精品解析：上海市静安区市北中学北校2025-2026学年八年级上学期12月 数学月考试题

市北初级中学北校2025学年第一学期八年级数学阶段练习8 （满分100分，完卷时间60分钟）2025年12月 一、选择题：（每题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （其中、、是常数） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键．先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故符合题意； B．当时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意； C．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意； D．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：A． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 64的立方根是； D. 的算术平方根是5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的概念，解题的关键是准确理解这些概念的定义． 分别对每个选项根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行分析判断． 【详解】解：A、先计算的平方根是，不是，该选项错误； B、负数有立方根，例如的立方根是，该选项错误； C、64的立方根是4，不是，该选项错误； D、先计算的算术平方根是5，该选项正确． 故选：D． 3. 在中，，则为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】含30°角的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 4. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，故原方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，故原方程没有实数根，符合题意； 故选：D． 5. 某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 6. 如图，在中，．线段、分别为的高和中线，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高和中线的性质，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键； 根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解． 【详解】解：线段、分别为的高和中线， ， ， ， ，故A选项正确，不符合题意； 在中，， ， ， ，故B选项正确，不符合题意； ， ，故选项C正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出，故无法推出，故选项D错误，符合题意； 故选：D 二、填空题：（每题2分，共24分） 7. 比较大小：_____（选填“”，“”，“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小的比较，因为是两个无理数比较大小，所以应把根号外的数整理到根号内再进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 8. 化简：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，将50分解为，利用的算术平方根为，提取平方因子后化简． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9. 的有理化因式是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程的一个根为5，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为5， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是换元法解方程，通过换元法，将分式方程中的复杂分式用新变量表示，从而简化方程，转化为整式方程求解． 【详解】解：设 ，则 ， 代入原方程 得 ． 方程两边乘 （）得 ， 移项得 ． 故答案为： 12. 在实数范围内因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，令，求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：令， 解得或， ∴， 故答案为：． 13. 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及单循环比赛总场数的计算．根据总场数为，令其等于15，解方程即可． 【详解】解：依题意，比赛总场数为， 整理得， 即， 因式分解得， ∴，， 解得：或（舍去）． 故答案为：6． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 15. 如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．设点C表示的数为x，根据两点间的距离公式可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：设点C表示的数为x， 根据题意，得， 解得， ∴点C所对应的实数为， 故答案为：． 16. 如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得，则，，得，再求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________ 【答案】或0##0或 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 18. 如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（共58分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别进行分母有理化，二次根式的除法运算，以及化简二次根式，然后进行加减计算； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．注意：解分式方程要检验． （1）方程两边同时乘，化简转化为一元二次方程，并求出x的值，再检验即可． （2）现将方程进行整理化简，再将方程两边同时乘，化简并转化为一元一次方程，求出y的值，再检验即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 解得， 检验：当时，分母，舍去，时， ∴原方程的解为； （2）解：， 整理得 方程两边同时乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 21. 如图，现有一个面积为160平方米的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，在与墙平行的一边，开一扇1米宽的门．如果竹篱笆的长为35米，求这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是多少？与墙平行的边长是多少？（列方程解答） 【答案】这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是10米，则与墙平行的边长是16米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是米，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时， ，符合题意； 当时， ，不符合题意； ∴，， 答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是10米，则与墙平行的边长是16米． 22. 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【解析】 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 23. 如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：如图，连接 , , 是的中点， 同理可得, 是的中点, ； （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理； （1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∴， ∴的周长为． 24. 配方法是初中数学中重要的代数变形方法，通过将二次三项式 变形为的形式（m、n为常数），结合平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为： （1）基础小试：把多项式配方成的形式，则_____，_____； （2）几何实践：把两个全等的等腰直角三角板和叠放在一起（如图1），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板的直角顶点G与三角板的斜边中点O重合，现将三角板绕O点按顺时针方向旋转（旋转角满足条件：），四边形是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．连接，在上述旋转过程中，求出面积的最小值． （3）拓展运用：已知正整数a，b，c满足不等式，求的值． 【答案】（1）， （2）2 （3）11 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）根据完全平方公式将式子变形为，由此即可得； （2）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再设，则，根据和完全平方公式进行配方解答即可得； （3）先配方得，再根据都是正整数可得，或或，然后根据的值确定的值，由此即可得． 【小问1详解】 解： ， ∵把多项式配方成的形式， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵点是等腰直角三角板斜边的中点，三角形的直角边长均为4， ∴，，，，，， ∴，， ∵三角板的直角顶点与三角板的斜边中点重合， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴面积的最小值为2． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵都是正整数，且， ∴，即， ∴， ∴或或，即或或， 当时，则，即，此时没有符合条件的正整数； 当时，则，此时符合条件的正整数； 当时，则，即，此时没有符合条件的正整数； 综上，，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市北初级中学北校2025学年第一学期八年级数学阶段练习8 （满分100分，完卷时间60分钟）2025年12月 一、选择题：（每题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （其中、、是常数） C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 64的立方根是； D. 的算术平方根是5 3. 在中，，则为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 不能确定 4. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．线段、分别为的高和中线，下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题2分，共24分） 7. 比较大小：_____（选填“”，“”，“”）． 8. 化简：_____________． 9. 的有理化因式是_____． 10. 关于x的一元二次方程的一个根为5，则m的值为________． 11. 用换元法解方程时，如果设，那么变形后的整式方程为_______． 12. 在实数范围内因式分解：____________． 13. 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，则______． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 16. 如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是_________． 17. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________ 18. 如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为______． 三、解答题：（共58分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解方程：． 21. 如图，现有一个面积为160平方米的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，在与墙平行的一边，开一扇1米宽的门．如果竹篱笆的长为35米，求这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是多少？与墙平行的边长是多少？（列方程解答） 22. 为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 23. 如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 24. 配方法是初中数学中重要的代数变形方法，通过将二次三项式 变形为的形式（m、n为常数），结合平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为： （1）基础小试：把多项式配方成的形式，则_____，_____； （2）几何实践：把两个全等的等腰直角三角板和叠放在一起（如图1），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板的直角顶点G与三角板的斜边中点O重合，现将三角板绕O点按顺时针方向旋转（旋转角满足条件：），四边形是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．连接，在上述旋转过程中，求出面积的最小值． （3）拓展运用：已知正整数a，b，c满足不等式，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $