3.2.3 直线与双曲线的位置关系（知识清单，知识点+六大易错点+十三大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.3 直线与双曲线的位置关系 内容概览 2 🔷知识点一　直线与双曲线的位置关系及判定 2 🔷知识点二　弦长公式 2 🔷知识点三　中点弦问题（点差法） 2 🔷知识点四　焦点弦问题 3 3 易错点1：联立方程后忽略二次项系数为0的情况 3 易错点2：混淆"一个公共点"与"相切"的概念 4 易错点3：点差法求中点弦后不验证，出现增根 4 易错点4：弦长计算忽略交点分支，韦达定理符号误用 5 易错点5：记错中点弦斜率公式，与椭圆混淆符号 5 易错点6：过定点的直线问题，遗漏平行渐近线的情况 5 6 题型1：点和双曲线的位置关系 6 题型2：讨论双曲线与直线的位置关系 7 题型3：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 8 题型4：求双曲线的切线方程 8 题型5：双曲线中的弦长问题 10 题型6：双曲线的焦半径与焦点弦问题 10 题型7：双曲线的中点弦 11 题型8：双曲线中的参数范围及最值 12 题型9：双曲线中三角形（四边形）的面积 13 题型10：双曲线中的定点问题 14 题型11：双曲线中的定值问题 15 题型12：双曲线中的定直线问题 16 题型13：双曲线中的向量问题 17 🔷知识点一　直线与双曲线的位置关系及判定 将与联立消去y得方程. 斜率与的取值 位置关系 交点个数 且时 相交 只有一个交点（平行渐近线，不是相切） 且 有两个交点 且 相切 只有一个交点 且 相离 没有公共点 ⚠ 特别提醒 · 与椭圆核心区别：椭圆一个公共点必为相切；双曲线一个公共点不一定是相切，可能是平行于渐近线的相交； · 直线与双曲线相交的两个交点，可分布在双曲线的同一支，也可分别在左右两支，可通过韦达定理的符号判断：焦点在轴时，为同支，为异支。 🔷知识点二　弦长公式 直线与双曲线交于两点、时，两交点间的线段为弦，长度计算与椭圆通用。 设直线斜率为： 1. 斜率式弦长公式（最常用）： 2. 纵坐标形式：当直线斜率时， 3. 通径：过焦点且垂直于实轴的弦称为通径，是双曲线同支焦点弦的最小值，长度为。 ⚠ 特别提醒 · 弦长公式基于韦达定理，体现"设而不求"思想，前提是二次项系数不为0且； · 当直线与双曲线交于两支时，，计算弦长时符号不影响结果，但判断交点分布时需重点关注。 🔷知识点三　中点弦问题（点差法） 已知双曲线上一点为弦中点，求弦所在直线方程的核心方法为点差法，计算逻辑与椭圆类似，但斜率公式符号不同。 以焦点在轴的双曲线为例，弦中点为： 1. 设端点：设弦的两个端点为、， 2. 代入方程：、均在双曲线上，代入双曲线方程得两式。 3. 作差变形：两式相减，用平方差公式分解： 4. 代入中点：整理得弦的斜率公式 5. 写方程：由点斜式，得到弦所在直线方程。 6. 验证弦的存在性 联立直线与双曲线方程，得到一元二次方程，验证判别式 ； ⚠ 特别提醒 · 点差法适用于中点弦问题，计算量远小于联立判别式法。 · 双曲线的点差法，求出直线后必须联立双曲线方程验证，确认直线与双曲线有两个交点。 🔷知识点四　焦点弦问题 过双曲线焦点的弦称为焦点弦，分同支焦点弦和异支焦点弦两类，可结合焦半径公式计算弦长。 以焦点在轴的双曲线为例： 1. 同支右焦点弦：两点均在右支，弦长。 2. 异支焦点弦：两点分别在左右两支，弦长需结合焦半径符号计算，本质为两段焦半径之和。 3. 焦点弦最值： (1) 同支焦点弦最小值为通径长； (2) 异支焦点弦的最小值为实轴长。 ⚠ 特别提醒 · 计算焦点弦长时，先判断交点在同支还是异支，对应公式不同，不可直接套用椭圆结论； · 通径仅为同支焦点弦的最小值，并非所有焦点弦的最小值，这是与椭圆的核心区别。 易错点1：联立方程后忽略二次项系数为0的情况 【易错点】 直线与双曲线联立消元后，直接计算判别式，忽略二次项系数可能为0；误将平行于渐近线的单交点情况判定为相切。 【易错消除】 联立消元后先整理方程，先看二次项系数是否为0： 1. 系数为0：直线平行于渐近线，仅1个交点，属于相交，不是相切。 2. 系数不为0：再用判别式判定位置关系。 【易错例题】（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值. 易错点2：混淆"一个公共点"与"相切"的概念 【易错点】 类比椭圆的结论，认为直线与双曲线只有一个公共点就是相切，忽略平行于渐近线的特殊情况。。 【易错消除】 明确核心结论： 1. 椭圆：一个公共点 相切； 2. 双曲线：一个公共点 相切，可能是相切，也可能是平行于渐近线的相交；相切一定是一个公共点，但一个公共点不一定是相切。 【易错例题】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点．当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． 易错点3：点差法求中点弦后不验证，出现增根 【易错点】 用点差法求出直线方程后直接作为最终结果，忘记验证直线与双曲线是否有两个交点。 【易错消除】 点差法求出直线方程后，必须联立双曲线方程验证。 【易错例题】（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 易错点4：弦长计算忽略交点分支，韦达定理符号误用 【易错点】 计算弦长时默认交点在同一支，对交于两支的情况处理错误；或利用判断分布时符号搞反。 【易错消除】 1. 弦长公式本身对同支、异支均适用，无需调整。 2. 判断交点分布：焦点在轴时，为同支，为异支。 【易错例题】（26-27高三·全国·一轮复习）过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 易错点5：记错中点弦斜率公式，与椭圆混淆符号 【易错点】 直接套用椭圆中点弦的斜率公式，符号为负，导致双曲线中点弦斜率计算错误。 【易错消除】 1. 不建议死记公式，优先用点差法现场推导，零记忆成本且准确率高。 2. 对比记忆：焦点在轴时，中点，椭圆满足，双曲线满足。 【易错例题】（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 易错点6：过定点的直线问题，遗漏平行渐近线的情况 【易错点】 已知直线过定点且与双曲线只有一个交点，只考虑切线情况，漏掉平行于渐近线的直线，造成漏解。 【易错消除】 "直线与双曲线仅有一个公共点"的问题，必须分两类讨论： 1. 直线与双曲线相切（）。 2. 直线与渐近线平行。 两类情况全部考虑，方可避免漏解。 【易错例题】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程． 题型1：点和双曲线的位置关系 方法技巧 设双曲线方程，点，代入左侧计算，若，点在双曲线上。 【例题1.1】（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 【例题1.2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 【变式1.1】（2025·重庆·二模）若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 _____. 【变式1.2】（2026·河南周口·模拟预测）若，点，双曲线. (1)写出的坐标，并证明：对任意，点在双曲线上； (2)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，记的面积为（为坐标原点），求证：为定值； （参考公式：设三角形的三个顶点分别为，则三角形的面积）. (3)证明：. 题型2：讨论双曲线与直线的位置关系 方法技巧 1. 联立直线方程与双曲线方程，消去一个变量，得到一元方程。 2. 若二次项系数为0，直线与渐近线平行，与双曲线仅有一个交点，属于相交而非相切。 3. 若二次项系数不为0，计算判别式：时直线与双曲线相交（2个交点）；时相切；时相离。 4. 斜率不确定时，单独讨论斜率不存在的直线，防止漏解。 【例题2.1】（第八单元直线与圆锥曲线的位置关系）直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【例题2.2】（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2.1】（学易金卷）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为____________________. 【变式2.2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 方法技巧 1. 联立直线与双曲线方程，消元得到一元方程。 2. 当方程为一元二次方程时，根据相交、相切、相离的条件，写出对应的等式或不等式。 3. 注意二次项系数为0，是直线与渐近线平行的特殊情况。 4. 斜率不存在时单独验证，最终取所有情况的并集。 【例题3.1】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【例题3.2】（25-26高二上·浙江·期末）已知双曲线，过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点，则实数的取值范围是______． 【变式3.1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【变式3.2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 题型4：求双曲线的切线方程 方法技巧 1. 点在双曲线上的切点式切线方程 (1) 焦点在轴（）：切线方程为。 (2) 焦点在轴（）：切线方程为。 2. 点在双曲线外，设切线斜率为，联立直线与双曲线方程，令求解斜率，该方法对焦点在轴、轴的双曲线均通用。 3. 已知斜率为的切线方程 (1) 焦点在轴：，要求。 (2) 焦点在轴：，要求。 4. 验证斜率不存在的直线是否为切线，避免漏解。 【例题4.1】（2026高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程． 【例题4.2】（举一反三专项训练）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，，求直线的方程． 【变式4.1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)已知是双曲线外一点，过P引双曲线C的两条切线为切点，求直线的方程. 【变式4.2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知一结论：若圆C的方程是，则经过圆C上一点的切线方程为. (1)由上面结论分别写出下面两个所求的切线方程（不需要解题过程） ①经过双曲线上一点的切线方程 ②经过抛物线上一点的切线方程 (2)已知椭圆方程为，A为椭圆上顶点，P为椭圆的右顶点，求椭圆上点到直线AP距离的最大值并求出点M坐标（注：若需要椭圆上经过某点的切线方程可以直接写） 题型5：双曲线中的弦长问题 方法技巧 1. 设直线 l与双曲线交于，联立直线与双曲线方程，由韦达定理得。 2. 弦长公式：。 3. 消去保留时，弦长公式为。 4. 联立后先判断是否为二次方程；若是二次方程，计算弦长要求；焦点在轴时，由的符号可判断交点在同一支还是两支。 【例题5.1】（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【例题5.2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 【变式5.2】（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 题型6：双曲线的焦半径与焦点弦问题 方法技巧 1. 焦半径公式 焦点在轴，双曲线上点：（到左焦点），（到右焦点） 焦点在轴，双曲线上点：（到下焦点），（到上焦点）。 2. 以焦点在轴的双曲线为例： (1) 同支右焦点弦：两点均在右支，弦长。 (2) 异支焦点弦：两点分别在左右两支，弦长需结合焦半径符号计算，本质为两段焦半径之和。 3. 若为直线与实轴（焦点所在轴）的夹角，焦点弦长二级结论：。 4. 当直线垂直于实轴时为通径，长度为，是同支焦点弦中的最短弦。 【例题6.1】（25-26高二上·天津河东·阶段检测）双曲线 的焦距为8，通径长为，则_________. 【例题6.2】（专题16圆锥曲线焦点弦微点3圆锥曲线焦点弦长公式及其应用）过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长． 【变式6.1】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式6.2】（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 题型7：双曲线的中点弦 方法技巧 1. 点差法：设弦端点，两点代入双曲线方程作差，构造中点与斜率的关系。 2. 点差法结论 (1) 焦点在轴（）：。 (2) 焦点在轴（）：。 3. 求出直线方程后，必须代回双曲线验证，中点弦可能不存在。 4. 也可联立方程，利用韦达定理求解，结果同样需要检验。 【例题7.1】（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【例题7.2】（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【变式7.1】（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【变式7.2】（26-27高三上·河南·阶段检测）已知双曲线：的虚轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，求． 题型8：双曲线中的参数范围及最值 方法技巧 1. 代数法：联立直线与双曲线，用韦达定理构造目标函数，结合求值域。 2. 几何法：利用双曲线定义、几何图形，结合点到直线距离等几何意义求解。 3. 边界约束：双曲线上点的坐标有范围限制（如焦点在x轴时，或）。 【例题8.1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题8.2】（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【变式8.1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 【变式8.2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线，焦距为. (1)求双曲线的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值； (3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）. 题型9：双曲线中三角形（四边形）的面积 方法技巧 1. 基础公式：底高；以弦长为底，点到直线距离为高。 2. 焦点三角形面积：，为双曲线上点对两焦点的张角。 3. 四边形常拆成两个三角形求和，优先考虑对角线分割。 4. 联立方程，结合韦达定理表达面积，转化为函数求最值。 【例题9.1】（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【例题9.2】（24-25高三下·安徽·开学考试）设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【变式9.1】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【变式9.2】（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 题型10：双曲线中的定点问题 方法技巧 1. 通法（代数法）：设含参数的直线方程，联立双曲线，利用韦达定理得到关系式。 2. 消参寻定（核心步骤）：根据题干条件列出等式，化简消去参数。 3. 整理恒等式（找定点）：找到不受参数变化影响的点坐标。 4. 特殊值探路（选填秒杀/大题猜测）：取参数两个特殊值，求出两条直线交点，再验证该点恒满足条件。 【例题10.1】（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点. (1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点； (2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【例题10.2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于、两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【变式10.1】（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式10.2】（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 题型11：双曲线中的定值问题 方法技巧 1. 通法联立（设参求根）：选取合适参数，设点或设直线，联立双曲线得到韦达定理。 2. 目标代换（代数转化）：将目标表达式（如斜率之积、向量数量积、面积等）用韦达定理的代换。 3. 化简消参（得证定值）：化简表达式，参数会全部消去，得到固定常数。 4. 特殊探路（选填秒杀/大题探路）：可先用特殊位置猜出定值，再做一般性证明。 【例题11.1】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【例题11.2】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 【变式11.1】（26-27高三上·广东·阶段检测）已知双曲线的中心为原点，实轴在轴上，两条渐近线互相垂直，焦距为，其左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、. (1)求的方程； (2)为不在轴上的点，在直线、上分别取点、，使轴.为的中点，记.过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点. （i）若，且点在直线上，求； （ii）若，求的值. 【变式11.2】（2026·湖南岳阳·三模）已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积； (3)设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值． 题型12：双曲线中的定直线问题 方法技巧 1. 引入参数，设点、设直线，联立双曲线，写出韦达定理。 2. 利用题干几何条件列式化简，消去参数。 3. 整理化简结果，得到与参数无关的直线方程（通常表现为恒过某定点，或斜率为定值）。 4. 特殊位置先预判定直线（选填秒杀/大题探路），再进行一般情况证明。 【例题12.1】（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【例题12.2】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式12.1】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【变式12.2】（2026·河北·二模）已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 题型13：双曲线中的向量问题 方法技巧 1. 向量条件坐标化，把向量等式转化为坐标关系式。 2. 联立直线双曲线，利用韦达定理代入坐标式子。 3. 向量垂直等价数量积为0；向量共线对应坐标交叉相乘相等。 4. 结合题设与的约束，求出最终参数范围或定值。 【例题13.1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. (1)求此双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 【例题13.2】（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与的右支交于，两点，且，求的斜率． 【变式13.1】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【变式13.2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.3 直线与双曲线的位置关系 内容概览 2 🔷知识点一　直线与双曲线的位置关系及判定 2 🔷知识点二　弦长公式 2 🔷知识点三　中点弦问题（点差法） 2 🔷知识点四　焦点弦问题 3 3 易错点1：联立方程后忽略二次项系数为0的情况 3 易错点2：混淆"一个公共点"与"相切"的概念 4 易错点3：点差法求中点弦后不验证，出现增根 5 易错点4：弦长计算忽略交点分支，韦达定理符号误用 6 易错点5：记错中点弦斜率公式，与椭圆混淆符号 7 易错点6：过定点的直线问题，遗漏平行渐近线的情况 7 9 题型1：点和双曲线的位置关系 9 题型2：讨论双曲线与直线的位置关系 13 题型3：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 16 题型4：求双曲线的切线方程 18 题型5：双曲线中的弦长问题 22 题型6：双曲线的焦半径与焦点弦问题 26 题型7：双曲线的中点弦 28 题型8：双曲线中的参数范围及最值 32 题型9：双曲线中三角形（四边形）的面积 36 题型10：双曲线中的定点问题 40 题型11：双曲线中的定值问题 48 题型12：双曲线中的定直线问题 54 题型13：双曲线中的向量问题 61 🔷知识点一　直线与双曲线的位置关系及判定 将与联立消去y得方程. 斜率与的取值 位置关系 交点个数 且时 相交 只有一个交点（平行渐近线，不是相切） 且 有两个交点 且 相切 只有一个交点 且 相离 没有公共点 ⚠ 特别提醒 · 与椭圆核心区别：椭圆一个公共点必为相切；双曲线一个公共点不一定是相切，可能是平行于渐近线的相交； · 直线与双曲线相交的两个交点，可分布在双曲线的同一支，也可分别在左右两支，可通过韦达定理的符号判断：焦点在轴时，为同支，为异支。 🔷知识点二　弦长公式 直线与双曲线交于两点、时，两交点间的线段为弦，长度计算与椭圆通用。 设直线斜率为： 1. 斜率式弦长公式（最常用）： 2. 纵坐标形式：当直线斜率时， 3. 通径：过焦点且垂直于实轴的弦称为通径，是双曲线同支焦点弦的最小值，长度为。 ⚠ 特别提醒 · 弦长公式基于韦达定理，体现"设而不求"思想，前提是二次项系数不为0且； · 当直线与双曲线交于两支时，，计算弦长时符号不影响结果，但判断交点分布时需重点关注。 🔷知识点三　中点弦问题（点差法） 已知双曲线上一点为弦中点，求弦所在直线方程的核心方法为点差法，计算逻辑与椭圆类似，但斜率公式符号不同。 以焦点在轴的双曲线为例，弦中点为： 1. 设端点：设弦的两个端点为、， 2. 代入方程：、均在双曲线上，代入双曲线方程得两式。 3. 作差变形：两式相减，用平方差公式分解： 4. 代入中点：整理得弦的斜率公式 5. 写方程：由点斜式，得到弦所在直线方程。 6. 验证弦的存在性 联立直线与双曲线方程，得到一元二次方程，验证判别式 ； ⚠ 特别提醒 · 点差法适用于中点弦问题，计算量远小于联立判别式法。 · 双曲线的点差法，求出直线后必须联立双曲线方程验证，确认直线与双曲线有两个交点。 🔷知识点四　焦点弦问题 过双曲线焦点的弦称为焦点弦，分同支焦点弦和异支焦点弦两类，可结合焦半径公式计算弦长。 以焦点在轴的双曲线为例： 1. 同支右焦点弦：两点均在右支，弦长。 2. 异支焦点弦：两点分别在左右两支，弦长需结合焦半径符号计算，本质为两段焦半径之和。 3. 焦点弦最值： (1) 同支焦点弦最小值为通径长； (2) 异支焦点弦的最小值为实轴长。 ⚠ 特别提醒 · 计算焦点弦长时，先判断交点在同支还是异支，对应公式不同，不可直接套用椭圆结论； · 通径仅为同支焦点弦的最小值，并非所有焦点弦的最小值，这是与椭圆的核心区别。 易错点1：联立方程后忽略二次项系数为0的情况 【易错点】 直线与双曲线联立消元后，直接计算判别式，忽略二次项系数可能为0；误将平行于渐近线的单交点情况判定为相切。 【易错消除】 联立消元后先整理方程，先看二次项系数是否为0： 1. 系数为0：直线平行于渐近线，仅1个交点，属于相交，不是相切。 2. 系数不为0：再用判别式判定位置关系。 【易错例题】（2026高二·全国·专题练习）已知双曲线. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据离心率定义和的关系计算可得； （2）直线方程联立双曲线方程消元，分二次系数是否为0求解可得. 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当，即时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述，或. 易错点2：混淆"一个公共点"与"相切"的概念 【易错点】 类比椭圆的结论，认为直线与双曲线只有一个公共点就是相切，忽略平行于渐近线的特殊情况。。 【易错消除】 明确核心结论： 1. 椭圆：一个公共点 相切； 2. 双曲线：一个公共点 相切，可能是相切，也可能是平行于渐近线的相交；相切一定是一个公共点，但一个公共点不一定是相切。 【易错例题】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线l过点．当直线l的斜率为2时，直线l与双曲线C恰有一个交点，求双曲线C的标准方程． 【答案】 【分析】由题意确定双曲线的一条渐近线斜率为2，列式求解即可. 【详解】由题意知，斜率为2的直线与双曲线的一条渐近线平行， 则. 所以双曲线C的标准方程为. 易错点3：点差法求中点弦后不验证，出现增根 【易错点】 用点差法求出直线方程后直接作为最终结果，忘记验证直线与双曲线是否有两个交点。 【易错消除】 点差法求出直线方程后，必须联立双曲线方程验证。 【易错例题】（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 易错点4：弦长计算忽略交点分支，韦达定理符号误用 【易错点】 计算弦长时默认交点在同一支，对交于两支的情况处理错误；或利用判断分布时符号搞反。 【易错消除】 1. 弦长公式本身对同支、异支均适用，无需调整。 2. 判断交点分布：焦点在轴时，为同支，为异支。 【易错例题】（26-27高三·全国·一轮复习）过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于两点，若，则这样的直线有（    ）条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据直线的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，双曲线的通径长度为4，恰好符合，斜率存在时，因，由对称性知有2条符合，综合考虑即得. 【详解】由，可得1 当直线l的斜率不存在时，，此时有1条直线符合要求； 当直线l的斜率存在时，若两点都在右支上，因，不符合要求； 若在左、右两支上时，因，根据双曲线的对称性知，有2条直线符合要求. 故这样的直线共有3条． 易错点5：记错中点弦斜率公式，与椭圆混淆符号 【易错点】 直接套用椭圆中点弦的斜率公式，符号为负，导致双曲线中点弦斜率计算错误。 【易错消除】 1. 不建议死记公式，优先用点差法现场推导，零记忆成本且准确率高。 2. 对比记忆：焦点在轴时，中点，椭圆满足，双曲线满足。 【易错例题】（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 易错点6：过定点的直线问题，遗漏平行渐近线的情况 【易错点】 已知直线过定点且与双曲线只有一个交点，只考虑切线情况，漏掉平行于渐近线的直线，造成漏解。 【易错消除】 "直线与双曲线仅有一个公共点"的问题，必须分两类讨论： 1. 直线与双曲线相切（）。 2. 直线与渐近线平行。 两类情况全部考虑，方可避免漏解。 【易错例题】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求双曲线方程为，根据过知，把点代入求得，即可得出答案． （2）当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为，根据三角形面积公式列方程求出，当直线l与双曲线相切时，设其方程为，与双曲线方程联立，利用求得，结合三角形面积公式列方程求得及，即可得出答案． 【详解】（1）由题意知该双曲线焦点在x轴上，故设其方程为， 根据过知，又过，故有，解得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且与坐标轴正半轴所围成三角形，分两种情况： 当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为， 此时三角形的面积为，解得，所以直线l的方程为； 当直线l与双曲线相切时，直线l的斜率显然存在，设其方程为， 联立，得， 所以且，即， 又因为三角形的面积为，解得（负根舍去）， 所以，解得（正根舍去），所以直线l的方程为； 综上，直线l的方程为或. 题型1：点和双曲线的位置关系 方法技巧 设双曲线方程，点，代入左侧计算，若，点在双曲线上。 【例题1.1】（2026·贵州遵义·模拟预测）（多选）已知双曲线的离心率为，实轴长为4，则（    ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．双曲线C的焦点坐标为 D．点在双曲线C上 【答案】ACD 【分析】由实轴长求，由离心率求，再由求，进而判断各选项. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以，解得. 又因为离心率，所以. 由双曲线中，得，解得. 所以双曲线方程为，故A正确； 双曲线的渐近线方程为，故B错误； 焦点坐标为，故C正确； 将点代入方程：，成立，所以点在双曲线上，故D正确. 【例题1.2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知双曲线的离心率为，则（    ） A． B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若为双曲线的右焦点，为双曲线右支上任意一点，则 【答案】AD 【分析】对于A，根据离心率公式得到方程，求出；对于B，求出焦点坐标为和；对于C，代入可得，从而得到点不在双曲线；对于D，根据双曲线性质得到D正确. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由于，故焦点坐标为和，故B错误； 对于C，由，可得点不在双曲线上，故C错误； 对于D，由双曲线的性质，有，，故D正确. 故选：AD. 【变式1.1】（2025·重庆·二模）若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 _____. 【答案】 【分析】设，则，代入双曲线方程可得，从而可得答案. 【详解】双曲线 与圆 交于 四点， 且这四个点恰为正方形的四个顶点， 设，则， 所以，解得， 所以，即, 故答案为：. 【变式1.2】（2026·河南周口·模拟预测）若，点，双曲线. (1)写出的坐标，并证明：对任意，点在双曲线上； (2)设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，记的面积为（为坐标原点），求证：为定值； （参考公式：设三角形的三个顶点分别为，则三角形的面积）. (3)证明：. 【答案】(1)，，证明： 当时，，. 当时，，. ， ， ∴任意，点在双曲线上. (2)证明： 由（1）知， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 且. 不妨设是直线与直线的交点， 是直线与直线的交点. 联立，得. 联立，得. ， ， . ， . 即的面积为定值. (3)证明：， ， 即. 【分析】（1）分别令和，代入求解，可得的坐标，整理计算，可得表达式，代入化简，即可得证. （2）根据（1）可得直线的方程，求出直线与两渐近线的交点坐标，代入面积公式，化简整理，即可得证. （3）分别对和整理变形，即可得证 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型2：讨论双曲线与直线的位置关系 方法技巧 1. 联立直线方程与双曲线方程，消去一个变量，得到一元方程。 2. 若二次项系数为0，直线与渐近线平行，与双曲线仅有一个交点，属于相交而非相切。 3. 若二次项系数不为0，计算判别式：时直线与双曲线相交（2个交点）；时相切；时相离。 4. 斜率不确定时，单独讨论斜率不存在的直线，防止漏解。 【例题2.1】（第八单元直线与圆锥曲线的位置关系）直线与双曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】方法一：将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数；方法二：将直线与渐近线的斜率比较进行判断. 【详解】方法一：由 可得，， 所以直线与双曲线有2个交点． 方法二：双曲线的渐近线为， 易知直线过双曲线的左顶点，且斜率为， 所以直线与双曲线有2个交点． 故选：C 【例题2.2】（26-27高三·全国·一轮复习）过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】过点作与双曲线仅有一个公共点的直线，分两类讨论：平行于渐近线的直线，和与双曲线相切的直线，再统计总数． 【详解】解：双曲线方程为，点在双曲线的两支之间（代入得，无实数解，说明轴与双曲线无交点） 过该点作直线与双曲线仅有一个公共点的情况如下： 双曲线的渐近线方程为 过点 作平行于这两条渐近线的直线，即 和 这两条直线分别与双曲线的一支交于一点，共有2条 由于点在双曲线两支之间，过该点可以向双曲线的两支各作一条切线，共有2条 综上，满足条件的直线共有 4 条． 故选：D. 【变式2.1】（学易金卷）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为____________________. 【答案】0或1 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 【变式2.2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中分别画出直线和曲线的图象，即可直观的看出公共点的个数. 【详解】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 题型3：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 方法技巧 1. 联立直线与双曲线方程，消元得到一元方程。 2. 当方程为一元二次方程时，根据相交、相切、相离的条件，写出对应的等式或不等式。 3. 注意二次项系数为0，是直线与渐近线平行的特殊情况。 4. 斜率不存在时单独验证，最终取所有情况的并集。 【例题3.1】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 【例题3.2】（25-26高二上·浙江·期末）已知双曲线，过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意，得到满足或点在双曲线的渐近线上，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 因为过点有且仅有2条直线与双曲线有1个公共点， 则满足或点在双曲线的渐近线上， 由，可得，解得或， 由点在双曲线的渐近线上，可得，解得或， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式3.1】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线（，）焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________________． 【答案】 【分析】根据过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，得到渐近线的倾斜角范围，进而得到关于，的不等式，利用，进而得到关于，的不等式，可求得离心率的取值范围. 【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点， 所以双曲线经过第一象限的渐近线的倾斜角不小于， 即， 所以， 所以离心率， 即. 【变式3.2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）双曲线，直线过右焦点交双曲线于两点，则（   ） A．直线斜率为时，只有一个交点 B．若两点均在右支，则 C．若分居于左右两支，则 D．当直线垂直轴，弦长为 【答案】ACD 【分析】先由双曲线方程得到基本量与渐近线，设出过焦点的直线并联立方程；结合二次方程系数、韦达定理根的符号、特殊位置逐一验证各选项. 【详解】由双曲线，得，，即，， 所以渐近线方程为. 又右焦点，设过的直线为（存在）， 联立，消去，得， 整理得.① 对于，渐近线斜率为，若直线斜率，则直线与其中一条渐近线平行，此时直线和双曲线只有1个交点，正确； 对于，若两点均在右支，则方程有两个不相等的正根，即， 由韦达定理得，. 因中分子恒成立，故需要分母，解得，错误； 对于，分跨两支，则方程的两根一正一负，即，解得，正确； 对于，直线垂直于轴，即，代入双曲线，得，交点为，， 弦长为，正确. 题型4：求双曲线的切线方程 方法技巧 1. 点在双曲线上的切点式切线方程 (1) 焦点在轴（）：切线方程为。 (2) 焦点在轴（）：切线方程为。 2. 点在双曲线外，设切线斜率为，联立直线与双曲线方程，令求解斜率，该方法对焦点在轴、轴的双曲线均通用。 3. 已知斜率为的切线方程 (1) 焦点在轴：，要求。 (2) 焦点在轴：，要求。 4. 验证斜率不存在的直线是否为切线，避免漏解。 【例题4.1】（2026高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】利用隐函数的求导方法进行求导，再利用导数的几何意义、直线的点斜式写出切线方程. 【详解】对两边关于求导，得， ，， 故双曲线在点处的切线方程为， 即所求切线方程为. 【例题4.2】（举一反三专项训练）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，，求直线的方程． 【答案】 【分析】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去可得：， 整理可得：， 因为与双曲线相切， 所以， ，， 即， ， ， 代入可得：，即， 所以， ，即， 同理，切线的方程为， 在切线上，所以有， 满足直线方程，而两点唯一确定一条直线， 直线的方程为. 【变式4.1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)已知是双曲线外一点，过P引双曲线C的两条切线为切点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据实轴长和右焦点F到渐近线的距离求出，进而求出双曲线方程； （2）设出切线方程，代入到双曲线方程中，根据判别式为求出斜率，从而得到切线方程和切点，进而求出直线的方程. 【详解】（1）由题可知，所以， 又，渐近线方程为，即， 所以F到渐近线的距离为， 所以双曲线的方程为； （2）过点且斜率不存在的直线方程为，代入中，得， 所以是双曲线C的一条切线，不妨令，所以直线的方程为； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即， 代入中，整理得， 因为与双曲线相切，故， 展开并化简得：，解得， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线的方程为. 【变式4.2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知一结论：若圆C的方程是，则经过圆C上一点的切线方程为. (1)由上面结论分别写出下面两个所求的切线方程（不需要解题过程） ①经过双曲线上一点的切线方程 ②经过抛物线上一点的切线方程 (2)已知椭圆方程为，A为椭圆上顶点，P为椭圆的右顶点，求椭圆上点到直线AP距离的最大值并求出点M坐标（注：若需要椭圆上经过某点的切线方程可以直接写） 【答案】(1)①；②； (2). 【分析】（1）①②设切线方程，分别联立双曲线、抛物线，利用得到关于的方程，结合点在曲线上求，再代回到切线方程并整理即可得答案； （2）根据题设得到直线的方程为，由过椭圆上一点的切线与直线AP平行时，点到直线距离可取最大，进而求出切线与椭圆的切点坐标（离较远的点），应用点线距离公式求答案. 【详解】（1）①令切线为，联立，则， 所以，且， 由， 所以，则，而， 所以，则切线为，即， 所以切线方程为； ②令切线为，联立，则，且， 所以，而，则， 所以，则，即， 所以. （2）由题知，当过椭圆上一点的切线与直线AP平行时，点到直线距离可取最大， 由，则直线的方程为， 由题设，类比可得过点M的切线方程为，得， 代入椭圆方程，，则，故， 所以或（离直线较近，舍去）， 所以M到直线距离最大值为. 题型5：双曲线中的弦长问题 方法技巧 1. 设直线 l与双曲线交于，联立直线与双曲线方程，由韦达定理得。 2. 弦长公式：。 3. 消去保留时，弦长公式为。 4. 联立后先判断是否为二次方程；若是二次方程，计算弦长要求；焦点在轴时，由的符号可判断交点在同一支还是两支。 【例题5.1】（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由渐近线方程为可设双曲线方程为，联立直线方程可得，结合韦达定理和弦长公式，即可得解． 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 【例题5.2】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 【变式5.1】（25-26高二上·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即得. 【详解】（1）由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3， 得，整理得， 所以曲线C的方程为. （2）由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为， 由消去得，解得， 所以. 【变式5.2】（25-26高二上·广西贺州·期末）已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 题型6：双曲线的焦半径与焦点弦问题 方法技巧 1. 焦半径公式 焦点在轴，双曲线上点：（到左焦点），（到右焦点） 焦点在轴，双曲线上点：（到下焦点），（到上焦点）。 2. 以焦点在轴的双曲线为例： (1) 同支右焦点弦：两点均在右支，弦长。 (2) 异支焦点弦：两点分别在左右两支，弦长需结合焦半径符号计算，本质为两段焦半径之和。 3. 若为直线与实轴（焦点所在轴）的夹角，焦点弦长二级结论：。 4. 当直线垂直于实轴时为通径，长度为，是同支焦点弦中的最短弦。 【例题6.1】（25-26高二上·天津河东·阶段检测）双曲线 的焦距为8，通径长为，则_________. 【答案】/ 【分析】根据双曲线的概念及性质列等式计算即可. 【详解】由题意知，，，又， 整理得，解得或（舍去）. 故答案为：. 【例题6.2】（专题16圆锥曲线焦点弦微点3圆锥曲线焦点弦长公式及其应用）过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长． 【答案】8 【分析】利用双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长． 【详解】由双曲线得，又 所以． 【变式6.1】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点，且，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分在同一支上和在两支上两种情况讨论求解即可. 【详解】根据双曲线的性质，如果在同一支上，则的最小值为通径，即， 如果在两支上，则的最小值为实轴长，即． 因为，所以根据双曲线的性质，这样的直线有4条,如图. 故选：D．      【变式6.2】（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点到轴的距离结合双曲线定义，得到，利用焦半径公式及可求解. 【详解】因为点到轴的距离， 所以点到两焦点的距离之和， 由焦半径公式，所以， 所以，得，又由焦点坐标可知， 所以，解得， 故选：C. 题型7：双曲线的中点弦 方法技巧 1. 点差法：设弦端点，两点代入双曲线方程作差，构造中点与斜率的关系。 2. 点差法结论 (1) 焦点在轴（）：。 (2) 焦点在轴（）：。 3. 求出直线方程后，必须代回双曲线验证，中点弦可能不存在。 4. 也可联立方程，利用韦达定理求解，结果同样需要检验。 【例题7.1】（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 【例题7.2】（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【答案】 （或） 3（答案不唯一） 【详解】对于双曲线：，有， 其渐近线方程为； 设，则， 两式相减得，即， 线段的中点为，则， 若，则中点为双曲线顶点，此时直线AB的方程为，与双曲线只有一个交点，不符合题意，故， 则，即得，即得直线的斜率为， 可得直线的，联立， 得， 则， 化简得，解得或， 故实数的一个取值可为3. 【变式7.1】（26-27高三上·云南玉溪·开学考试）已知双曲线的离心率为3，A，B是C上的两点． (1)求C的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率求出，得到双曲线方程； （2）由点差法得到直线的斜率，进而得到直线的方程，检验后可得答案 【详解】（1）因为，，所以，则， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，，由题知， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，整理，得， 则，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线的方程为． 【变式7.2】（26-27高三上·河南·阶段检测）已知双曲线：的虚轴长为2，离心率为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据虚轴长及离心率直接求解即可； （2）将直线与的方程联立，结合韦达定理得出的坐标，由两点之间距离公式即可求解． 【详解】（1）依题意可得，， 解得，， 所以的方程为． （2）将代入，整理得， ． 设，，． 由韦达定理得， 则， ， 所以． 题型8：双曲线中的参数范围及最值 方法技巧 1. 代数法：联立直线与双曲线，用韦达定理构造目标函数，结合求值域。 2. 几何法：利用双曲线定义、几何图形，结合点到直线距离等几何意义求解。 3. 边界约束：双曲线上点的坐标有范围限制（如焦点在x轴时，或）。 【例题8.1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据对勾函数性质计算得到答案. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C 【例题8.2】（25-26高二下·上海闵行·期末）已知点、，动点在曲线：上，则的面积（     ） A．有最大值，没有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，也有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【分析】根据题意可求得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围. 【详解】因为，， 则，直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 双曲线的渐近线方程为， 则直线与渐近线平行，两平行线间距离， 曲线：过点， 过点与直线平行的直线方程为， 两平行线间距离， 结合图形可知点到直线的距离， 则的面积， 所以的面积有最大值，但没有最小值. 【变式8.1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知双曲线的左，右顶点分别为，过的右焦点的直线与的右支交于两点．当与轴垂直时，． (1)求的方程； (2)直线与直线的交点分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据与轴垂直时得，结合得到，由此可得双曲线的标准方程； （2）设，与双曲线方程联立，表示点坐标，借助韦达定理可求最小值即可． 【详解】（1）对双曲线，令，得， ∴当与轴垂直时，． 由得，即，故， ∵，∴，∴的方程为． （2）①不合题意． ②设， 联立得，， ∴， ，解得， ∵，∴直线方程为， 故，同理， ∴ ． ∴当时，． 【变式8.2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线，焦距为. (1)求双曲线的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值； (3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）. 【答案】(1)，. (2)不存在 (3) 【分析】（1）利用题目已知的值和焦距直接求出，从而写出双曲线标准方程和对应的渐近线方程; （2）将向量等式转化为点为线段的中点，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理列式求解斜率； （3）借助双曲线的定义将多变量的距离和转化为关于焦半径的表达式，再利用右支焦半径的性质即可求解. 【详解】（1）由题意：， ， 由，得，即， 双曲线标准方程：，渐近线为. （2）设直线，设，联立， 消去，整理得：， 由，根据向量性质可知，点为的中点， 故根据中点坐标公式，得：， 由韦达定理得 ， 解方程：，方程无解. 故满足条件的斜率不存在. （3）由双曲线定义，即, 将其代入，得， 点为双曲线右支上动点，根据双曲线焦半径性质， 右支上点到右焦点的距离最小值为， 即，代入上式，得最小值： . 题型9：双曲线中三角形（四边形）的面积 方法技巧 1. 基础公式：底高；以弦长为底，点到直线距离为高。 2. 焦点三角形面积：，为双曲线上点对两焦点的张角。 3. 四边形常拆成两个三角形求和，优先考虑对角线分割。 4. 联立方程，结合韦达定理表达面积，转化为函数求最值。 【例题9.1】（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线，右焦点为，直线经过且与轴垂直．若与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求得右焦点的坐标，渐近线方程，进而求得的坐标，可求的面积. 【详解】由双曲线，可得右焦点为，渐近线方程为， 因为直线经过且与轴垂直，所以直线的方程为， 所以直线与两渐近线的交点的坐标分别为， 所以，所以的面积为. 故选：C. 【例题9.2】（24-25高三下·安徽·开学考试）设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 【变式9.1】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知双曲线， (1)求双曲线离心率： (2)过点作不垂直于轴的直线交双曲线于两点．若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由标准方程读出 ，利用 求 ，代入离心率公式 即得 ； （2）由 三点位置，结合中点条件可求，代入双曲线方程可求（依右支舍去负根），再代回斜率公式得 ； （3）将 展开整理得 ，与双曲线方程联立消元求得 ，以 为底求焦点三角形面积。 【详解】（1） 双曲线 （2）已知 是 中点， 设 ，由中点公式： ∵ 在双曲线 上，代入双曲线方程可得，故， 把 代入可得，所以， ∵ 在右支， 由 ，得 ，即 直线 过 （3）由已知 设 ， ，故， 又在双曲线上，故，即， 联立方程组， 所以 s所以 【变式9.2】（2026·浙江·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率为． (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据给定的条件列式求出即可. （2）（i）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及共线条件求解；（ii）求出四边形面积的表达式，利用函数的单调性求出范围. 【详解】（1）由双曲线的左焦点为，离心率为， 得，则， 所以双曲线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， ，由，得，联立解得， 所以直线的方程为. （ii）由（i）知，连接，设四边形的面积为， 则，由对称性不妨令，由， 得，即，则，解得， ，而为中点，则， 而，因此， ，，， 则，函数在上单调递增， 于是，而当从小于的方向趋近于时，， 所以四边形的面积的取值范围为. 题型10：双曲线中的定点问题 方法技巧 1. 通法（代数法）：设含参数的直线方程，联立双曲线，利用韦达定理得到关系式。 2. 消参寻定（核心步骤）：根据题干条件列出等式，化简消去参数。 3. 整理恒等式（找定点）：找到不受参数变化影响的点坐标。 4. 特殊值探路（选填秒杀/大题猜测）：取参数两个特殊值，求出两条直线交点，再验证该点恒满足条件。 【例题10.1】（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点. (1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点； (2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)设双曲线 ， 由题意得：解得故双曲线方程为 . 设，则 ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点. ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或） 联立方程组：消去得：. 由，即. 又，则，， 所以，即，解得. 所以直线，又，则. 联立方程组：消去得：，因为. 则上式化简为，恒成立. 设，，则，所以为AB的中点. (2)存在， 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和焦点坐标求出双曲线的标准方程，根据直线是否存在斜率进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数关系进行运算求解证明即可； （2）根据两点间距离公式，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为与相交，则切线的斜率存在， 由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得 所以，，则， . 所以. 故存在，使得恒成立. 【例题10.2】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于、两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点，且定点坐标为. 由题知，，显然过点的直线斜率存在且不为， 设过点的直线为，则过与其垂直的直线为， 令与双曲线交点为，与双曲线交点为， 则联立方程， 解得，则，， 所以，即， 将换成，即可得到， 所以， 且， 所以直线斜率， 所以直线方程为， 整理可得， 当时，， 所以直线过定点，且定点坐标为. 【分析】（1）根据双曲线方程，求得右顶点坐标以及渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可； （2）根据图像直接舍去一种三角形，然后根据满足条件的两种三角形，利用两腰相等，结合两点之间距离公式，即可求出结果； （3）由题可知，过点的直线斜率存在且不为，设出过的两条相互垂直的直线方程，以及坐标，联立方程解得坐标，表示出直线的方程，即可得证. 【详解】（1）由双曲线方程为，可得其右顶点为， 且其渐近线方程为， 根据对称性，右顶点到两渐近线的距离相等， 不妨求到的距离， 则化为一般式为， 所以到的距离为， 即的右顶点到一条渐近线的距离为. （2）因为点在第一象限且， 且、、为一个等腰三角形的三个顶点， 则根据草图分析，满足条件的点有两种， 分别为以及两种， 设点坐标为， 则或， 解得（舍去），或， 综上，点的横坐标为. （3）略 【变式10.1】（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 【变式10.2】（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）将两点坐标代入双曲线方程即可求解. （2）（i）设出直线方程，联立方程，消去得到方程，利用方程根的情况可求解. （ii）假设存在满足条件的定点，利用轴平分得到即可求解出点的坐标. 【详解】（1）由双曲线：经过点，， 得，解得. 所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为：，联立， 整理得. 因为直线与双曲线的右支相交于两点，设，， 所以，解得或. 故斜率的取值范围为. （ii）由轴平分可知. 由（i）可得. 又，， 则，. 假设在轴上存在定点，则， 因为，所以， 展开可得， 即. 因为或，所以. 即， 即， 即，得. 所以轴上存在定点符合条件，且． 【点睛】本题考查直线与双曲线的问题，是常考内容， 角平分线转化为斜率关系，结合韦达求定点，体现解析几何的一般解题思想. 题型11：双曲线中的定值问题 方法技巧 1. 通法联立（设参求根）：选取合适参数，设点或设直线，联立双曲线得到韦达定理。 2. 目标代换（代数转化）：将目标表达式（如斜率之积、向量数量积、面积等）用韦达定理的代换。 3. 化简消参（得证定值）：化简表达式，参数会全部消去，得到固定常数。 4. 特殊探路（选填秒杀/大题探路）：可先用特殊位置猜出定值，再做一般性证明。 【例题11.1】（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. 【详解】（1）如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． （2）因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 【例题11.2】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 【答案】(1) (2) 如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）略 【变式11.1】（26-27高三上·广东·阶段检测）已知双曲线的中心为原点，实轴在轴上，两条渐近线互相垂直，焦距为，其左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、. (1)求的方程； (2)为不在轴上的点，在直线、上分别取点、，使轴.为的中点，记.过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点. （i）若，且点在直线上，求； （ii）若，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据双曲线性质和已知条件列关于、、的方程组，解方程组即可. （2）（i）设，，由平行于轴，得，进一步根据已知条件表示出点坐标，再根据点在直线上列方程求出，利用两点距离公式求. （ii）设，根据得到，即点在双曲线上，再利用双曲线定义求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为，则两条渐近线的斜率分别为、， 由两条渐近线互相垂直，得，所以. 由双曲线的焦距为，得， 又，所以，故的方程为，即. （2）（i）设，其中，则、. 设，，设、， 由可得，则， 所以，即点， 由可得，则， 所以，即点， 由平行于轴，得， 又，所以，记， 从而，，故点，. 当时，，由在直线上，得， 所以，故. （ii）由，得，所以，， 由及， 得，且，所以，即点在双曲线上. 由双曲线的定义，，故. 【变式11.2】（2026·湖南岳阳·三模）已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积； (3)设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，最小值为． 【分析】（1）根据离心率和点到直线的距离公式求出和，从而求出双曲线的标准方程； （2）先求出直线的方程，再联立双曲线方程，从而求出M，N两点坐标，得到MN的长度，再计算点到直线的距离，得到的面积； （3）对直线PQ斜率分存在与不存在两种情况，都得到原点O到PQ的距离为定值，再利用均值不等式求的最小值. 【详解】（1）由离心率得，即，又，所以． 所以渐近线方程为，即． 右顶点坐标为，它到渐近线的距离为，解得，所以．于是，所以双曲线的标准方程为． （2）由（1）知双曲线为，因为，所以，得焦点，虚轴上端点． 当直线垂直于轴，．代入双曲线方程：． 得，此时的长度为8. 点到直线的距离为，故． 所以的面积为． （3）当直线斜率不存在，设，则， 由得 ，即，即，解得， 此时点到直线PQ的距离． 当直线PQ斜率存在，设，与双曲线方程联立： ，即． 则，所以， 设，则． 由得， 而， 代入得． 即，即， 两边乘以得， 展开得， 整理得， 即，所以，即． 原点到直线PQ的距离，则，故，为定值． 在直角三角形OPQ中，， 且，所以． 由均值不等式，，即， 得，故， 当时取等，此时，符合． 因此的最小值为． 题型12：双曲线中的定直线问题 方法技巧 1. 引入参数，设点、设直线，联立双曲线，写出韦达定理。 2. 利用题干几何条件列式化简，消去参数。 3. 整理化简结果，得到与参数无关的直线方程（通常表现为恒过某定点，或斜率为定值）。 4. 特殊位置先预判定直线（选填秒杀/大题探路），再进行一般情况证明。 【例题12.1】（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) 证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）略 【例题12.2】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 【变式12.1】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 【变式12.2】（2026·河北·二模）已知双曲线的离心率为点在上. (1)求的方程. (2)已知A，B分别为的左、右顶点，过点的直线与Γ的右支交于C，D两点. （i）若直线BC和BD的斜率分别为，求; （ii）若直线BC交直线于点N，直线AD和直线MN的交点为Q，证明:点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：直线的方程为，令，得. 直线的方程为， 直线的方程为. 联立两直线方程：， 代入，，结合， 即， 所以， ， ， ， ， ，即， 因在右支，不恒为，故. 即点在定直线上. 【分析】（1）通过离心率与点在曲线上的条件求解双曲线方程； （2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算斜率乘积； （ii）联立直线方程，结合韦达定理关系化简，确定交点横坐标为定值. 【详解】（1）由双曲线离心率，得. 结合，得，故. 将点代入双曲线方程，得， 解得，则. 故双曲线的方程为. （2）（i）双曲线的左右顶点为，. 设过的直线为，与交于，. 联立方程，消去得，， 由韦达定理，，. 直线、的斜率分别为，，则， 代入，， 得 ， 因此. （ii）略 题型13：双曲线中的向量问题 方法技巧 1. 向量条件坐标化，把向量等式转化为坐标关系式。 2. 联立直线双曲线，利用韦达定理代入坐标式子。 3. 向量垂直等价数量积为0；向量共线对应坐标交叉相乘相等。 4. 结合题设与的约束，求出最终参数范围或定值。 【例题13.1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. (1)求此双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线方程为，依题意求出、、，即可得解； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【详解】（1）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，， 由，消去整理得， 则且，则且， 所以，， 所以 ， 因为，，， 所以，即，解得，符合题意， 所以. 【例题13.2】（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与的右支交于，两点，且，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率可得，再由焦距为4，可得，再结合可得，于是可得的方程为； （2）直线与双曲线方程联立得到，由韦达定理，再结合，可得方程，解得斜率为. 【详解】（1）设的焦距为，由题意得， 可解得， 所以的方程为. （2）设：，，． 由得， 得 由，得， 则， 得，． 由， 得，得． 当时，，与的右支交于两点， 所以的斜率为． 【变式13.1】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算右焦点的坐标，使用点到直线的距离求解； （2）分析等腰三角形的边长，使用坐标法求解； （3）联立直线与双曲线的方程，消元，使用韦达定理求解. 【详解】（1）由题知，，右焦点为，渐近线方程为， 根据双曲线对称性不妨取，则右焦点到渐近线的距离. （2）设，则，， 若，，解得， 若，则，代入双曲线方程解得，矛盾； 若，，解得， 综上，点P的横坐标为或. （3）易知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 得， 令且，得且， 设，则，， ， 当时，，当时，， 所以的取值范围为：. 【变式13.2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出的范围，进而求出倾斜角的范围. 【详解】（1）由题，，得 故 （2）因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将代入曲线，得符合题意，； 若，设点，则， 则 又因为点M满足，可得，此时， DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标； （3）由题可得，双曲线 ， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得 显然，， ，，故 由，可得，且． 故 因此 ， 根据对勾函数的性质：在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $