专题05 旋转（期中真题汇编，河北专用）九年级数学上学期

专题05 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 6．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，点A的坐标为，将绕原点O顺时针旋转得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 8．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，点的对应点落在上，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，一段抛物线，记为抛物线；它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（    ） A． B．6 C． D．8 10．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 13．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为_______． 14．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______．    15．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上． (1)是等腰三角形吗？ （选填“是”或“否”）； (2)若，求的度数． 16．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 17．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，点，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的； (2)点的坐标为______． 18．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为个单位长度的正方形（点A在x轴正半轴上）绕原点O逆时针旋转，得到正方形，连接，则的值为________． 19．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置（即过作，且使，连接、．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设是等边内一点，，，，求的度数． 20．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，，点C在上，，点M在上，，以点M为旋转中心，将逆时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)在射线上截取，连接，求证：． 21．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点旋转得到，作出； (2)将向上平移4个单位得到，作出； (3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 22．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，在长方形中，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接． (1)当时，求证：； (2)求的面积： (3)当的面积是的面积的倍时，直接写出线段的长． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出关于原点成中心对称的． 考点03 中心对称图形 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）下列图案不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）“垃圾分类，利国利民”，以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 3．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）下面这些图案是敦煌壁画的装饰纹样，这些图案中，中心对称图形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 2．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）将平面直角坐标系内的某图形A上各点的横坐标都乘得到图形B，将图形B上的各点的横、纵坐标都乘得到图形C，则图形A与图形C的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．位置不变 3．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）点m（2，-1）关于原点对称的点的坐标为（　　） A．（-2，-1） B．（2，1） C．（-2，1） D．（2，-1） 4．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）若点与点关于原点对称，则__________． 5．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）已知点与点关于原点对称，则_____． 6．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）已知点与关于原点对称，则___________． 7．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为，． (1)若和关于原点O成中心对称，则点的坐标为________； (2)求的面积； (3)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的． 8．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将绕点A顺时针旋转，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； (2)在图中画出关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； (3)在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得到旋转角即可求解． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．旋转后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中与不是对应角，不能判断相等． 【详解】解：根据旋转的性质可知， 点与点是对应点，，，． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在边上，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质，旋转的性质；由题意以及旋转的性质可得为等边三角形，则，故． 【详解】解：由题意以及旋转的性质知，， ， ， ， 故为等边三角形，即 ， 则， 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案． 【详解】解：根据图形可知：将绕点A逆时针旋转可得到． 故选：B． 6．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，点A的坐标为，将绕原点O顺时针旋转得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的旋转变换，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作轴，轴，利用旋转的性质得到线段与角的关系，可证明，通过对应边相等将原来点的坐标转化为旋转后点的坐标． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，则， 由题意，， 在中，， 又∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， 已知， 则，， ∴，， ∵在第四象限， ∴其坐标为． 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 8．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，点的对应点落在上，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，三角形内角和定理，等边对等角，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用等边对等角和三角形内角和定理求得，再根据旋转的性质得出，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求得旋转角θ． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，旋转角为， ∴，， ∴， ， 即， 故选：A． 9．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，一段抛物线，记为抛物线；它与轴交于点，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；……如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的基本规律，根据确定，，图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，只需确定的解析式即可． 【详解】解：根据， ∴，， ∴的解析式为 根据题意，得 函数图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等 ∵， ∴m与时的函数值相等， 时，， 故选C． 10．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是由题意根据旋转的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，根据即可解答． 【详解】解：∵绕其直角顶点C按顺时针方向旋转后得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 11．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 12．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了旋转及等边三角形的知识，首先由旋转的性质，对应边相等，得到，由旋转角为，得到，然后根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形可证为等边三角形，则，据此可求出． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∴， 又∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 13．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查点绕原点旋转的坐标变换，掌握知识点是解题的关键． 根据点绕原点旋转的坐标变换，平面直角坐标系中画出A，B点，即可解答． 【详解】解：如图所示， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 15．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）如图，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上． (1)是等腰三角形吗？ （选填“是”或“否”）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，即可得出结论； （2）根据三角形的内角和定理求出的度数，可得为等边三角形，进而得到的度数，再根据旋转性质可知，即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知，是等腰三角形， ∴为等边三角形， ∴， 由旋转可知，， ∴． 16．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)A，或； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可，对应边的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角解答； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形中，， ∴， ∴，， 所以，逆时针旋转了或顺时针； 故答案为：A，或； （2）解：由旋转性质知，， ∴四边形是正方形， ∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 17．（25-26九年级上·河北唐山路南区·期中）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，点，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的； (2)点的坐标为______． 【答案】(1) 解：如图所示为所求： (2) 【分析】本题考查了图形的旋转及旋转后点的坐标确定． （1）根据旋转的性质，以点C为旋转中心，将的各顶点按顺时针方向旋转，然后连接各对应点得到旋转后的； （2）在画出旋转后的图象后，通过观察图象确定点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为个单位长度的正方形（点A在x轴正半轴上）绕原点O逆时针旋转，得到正方形，连接，则的值为________． 【答案】 【分析】过作轴于，根据旋转的性质和勾股定理可得，且，旋转角，则，可求得的长度，在中，利用勾股定理题目可解． 【详解】解：在正方形中， ， 由勾股定理得： 由旋转性质，， 过作轴于，则 ， 原正方形中，旋转角， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 在中， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 19．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置（即过作，且使，连接、．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设是等边内一点，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等腰直角三角形，得到：利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，再利用，即可得解； （2）将绕点逆时针旋转到的位置，连接；根据旋转的性质，得到是等边三角形，利用勾股定理逆定理，得到，利用，即可得解． 【详解】解：（1）如图1，由题意得： ；； 由勾股定理得：； ，， ， ， ， ． （2）如图2，将绕点逆时针旋转到的位置，连接； 则，，； 为等边三角形，，； ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理逆定理．通过旋转，构造全等三角形，进而得到等腰三角形和直角三角形，是解题的关键． 20．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，，点C在上，，点M在上，，以点M为旋转中心，将逆时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)在射线上截取，连接，求证：． 【答案】(1) 证明：∵是的外角， ∴， 由旋转的性质可知， ∵， ∴， 即， ∴； (2) 证明：由（1）得， ∵旋转， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了外角的性质，旋转的知识，全等三角形的判定和性质和等量代换，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）易得，再利用角的和差即可得证； （2）先由（1）得，再结合旋转性质，证明，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 21．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)将绕点旋转得到，作出； (2)将向上平移4个单位得到，作出； (3)已知是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，写出中的对应点的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求． (2) 解：如图所示，即为所求． (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点． （1）分别作出 的对应点，再顺次连接即可； （2）根据平移分别作出点的对应点再顺次连接即可； （3）根据所画图形，写出对应坐标的变化规律即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：是内一点，其坐标为， ∵上的点是由上的点横纵坐标都乘以，然后横坐标不变，纵坐标得到的， ∴中的对应点的坐标为． 22．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）如图，在长方形中，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接． (1)当时，求证：； (2)求的面积： (3)当的面积是的面积的倍时，直接写出线段的长． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点Q作于H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点Q作于H，由旋转的性质可得，可证明，得到，再由线段中点的定义得到，则，再证明，即可证明； （2）延长交于G，先证明，，由全等三角形的性质得到，则，； （3）分点Q在点C右侧和点Q在点C左侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，延长交于G， ∵， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作交延长线于H， 由（2）可得， ∵的面积是的面积的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴； 如图所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于H， 同理可得， ∴， 同理可证明， ∴； 综上所述，的长为或． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26九年级上·河北沧州河间·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与点D是对称点，，，， 而不一定成立． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出关于原点成中心对称的． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，作图——中心对称变换，熟练掌握作轴对称图形，中心对称图形的方法是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到； 【详解】（1）略 （2）略 考点03 中心对称图形 1．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）下列图案不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合， 所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合， 所以不是中心对称图形， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）“垃圾分类，利国利民”，以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．正确掌握相关定义是解题关键． 3．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合．而中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与原来的图形重合的图形，这个点称为对称中心．中心对称图形的关键特点是绕对称中心旋转180°后，图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）下面这些图案是敦煌壁画的装饰纹样，这些图案中，中心对称图形的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：第一个、第三个、第四个是中心对称图形，第二个不是中心对称图形． 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北保定定州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【分析】考查图形的对称、平移、旋转等变换，对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断； 观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答； 【详解】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换， 图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移． 故选：D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）将平面直角坐标系内的某图形A上各点的横坐标都乘得到图形B，将图形B上的各点的横、纵坐标都乘得到图形C，则图形A与图形C的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．位置不变 【答案】A 【分析】此题主要考查了对称点的坐标特点，关键是熟记变化规律．关于x轴对称的点坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点坐标特点：横坐标和纵坐标皆互为相反数． 【详解】解：设图形A上任意一点为， ∵ 横坐标乘得图形B， ∴ B上点为． ∵ 将B的点横、纵坐标都乘得图形C， ∴ C上点为． ∴ A的点与C的点对应， ∵ 横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴ 图形A与图形C关于x轴对称． 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北唐山古冶区·期中）点m（2，-1）关于原点对称的点的坐标为（　　） A．（-2，-1） B．（2，1） C．（-2，1） D．（2，-1） 【答案】C 【详解】试题解析：点（2，-1）关于原点对称的点的坐标为（-2，1）． 故选C． 点睛：对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4．（25-26九年级上·河北廊坊广阳区·期中）若点与点关于原点对称，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，由此求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，，即， ∴． 故答案为：1． 5．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：由题意，得： ，． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 6．（25-26九年级上·河北唐山丰润区·期中）已知点与关于原点对称，则___________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点，掌握特殊位置关系的点的坐标变化是解答本题的关键． 7．（25-26九年级上·河北廊坊安次区·期中）如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为，． (1)若和关于原点O成中心对称，则点的坐标为________； (2)求的面积； (3)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】(1) (2) (3)如图即为所求， 【分析】本题考查中心对称，旋转作图，三角形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）若和关于原点O成中心对称，则对应点C和关于原点对称，据此解答即可； （2）利用割补法计算即可； （3）先画出绕点O逆时针旋转的对应点，再连接即可． 【详解】（1）解：若和关于原点O成中心对称，则对应点C和关于原点对称， ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：如图：； （3）解：先画出绕点O逆时针旋转的对应点，再连接即可． 8．（25-26九年级上·河北廊坊霸州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将绕点A顺时针旋转，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； (2)在图中画出关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； (3)在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 【答案】(1) 如图，即为所求作的三角形； (2) 如图，即为所求作的三角形； 由的位置可得：点的坐标是； (3)． 【分析】本题考查旋转作图，中心对称，点的坐标，熟练掌握利用旋转的性质作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别是作出点A、B、C旋转后的对应点，再连接即可； （2）根据中心对称的性质，分别是作出点绕点逆时针旋转后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （3）连接，交轴于，根据中心对称的性质，求出的中点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，交轴于， 由图可得：为对称中心，坐标为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 考点01图形的旋转 考点02中心对称及其性质 考点03中心对称图形 考点04关于原点对称的点的坐标 》 考点01图形的旋转 1.B 2.C 3.C 4.B 5.B 6.B 7.D 8.A 9.C 10.D 11.B 12.C 13.（-1) 1432 15.(1)是 (2)∠CAE=60° 16.(1)A,90或270： (216cm2 17.(1) 解：如图所示为所求： www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05旋转 1/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 242) 186+2V2 19.【答案】(1)135°：(2)150 【分析】(1)根据旋转的性质，得到△PCE是等腰直角三角形，得到：∠CPE=45°利用勾股定理求出 PE2,再利用勾股定理逆定理得到∠EPB=90°，再利用∠BPC=∠CPB=∠CPE+∠EPB,即可得解； (2)将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△4CQ的位置，连接PO；根据旋转的性质，得到△APO是等边 三角形，利用勾股定理逆定理，得到∠PQC=90°，利用∠APB=∠CQA=∠CQP+∠AQP,即可得解. 【详解】解：(1)如图1，由题意得：∠PCE=90° PC=EC=2:BE=PA=3; 由勾股定理得：PE2=2+22=8: PB2=1BE2=9 .BE2=PE2+PB2, .∠BPE=90, :∠CPE=45°， ·∠BPC=135°. (2)如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ； 则AP=A0,∠PA0=60°，QC=PB=4: ∴.△APQ ∠AQP=60°PQ=PA=3 为等边三角形， :P02+C0=32+42=25PC2=52=25 2/11 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ..PO2+CO2 PC2 ∴∠PQC=90°∠A0C=60°+90°=150° .∠APB=∠AQC=150° E 图1 图2 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理 逆定理.通过旋转，构造全等三角形，进而得到等腰三角形和直角三角形，是解题的关键. 20.【答案】(1) 证明：，∠AMC是△OMC的外角， .∠AMC=∠O+∠OCM, 由旋转的性质可知∠CMN=50°，MW=CM, .∠AOB=50°， .∠AMN+∠CMN=∠AOB+∠OCM. 即∠AMW+50°=50°+∠OCM, ∴.∠OCM=∠AMN: (2) 证明：由(1)得∠OCM=∠AMN, 旋转， ∴.MW=CM, 在△PMN和△OCM中， MN =CM ∠AMN=∠OCM MP=OC :△PMN≌OCM(SAS) 3/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠OPN=∠AOB=50° 【分析】本题考查了外角的性质，旋转的知识，全等三角形的判定和性质和等量代换，掌握以上知识 是解答本题的关键： (1)易得∠CMN=50°=∠AOB,再利用角的和差即可得证： (2)先由(1)得∠OCM=∠AMN 再结合旋转性质，证明△PMN≌aOCM(SAS) ,即可得解 【详解】(1)略 (2)略 21.【答案】(1) 解：如图所示， △AB,C即为所求. B A C A B (2) 解：如图所示， △A,B,C2即为所求， y B Cn A A2 A B 4/11 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 3)a,-b+4) 【分析】本题考查作图一一旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定 义作出变换后的对应点. (I)分别作出ABC AB、C 的对应点 ,再顺次连接即可： A B C A2、B2、C2 (2)根据平移分别作出点 的对应点 再顺次连接即可： (3)根据所画图形，写出对应坐标的变化规律即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：P是△ABC内一点，其坐标为 a,b) ,△4B,C上的点是由△18C上的点横纵坐标都乘以1，然后横坐标不变，级坐标4得到的， :△4B,C中的对应点的坐标为 -a,-b+4) 22.【答案】(1) 证明：如图所示，过点Q作QH上AD于H, ∴.∠PAE=∠EHQ=90°. 由旋转的性质可得∠PEQ=90°，PE=EQ, .∠AEP+∠APE=∠HEQ+∠AEP=90°， .∠APE=∠HEQ, ,△APE≌aHEQ(AAS) .'HE AP=1, ,点E是边AD的中点， :DE=)AD=2, 2 5/11 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .DH=DE-HE =1=HE, 又：∠QHE=∠QHD=90,QH=QH, △QHE≌△QHD(SAS) ..OE =OD. E D (2)2 35 (3)2或2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的 关键 (1)过点Q作QH⊥AD于H,由旋转的性质可得∠PE0=90°，PE=E0,可证明 △1PE≌aHEQ(AS),得到HE=AP-1再由线段中点的定义得到DE=AD=2,则 DH=DE-HE=1=HE,再正明0iE≌a0HD(SAS),即可证明OE=QD。 (2)延长H0交BC于G,先证明GH=AB=3,HG⊥BC,由全等三角形的性质得到H0=AE=2, 则QG=HG-H0=1,Sa-2BC-0G=7×4x1=2: (3)分点Q在点C右侧和点Q在点C左侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图所示，延长H0交BC于G, :AD∥BC,AB⊥AD,GH⊥AD, .GH=AB=3,HG⊥BC, 6/11 函学科网 www.zxxk.com ,点E是边AD的中点， :AB=)4D=2 2 .△APE≌△HEQ. .H0=AE=2, ..OG=HG-HO=1. SARGO =BC.OG=X4x1=2. 2 E H B (3)解：如图所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作QH上 由(2)可得 S.ace=2 8 :△BCQ的面积是ACDQ的面积的3倍， 3 S.cno-8SAnc0=4 ,CD⊥AD,QH⊥CD ..OH CD CD:I 3 4, 0 4 .W ∴EH=DE+DH= 2 7/11 让教与学更高效 AD交AD延长线于H, 函学科网 △APE≌AHEQ(AAS) 同理可证明 AP=HE=5 : E DH A P B 如图所示，当点Q在点C左侧时， 同蛋可有DH, :EH=DE-DH=2. APE≌△HEQ(AAS) 同理可证明 3 .AP=HE 2 35 综上所述，AP的长为2或2· 》 考点02中心对称及其性质 1.D 2.D 3.【答案】1) 解：如图，△4BC即为所求： www.zxxk.com 让教与学更高效 过点Q作QH⊥AD于H, 8/11 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 y 5 3 6-4-3 10 234 C 2 3 B (2) 解：如图， △AB,C即为所求： 5 4 3 2 5-4-3-2-10 .45 C B2 【分析】本题考查了作图一一轴对称变换，作图一一中心对称变换，熟练掌握作轴对称图形，中心对 称图形的方法是解题的关键， (1)根据关于轴对称的点的坐标特征写出点A、B、C的对应点 A B C 的坐标，然后描点即可 得到△4BC1: (2)根据关于原点对称的点的坐标特征写出点、B、C的对应点4、品、C的坐标，然后插点即 △A,B2C2 可得到 【详解】(1)略 (2)略 9/11 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D 考点03中心对称图形 1.C 2.B 3.C 4.c 5.B 》 考点04关于原点对称的点的坐标 1.D 2.A 3.C 4.1 5.-6 6.-1 7.a2,-) 02 OB2C2 (3)如图 即为所求， 1 B 8.(1) △ABC 如图， 即为所求作的三角形： 10/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C (2) 如图， △A,B,C即为所求作的三角形： B C 衣由 的位置可得：点的坐标是 A C2 C2 (3,-6) 32,0) 11/11