练案26 第三章 3.1.2 第1课时椭圆的筒单几何性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[26] 第三章 3.13.1.2[ A组·基础巩固 1.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是 短轴长的2倍，则m的值为 B.2 c D.4 2圃线5+号=1与，+5=10<k<9) y 的关系是 A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D.以上都不对 3.已知椭圆C的短轴长与焦距相等，则离心率e 为 A.S R号 C.2 5 D.√2 4:已知椭圆+1(a>b>0)有两个顶点在 直线x+2y=2上，则此椭圆的焦点坐标是 A.(±√3,0) B.(0,±5) C.(±5,0) D.(0,±√5) 5.如图，某同学用两根木条钉 成十字架，制成一个椭圆 仪.木条中间挖一道槽，在 另一活动木条PAB的P处 钻一个小孔，可以容纳笔 尖，A,B各在一条槽内移动，可以放松移动以 保证PA与PB的长度不变，当A,B各在一条 槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已 知IPA|=2|AB|,且P在右顶点时，B恰好在O 点，则E的离心率为 B.2 C.2⑤ 5 D.⑤ 3 6(多选)为使椭圆号+亡-1的离心率为兮，正 数m的值可以是 ) A.1 B.√3 D 3 7已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤ 2 则长轴长的取值范围为 第1课时椭圆的简单几何性质] 8.在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C的中心为原 点，焦点R,R,在x轴上，离心率为经过R, 的直线1交C于A,B两点，且△ABF,的周长 为16，那么椭圆C的方程为 9.已知防圆后+卡=1(a>b>0)的两个焦点分 别为F(-c,0),F,(c,0)(c>0),过点E(%,0) 的直线与椭圆相交于A,B两点，且FA∥F,B, IFA|=21F2B|,求椭圆的离心率 10.如图，已知椭园+ 量+=1(a>b>0),F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶 点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠FAB=90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且AF,=2F2B,求椭 圆的标准方程。 78 B组·综合运用 11.（多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用 “逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的 长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭 圆面积为6√2π，且两焦点恰好将长轴三等 分，则此椭圆的标准方程可以为 ( B.y2 18+i6=1 c5+若-1 .2 12.椭圆+1(0>6>0)的两个焦点是乃 F2,若P为其上一点，且IPFI=5IPF2I,则 此椭圆离心率的取值范围是 to,号) B(0号1 cBa) D.( 13.焦点在y轴上且中心为原点的椭圆C2与椭 圆C:号+y=1的离心率相同，且C,C在 第一象限内公共点的横坐标为1，则C2的方 程为 14.在平面直角坐标系中，椭圆 +6京=1(a>6 >0)的焦距为2c,以0为圆心，a为半径作 圆，过点(“，0)作圆的两切线互相垂直，则 离心率e= C组·拓展提升 15.（多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以 地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示， 已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地 面mkm,远地点B(离地心最远的一点)距地 面nkm,并且F,A,B三点在同一直线上，地 球半径约为Rkm,设该椭圆的长轴长、短轴 长、焦距分别为2a,2b,2c,则 () V AX —179 A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m +n D.b=(m+R)(n+R) 6,设下，F,分别是椭圆E+ 0+p=1(a>6>0) 的左、右焦点，过点F的直线交椭圆E于A, B两点，AF,I=3IF,B1. (1)若|ABI=4,△ABF2的周长为16，求 IAF21; (2)若cos∠A,B=子求椭圆E的离心率11.D圆心C(-1,0),半径为5，设点M(x,y),AQ的垂直平 分线交CQ于点M,.IMAI=IMQI,.IMAI+IMC1=IMQI +IMC1=5>1AC1=2,由椭圆的定义可得点M的轨迹是以 4C为焦点的韬圆，且24=5c=16=召放椭圆方程 12.C因为点A,B是两个定点，不妨设IAB1=2a,以AB所在直 线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),所以A元= (x+a,y),BC=(x-a,y),由AC.BC=2得(x-a)(x+a) +y2=2,即x2+y2=a2+2,所以点C的轨迹为圆. ● A O B 15.B设c(,),则ka=+2a=产2由m∠CMB. amL84=2,得+2×(-亡2)=2，即片+合=l,当x= ±2时，C与A或B重合，不符合题意.所以点C的轨迹方程 为+-1(x≠±2) 4a+4办=1设Q(,),0成=Pm+P,0币 14x2 y -20:(受，-)P是椭圆 +茶=1上的 44 .2y2 一点，心京+=14+4=1 15.椭圆在圆周上任取一点P,将圆形纸片 折起，使得P与A重合，折痕记为直线， 直线l与直线OP的交点为Q,则1QPI= 0 1QAI,由题意可知，圆O的半径为8，且 IOA1=6,所以IQA1+1Q01=1QP1+IQ0川 =8>1AO川=6，所以点Q的轨迹为椭圆. 16.【解析】圆A的方程整理可得(x+1)2+y2=16,点A的坐 标为(-1,0)，圆A的半径为4，如图所示， B 因为IADI=IACI, 所以∠ACD=∠ADC. 因为EB∥AC, 所以∠EBD=∠ACD, 故∠EBD=∠ADC. 所以IEBI=IEDI, 故IEAI+IEBI=IEAI+IEDI=IADI=4,为定值. 由题设得A(-1,0),B(1,0),IAB1=2, 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，且2a —27 =4,c=1, 所以a2=4,b2=3, 所以点E的载法方程为号+兮-1(y0》 练案[26] 1.C椭圆2+my=1的标准形式为2+士=1.因为焦点在y 1 m 1 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以月=2，所以m= 4 x2,y2 x2 2 2.B曲线25+)=1的焦距为2=8，而曲线g-6+25-6 1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴 不同. 3.B设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题意可 得，2b=2c,b=c,.a=B+0=2b,e==方 a 2b 4.A在x+2y=2中，由y=0得x=2,由x=0得y=1,则该直 线交x轴于点(2,0)，交y轴于点(0,1)，依题意得a=2,b=1, 则c=√a-b=√3，显然，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦 点坐标是（±3,0）. 5.D已知IPA|=2IABI,设IABI=x,则IPAI=2x,当A滑动到 O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b=2x,当P 在右顶点时，B恰好在0点，则长半轴长a=3x,故离心率为 .9-4r-5 a 3x 3 6.CD当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2=2,b2=m,所以 2=d-=2-m,所以2=千-20=子，解得m=子符 7=2 合题意；当m>2时，焦点在y轴上，此时a2=m,b2=2,所以c =心-=m-2.所以子-号2-号解得m号符合 题意故正数m的值可以是或号 7.(2,4] 3 e -(),b=1,0<e≤ 21 “V-(合丁≤号，则1<e≤222a54,用轴长的 取值范围是(2,4]· ,x2y2 2 6+苓=1设椭圆方程为后+下=1(a>6>0),由e=号 8. 知后-号，放号=子△BR,的周长为AB1+1BP,1+ b21 IAF2I=(IAF I+IAF2)+(IBF I+IBF21)=4a=16,..a= 4公=8…椭圆C的方程为后+亏-1 9.【解析】由FA∥F2B,IFAI=21FBI, 器 & 从 1 整理得a2=3c2.故离心率e=仁=5 a=3 10.【解析】(1)若∠F,AB=90°，则△AOF,为等腰直角三角 形，所以有1OA1=1OF21, 即b=c 所以a=2c,e=￡=2 a-2 (2)由题意知A(0,b),F,(1,0), 设B(x,y),由AF=2F,B, 解得x=3y=b 代入 人+京=1， 962 得受+语=1，即品+1。 1 解得a2=3, 又c2=1,所以2=2， 所以椭圆的标准方程为 3+2=1. rrab=62π， 1 1l.AD由题意可知，2c=3×2a,解得a=3,6=2万，c=1,所 a2=b2+c2, 以椭圆的标准方程为二 4y2 0+。=1或9+81 12.C由题意可知IPF,I+IPF2I=2a,IPFI=5IPF21,则 IPEI-PEI号：IPF1-IPR1≤IFl智≤ 2c,≥子又e<1椭圆离心率的取值范围是[号， 1B等号=1椭圆C巾，a=2,c=2可1，放椭圆G 的病心*为方要在号+1中，令-1，得y=。 √2 放C,6在第一象限内公共点的生标为1，号)，设C:号 =1a>6>0,将(1，号)代入可得密+安1，又 *x2 区号解得分-子G正子敢G的方程为号+ a 4x2 1, 4.号 如图，切线PA,PB互相垂直，又半径OA垂直于PA,所 以△04P是等腰直角三角形，号-a,解得后-冬则离心 率e=2 2 —27 I5.ABD:地球的中心F是椭圆的一个焦点，结合图形可得 m=a-c-R,a-c=m+R,(*),故AB正确：由 In=ate-R.late=n+R. (*),可得2a=m+n+2R,故C不正确；由(*)，可得(m+ R)(n+R)=a2-c2,a2-c2=b,.b2=(m+R)(n+R), .b=/(m+R)(n+R),故D正确. 16.【解析】(1)由1AF,I=31F,B1,1AB1=4, 得IAF,I=3,IF,B1=1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16, IAF I+IAF,I=2a=8,AF,I=8-3=5. (2)设IFBI=k,k>0, 则IAFI=3k,IAB1=4k. 由椭圆定义可得IAF,I=2a-3k,IBF,I=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得IAB12=IAF12+IBF2I2- 2IAF,I·IBF,Icos∠AF,B, 即(4)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-g(2a-3)(2a-, 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0, 故a=3k. 于是有IAF1=3k=IAF,I,IBF2I=5k. 因此IBF,2=IF,AI2+IAB12, 可得F,A⊥F,A, 故△AFF2为等腰直角三角形. 从而c= 2a, 所以椭圆E的离心率e=。=, a 练案[27] 1.A解法一：直线过点(0,1)，而0+4<1，即点(0,1)在椭圆 内部，所以可推断直线与椭圆相交 ry=x+1, 解法二：联立直线与椭圆的方程，得 2 消去y得 15+4 =1, 9x2+10x-15=0,4=100-4×9×(-15)=640>0,所以直 线与椭圆相交 AD易知椭圆花+1的焦点为R,(0,-3),5,(0,3),所 以b=1或-1. 4 3.A由题意得 >2,所以m2+n2<4.又圆x2+y2=4 m +n 内切于鹅圆，所以点P(m,在椭圆号+子=1的内部，则过 点P(m网的直线与椭圆号+学-1有2个交点 4A由-，消去y得2x2+(x-1)2=4,即3-2x- 2x2+y2=4, 5