期中真题重组卷（上海专用，沪教版必修第一册第1-3章）高一数学上学期模拟卷

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2.“若，则且” 3. 4. 5. 或 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 8 12. 123 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A D A D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17． 【详解】（1）原式 . 7分 （2）令，则， ，， 又，， 即. 14分 18． 【详解】（1）由，得，解得， 所以， 3分 当时，，， ， ，即. 7分 （2）若，分两种情况讨论， ①当时，有，解得，满足， 9分 ②当时，，即， 要满足，则或， 由，得，与无交集，无解， 由得，符合， 综上，的取值范围是. 14分 19． 【详解】（1）证明：令，则. ，. . 6分 （2）解：由，得. ，则. 由，得. 10分 所以，解得或（舍去），得. 从而. 所以存在. 14分 20． 【详解】（1）当时，不等式，解得或， 所以所求解集为或. 4分 （2）不等式， 当时，不等式的解集为， 由中恰有3个整数，得，解得，则； 6分 当时，不等式的解集为， 由中恰有个整数，得，解得，则； 8分 当时，不等式的解集为，不合题意， 所以实数的取值范围是或. 10分 （3）当时，不等式恒成立， 而，因此不等式对恒成立， 13分 设，则， ， 15分 当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 18分 21． 【详解】（1）由题可知中所有与正交的元素为 . 4分 (2) 对于，存在，,使得． 令,, 7分 当时,,当时,． 那么． 所以为偶数． 10分 （3）不妨设,则与正交． 假设且它们互相正交． 设a,b,c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外． a,b相应位置数字都相同的共有m个, b,c相应位置数字都相同的共有n个, 则． 14分 所以,同理． 可得． 由于, 可得矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上, A中最多可以有2个元素． 18分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章 第一部分（选择题 共30分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（2025-26 高一上·上海闵行·期中）设全集，集合，，则________． 2．（2025-26 高一上·上海徐汇·期中）用反证法证明：“若，则或”时，应假设____________. 3．（2025-26 高一上·上海静安·期中）已知 ，则 的值为______． 4．（2025-26 高一上·上海徐汇·期中）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 5．（2025-26 高一上·上海虹口·期中）不等式的解集为__________. 6．（2025-26 高一上·上海闵行·期中）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 7．（2025-26 高一上·上海奉贤·期中）已知，，且，则的最小值为____________． 8．（2025-26 高一上·上海虹口·期中）已知，且，则n的取值集合为______. 9．（2025-26 高一上·上海青浦·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是________ 10．（2025-26 高一上·上海长宁·期中）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 11．（2025-26 高一上·上海普陀·期中）已知，，，则______． 12．（2025-26 高一上·上海嘉定·期中）已知集合，集合满足：①每个集合恰有个元素；②．若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值为___________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（2025-26 高一上·上海宝山·期中）若，，设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2025-26 高一上·上海静安·期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．16 B． C．8 D．4 15．（2025-26 高一上·上海宝山·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2025-26 高一上·上海宝山·期中）若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（2025-26 高一上·上海松江·期中）（1）不用计算器求值：； （2）运用幂的性质证明：若，，则． 18．（2025-26 高一上·上海徐汇·期中）设全集，集合，集合，其中 (1)若，求 (2)若，求的取值范围． 19．（2025-26 高一上·上海长宁·期中）（1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 20．（2025-26 高一上·上海杨浦·期中）已知二次函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21．（2025-26 高一上·上海闵行·期中）已知集合，，其中．定义．若，则称与正交． (1)若，写出中与正交的所有元素； (2)令．若，求证：为偶数； (3)若，且A中任意两个元素均正交，则A中最多可以有多少个元素？并说明理由． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1章~第3章 第一部分（选择题 共30分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．（2025-26 高一上·上海闵行·期中）设全集，集合，，则________． 【答案】 【详解】已知， 由得，解得或， 即，，故. 2．（2025-26 高一上·上海徐汇·期中）用反证法证明：“若，则或”时，应假设____________. 【答案】“若，则且” 【详解】反证法是先假设结论不成立，所以用反证法证明：“若，则或”时，应假设“若，则且”. 故答案为：“若，则且” 3．（2025-26 高一上·上海静安·期中）已知 ，则 的值为______． 【答案】 【详解】由 得 ； 由 得 . 所以 . 4．（2025-26 高一上·上海徐汇·期中）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【详解】. 5．（2025-26 高一上·上海虹口·期中）不等式的解集为__________. 【答案】或 【详解】由，得， 则，解得，故不等式的解集为. 6．（2025-26 高一上·上海闵行·期中）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】 由“是的充分不必要条件”，可得，分两类讨论： 当时，空集是任意非空集合的真子集，满足，此时区间左端点大于右端点： ，解得； 当时，需同时满足非空、的所有元素均属于，列不等式组 ，解第一个不等式得，解第二个不等式得，解第三个不等式得，取交集得， 由于与无法同时成立，故该区间内的取值均满足， 综上，的取值范围为. 7．（2025-26 高一上·上海奉贤·期中）已知，，且，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】观察，可知， 其中 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 8．（2025-26 高一上·上海虹口·期中）已知，且，则n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意知n为方程的根，当时，； 当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得， 此时，即. 综上所述：的取值集合为. 9．（2025-26 高一上·上海青浦·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是________ 【答案】 【详解】集合或，， 当时，，满足； 当时，，若，则，即； 当时，，若，则，即， 综上，的取值范围是. 10．（2025-26 高一上·上海长宁·期中）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】设， 由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示点到点的距离， 所以表示数轴上点到点和点的距离之和， 根据“两点之间线段最短”，当点位于点和点之间（包含端点）时，取得最小值，最小值为点到点的距离，即， 要使不等式对任意 恒成立， 只需的最小值大于或等于，即， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是. 11．（2025-26 高一上·上海普陀·期中）已知，，，则______． 【答案】8 【详解】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 12．（2025-26 高一上·上海嘉定·期中）已知集合，集合满足：①每个集合恰有个元素；②．若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值为___________． 【答案】123 【详解】因集合满足：①每个集合恰有个元素；②. 故集合中一定分别含有个不同数值. 由题意， 中最大的三个数为， 所以， 当且仅当三个集合最大数恰好为，取等号； 此时，三个集合除去各自最大值外，每组还需要个元素， 全集中最小元素必须作为其中一个集合的最小值， 要保证余下两个集合的最小值尽可能大可将剩余数分为连续三段，每段个数： ， 搭配三个最大值， 可得， 此时， 则取得最大值为. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．（2025-26 高一上·上海宝山·期中）若，，设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性证明： 已知，， 对不等式： 当时，解集；当时，解集 同理，不等式的解集为或； 若，则两个解集的边界点相等，即，整理得，充分性成立. 必要性证明： 若，取反例：令，，则不等式的解集； 令，，此时， 但不等式的解集，显然，故必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 14．（2025-26 高一上·上海静安·期中）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．16 B． C．8 D．4 【答案】D 【详解】由正数满足，可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以 又由， 所以的最小值为. 故选：D. 15．（2025-26 高一上·上海宝山·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】或，又， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，． 16．（2025-26 高一上·上海宝山·期中）若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需， 所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需， 所以， 联立即， 计算. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（2025-26 高一上·上海松江·期中）（1）不用计算器求值：； （2）运用幂的性质证明：若，，则． 【详解】（1）原式 . 7分 （2）令，则， ，， 又，， 即. 14分 18．（2025-26 高一上·上海徐汇·期中）设全集，集合，集合，其中 (1)若，求 (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）由，得，解得， 所以， 3分 当时，，， ， ，即. 7分 （2）若，分两种情况讨论， ①当时，有，解得，满足， 9分 ②当时，，即， 要满足，则或， 由，得，与无交集，无解， 由得，符合， 综上，的取值范围是. 14分 19．（2025-26 高一上·上海长宁·期中）（1）已知，，求证： （2）已知，,是否存在一个正数，使得？若存在，请求出，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：令，则. ，. . 6分 （2）解：由，得. ，则. 由，得. 10分 所以，解得或（舍去），得. 从而. 所以存在. 14分 20．（2025-26 高一上·上海杨浦·期中）已知二次函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，不等式，解得或， 所以所求解集为或. 4分 （2）不等式， 当时，不等式的解集为， 由中恰有3个整数，得，解得，则； 6分 当时，不等式的解集为， 由中恰有个整数，得，解得，则； 8分 当时，不等式的解集为，不合题意， 所以实数的取值范围是或. 10分 （3）当时，不等式恒成立， 而，因此不等式对恒成立， 13分 设，则， ， 15分 当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 18分 21．（2025-26 高一上·上海闵行·期中）已知集合，，其中．定义．若，则称与正交． (1)若，写出中与正交的所有元素； (2)令．若，求证：为偶数； (3)若，且A中任意两个元素均正交，则A中最多可以有多少个元素？并说明理由． 【详解】（1）由题可知中所有与正交的元素为 . 4分 (2) 对于，存在，,使得． 令,, 7分 当时,,当时,． 那么． 所以为偶数． 10分 （3）不妨设,则与正交． 假设且它们互相正交． 设a,b,c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外． a,b相应位置数字都相同的共有m个, b,c相应位置数字都相同的共有n个, 则． 14分 所以,同理． 可得． 由于, 可得矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上, A中最多可以有2个元素． 18分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $