第三章 §3.3 3.3.2 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 知识点讲练 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 学习目标　1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题． 导语 一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？ 一、直线与抛物线的位置关系 问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． 提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点． 知识梳理 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 解　联立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， ∴直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离． 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点． 反思感悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． 跟踪训练1　已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 答案　[－1,1] 解析　由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k<0或0<k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1,1]． 二、弦长问题 问题2　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图．如何求弦AB的长度？ 提示　1.利用弦长公式． 2．根据抛物线的定义|AB|＝x1＋x2＋p. 知识梳理 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注意点： (1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． 例2　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程． 解　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意． 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k，k≠0. 由 消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0. 由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2. 所以|AB|＝ ＝·＝2p＝p， 解得k＝±2. 所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0 或2x＋y－p＝0. 延伸探究 若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． 解　如图，过A，B，M分别作准线x＝－的垂线交准线于点C，D，E. 由定义知|AC|＋|BD|＝p， 则梯形ABDC的中位线|ME|＝p， ∴点M到y轴的距离为p－＝p. 反思感悟　求弦长问题的方法 (1)一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 跟踪训练2　已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点． (1)若|AB|＝10，求实数m的值； (2)若OA⊥OB，求实数m的值． 解　由 得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 由Δ