精品解析：上海市静安区教育学院附属学校2026-2027学年八年级上学期数学10月学情自测卷

八年级数学第一学期练习4 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 的值介于下列哪两个数之间（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 在下列二次根式的化简中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 在根式、、、、中，最简二次根式个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每空2分，共40分） 7. 二次根式的被开方数的因式是________，它________（填“是”或“不是”）最简二次根式． 8. 的一个有理化因式为________，的一个有理化因式为________． 9. 把根号外的因式移到根号内，那么________． 10. 已知，化简________． 11. 求值：________，________． 12. 比较大小：________；________；________． 13. 若，化简________． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 15. 化简：________；________；________； 16. 化简________；计算________． 17. 不等式的解集为________． 18. 和分别是的整数部分和小数部分，那么________． 三．解答题（19—22题每小题5分，23题7分，共42分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 解不等式： 21. 解方程： 22. 若，求的值． 23. 计算 （1）计算：________，________，________； （2）直接写出结果：________，________； （3）计算：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一学期练习4 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 的值介于下列哪两个数之间（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将根号外的因数移入根号内，转化为比较被开方数与相邻完全平方数的大小． 【详解】解：， ∵ ，， ∴ ， 即 ． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根的性质化简即可． 【详解】解：A. ，故本选项符合题意； B. ，故本选项不符合题意； C. ，故本选项不符合题意； D. ，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了平方根化简计算，正确掌握平方根的性质是解题关键． 3. 下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，判断即可． 【详解】解：A、， 和不是同类二次根式； B、，和不是同类二次根式； C、，，和是同类二次根式； D、，和不是同类二次根式． 4. 在下列二次根式的化简中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式的被开方数与结果均非负，的化简需考虑的符号． 【详解】解：∵有意义时， ∴，A正确． ∵且， ∴，B正确． ∵的符号不确定，当时，， ∴错误， ∵且， ∴， ∴，D正确． 5. 已知，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，代入的值分母有理化后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 在根式、、、、中，最简二次根式个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从根指数、被开方数是否含分母、被开方数是否含开得尽方的因数因式三个维度判断． 【详解】解：的被开方数含能开得尽方的因数和因式，不是最简二次根式； 的被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式； 的被开方数是整式，分解为后无指数不小于2的因式，是最简二次根式； 的根指数为3，不属于二次根式； 的被开方数含分母，不是最简二次根式； 这五个根式中，最简二次根式有 、 共 个． 二．填空题（每空2分，共40分） 7. 二次根式的被开方数的因式是________，它________（填“是”或“不是”）最简二次根式． 【答案】 ①. 和 ②. 是 【解析】 【分析】先对被开方数因式分解，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：对二次根式的被开方数因式分解，由平方差公式得， 被开方数的因式是和． 的被开方数不含分母，且每个因式的指数都小于根指数2，满足最简二次根式的条件， 是最简二次根式． 8. 的一个有理化因式为________，的一个有理化因式为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方差公式和完全平方公式． 二次根式的有理化的目的就是去掉根号，分别根据平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为； ∵， 故的一个有理化因式是， 故答案为：，． 9. 把根号外的因式移到根号内，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，判断根号外因式的符号，再将非负因式平方后移入根号内化简． 【详解】解：∵ 二次根式有意义，被开方数非负， ∴ ，即， ∴ 原式根号外的因式， ∴． 10. 已知，化简________． 【答案】 【解析】 【分析】先对根号内的式子配方，再利用二次根式的性质化简，最后根据的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ． 11. 求值：________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一个空利用二次根式的性质化简，先判断底数符号再去绝对值；第二个空拆分指数后逆用积的乘方法则，结合平方差公式化简计算． 【详解】解：计算第一个式子： ∵ ，且， ∴ ， ∴ ． 计算第二个式子： 对原式变形得：， 由平方差公式得， 代入得原式． 12. 比较大小：________；________；________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】三组比较大小均可通过平方，结合不等式性质比较大小，第三组可通过倒数法简化推导． 【详解】1. 比较和， ∵ 两个数均为负数，先比较绝对值，对绝对值平方得， ， ，且 ， ∴ ． ∴ ． 2. 比较和， ∵ 两个数均为正数，对两数平方得， ， ， ∴， ∵ 正数平方越大，原数越大， ∴ ， 3. 比较和， ∵ 两个数均为正数，先对两数取倒数，分母有理化得， ， ， 对分子比较大小， 且均为正数 ∴ ， ∵ 正数中倒数越大，原数越小， ∴ ， 13. 若，化简________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，由已知条件得到的取值范围，再对所求式子因式分解后去绝对值化简． 【详解】解：， ∵ ， ∴，解得， ∴， ∴， ∴． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式定义得根指数为，同类最简二次根式被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式的根指数为，第一个根式的根指数是， ∴， 解得， ∵ 两个最简二次根式是同类二次根式， ∴， 把代入上式得， 解得， ∴ ． 15. 化简：________；________；________； 【答案】 ①. ②. ## ③. ## 【解析】 【详解】解： ； ； 化简第三个式子： ． 16. 化简________；计算________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】对两个含二次根式的式子分别分母有理化，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ； ． 17. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式左右整理后，根据不等式性质求解，注意系数为负时改变不等号方向． 【详解】解：， ， ， ， ， 即． 18. 和分别是的整数部分和小数部分，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】先化简二次根式，再确定其整数部分和小数部分，最后代入计算并化简即可． 【详解】解：先化简， ， ， ， ， 可得整数部分，小数部分，代入得： 即． 三．解答题（19—22题每小题5分，23题7分，共42分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）先将系数和被开方数分别按照乘除运算法则进行计算，再将结果化为最简二次根式；如果有变量，需要先确定变量的取值范围保证根式有意义． （3）先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将每个根式化为最简二次根式，之后合并同类二次根式． （4）先识别完全平方公式、平方差公式的结构，对多项式进行因式分解，再结合二次根式的运算规则约分、化简． 【小问1详解】 解：化简各项得， ， ， ． 代入原式得， 原式． 【小问2详解】 解：分别计算系数和被开方数得， 系数部分：， 被开方数部分：． 原式． 【小问3详解】 解：化简各项得， ， ， ． 合并得，原式． 【小问4详解】 解：因式分解后约分， ， ， ，得， 原式 ． 20. 解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再移项合并同类项，最后对结果分母有理化得到不等式的解． 【详解】解：化简原不等式各项二次根式得，， 移项得，， 合并同类项得，， 不等式两边同时除以，改变不等号方向得，， 对分母有理化，分子分母同乘得，， 计算得， 整理得． 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：，  去括号得：，  移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 22. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】将化简成，然后化简，将值代入即可求出． 【详解】解： ， 原式 23. 计算 （1）计算：________，________，________； （2）直接写出结果：________，________； （3）计算：． 【答案】（1），， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）利用分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化计算后进行加减法和乘法计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， 【小问3详解】 解： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $