3.1.1椭圆及其标准方程（知识清单，知识点+七大易错点+十一大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 内容概览 2 🔷知识点一　椭圆的定义 2 🔷知识点二　椭圆的标准方程 2 🔷知识点三　椭圆 a、b、c 的几何含义与关系式 3 🔷知识点四　求椭圆标准方程的方法 3 🔷知识点五　椭圆的焦点三角形 4 🔷知识点六　求椭圆的轨迹方程 4 5 易错点1：椭圆定义忽略"定值大于焦距"的约束 5 易错点2：混淆椭圆 a、b、c 的平方关系 6 易错点3：根据方程表示椭圆求参数，漏条件或焦点轴错位 6 易错点4：求椭圆标准方程，遗漏焦点位置不确定的情况 7 易错点5：焦点三角形面积二级结论不能直接用于解答题 7 易错点6：求椭圆上点的距离最值，忽略坐标取值范围 8 易错点7：轨迹问题忽略定义验证与轨迹纯粹性与完备性 8 9 题型1：椭圆定义及辨析 9 题型2：根据方程表示椭圆求参数的范围 10 题型3：根据a、b、c和定义求椭圆标准方程 11 题型4：待定系数法求椭圆标准方程 11 题型5：根据椭圆方程求a、b、c 12 题型6：椭圆中焦点三角形的周长问题 13 题型7：椭圆中焦点三角形的面积问题 14 题型8：椭圆中焦点三角形的其他问题 15 题型9：椭圆上点到某点的距离的最值 16 题型10：椭圆上点到定点距离的和、差最值 16 题型11：椭圆的轨迹问题 17 🔷知识点一　椭圆的定义 1. 定义：如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足的动点的轨迹称为椭圆． 2. 相关概念：两个定点，称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距． 3. 与的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 直观理解 动点的轨迹是椭圆 动点能"拉开"形成封闭曲线 动点的轨迹是线段 动点只能在两点连线上移动 动点不存在，因此轨迹不存在 距离和太小，不存在这样的点 ⚠️特别提醒 · 判断轨迹为椭圆，必须同时满足：平面内、距离和为定值、定值大于焦距三个条件。只看到距离之和为定值就直接判定是椭圆，容易出错. 🔷知识点二　椭圆的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 图像特征 椭圆"躺着"，左右拉伸 椭圆"站着"，上下拉伸 的关系 ⚠ 特别提醒 · 椭圆标准方程右侧必须等于1，中间是加号； · 焦点位置判定：标准方程中分母较大的项对应的变量所在轴即为焦点所在轴（分母 跟着焦点走）； · 两种方程中 恒成立，分母必须为正； · 题目未指明焦点位置时，需分类讨论两种情形，或者设为一般式方程。 🔷知识点三　椭圆 a、b、c 的几何含义与关系式 1. 参数含义 参数 名称 几何意义 长半轴长 长轴端点到中心的距离 短半轴长 短轴端点到中心的距离 半焦距 焦点到椭圆中心的距离 2. 大小关系：，。 3. 核心等式：。 4. 椭圆面积公式：。 ⚠ 特别提醒 · 椭圆中是最大量，关系式为 ； · 三者已知任意两个，即可求出第三个； · 焦点在哪个轴，不影响 的数值关系，也不影响面积公式。 🔷知识点四　求椭圆标准方程的方法 1. 定义法：利用椭圆定义求出、，计算，直接写出椭圆方程。适用于动点轨迹问题。 2. 待定系数法 焦点位置确定：直接设对应标准方程，代入点坐标求解参数； 焦点位置不确定：设一般式，不需要讨论焦点。 ⚠ 特别提醒 · 题目未指明焦点位置时，必须分焦点在轴、轴两种情况讨论，或者设为一般式方程； · 优先利用定义求，计算量小、不易出错； · 最终结果必须化为右边为1的标准形式，且分母为正。 🔷知识点五　椭圆的焦点三角形 定义：椭圆上一点（不是长轴端点）与两焦点构成，称为焦点三角形。 1. 周长：。 2. 设，由，结合余弦定理：推导得：。 3. 三角形面积（常用形式） 用顶角：（，二级结论）； 用两边与夹角：； 用焦距与纵坐标：，即（为P点纵坐标）； 最大值：点在短轴端点时，顶角最大，面积最大，。 ⚠ 特别提醒 · 解焦点三角形首选椭圆定义，配合余弦定理求角或边长； · 焦点三角形周长恒为，与的位置无关； · 面积公式 为拓展结论，选填题可直接用，解答答题不能直接用，要先用余弦定理推导，或用其他通用方法。 🔷知识点六　求椭圆的轨迹方程 1. 定义法 (1) 适用场景：动点到两个定点的距离之和为定值，或条件可转化为该形式（如动圆与两定圆内切 / 外切、线段垂直平分线转化等）。 (2) 解题步骤： 定位：确定两个定点（即轨迹椭圆的焦点），计算焦距； 定长：推导动点到两定点的距离之和为定值，并验证； 计算：由求出短半轴平方； 写方程：根据坐标系位置，写出椭圆标准方程，注明轨迹范围。 题眼：出现"两定点""距离和为定值""动圆相切"，优先用定义法。 2. 代入法（相关点法 / 转移法） (1) 适用场景：所求动点随另一已知轨迹上的点运动，且两点坐标存在明确的数量关系。 (2) 解题步骤： 设所求动点，相关点，且在已知曲线上； 用表示出（即反解坐标关系）； 将代入已知曲线的方程； 化简整理，得到点的轨迹方程。 3. 直接法 (1) 适用场景：动点满足的几何条件可直接翻译成关于的代数等式。 (2) 解题步骤： 建立合适坐标系，设动点坐标为； 将题目中的几何条件"直译"为含的方程； 化简整理方程为标准形式； 检验轨迹的纯粹性，去掉不符合题意的点。 ⚠ 特别提醒 1. 忽略轨迹纯粹性：如三角形顶点不能与定点共线、动点在特定区域内等，需剔除不符合条件的点； 2. 未建立合适坐标系：题目无坐标系时，优先以两定点中点为原点、两定点连线为坐标轴建系，大幅简化计算； 3. 定义法漏验证条件：必须确认，否则轨迹可能是线段或不存在，不能直接写椭圆方程。 易错点1：椭圆定义忽略"定值大于焦距"的约束 【易错点】 判断动点轨迹时，只看到"到两定点距离之和为定值"就直接判定为椭圆，漏掉定值必须大于两定点间距的核心条件。 【易错消除】 椭圆定义必须同时满足：① 平面内动点；② 到两定点距离和为常数；③ 常数＞两定点间距。 (1) ：轨迹为椭圆 (2) ：轨迹为线段 (3) ：无轨迹 【易错例题】（25-26高三·全国·一轮复习）（判断）动点P到两定点的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( ) 易错点2：混淆椭圆 a、b、c 的平方关系 【易错点】 记忆公式时和双曲线公式混淆，或搞错三者大小关系。 【易错消除】 椭圆中始终是最大量，核心关系式为（符合勾股定理，为斜边）。 可对比记忆：椭圆最大，双曲线最大；遇到参数计算先定最大量，再代公式。 【易错例题】（26-27高二上·天津·期中）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 易错点3：根据方程表示椭圆求参数，漏条件或焦点轴错位 【易错点】 已知方程表示椭圆求参数范围时，只要求分母大于0，漏掉"分母不相等"的条件；或判断焦点位置时，搞反分母大小与焦点轴的对应关系。 【易错消除】 1. 方程表示椭圆的充要条件：； 2. 焦点位置判定：分母大，焦点跟， 焦点在x轴，焦点在y轴； 3. 含参数问题先列全不等式，再取交集，最后检验合理性。 【易错例题】（2026·广东深圳·二模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 易错点4：求椭圆标准方程，遗漏焦点位置不确定的情况 【易错点】 题目未指明焦点位置时，默认焦点在 x 轴设方程求解，漏掉焦点在 y 轴的情况，造成漏解。. 【易错消除】 1. 焦点位置明确：直接设对应标准方程求解； 2. 焦点位置不确定，有两种处理方式： (1) 分焦点在x轴、y轴两类情况讨论，最后检验； (2) 设椭圆一般式 ，代入点求解，避免分类讨论。 【易错例题】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上的动点，，且的最小值为4，则椭圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 易错点5：焦点三角形面积二级结论不能直接用于解答题 【易错点】 解答焦点三角形面积的大题时，直接套用二级结论，缺少推导过程，造成步骤扣分。 【易错消除】 1. 选择填空题：可直接使用二级结论快速秒杀（）； 2. 解答题：必须先通过椭圆定义 + 余弦定理推导，再计算面积。标准推导路径：由两边平方，结合余弦定理推出，再代入面积公式 （）。 【易错例题】（2026高二·全国·专题练习）（1）设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？ （2）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 易错点6：求椭圆上点的距离最值，忽略坐标取值范围 【易错点】 用二次函数法求距离最值时，把二次函数顶点值当作最终结果，忽略椭圆上点的坐标有范围约束（），当对称轴不在定义域内时最值应在端点取得。 【易错消除】 1. 二次函数法求最值，必须先标注自变量的取值范围； 2. 先判断对称轴是否在定义域内：在则顶点取最值，不在则区间端点取最值； 3. 最终结果要验证对应点在区间范围内。 【易错例题】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 易错点7：轨迹问题忽略定义验证与轨迹纯粹性与完备性 【易错点】 用定义法求轨迹时，不验证就直接写椭圆方程；或求出轨迹后，不剔除不符合题意的点（如共线点、限制区域外的点）。 【易错消除】 1. 定义法求轨迹：先算焦距、再验证距离和大于焦距，满足椭圆定义再写方程； 2. 求出轨迹方程后，必须检验轨迹的纯粹性与完备性，去掉不符合几何条件的点，并注明轨迹范围； 3. 相关点法求轨迹，要保证坐标转化的等价性。 【易错例题】（26-27高二上·全国·课后作业）设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 题型1：椭圆定义及辨析 方法技巧 1. 轨迹判断"三步法"： (1) 找两定点，计算焦距； (2) 确定动点到两定点的距离和； (3) 比较大小：是椭圆，是线段，无轨迹。 2. 题眼触发：只要出现"到两焦点距离之和"，优先转化为，无需计算坐标 【例题1.1】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【例题1.2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）设，分别是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且，则=_________ 【变式1.1】（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1.2】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是真命题的有________．（填序号） ①已知定点，，则满足的点的轨迹为椭圆； ②已知定点，，则满足的点的轨迹为线段； ③到定点，距离相等的点的轨迹为椭圆； ④若点到定点，的距离之和等于点到定点，的距离之和，则点的轨迹为椭圆． 题型2：根据方程表示椭圆求参数的范围 方法技巧 1. 先找所有含参数的分母，令其全部大于0，且不相等； 2. 再根据焦点位置，给分母排大小顺序； 3. 最后取交集，得到参数范围。 4. 易错提醒：漏掉"分母不相等"条件，误把圆当成椭圆；焦点在 y 轴时搞反分母大小关系。 【例题2.1】（25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2.2】（26-27高二上·全国·课后作业）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【变式2.1】（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【变式2.2】（26-27高二上·四川·期中）若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3：根据a、b、c和定义求椭圆标准方程 方法技巧 1. 适用场景：已知焦点、顶点坐标、动点到两焦点距离之和、轨迹描述，或长轴短轴长、a、b、c相关的题目。 2. 易错提醒：忘记验证；焦点位置判断错误导致方程形式写错。 【例题3.1】（26-27高二上·北京西城·阶段检测）与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 【例题3.2】（25-26高二下·上海青浦·期末）若将方程化简为的形式，则________． 【变式3.1】（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【变式3.2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型4：待定系数法求椭圆标准方程 方法技巧 1. 焦点位置确定：直接设对应标准方程（焦点在x轴、 y轴），代入已知点坐标，解方程组求。 2. 焦点位置不确定：优先设一般式 ，可避免分类讨论，代入两点坐标直接求解。 3. 技巧：过两个定点的题目，用一般式计算速度远快于分情况讨论。 【例题4.1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例题4.2】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 题型5：根据椭圆方程求a、b、c 方法技巧 1. 核心公式：，始终最大。 2. 快速口算（方程必须先化为椭圆标准方程）：先找两个分母，大数开方是，小数开方是，根号下"大数减小数"是。 3. 输出清单：可直接得到长轴长、短轴、焦距、焦点坐标、顶点坐标。 【例题5.1】（26-27高二上·天津·期中）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题5.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 【变式5.1】（25-26高二上·江西吉安·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 【变式5.2】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）若是椭圆的半焦距，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6：椭圆中焦点三角形的周长问题 方法技巧 1. 周长公式：（P为椭圆上异于长轴端点的点）。 2. 秒杀逻辑：只要已知椭圆方程（得），直接口算周长，不需要求P点坐标。 3. 逆考形式：已知周长反求，结合其他条件求椭圆方程。 【例题6.1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 【例题6.2】（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【变式6.2】（重庆市南开中学校2026届高三年级5月质量检测数学试题）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 题型7：椭圆中焦点三角形的面积问题 方法技巧 1. 已知顶角： (1) 用顶角：（选填直接用二级结论）； (2) 用两边与夹角：，大题可直接使用。 2. 已知P点纵坐标：用基础公式 ，大题可直接使用。 3. 面积最值：当P位于短轴端点时，面积取最大值，同时顶角也最大。 【例题7.1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【例题7.2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【变式7.1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式7.2】（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 题型8：椭圆中焦点三角形的其他问题 方法技巧 1. 黄金组合： 配合余弦定理 2. 常用变形：将 两边平方，快速得到与 的关系。 【例题8.1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【例题8.2】（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【变式8.2】（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 题型9：椭圆上点到某点的距离的最值 方法技巧 1. 参数方程法：设点，代入距离公式，转化为三角函数求最值； 2. 二次函数法：设椭圆上点，用两点间距离公式表示距离，转化为函数求最值。 （1）注意的取值范围受椭圆方程约束。 （2）常用配方法求最值，需验证对称轴是否在定义域内。 【例题9.1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例题9.2】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式9.2】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型10：椭圆上点到定点距离的和、差最值 方法技巧 1. 距离和 (1) 两定点均为焦点：和恒为（定值）； (2) 一焦点+一普通点（高频）：用定义 转化，三点共线时取最值。 2. 距离差 (1) 两定点均为焦点：，三点共线时取最值； (2) 一焦点+一普通点（高频）：定义转化后结合三边关系，三点共线时取最值。 3. 口诀：和差最值看共线，遇见焦点先转化。 【例题10.1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【例题10.2】（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10.1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式10.2】（25-26高二上·天津北辰·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型11：椭圆的轨迹问题 方法技巧 1. 定义法：动点到两个定点的距离之和为定值，且定值大于两定点间距离，或条件可转化为该形式（如动圆与两定圆内切 / 外切、线段垂直平分线转化等）。 2. 代入法（相关点法 / 转移法）：所求动点随另一已知轨迹上的点运动，且两点坐标存在明确的数量关系。 3. 直接法：动点满足的几何条件可直接翻译成关于的代数等式。 【例题11.1】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例题11.2】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11.1】（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为曲线上一点，且，求的周长和面积. 【变式11.2】（2026高二·全国·专题练习）（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 内容概览 2 🔷知识点一　椭圆的定义 2 🔷知识点二　椭圆的标准方程 2 🔷知识点三　椭圆 a、b、c 的几何含义与关系式 3 🔷知识点四　求椭圆标准方程的方法 3 🔷知识点五　椭圆的焦点三角形 4 🔷知识点六　求椭圆的轨迹方程 4 5 易错点1：椭圆定义忽略"定值大于焦距"的约束 5 易错点2：混淆椭圆 a、b、c 的平方关系 6 易错点3：根据方程表示椭圆求参数，漏条件或焦点轴错位 7 易错点4：求椭圆标准方程，遗漏焦点位置不确定的情况 8 易错点5：焦点三角形面积二级结论不能直接用于解答题 8 易错点6：求椭圆上点的距离最值，忽略坐标取值范围 10 易错点7：轨迹问题忽略定义验证与轨迹纯粹性与完备性 10 11 题型1：椭圆定义及辨析 11 题型2：根据方程表示椭圆求参数的范围 13 题型3：根据a、b、c和定义求椭圆标准方程 15 题型4：待定系数法求椭圆标准方程 17 题型5：根据椭圆方程求a、b、c 20 题型6：椭圆中焦点三角形的周长问题 21 题型7：椭圆中焦点三角形的面积问题 24 题型8：椭圆中焦点三角形的其他问题 27 题型9：椭圆上点到某点的距离的最值 29 题型10：椭圆上点到定点距离的和、差最值 31 题型11：椭圆的轨迹问题 35 🔷知识点一　椭圆的定义 1. 定义：如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足的动点的轨迹称为椭圆． 2. 相关概念：两个定点，称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距． 3. 与的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 直观理解 动点的轨迹是椭圆 动点能"拉开"形成封闭曲线 动点的轨迹是线段 动点只能在两点连线上移动 动点不存在，因此轨迹不存在 距离和太小，不存在这样的点 ⚠️特别提醒 · 判断轨迹为椭圆，必须同时满足：平面内、距离和为定值、定值大于焦距三个条件。只看到距离之和为定值就直接判定是椭圆，容易出错. 🔷知识点二　椭圆的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 ， ， 图像特征 椭圆"躺着"，左右拉伸 椭圆"站着"，上下拉伸 的关系 ⚠ 特别提醒 · 椭圆标准方程右侧必须等于1，中间是加号； · 焦点位置判定：标准方程中分母较大的项对应的变量所在轴即为焦点所在轴（分母 跟着焦点走）； · 两种方程中 恒成立，分母必须为正； · 题目未指明焦点位置时，需分类讨论两种情形，或者设为一般式方程。 🔷知识点三　椭圆 a、b、c 的几何含义与关系式 1. 参数含义 参数 名称 几何意义 长半轴长 长轴端点到中心的距离 短半轴长 短轴端点到中心的距离 半焦距 焦点到椭圆中心的距离 2. 大小关系：，。 3. 核心等式：。 4. 椭圆面积公式：。 ⚠ 特别提醒 · 椭圆中是最大量，关系式为 ； · 三者已知任意两个，即可求出第三个； · 焦点在哪个轴，不影响 的数值关系，也不影响面积公式。 🔷知识点四　求椭圆标准方程的方法 1. 定义法：利用椭圆定义求出、，计算，直接写出椭圆方程。适用于动点轨迹问题。 2. 待定系数法 焦点位置确定：直接设对应标准方程，代入点坐标求解参数； 焦点位置不确定：设一般式，不需要讨论焦点。 ⚠ 特别提醒 · 题目未指明焦点位置时，必须分焦点在轴、轴两种情况讨论，或者设为一般式方程； · 优先利用定义求，计算量小、不易出错； · 最终结果必须化为右边为1的标准形式，且分母为正。 🔷知识点五　椭圆的焦点三角形 定义：椭圆上一点（不是长轴端点）与两焦点构成，称为焦点三角形。 1. 周长：。 2. 设，由，结合余弦定理：推导得：。 3. 三角形面积（常用形式） 用顶角：（，二级结论）； 用两边与夹角：； 用焦距与纵坐标：，即（为P点纵坐标）； 最大值：点在短轴端点时，顶角最大，面积最大，。 ⚠ 特别提醒 · 解焦点三角形首选椭圆定义，配合余弦定理求角或边长； · 焦点三角形周长恒为，与的位置无关； · 面积公式 为拓展结论，选填题可直接用，解答答题不能直接用，要先用余弦定理推导，或用其他通用方法。 🔷知识点六　求椭圆的轨迹方程 1. 定义法 (1) 适用场景：动点到两个定点的距离之和为定值，或条件可转化为该形式（如动圆与两定圆内切 / 外切、线段垂直平分线转化等）。 (2) 解题步骤： 定位：确定两个定点（即轨迹椭圆的焦点），计算焦距； 定长：推导动点到两定点的距离之和为定值，并验证； 计算：由求出短半轴平方； 写方程：根据坐标系位置，写出椭圆标准方程，注明轨迹范围。 题眼：出现"两定点""距离和为定值""动圆相切"，优先用定义法。 2. 代入法（相关点法 / 转移法） (1) 适用场景：所求动点随另一已知轨迹上的点运动，且两点坐标存在明确的数量关系。 (2) 解题步骤： 设所求动点，相关点，且在已知曲线上； 用表示出（即反解坐标关系）； 将代入已知曲线的方程； 化简整理，得到点的轨迹方程。 3. 直接法 (1) 适用场景：动点满足的几何条件可直接翻译成关于的代数等式。 (2) 解题步骤： 建立合适坐标系，设动点坐标为； 将题目中的几何条件"直译"为含的方程； 化简整理方程为标准形式； 检验轨迹的纯粹性，去掉不符合题意的点。 ⚠ 特别提醒 1. 忽略轨迹纯粹性：如三角形顶点不能与定点共线、动点在特定区域内等，需剔除不符合条件的点； 2. 未建立合适坐标系：题目无坐标系时，优先以两定点中点为原点、两定点连线为坐标轴建系，大幅简化计算； 3. 定义法漏验证条件：必须确认，否则轨迹可能是线段或不存在，不能直接写椭圆方程。 易错点1：椭圆定义忽略"定值大于焦距"的约束 【易错点】 判断动点轨迹时，只看到"到两定点距离之和为定值"就直接判定为椭圆，漏掉定值必须大于两定点间距的核心条件。 【易错消除】 椭圆定义必须同时满足：① 平面内动点；② 到两定点距离和为常数；③ 常数＞两定点间距。 (1) ：轨迹为椭圆 (2) ：轨迹为线段 (3) ：无轨迹 【易错例题】（25-26高三·全国·一轮复习）（判断）动点P到两定点的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( ) 【答案】错误 【分析】由已知得，可得结论. 【详解】因为动点P到两定点的距离之和为4， 所以，所以动点点P的轨迹是线段. 故答案为：错误. 易错点2：混淆椭圆 a、b、c 的平方关系 【易错点】 记忆公式时和双曲线公式混淆，或搞错三者大小关系。 【易错消除】 椭圆中始终是最大量，核心关系式为（符合勾股定理，为斜边）。 可对比记忆：椭圆最大，双曲线最大；遇到参数计算先定最大量，再代公式。 【易错例题】（26-27高二上·天津·期中）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆化为标准方程为， 可得，则，可得，且焦点在轴上， 则椭圆的焦点坐标为. 易错点3：根据方程表示椭圆求参数，漏条件或焦点轴错位 【易错点】 已知方程表示椭圆求参数范围时，只要求分母大于0，漏掉"分母不相等"的条件；或判断焦点位置时，搞反分母大小与焦点轴的对应关系。 【易错消除】 1. 方程表示椭圆的充要条件：； 2. 焦点位置判定：分母大，焦点跟， 焦点在x轴，焦点在y轴； 3. 含参数问题先列全不等式，再取交集，最后检验合理性。 【易错例题】（2026·广东深圳·二模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若定点，满足 ，动点P满足，则动点P的轨迹是椭圆 B．若定点，满足，动点M满足 ，则动点M的轨迹是椭圆 C．当时，方程表示椭圆 D．若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为 【答案】BD 【详解】对于A，若定点，满足，动点P满足 ， 则动点P的轨迹为以，为端点的线段，所以A选项不正确; 对于B，若定点，满足，动点M满足 ， 则由椭圆的定义，可得动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以B选项正确; 对于C，当 ，即时，方程表示圆，所以C选项不正确; 对于D，若动点M的轨迹方程为，则点M的轨迹是椭圆，且焦点在轴上. 其中，，可得，所以焦点坐标为，所以D选项正确. 易错点4：求椭圆标准方程，遗漏焦点位置不确定的情况 【易错点】 题目未指明焦点位置时，默认焦点在 x 轴设方程求解，漏掉焦点在 y 轴的情况，造成漏解。. 【易错消除】 1. 焦点位置明确：直接设对应标准方程求解； 2. 焦点位置不确定，有两种处理方式： (1) 分焦点在x轴、y轴两类情况讨论，最后检验； (2) 设椭圆一般式 ，代入点求解，避免分类讨论。 【易错例题】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上的动点，，且的最小值为4，则椭圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由椭圆的定义确定长半轴长 ；再利用椭圆上一点到一个焦点的距离的最小值为 求出 ，由 求出 ．题目未说明长轴方向，需分别考虑长轴在 轴和 轴上的两种情况． 【详解】由 ，得 ，所以 ． 由题意，，所以 ，从而 若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为 若椭圆的长轴在 轴上，则标准方程为 因此符合条件的是 A、C． 易错点5：焦点三角形面积二级结论不能直接用于解答题 【易错点】 解答焦点三角形面积的大题时，直接套用二级结论，缺少推导过程，造成步骤扣分。 【易错消除】 1. 选择填空题：可直接使用二级结论快速秒杀（）； 2. 解答题：必须先通过椭圆定义 + 余弦定理推导，再计算面积。标准推导路径：由两边平方，结合余弦定理推出，再代入面积公式 （）。 【易错例题】（2026高二·全国·专题练习）（1）设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？ （2）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且，，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）根据给定条件，求出焦距，进而求出长短半轴长，在中由余弦定理求出，再由三角形面积公式计算作答. 【详解】（1）已知椭圆方程为，则， 又因为，，所以. （2）依题意，，椭圆长轴长， 即长半轴长，设短半轴长为，有，如图所示，    在中，由余弦定理得， 有， 解得，， 所以的面积是. 易错点6：求椭圆上点的距离最值，忽略坐标取值范围 【易错点】 用二次函数法求距离最值时，把二次函数顶点值当作最终结果，忽略椭圆上点的坐标有范围约束（），当对称轴不在定义域内时最值应在端点取得。 【易错消除】 1. 二次函数法求最值，必须先标注自变量的取值范围； 2. 先判断对称轴是否在定义域内：在则顶点取最值，不在则区间端点取最值； 3. 最终结果要验证对应点在区间范围内。 【易错例题】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 易错点7：轨迹问题忽略定义验证与轨迹纯粹性与完备性 【易错点】 用定义法求轨迹时，不验证就直接写椭圆方程；或求出轨迹后，不剔除不符合题意的点（如共线点、限制区域外的点）。 【易错消除】 1. 定义法求轨迹：先算焦距、再验证距离和大于焦距，满足椭圆定义再写方程； 2. 求出轨迹方程后，必须检验轨迹的纯粹性与完备性，去掉不符合几何条件的点，并注明轨迹范围； 3. 相关点法求轨迹，要保证坐标转化的等价性。 【易错例题】（26-27高二上·全国·课后作业）设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】设，，，其中； 由题意得，，所以，， 因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号， 所以． 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 题型1：椭圆定义及辨析 方法技巧 1. 轨迹判断"三步法"： (1) 找两定点，计算焦距； (2) 确定动点到两定点的距离和； (3) 比较大小：是椭圆，是线段，无轨迹。 2. 题眼触发：只要出现"到两焦点距离之和"，优先转化为，无需计算坐标 【例题1.1】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断的轨迹. 【详解】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. 【例题1.2】（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）设，分别是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且，则=_________ 【答案】 【详解】易得，，，故 【变式1.1】（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】椭圆：的长半轴长， 分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长， 所以. 【变式1.2】（26-27高二上·全国·课后作业）下列命题是真命题的有________．（填序号） ①已知定点，，则满足的点的轨迹为椭圆； ②已知定点，，则满足的点的轨迹为线段； ③到定点，距离相等的点的轨迹为椭圆； ④若点到定点，的距离之和等于点到定点，的距离之和，则点的轨迹为椭圆． 【答案】②④ 【详解】椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆； 当距离之和等于时，轨迹为线段； 当距离之和小于时，这样的点不存在，轨迹不存在. 对于①，，距离之和为，满足条件的点不存在，轨迹不存在，①是假命题. 对于②，，距离之和等于，轨迹为线段，②是真命题. 对于③，到两定点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，③是假命题. 对于④，，， 所以. 又， 由椭圆的定义，点的轨迹为椭圆，④是真命题. 综上，真命题的序号是②④. 题型2：根据方程表示椭圆求参数的范围 方法技巧 1. 先找所有含参数的分母，令其全部大于0，且不相等； 2. 再根据焦点位置，给分母排大小顺序； 3. 最后取交集，得到参数范围。 4. 易错提醒：漏掉"分母不相等"条件，误把圆当成椭圆；焦点在 y 轴时搞反分母大小关系。 【例题2.1】（25-26高二上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线是椭圆的条件进行判断即可. 【详解】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 【例题2.2】（26-27高二上·全国·课后作业）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质计算即可. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，C正确； 焦点在轴上时，，解得，D错误； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误． 【变式2.1】（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 【变式2.2】（26-27高二上·四川·期中）若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 题型3：根据a、b、c和定义求椭圆标准方程 方法技巧 1. 适用场景：已知焦点、顶点坐标、动点到两焦点距离之和、轨迹描述，或长轴短轴长、a、b、c相关的题目。 2. 易错提醒：忘记验证；焦点位置判断错误导致方程形式写错。 【例题3.1】（26-27高二上·北京西城·阶段检测）与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，所以选C. 【例题3.2】（25-26高二下·上海青浦·期末）若将方程化简为的形式，则________． 【答案】 25 【分析】方程左侧是平面上点到两个定点(0，5)的距离之和，根据椭圆的定义，若距离之和大于两定点间的距离，那么该点的轨迹是椭圆，以此作为解题突破口。 【详解】方程可以看作点P(x，y)到距离之和为26， 由椭圆的定义可知，方程表示的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距分别为，，. 所以  所以 因此方程为 所以 因为a>0，b>0 所以a=12，b=13 故= 12 + 13 = 25 . 【变式3.1】（2026高三·全国·专题练习）椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【答案】 【详解】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，焦距是2， 则有，，即，，所以， 所以椭圆的标准方程为． 【变式3.2】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得直线与坐标轴的交点为，得到，求得，即可得到椭圆的标准方程. 【详解】由直线，令，可得，令，可得， 即直线与坐标轴的交点分别为， 因为直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 可得，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 题型4：待定系数法求椭圆标准方程 方法技巧 1. 焦点位置确定：直接设对应标准方程（焦点在x轴、 y轴），代入已知点坐标，解方程组求。 2. 焦点位置不确定：优先设一般式 ，可避免分类讨论，代入两点坐标直接求解。 3. 技巧：过两个定点的题目，用一般式计算速度远快于分情况讨论。 【例题4.1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设列式求出即可得椭圆的方程； 【详解】设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：， 又因为点在椭圆上，故，解得， 则. 所以椭圆标准方程为：. 故选：B. 【例题4.2】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 【变式4.1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【详解】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 【变式4.2】（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 题型5：根据椭圆方程求a、b、c 方法技巧 1. 核心公式：，始终最大。 2. 快速口算（方程必须先化为椭圆标准方程）：先找两个分母，大数开方是，小数开方是，根号下"大数减小数"是。 3. 输出清单：可直接得到长轴长、短轴、焦距、焦点坐标、顶点坐标。 【例题5.1】（26-27高二上·天津·期中）椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆化为标准方程为， 可得，则，可得，且焦点在轴上， 则椭圆的焦点坐标为. 【例题5.2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据所给的焦点坐标，判断出焦点所在的轴及的值，再根据椭圆中的关系计算即可得解. 【详解】由椭圆的焦点为，可知椭圆的焦点在轴上，且. 所以，解得. 【变式5.1】（25-26高二上·江西吉安·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【分析】由条件得到，设，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【详解】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则且， 得到，所以. 故选：B 【变式5.2】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）若是椭圆的半焦距，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆中的关系，结合基本不等式先求的取值范围，再求的取值范围. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 且. 故. 故选：B 题型6：椭圆中焦点三角形的周长问题 方法技巧 1. 周长公式：（P为椭圆上异于长轴端点的点）。 2. 秒杀逻辑：只要已知椭圆方程（得），直接口算周长，不需要求P点坐标。 3. 逆考形式：已知周长反求，结合其他条件求椭圆方程。 【例题6.1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【详解】的周长为， 【例题6.2】（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 【变式6.1】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为． 【变式6.2】（重庆市南开中学校2026届高三年级5月质量检测数学试题）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形三边的关系可得，当且仅当共线时等号成立，然后根据椭圆的定义及椭圆的标准方程即可求解. 【详解】 如图所示，已知椭圆方程，则， 由于点在椭圆上，根据椭圆的定义有，， 又因为在中，有，当且仅当共线时等号成立， 所以的周长，当且仅当共线时等号成立， 即的周长的最大值为，故A正确. 题型7：椭圆中焦点三角形的面积问题 方法技巧 1. 已知顶角： (1) 用顶角：（选填直接用二级结论）； (2) 用两边与夹角：，大题可直接使用。 2. 已知P点纵坐标：用基础公式 ，大题可直接使用。 3. 面积最值：当P位于短轴端点时，面积取最大值，同时顶角也最大。 【例题7.1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 【例题7.2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 【变式7.1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 【变式7.2】（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 题型8：椭圆中焦点三角形的其他问题 方法技巧 1. 黄金组合： 配合余弦定理 2. 常用变形：将 两边平方，快速得到与 的关系。 【例题8.1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 【例题8.2】（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 【变式8.1】（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 【变式8.2】（25-26高二下·湖北宜昌·阶段检测）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. 题型9：椭圆上点到某点的距离的最值 方法技巧 1. 参数方程法：设点，代入距离公式，转化为三角函数求最值； 2. 二次函数法：设椭圆上点，用两点间距离公式表示距离，转化为函数求最值。 （1）注意的取值范围受椭圆方程约束。 （2）常用配方法求最值，需验证对称轴是否在定义域内。 【例题9.1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用换元法，设，然后由两点间距离公式计算，结合二次函数和余弦函数的性质求得最小值． 【详解】设，则 ， 所以时，． 【例题9.2】（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 【变式9.1】（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 【变式9.2】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点坐标得出两直线斜率公式，结合椭圆方程得到两直线斜率乘积为定值，由条件求出两直线斜率之间的等量关系，结合两个方程求出的值，通过求出的值，通过由正弦定理得到先与角之间的关系求得线段的比值. 【详解】由题意知，，设， 直线，的斜率分别为，，则， 又∵，即，∴，即， 由正弦定理得， 又，则， 联立解得，即， 所以，即. 故选：C 题型10：椭圆上点到定点距离的和、差最值 方法技巧 1. 距离和 (1) 两定点均为焦点：和恒为（定值）； (2) 一焦点+一普通点（高频）：用定义 转化，三点共线时取最值。 2. 距离差 (1) 两定点均为焦点：，三点共线时取最值； (2) 一焦点+一普通点（高频）：定义转化后结合三边关系，三点共线时取最值。 3. 口诀：和差最值看共线，遇见焦点先转化。 【例题10.1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 【例题10.2】（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】记，由椭圆第一定义得， 在中，有（当且仅当，，共线且在线段上时取等号）， 圆的圆心，半径，则, . 【变式10.1】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可求出的值，作出图形，分析可知当点为椭圆的右顶点且与直线垂直时，取最小值，即可得解. 【详解】由题意可知，的周长为， 故，又因为，所以，则、， 如下图所示： 要使得取最小值，则与直线垂直， 所以点为椭圆的右顶点且与直线垂直时，取最小值，且最小值为. 故选：D. 【变式10.2】（25-26高二上·天津北辰·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点间距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：D. 题型11：椭圆的轨迹问题 方法技巧 1. 定义法：动点到两个定点的距离之和为定值，且定值大于两定点间距离，或条件可转化为该形式（如动圆与两定圆内切 / 外切、线段垂直平分线转化等）。 2. 代入法（相关点法 / 转移法）：所求动点随另一已知轨迹上的点运动，且两点坐标存在明确的数量关系。 3. 直接法：动点满足的几何条件可直接翻译成关于的代数等式。 【例题11.1】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【例题11.2】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标为，直接利用斜率公式表示出关于，的方程，化简即得结论． 【详解】设，因为 由已知，可得， 化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 【变式11.1】（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为曲线上一点，且，求的周长和面积. 【答案】(1)； (2)周长是，面积是. 【分析】(1)核心是利用两圆内外切的距离关系，得到动点到两定点距离之和为定值，用椭圆定义直接写出轨迹；(2)结合椭圆定义与余弦定理，整体求出两条焦半径的乘积，再用三角形面积公式求出面积. 【详解】（1）圆：,即，所以圆心，半径， 圆：，即，所以圆心，半径， 设动圆圆心，半径，动圆与内切：，动圆与外切：，两式相加得， ，，由椭圆定义得轨迹是以为焦点的椭圆， 且，，， 故轨迹方程是； （2）由为曲线上和椭圆的定义得， 故的周长， 在中，，由余弦定理， 得，代入，得， 得， 故的面积. 所以的周长为，面积为. 【变式11.2】（2026高二·全国·专题练习）（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 轨迹方程为. （2）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以点M的轨迹方程为：． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $