， 故，又是的中点， 所以. (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2）过作面于，连接， 则为直线与平面所成的角，所以， 又，所以， 设，由（1）知，所以， 又平面，面，所以，又为中点， 所以，又，所以， 得到，又，所以，得到， 又，由， 得到，整理得到， 所以.    35．如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点． (1)证明：平面与平面的交线平面； (2)若，二面角的正切值为，求的长． 【答案】(1)因为分别是的中点，所以， 因为平面，平面，则平面， 又因为平面，而平面平面，所以， 而平面，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）延长，过作于点，连接，过作于点， 由， ，则 ， 又面，且，则面， 又平面，则， 所以为二面角的平面角， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 设，又二面角的正切值为，则，得， 在中，， 则为等腰直角三角形， 又分别是的中点，则，所以， 在中，，代入得，解得． 所以. 题型七、求线面角、二面角的取值范围 【模型】动态几何模型：分析动点或动平面变化，抓住角的变化边界，确定角度上下限。 【步骤】①分析动点运动规律；②找到角度最大、最小的临界位置；③结合定义写出角度取值范围。 【易错】忽略角度本身自带定义范围；找错临界位置，导致范围端点出错。 36．在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正方体棱长为2，平面，当点是靠近点的四等分点时，， 则平面，此时直线与平面所成角的正弦值最大为1， 当点与重合时，此时最长，即,点到平面的距离为，此时直线即与平面所成角的正弦值最小，为， 所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.    故选：D 37．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________．    【答案】 【详解】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，      由正方体，E，N分别为，的中点， 易知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF， 因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面， 因为P是底面上一点，且平面，所以点， 由分别为的中点，且，，则，，即， 由，则 在等腰中，底边上的高， 则AP的长度的取值范围为， 设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题. 38．三棱锥的各面展开图如图所示，其中是边长为的等边三角形，．是棱上的动点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意作出三棱锥的直观图如下图所示： 由题意可知，三棱锥为正三棱锥，设点在底面的射影为点， 取的中点，连接、，则为等边的中心， 为等边三角形，为的中点，则， 且，， 平面，平面，， ， ， ， ，为的中点，， 且， ， 设点到平面的距离为，则， 即，解得， 当点与点重合时，取最小值，当点与点、重合时，取最大值， ，. 故选：D. 39．如图，在三棱锥中，平面平面ABC，平面平面ABC，且，    (1)求证：平面ABC，并求三棱锥体积的最大值; (2)当时，求平面PAB与平面PBC所成角的正切值的取值范围. 【答案】(1) 证明：作交AB于点D， AI 平面平面ABC，平面平面，平面ABC 平面PAB，又平面PAB 又平面平面ABC，平面平面，，平面ABC 平面PAC，又平面ABC， ，又 所以平面ABC； 由于平面ABC，所以三棱锥的高为. 设，，则根据勾股定理，有. 三棱锥的体积. 要使体积最大，需要 xy最大 根据，利用均值不等式，有， 当且仅当时取等号. 因此，三棱锥体积的最大值为. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由知平面PAB，作交PB于点E，连结CE 平面PAB， 平面CDE，又平面CDE 是平面PAB与平面PBC所成的角， 在中， 设，，则 在中，，又 又，则 40．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.    (1)求证：平面平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围. 【答案】(1) 由，，，可知， 故； 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故平面平面； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面， 故，而，底面是平行四边形， ，，故， ； 设点D到平面的距离为d， 由， 得, 解得， 设直线与平面所成角为，则，而， 故； （3）作于M，作于N，连接，      由于平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面， 故，而，平面， 故平面，则即为二面角的平面角； 设，，则， ， 由于，可得， 又，则， 故在中，， 设，则 ， 由于，故，则， 即二面角的正切值的取值范围为. 拔高·压轴破难 题型八、线面角、二面角的探索性问题 【模型】逆向假设模型：先假设满足条件的点/线存在，构造对应的空间角，再推理求解验证。 【步骤】①假设存在符合条件的位置；②构造线面角或二面角，建立边角关系；③计算结果并检验合理性。 【易错】缺少验证步骤；构造空间角时定理使用不严谨，推理逻辑断裂。 41．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？    【答案】存在； 【详解】假设线段上存在点F，使直线与平面所成的角为， 因为平面，平面，则， 又底面是矩形，则， 又平面，，则平面，即平面，    故就是直线与平面所成的角， 又平面，平面，则， 则，故， 故当时，在线段上是存在点F，使直线与平面所成的角为； 综上，存在F点，使直线与平面所成的角为，． 42．如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点G为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)已知为平面内过点的一条直线，交为，设．是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)延长交于，连接． ，，， ，， ∵点为等边的重心，，为的中点， ，平面，， 平面，即平面； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）∵正三角形中，，，， ， ，，， ，， ； （3）作于，连接．   平面，平面，， ，平面，，平面， ，， ， 与所成角的正弦值为，且，   ，， 过点作交于，所以与所成角的正弦值为． ，，即． 43．如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置． (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析，. 【分析】 【详解】（1）证明：∵且O是的中点， ∴，即， 又∵，平面平面，∴平面． （2）在平面内，作于点D，则由（1）可知， 又平面，即是三棱锥的高， 又，∴当D与O重合时，三棱锥的体积最大， 此时平面, 过O作于点H，连接，如图, 由（1）知平面，又平面， ∴， ∵，∴平面，平面，, ∴即为二面角的平面角． 在中，， ∴， ∴，故二面角的余弦值为.. （3）假设在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为， 如图，连接， 在（2）的条件下，平面, 故平面，∴与平面所成的角为， ∴，∴， 又在中，,, 则，故, 而，∴，∴， ∴， 即故在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为，此时. 44．如图，在四棱锥中，平面，平面，于，，. （1）求证：； （2）若，，在线段上是否存在一点，使得平面，且直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见详解（2）存在， 【分析】 【详解】（1）平面，在平面上，所以，， 又，交于，所以，平面，所以， （2）由题可知，，又，所以，，，要证平面，由题设可知平面，则，即证， 作，在中，由等面积法可知， ,直线与平面所成角正弦值即为 ，此时 【点睛】 本题考查线面垂直的证明，由线面垂直和线面角反求满足条件的点具体位置，逻辑推理与数学计算能力，属于中档题 45．如图，在四棱锥中，△为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 46．如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明： 如图1，在梯形ABCD中，取边AB的中点，连接CF． 因为，所以， 所以四边形AFCD是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且，所以平面 (2) (3)不存在，理由如下： 假设存在满足条件的点． 如图2，作，垂足为，作，垂足为． 由（2）可知平面平面ABC，又，且平面平面， 所以EH平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，且平面，，所以平面EHK． 因为平面EHK，所以，则为二面角的平面角． 设，则． 因为，且，所以，则． 易证，则，故． 由题意可得，则． 因为平面ABC，且平面ABC，所以， 所以， 则，解得，故． 因为在棱PC上，所以，所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为． 【分析】 【详解】（1）略； （2）如图2，取棱AC的中点，连接PG， 由（1）可知平面PAC，且平面ABC，则平面平面ABC， 因为，且为线段AC的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积． （3）不存在，理由略. 47．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． (1)当侧面底面时，求点到平面的距离； (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】 【详解】（1）在中，，所以， 因为在直角梯形中，，，， 所以，所以四边形为正方形， 所以，， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 连接，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 设点到平面的距离为，由题意得， 则， 因为，所以， 所以，解得， 所以点到平面的距离为； （2）过作交于点， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 作交于点，连接， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面， 所以，所以为二面角的平面角， 则，所以， 所以， 连接，交于点，因为四边形为正方形，所以， 所以，设， 由，得，得， 因为，所以，解得， 因为底面，底面，所以 所以，所以，即, 所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为， 此时. 【点睛】关键点点睛：此题考查点面距离的求解，考查二面角，考查平面图形折叠成空间图形问题，解题的关键是弄清折叠前后边角间的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. $专题02 空间中的夹角和距离问题 基础·固本强基 题型一、求异面直线的夹角 题型二、求线面角（重点） 题型三、求二面角（重点） 题型四、求点到平面的距离（重点） 题型五、求平面到平面的距离 提升·进阶突破 题型六、已知线面角、二面角求其他（重点） 题型七、求线面角、二面角的取值范围（难点） 拔高·压轴破难 题型八、线面角、二面角的探索性问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、求异面直线的夹角 【模型】平移法模型：将异面直线平移至相交，把空间角转化为相交直线所成平面角，范围。 【步骤】①选点平移直线，构造相交角；②证明该角为异面直线夹角；③放入三角形，解三角形求角度。 【易错】求出钝角未取其补角；未证明构造出的角就是异面直线夹角，直接计算。 1．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 4．平面过正方体的顶点平面平面，平面，则所成角的正弦值为___________. 5．在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为_________. 6．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，，，且，是侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 题型二、求线面角 【模型】定义法模型：线面角为直线与其在平面内射影的夹角，是直线与平面中所有直线所成角的最小角，范围。 【步骤】①找直线上一点向平面作垂线；②连接垂足与斜足得到射影；③在直角三角形中求解线面角。 【易错】作垂线时无法证明垂直，直接认定射影；混淆线面角与斜线和平面内某条直线的夹角。 7．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则与侧面所成的角是________． 8．在四棱锥中，平面，底面是正方形.若，则直线与平面所成的角的大小为___________. 9．如图，已知是直角三角形且是圆锥的轴截面，点为下底面圆周上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为______． 10．如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②． (1)求证：平面． (2)若平面，求直线与平面夹角的余弦值． 11．如图，在三棱台中，平面，，，． (1)证明：平面． (2)若H为的中点，求与平面所成角的正切值． 12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 13．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 题型三、求二面角 【模型】平面角模型：在棱上取点，分别在两个面内作棱的垂线，两条垂线的夹角即为二面角平面角。 【步骤】①找准二面角的棱；②在棱上取点，在两个面内作棱的垂线；③判断平面角是锐角或钝角，解三角形求值。 【易错】作两条垂线时未保证都垂直于棱；不判断二面角是锐角还是钝角，直接套用计算结果。 14．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，在阳马中，若平面ABCD，且，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求二面角所成角的余弦值． 16．如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，，分别为，的中点，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的正切值． 18．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 19．已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且为等边三角形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的大小． 题型四、求点到平面的距离 【模型】垂线段模型：点到平面距离是点向平面作垂线，点与垂足之间线段的长度。 【步骤】①过点作平面的垂线，确定垂足；②构造包含垂线段的三角形；③利用几何关系求出垂线段长度。 【易错】随意找垂足，没有证明线段垂直平面；不会利用面面垂直性质来找垂线。 20．已知正方体的棱长为2，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________；若点在底面上的投影是，则点到平面的距离为________． 22．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，且，． (1)求证：； (2)求点A到平面的距离． 23．如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离． 24．如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，是的中点，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)若，异面直线与所成角的余弦值为，求此时点到平面的距离． 题型五、求平面到平面的距离 【模型】面面平行模型：只有两平面平行才有距离，转化为一个平面内任意一点到另一平面的距离。 【步骤】①先证明两平面互相平行；②在一个平面任选一点；③求该点到另一个平面的距离。 【易错】两平面不平行时也求面面距离；直接取面上两点连线当作面面距离。 25．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（    ） A． B． C． D． 26．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于______. 27．已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 29．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 提升·进阶突破 题型六、已知线面角、二面角求其他 【模型】条件反推模型：将已知角度作为条件，还原对应的直角三角形，反向推导边长或位置关系。 【步骤】①根据角度定义，画出对应的空间角；②列出边角关系式；③解三角形，求出目标线段或角度。 【易错】还原空间角时图形构造错误；混淆各类空间角的定义，列错边角等式。 30．如图所示，圆柱的底面半径为r，矩形是轴截面，，若直线与截面所成的角为，则圆柱的母线长为（     ）    A． B． C． D． 31．在正四棱锥中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱锥的体积是_______． 32．如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，设. (1)证明：平面； (2)直线与平面所成的角为，求的值 33．如图，在直三棱柱中， 分别为的中点， (1)证明：平面 (2)设直线与平面所成的角为， 求长度. 34．在四棱锥中，分别为的中点，平面，.    (1)若平面，求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求的长. 35．如图，在三棱锥中，，，，，、分别为、中点． (1)证明：平面与平面的交线平面； (2)若，二面角的正切值为，求的长． 题型七、求线面角、二面角的取值范围 【模型】动态几何模型：分析动点或动平面变化，抓住角的变化边界，确定角度上下限。 【步骤】①分析动点运动规律；②找到角度最大、最小的临界位置；③结合定义写出角度取值范围。 【易错】忽略角度本身自带定义范围；找错临界位置，导致范围端点出错。 36．在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________．    38．三棱锥的各面展开图如图所示，其中是边长为的等边三角形，．是棱上的动点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．如图，在三棱锥中，平面平面ABC，平面平面ABC，且，    (1)求证：平面ABC，并求三棱锥体积的最大值; (2)当时，求平面PAB与平面PBC所成角的正切值的取值范围. 40．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.    (1)求证：平面平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围. 拔高·压轴破难 题型八、线面角、二面角的探索性问题 【模型】逆向假设模型：先假设满足条件的点/线存在，构造对应的空间角，再推理求解验证。 【步骤】①假设存在符合条件的位置；②构造线面角或二面角，建立边角关系；③计算结果并检验合理性。 【易错】缺少验证步骤；构造空间角时定理使用不严谨，推理逻辑断裂。 41．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点Q是PC的中点．在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面所成的角为？若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由？    42．如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点G为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)已知为平面内过点的一条直线，交为，设．是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 43．如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置． (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长． 44．如图，在四棱锥中，平面，平面，于，，. （1）求证：； （2）若，，在线段上是否存在一点，使得平面，且直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 45．如图，在四棱锥中，△为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 46．如图1，在等腰梯形ABCD中，，将沿边AC翻折，使点翻折到点，连接PB，得到三棱锥，如图2，其中． (1)证明：平面PAC． (2)若，求三棱锥的体积． (3)若，试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出CE的长度；若不存在，请说明理由． 47．如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）． (1)当侧面底面时，求点到平面的距离； (2)在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． $