2026-2027学年高一上学期期中模拟练习卷（上海专用）（测试范围：沪教版必修第一册1-4单元）

2026-2027学年高一期中模拟练习卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版必修一1—4章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知命题，，则为__________． 2．淮北一中第届秋季田径运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有人，报名径赛的学生有人，田赛和径赛都报名的有人，另外还有人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为_________． 3．已知，，则的取值范围为__________． 4．不等式的解集是___________________. 5．___________． 6．已知，，则__________． 7．已知，，若，且，则__________． 8．命题，是假命题．则实数的取值范围是_______． 9．已知，若，，则__________． 10．已知，则______． 11．设为实数，已知二次函数有两个零点，且都在区间内，则的取值范围是______. 12．已知，且满足，，则______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13．集合，，则等于（     ） A． B． C． D． 14．已知，，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 15．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 16．对于，设非空集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，不正确的是（     ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．不存在实数，使得 D．恰存在1个实数，使得 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．设为实数，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 18．（1）已知，，证明：． （2）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为元，且每件产品平均仓储时间天，设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． （i）写出关于的函数解析式． （ii）当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 19．计算： (1) (2) 20．某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，房顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为. (1)设房屋总造价为元，请写出与之间的函数关系式； (2)怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少? 21．对于非空实数集，若满足以下两个条件，则称M为“极闭集”： ①M中至少含有2个元素，且； ②对于M中任意两个不相等的元素x，y，定义，且． (1)判断集合与区间是否为“极闭集”，并说明理由； (2)若M是“极闭集”，证明：集合M中不可能所有元素都小于1； (3)证明：不存在任何有限的“极闭集”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一期中模拟练习卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版必修一1—4章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知命题，，则为__________． 【答案】 ， 【详解】命题，，则为，，， 2．淮北一中第届秋季田径运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有人，报名径赛的学生有人，田赛和径赛都报名的有人，另外还有人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为_________． 【答案】 【详解】报名田赛的学生有人，报名径赛的学生有人，田赛和径赛都报名的有人； 只报名田赛的有(人)， 只报名径赛的有(人)， 所以，该班级共有学生人数为. 3．已知，，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由题可得：，， 所以，则的取值范围为. 4．不等式的解集是___________________. 【答案】 【详解】由，得，解得. 所以不等式的解集为. 5．___________． 【答案】/ 【详解】. 6．已知，，则__________． 【答案】/ 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 7．已知，，若，且，则__________． 【答案】/1.5 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 8．命题，是假命题．则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由题意，是真命题， 当时，恒成立，满足， 当时，只需， 综上，. 9．已知，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查对数换元法与指数方程联立求解，核心思路是“先通过换元法将对数方程转化为二次方程求出 a、b 的倍数关系，再代入指数方程联立求解具体值”，最后计算 a-b. 【详解】设 ，因为 ，所以 .由换底公式，. 代入已知条件 ，得 . 得 ，整理为 . 得 或 . 因为 ，舍去 ，所以 ，即 ，因此 . ，将 代入右边，得 . 化为 . 因为底数 ，指数函数 单调递增，所以指数相等：. 联立 与 ，得 ，即 ，. 因为 ，所以 ，代入 得 . . 【点睛】对数差问题优先用换元法转化为二次方程求解，求出 a、b 的倍数关系后，再代入指数方程联立求出具体值，注意利用底数大于1时指数函数的单调性. 10．已知，则______． 【答案】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 11．设为实数，已知二次函数有两个零点，且都在区间内，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据二次函数两个零点均小于0的性质，结合判别式、韦达定理列不等式组，求解后取交集即可得到m的取值范围. 【详解】因为二次函数有两个零点，且都在区间内， 所以有，解得或， 综上所述，的取值范围是. 12．已知，且满足，，则______． 【答案】/ 【分析】对两个已知方程进行变形，构造出同一个函数的形式，再利用函数的单调性求解. 【详解】由，可得：，即， 由可得：，即，则， 令，则，代入上式：，即， 构造函数，所以在上严格单调递增. 因为，所以，即. 所以. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13．集合，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式得到集合，再利用并集的定义求解即可. 【详解】对于，解得，所以， 又， 所以. 14．已知，，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由和基本不等式即可求解. 【详解】已知，，且， 则根据基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立， 此时满足条件，所以的最小值是. 15．在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 16．对于，设非空集合，记中的所有元素之和为，所有元素之积为，则下列说法中，不正确的是（     ） A．存在实数，使得 B．存在实数，使得 C．不存在实数，使得 D．恰存在1个实数，使得 【答案】D 【分析】本题解题核心是分式为 0 需满足分子为 0 且分母不为 0，要剔除增根.结合根与系数的关系得到二次方程两根的和与积，根据增根是否出现分情况确定集合元素，再对各选项逐一验证，容易忽略增根带来的集合元素变化，造成和、积计算错误. 【详解】分式值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0，分子的根为以及二次方程的两根，由根与系数的关系得，分母限制，需要剔除等于的根. 对于选项 A，取为增根舍去，集合，元素之和，故 A 正确； 对于选项 B，当无增根时，令得，验证无增根，存在这样的，B 正确； 对于选项 C，若，则，代入分子得，但时分母，为增根，0 不能属于集合，故不存在使，C 正确； 对于选项 D，当无增根时令得；当时舍去，集合，，得到两个满足条件的； 当是二次方程的根且不等于52时，令，解得，验证符合条件，因此存在3个满足条件的，D 错误. 【点睛】分式方程求根务必注意分母不为 0 带来的增根剔除，集合元素具有互异性，分类讨论不能遗漏增根情形. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．设为实数，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据参数求出集合，再根据并集和补集的概念，求出结果； （2）根据题目条件，判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出结果. 【详解】（1）当时，可得，则，所以. （2）由，可知， 可知，可得或，解得或， 即实数的取值范围为. 18．（1）已知，，证明：． （2）某工厂分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为元．若每批生产件产品，每件产品每天的仓储费用为元，且每件产品平均仓储时间天，设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为元． （i）写出关于的函数解析式． （ii）当为何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）因为，，所以 ， 当且仅当时等号成立，故不等式成立. （2）（i）；（ii）当时，取得最小值. 【分析】（1）利用作差法证明即可； （2）（i）计算出平均每件产品的生产准备费用和仓储费用，可得出关于的函数解析式； （ii）利用基本不等式可求得的值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）（i）平均每件产品的生产准备费用为元，仓储费用为（元）， 因此，其中为每批产品的件数，故． （ii）由于，由基本不等式得． 当且仅当，即时等号成立， 所以每批生产件产品时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，最小值为元． 19．计算： (1) (2) 【答案】(1)100 (2)2 【分析】（1）将指数幂进行整理，根据指数幂的运算法则，即可求解； （2）根据对数的运算法则，和对数恒等式，即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . 20．某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，房顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为. (1)设房屋总造价为元，请写出与之间的函数关系式； (2)怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少? 【答案】(1)，其中 (2)当房屋正面长为、侧面宽为时总造价最低，最低总造价为元 【分析】（1）求出房屋的宽，再结合题意可得出与之间的函数关系式以及的取值范围； （2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为房屋的地面面积为，其中房屋的长为，则房屋的宽为， 由题意可知，其中. （2）由基本不等式得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以房屋正面长为、侧面宽为时总造价最低，最低总造价为元. 21．对于非空实数集，若满足以下两个条件，则称M为“极闭集”： ①M中至少含有2个元素，且； ②对于M中任意两个不相等的元素x，y，定义，且． (1)判断集合与区间是否为“极闭集”，并说明理由； (2)若M是“极闭集”，证明：集合M中不可能所有元素都小于1； (3)证明：不存在任何有限的“极闭集”． 【答案】(1)集合，首先满足条件①：是的子集，含2个元素，． 取中两个不等元素，，所以，所以不是极闭集． 区间，首先满足条件①：是的子集，含无数个元素，． 任取中两个不等元素x，y，则，， 因此， 所以，属于B，满足条件②，所以是极闭集． (2)假设集合中所有元素都小于1； 所以，，则，， 所以， 所以与假设矛盾，因此假设不成立．所以集合中不可能所有元素都小于1． (3)由第（2）问的结论可知，中至少存在一个大于1的元素， 因为是有限集且至少含有2个元素，取中大于1的最大元素为， 再取中任意一个与不相等的元素作为，令 所以， 若，则，故，依次有， 此时，所以严格递减； 若，同理可证，此时，所以严格递增； 综上，均严格单调，所有元素互不相等． 这意味着集合中含有无穷多个互不相等的元素，，，…． 但这与假设“是有限集”矛盾． 因此，假设不成立，不存在任何有限的“极闭集”． 【分析】（1）根据“极闭集”的定义判断即可. （2）利用反证法，假设集合M中所有元素都小于1，进行证明即可. （3）利用反证法进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $