2.2.1-2.2.2直线的点斜式和两点式方程（知识清单，知识点+六大易错点+八大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了直线方程的核心内容。从直线的点斜式、斜截式方程出发，延伸到两点式、截距式方程及线段中点坐标公式，明确各方程的已知条件、形式及适用限制，构建从基础定义到应用条件的学习支架。 知识链路按“知识点-易错点-题型”逻辑清晰呈现，知识点用表格对比条件与适用范围，易错点针对斜率存在性等高频错误专项突破，题型配套方法技巧和例题。通过结构化梳理和问题解决，培养学生的推理意识和模型意识，助力构建完整的直线方程认知体系。

第二章 直线和圆的方程 2.2.1-2.2.2直线的点斜式和两点式方程内容概览 1 🔷知识点一　直线的点斜式方程 2 🔷知识点二　直线的斜截式方程 2 🔷知识点三　直线的两点式方程 3 🔷知识点四　直线的截距式方程 3 🔷知识点五　线段中点坐标公式 4 4 易错点1：点斜式和斜截式忽略限制条件 4 易错点2：截距概念理解混淆 5 易错点3：两点式忽略限制条件 6 易错点4：截距式忽略限制条件 7 易错点5：漏解斜率不存在直线 8 易错点6：审题忽略方程形式要求 9 9 题型1：直线的点斜式方程及辨析 10 题型2：直线的斜截式方程及辨析 11 题型3：直线图象的辨析 13 题型4：直线两点式方程及辨析 15 题型5：直线截距式方程及辨析 16 题型6：直线与坐标轴围成图形的面积问题 18 题型7：直线方向向量和直线方程的关系 21 题型8：线段中点坐标公式 23 🔷知识点一　直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点，且斜率为k 示意图 方程形式 ____ 适用条件 斜率存在 已知点在直线l上，且l的斜率为，那么直线的方程为____，称为直线的点斜式方程. ⚠️特别提醒 1. 点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在. 2. 方程与表示的意义不同，后者表示的图形中不包括点. 3. 已知点在直线l上，且l的斜率为0，其点斜式方程为：，直线平行或重合于轴. 4. 已知点在直线l上，且l的斜率不存在，没有点斜式方程，其方程为：，直线垂直于轴. 🔷知识点二　直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 直线的斜率为，且与轴的交点为 示意图 方程形式 __y=kx+b__ 适用条件 斜率存在 1. 截距的概念： 若直线与轴的交点为，则称直线在轴上的截距为b． 2. 直线的斜截式方程： 已知直线l的斜率为k，在轴上的截距为b，那么直线的方程为______，称为直线的斜截式方程. ⚠ 特别提醒 1. 截距b可正，可负，也可为零． 2. 斜率不存在的直线没有斜截式方程． 3. 直线的斜截式是直线点斜式的特例． 🔷知识点三　直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点（其中） 示意图 方程形式 _______ 适用条件 斜率存在且不为零 经过两点，并且不与任一坐标轴平行或重合的直线l，，且，则直线l的斜率是，于是该直线的点斜式方程为，整理成关于两个坐标对称的形式，得___，则此方程称为直线的两点式方程． ⚠ 特别提醒 1. 两点式方程由直线上两点确定，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义． 2. 我们把直线的两点式方程改写为，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 3. 经过两点，当时，直线方程为． 4. 经过两点，当时，直线方程为． 🔷知识点四　直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且， 示意图 方程形式 ________ 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 1. 直线l的截距： （1）直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点的___纵坐标b___． （2）直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点的___横坐标a___． 2. 直线的截距式方程 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b且，，那么直线的方程为____，称为直线的截距式方程. ⚠ 特别提醒 1. 截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线．即不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线. 2. 截距可正，可负，也可为零. 🔷知识点五　线段中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，且线段AB的中点C的坐标为，则 易错点1：点斜式和斜截式忽略限制条件 【易错点】 点斜式和斜截式这两种形式都无法表示斜率不存在（即垂直于 x轴）的直线，若题目中存在斜率不存在的情况，直接设这两种形式会导致漏解． 【易错消除】 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距）    不表示垂直于轴的直线 【易错例题】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 易错点2：截距概念理解混淆 【易错点】 混淆了截距与距离的概念． 【易错消除】 1. 截距不是距离，截距是直线与坐标轴交点的坐标值，可以是正数、负数或零. 2. 令，解出x的值，即为直线在x轴上的截距，也叫横截距. 3. 令，解出y的值，即为直线在y轴上的截距，也叫纵截距. 【易错例题】（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 【答案】 【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为. 易错点3：两点式忽略限制条件 【易错点】 忽略了分式形式两点式中的. 【易错消除】 名称 条件 方程 图形 适用范围 两点式 和其中    不表示垂直于坐标轴的直线 两点式方程，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义．我们把直线的两点式方程改写为__，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 【易错例题】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 C．过点的直线方程是 D．直线在轴上的截距是 【答案】BD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项B正确；根据直线两点式方程的限制条件可得选项C错误；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】对于A，当直线倾斜角为钝角时，直线斜率， 当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. 对于B，当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条，故B正确. 对于C，当时， 过点的直线方程是，故C错误； 对于D，对于直线，令，得， 故直线在轴上的截距是，故D正确. 故选：BD 易错点4：截距式忽略限制条件 【易错点】 截距式，忽视了要求横截距、纵截距. 【易错消除】 名称 条件 方程 图形 适用范围 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过___原点__的直线 （横截距、纵截距） 【易错例题】（复习讲义）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由直线的斜截式方程可设直线方程为，求与坐标轴的交点，根据面积为6即可求解； （2）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，代入点即可求解；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为，由题意得方程组，解出即可． 【详解】（1）设直线方程为，令，得，令，得， ，解得，直线方程为， 即． （2）①当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为，又直线过点， ，解得，直线方程为，即； ②当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得 解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 易错点5：漏解斜率不存在直线 【易错点】 设直线方程时，不能直接设斜率，默认斜率存在. 【易错消除】 设直线方程时，漏掉斜率不存在的情况，是高频丢分点；做题要分斜率存在、斜率不存在两类讨论. 【易错例题】（25-26高二上·上海徐汇·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 【答案】或 【分析】利用直线夹角公式，结合直线是否存在斜率分类讨论进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为，倾斜角为， 当直线不存在斜率时，方程为， 显然此时直线与直线的夹角为，符合题意； 当直线存在斜率时，设为， 因为直线与直线的夹角为， 所以， 此时方程为. 故答案为：或 易错点6：审题忽略方程形式要求 【易错点】 求出直线方程后，不看题目要求，没有写成题目要求的方程形式导致扣分. 【易错消除】 求出直线方程后，要看题目要求，保留点斜式、两点式等方程形式. 【易错例题】（24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程______. 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【分析】根据两点式方程的定义计算可得. 【详解】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 题型1：直线的点斜式方程及辨析 方法技巧 已知直线过定点 且斜率为 k，直接代入点斜式方程： 1. 点斜式只能表示斜率存在的直线，若直线垂直于 x 轴（斜率不存在），其方程为. 2. 在含参问题中，设方程前务必先讨论斜率是否存在，防止漏解. 【例题1.1】（暑假预习讲义）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【答案】 【详解】由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. 【例题1.2】（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 【变式1.1】（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A 【变式1.2】（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 题型2：直线的斜截式方程及辨析 方法技巧 已知斜率 k和 y轴上的截距b，直接代入斜截式 ： 1. 斜率不存在的直线没有斜截式方程. 2. 截距b不是距离，可正，可负，也可为零. 【例题2.1】（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 【例题2.2】（25-26高二上·广东茂名·期末）若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，直线平移后的直线方程，根据两直线重合，求得. 【详解】直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后， 得到的直线方程为，即. ∴，∴. 故选：B. 【变式2.1】（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线斜截式方程得到斜率，再结合倾斜角的取值范围，利用斜率与倾斜角的正切关系求解. 【详解】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 【变式2.2】（课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】倾斜角求出斜率，进而由点斜式写出直线的斜截式方程. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）由于倾斜角，则斜率， 由斜截式可得所求直线方程为 （3）由于直线的倾斜角为，则其斜率. 由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 则直线在y轴上的截距或， 故所求直线方程为或. 题型3：直线图象的辨析 方法技巧 根据直线方程分析斜率 k 和截距 b 的符号，从而判断直线在坐标系中的大致走向： 1. 看 k定升降：k>0 直线从左下向右上倾斜，k<0 直线从左上向右下倾斜，k=0水平． 2. 看 b定上下：b>0 直线与 y 轴交于正半轴，b<0 直线与 y 轴交于负半轴，b=0 过原点． 3. 对于含参方程，要对参数进行分类讨论，画出不同情况下的图象进行验证． 【例题3.1】【暑假自学课】（多选）在同一平面直角坐标系中，直线和直线不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABCD 【分析】先把方程化成斜截式，然后分别分析各选项中的斜率和纵截距，进而可求解. 【详解】由题意， A项，，，所以A项不可能； B项，，，两直线的纵截距相同，所以,两直线重合，所以B项不可能； C项，，，所以C项不可能； D项，，，所以D项不可能. 故选：ABCD． 【例题3.2】（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B 【变式3.1】（24-25高二上·海南·期中）（多选）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【分析】由图像逐项判断即可. 【详解】对于A：由图像判断，符合，正确； 对于B：，在轴上的截距为1，图像不符合；错误； 对于C：由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为，结合图像可得：，图像符合；正确； 对于D: 由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为， 结合图像可知：，即，此时的图像矛盾，错误； 故选：AC 【变式3.2】（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 题型4：直线两点式方程及辨析 方法技巧 已知两点和，代入两点式 ： 1. 两点式要求. 2. 当时，直线方程为；当时，直线方程为．先判断再代入，防止分母为零． 3. 我们把直线的两点式方程改写为，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 【例题4.1】（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 【例题4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 【答案】 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 【变式4.1】（25-26高二上·安徽·期末）经过点和的直线的方程为________． 【答案】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． 【变式4.2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 题型5：直线截距式方程及辨析 方法技巧 已知直线在x，y轴上的截距分别为a，b（均不为0），代入截距式： 1. 截距式不能表示过原点的直线（a= b=0），也不能表示垂直于坐标轴的直线． 2. 遇到“截距相等”、“截距互为相反数”等条件时，要特别注意讨论过原点（）的特殊情况． 【例题5.1】（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 【例题5.2】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解. 【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 【变式5.1】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 【变式5.2】（暑假预习讲义）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 题型6：直线与坐标轴围成图形的面积问题 方法技巧 求出直线在x，y轴上的截距分别为a，b，利用三角形面积公式求解 1. 用截距式设方程往往最方便，但要注意截距的符号（面积取绝对值）． 2. 若直线过定点，也可设点斜式，然后求出截距再计算面积，注意分类讨论斜率是否存在． 【例题6.1】（2026高二·全国·专题练习）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】 【分析】利用到角公式求直线的斜率，结合过点写出直线方程，进而求交点坐标，即可得. 【详解】在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即.    在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 【例题6.2】（2026高二·全国·专题练习）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 【变式6.1】（25-26高一下·上海·阶段检测） 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【答案】 【分析】利用到角公式求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程，求出其与轴，轴的交点坐标，求出所围成的三角形面积. 【详解】在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 【变式6.2】（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程设出直线的方程，并求出点坐标及三角形面积，再按直线斜率的正负分类，结合一元二次方程根的情况求出范围. 【详解】直线不垂直于坐标轴，设直线方程为， 则点，的面积， 于是，即，， 当，即时，，整理得， 此方程有两个负根，则，又，解得； 当，即时，，整理得， 此方程有两个正根，则，又，解得， 因此当时，有两解；当时，有三解； 当时，有四解， 由使得的面积为的直线有且只有2条，得有两解，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型7：直线方向向量和直线方程的关系 方法技巧 利用方向向量与斜率的关系解题，直线方程可由点斜式写出： 1. 若直线的方向向量为，则： 当时，斜率； 当时，斜率不存在． 2. 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． 3. 注意：方向向量不唯一，与方向向量共线的向量也是该直线的方向向量。利用这一特性可以灵活转化． 【例题7.1】（25-26高二上·四川绵阳·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可. 【详解】，所以该直线的一个方向向量为， 因为，所以向量与向量是共线向量， 其他选项的向量与向量不是共线向量. 故选：B 【例题7.2】（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程是. 故选：D 【变式7.1】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）若直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率等于直线的方向向量的纵坐标与横坐标之比求解即可. 【详解】因为直线的斜率为， 又因为直线的方向向量为， 所以，解得. 故选： 【变式7.2】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则______． 【答案】2 【分析】根据点以及方向向量分别求解出，的方程，再得到截距即可得出结果. 【详解】因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距． 因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距， 所以． 故答案为：2. 题型8：线段中点坐标公式 方法技巧 若点A，B的坐标分别为，，且线段AB的中点C的坐标为，则 【例题8.1】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 【例题8.2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 【变式8.1】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知三角形的顶点坐标为是边上的中点. (1)求中线的直线方程； (2)求边的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式得出的坐标，由斜率公式求得，由点斜式则可求出的方程； （2）根据两点的斜率公式和两直线垂直其斜率间的关系可求得AB边上的高所在直线方程的斜率，从而得出直线方程. 【详解】（1）由中点坐标公式可得， 则， 则中线的方程为：， 即. （2）因为直线的斜率为， 设边的高所在直线的斜率为k，则有，∴. 所以边高所在直线方程为即. 【变式8.2】（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，中点为点，求： (1)边上中线所在直线的方程； (2)边的垂直平分线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出点坐标，再利用直线的截距式方程求解即得. （2）求出直线的斜率，结合垂直关系，利用直线的斜截式求解. 【详解】（1）由，，得，而点， 则直线方程为，即， 所以边上中线所在直线的方程为. （2）直线的斜率，则边的垂直平分线的斜率， 所以边的垂直平分线的方程为. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.2.1-2.2.2直线的点斜式和两点式方程内容概览 1 🔷知识点一　直线的点斜式方程 2 🔷知识点二　直线的斜截式方程 2 🔷知识点三　直线的两点式方程 3 🔷知识点四　直线的截距式方程 3 🔷知识点五　线段中点坐标公式 4 4 易错点1：点斜式和斜截式忽略限制条件 4 易错点2：截距概念理解混淆 5 易错点3：两点式忽略限制条件 5 易错点4：截距式忽略限制条件 6 易错点5：漏解斜率不存在直线 7 易错点6：审题忽略方程形式要求 7 7 题型1：直线的点斜式方程及辨析 7 题型2：直线的斜截式方程及辨析 8 题型3：直线图象的辨析 8 题型4：直线两点式方程及辨析 9 题型5：直线截距式方程及辨析 10 题型6：直线与坐标轴围成图形的面积问题 11 题型7：直线方向向量和直线方程的关系 11 题型8：线段中点坐标公式 12 🔷知识点一　直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点，且斜率为k 示意图 方程形式 ____ 适用条件 斜率存在 已知点在直线l上，且l的斜率为，那么直线的方程为____，称为直线的点斜式方程. ⚠️特别提醒 1. 点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在. 2. 方程与表示的意义不同，后者表示的图形中不包括点. 3. 已知点在直线l上，且l的斜率为0，其点斜式方程为：，直线平行或重合于轴. 4. 已知点在直线l上，且l的斜率不存在，没有点斜式方程，其方程为：，直线垂直于轴. 🔷知识点二　直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 直线的斜率为，且与轴的交点为 示意图 方程形式 __y=kx+b__ 适用条件 斜率存在 1. 截距的概念： 若直线与轴的交点为，则称直线在轴上的截距为b． 2. 直线的斜截式方程： 已知直线l的斜率为k，在轴上的截距为b，那么直线的方程为______，称为直线的斜截式方程. ⚠ 特别提醒 1. 截距b可正，可负，也可为零． 2. 斜率不存在的直线没有斜截式方程． 3. 直线的斜截式是直线点斜式的特例． 🔷知识点三　直线的两点式方程 名称 两点式方程 已知条件 经过两点（其中） 示意图 方程形式 _______ 适用条件 斜率存在且不为零 经过两点，并且不与任一坐标轴平行或重合的直线l，，且，则直线l的斜率是，于是该直线的点斜式方程为，整理成关于两个坐标对称的形式，得___，则此方程称为直线的两点式方程． ⚠ 特别提醒 1. 两点式方程由直线上两点确定，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义． 2. 我们把直线的两点式方程改写为，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 3. 经过两点，当时，直线方程为． 4. 经过两点，当时，直线方程为． 🔷知识点四　直线的截距式方程 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且， 示意图 方程形式 ________ 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 1. 直线l的截距： （1）直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点的___纵坐标b___． （2）直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点的___横坐标a___． 2. 直线的截距式方程 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为a，b且，，那么直线的方程为____，称为直线的截距式方程. ⚠ 特别提醒 1. 截距式方程只能表示在轴、轴上的截距都存在且不为0的直线．即不能表示过原点的直线、与轴垂直的直线、与轴垂直的直线. 2. 截距可正，可负，也可为零. 🔷知识点五　线段中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，且线段AB的中点C的坐标为，则 易错点1：点斜式和斜截式忽略限制条件 【易错点】 点斜式和斜截式这两种形式都无法表示斜率不存在（即垂直于 x轴）的直线，若题目中存在斜率不存在的情况，直接设这两种形式会导致漏解． 【易错消除】 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距）    不表示垂直于轴的直线 【易错例题】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 易错点2：截距概念理解混淆 【易错点】 混淆了截距与距离的概念． 【易错消除】 1. 截距不是距离，截距是直线与坐标轴交点的坐标值，可以是正数、负数或零. 2. 令，解出x的值，即为直线在x轴上的截距，也叫横截距. 3. 令，解出y的值，即为直线在y轴上的截距，也叫纵截距. 【易错例题】（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 易错点3：两点式忽略限制条件 【易错点】 忽略了分式形式两点式中的. 【易错消除】 名称 条件 方程 图形 适用范围 两点式 和其中    不表示垂直于坐标轴的直线 两点式方程，只有当直线不垂直于任何坐标轴时才有意义．我们把直线的两点式方程改写为__，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 【易错例题】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．经过点且在轴和轴上截距相等的直线有2条 C．过点的直线方程是 D．直线在轴上的截距是 易错点4：截距式忽略限制条件 【易错点】 截距式，忽视了要求横截距、纵截距. 【易错消除】 名称 条件 方程 图形 适用范围 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过___原点__的直线 （横截距、纵截距） 【易错例题】（复习讲义）求符合下列条件的直线方程． (1)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 易错点5：漏解斜率不存在直线 【易错点】 设直线方程时，不能直接设斜率，默认斜率存在. 【易错消除】 设直线方程时，漏掉斜率不存在的情况，是高频丢分点；做题要分斜率存在、斜率不存在两类讨论. 【易错例题】（25-26高二上·上海徐汇·期末）已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 易错点6：审题忽略方程形式要求 【易错点】 求出直线方程后，不看题目要求，没有写成题目要求的方程形式导致扣分. 【易错消除】 求出直线方程后，要看题目要求，保留点斜式、两点式等方程形式. 【易错例题】（24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程______. 题型1：直线的点斜式方程及辨析 方法技巧 已知直线过定点 且斜率为 k，直接代入点斜式方程： 1. 点斜式只能表示斜率存在的直线，若直线垂直于 x 轴（斜率不存在），其方程为. 2. 在含参问题中，设方程前务必先讨论斜率是否存在，防止漏解. 【例题1.1】（暑假预习讲义）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【例题1.2】（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【变式1.1】（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式1.2】（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 题型2：直线的斜截式方程及辨析 方法技巧 已知斜率 k和 y轴上的截距b，直接代入斜截式 ： 1. 斜率不存在的直线没有斜截式方程. 2. 截距b不是距离，可正，可负，也可为零. 【例题2.1】（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【例题2.2】（25-26高二上·广东茂名·期末）若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【变式2.2】（课堂例题）根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 题型3：直线图象的辨析 方法技巧 根据直线方程分析斜率 k 和截距 b 的符号，从而判断直线在坐标系中的大致走向： 1. 看 k定升降：k>0 直线从左下向右上倾斜，k<0 直线从左上向右下倾斜，k=0水平． 2. 看 b定上下：b>0 直线与 y 轴交于正半轴，b<0 直线与 y 轴交于负半轴，b=0 过原点． 3. 对于含参方程，要对参数进行分类讨论，画出不同情况下的图象进行验证． 【例题3.1】【暑假自学课】（多选）在同一平面直角坐标系中，直线和直线不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【例题3.2】（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·海南·期中）（多选）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3.2】（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 题型4：直线两点式方程及辨析 方法技巧 已知两点和，代入两点式 ： 1. 两点式要求. 2. 当时，直线方程为；当时，直线方程为．先判断再代入，防止分母为零． 3. 我们把直线的两点式方程改写为，这样得到的结果也可以表示与坐标轴平行或重合的直线． 【例题4.1】（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 【变式4.1】（25-26高二上·安徽·期末）经过点和的直线的方程为________． 【变式4.2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 题型5：直线截距式方程及辨析 方法技巧 已知直线在x，y轴上的截距分别为a，b（均不为0），代入截距式： 1. 截距式不能表示过原点的直线（a= b=0），也不能表示垂直于坐标轴的直线． 2. 遇到“截距相等”、“截距互为相反数”等条件时，要特别注意讨论过原点（）的特殊情况． 【例题5.1】（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【例题5.2】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【变式5.2】（暑假预习讲义）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 题型6：直线与坐标轴围成图形的面积问题 方法技巧 求出直线在x，y轴上的截距分别为a，b，利用三角形面积公式求解 1. 用截距式设方程往往最方便，但要注意截距的符号（面积取绝对值）． 2. 若直线过定点，也可设点斜式，然后求出截距再计算面积，注意分类讨论斜率是否存在． 【例题6.1】（2026高二·全国·专题练习）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【例题6.2】（2026高二·全国·专题练习）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【变式6.1】（25-26高一下·上海·阶段检测） 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【变式6.2】（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 题型7：直线方向向量和直线方程的关系 方法技巧 利用方向向量与斜率的关系解题，直线方程可由点斜式写出： 1. 若直线的方向向量为，则： 当时，斜率； 当时，斜率不存在． 2. 若k是直线的斜率，则是它的一个方向向量． 3. 注意：方向向量不唯一，与方向向量共线的向量也是该直线的方向向量。利用这一特性可以灵活转化． 【例题7.1】（25-26高二上·四川绵阳·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【例题7.2】（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）若直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则______． 题型8：线段中点坐标公式 方法技巧 若点A，B的坐标分别为，，且线段AB的中点C的坐标为，则 【例题8.1】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【例题8.2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【变式8.1】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知三角形的顶点坐标为是边上的中点. (1)求中线的直线方程； (2)求边的高所在直线方程. 【变式8.2】（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，中点为点，求： (1)边上中线所在直线的方程； (2)边的垂直平分线的方程. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $