3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时）（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆的简单几何性质应用，涵盖点与椭圆的位置关系判断、直线与椭圆位置关系（相交、相切、相离）的代数判别方法，通过阅读教材填空回顾基础知识点，结合通径拓展及电影放映灯反射镜面等实际应用例题，搭建从概念到应用的学习支架。 这份导学案突出数学抽象与数学运算核心素养的培养，例题设计从基础判断到轨迹推导再到实际问题解决层层递进，方法总结明确代数法等学科思路，习题选取各地期末及阶段检测题针对性强，课后反思环节引导学生自主总结与归因，助力提升学生用数学思维解决问题的能力。

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时） （导学案） （1）进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养． （2）会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养． （3）能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、切线等问题，培养数学运算的核心素养. 教学重点：椭圆的几何性质的应用． 教学难点：椭圆性质在研究实际问题中的应用及数形结合思想、方程思想、转化思想在研究问题和解决问题中的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋<1； 点P在椭圆外部⇔＋>1. 知识点二　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程． 位置关系 公共点的个数 Δ的取值 相交 2 Δ>0 相切 1 Δ＝0 相离 0 Δ<0 [拓展]　椭圆的通径 如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB称为通径，|AB|＝. 例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程（精确到） 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为． 在中， 由椭圆的性质知，，所以 所以，所求椭圆的方程为： 方法总结：椭圆有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设椭圆的标准方程； (2) 结合椭圆的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出椭圆的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 例6 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：如图3.1-12，设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合 由此得 将上式两边平方，并化简，得 即 所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆. 方法总结：直接法求轨迹方程 （1）设动点：设所求动点坐标为(x,y) （2）符号化：将题干中的等式关系，用x,y表示出来 （3）标准化：将以上关于x,y的表达式进行标准化方程处理 椭圆第二定义: 平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线. 由定义可知： 动点到左焦点的距离与它到左准线的距离的比为离心率,即; 动点到右焦点的距离与它到右准线的距离的比为离心率,即. 例7 如图3.1-13，已知直线和椭圆，为何值时，直线与椭圆： （1）有两个公共点?（2）有且只有一个公共点?（3）没有公共点? 师生：共同分析，直线与椭圆的公共点的个数与方程组解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：由方程组 消去，得 ① 方程①的根的判别式： 由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点. 由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点. 由，得或．此时方程①没有的实数根，直线与椭圆没有公共点. 方法总结：代数法判断直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆有三种位置关系：相交、相切、和相离 1、联立，消元得一元二次方程：联立直线方程与椭圆方程，消去x（或y）得到一个关于y（或x）的一元二次方程； 2、计算△：根据以上一元二次方程，计算出△的值 3、下结论：△>0 直线与椭圆相交，△=0 直线与椭圆相切，△<0 直线与椭圆相离. 1.（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系、点和椭圆的位置关系 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 2.（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆性质，可得，，，进而可得，，在中，结合余弦定理，可得，即可求得其离心率. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以在中，，， 又在椭圆中，，所以， 由余弦定理，可得， 即，化简得， 解得，即. 故选：A 3.（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据题意列式，求出，结合离心率定义，即得答案. 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 4.（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中焦点三角形的面积问题 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 5.（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、求椭圆的长轴、短轴、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设，，根据，列式，联立即可求解. 【详解】根据，设，， 则，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 即，① 在中，， 即，② 联立①②解得，， 所以椭圆的长轴长为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第2课时） （导学案） （1）进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养． （2）会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养． （3）能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、切线等问题，培养数学运算的核心素养. 教学重点：椭圆的几何性质的应用． 教学难点：椭圆性质在研究实际问题中的应用及数形结合思想、方程思想、转化思想在研究问题和解决问题中的应用． 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋ 1； 点P在椭圆内部⇔＋ 1； 点P在椭圆外部⇔＋ 1. 知识点二　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程． 位置关系 公共点的个数 Δ的取值 相交 Δ 0 相切 Δ 0 相离 Δ 0 [拓展]　椭圆的通径 如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB称为通径，|AB|＝. 例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程（精确到） 方法总结：椭圆有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设椭圆的标准方程； (2) 结合椭圆的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出椭圆的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 例6 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 方法总结：直接法求轨迹方程 （1）设动点：设所求动点坐标为(x,y) （2）符号化：将题干中的等式关系，用x,y表示出来 （3）标准化：将以上关于x,y的表达式进行标准化方程处理 椭圆第二定义: 平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线. 由定义可知： 动点到左焦点的距离与它到左准线的距离的比为离心率,即; 动点到右焦点的距离与它到右准线的距离的比为离心率,即. 例7 如图3.1-13，已知直线和椭圆，为何值时，直线与椭圆： （1）有两个公共点?（2）有且只有一个公共点?（3）没有公共点? 方法总结：代数法判断直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆有三种位置关系：相交、相切、和相离 1、联立，消元得一元二次方程：联立直线方程与椭圆方程，消去x（或y）得到一个关于y（或x）的一元二次方程； 2、计算△：根据以上一元二次方程，计算出△的值 3、下结论：△>0 直线与椭圆相交，△=0 直线与椭圆相切，△<0 直线与椭圆相离. 1.（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 2.（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3.（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高三下·云南曲靖·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $