3.1.2 椭圆的简单几何性质（第3课时） 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质（第3课时：直线与椭圆的位置关系） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程； （2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 【例2】已知椭圆的焦距为，且 (1)求的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆有交点，求在y轴上的截距的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，确定的值，可得椭圆标准方程. （2）设直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据可求的取值范围. 【详解】（1）∵椭圆的焦距为，故， 又，联立解得， ∴椭圆的方程为：． （2）设在y轴上的截距为，则的方程为，    由，消去得. 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得， 所以的取值范围为． 【例3】在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）（ⅰ）设，，联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）结合韦达定理，由即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出椭圆方程，再与直线方程联立，可得解. 【详解】由题，长轴长为，所以， 由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点. 故选：B 2．已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判别式等于0来判断直线与椭圆相切，从而可得到齐次等式来求离心率. 【详解】联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得． 故选:B． 3．直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 4．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解. 【详解】 法一：设直线的参数方程为，其中t为参数， 代入椭圆方程可得：， 则， 则 故选：A. 法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得： ，整理得：， 设交点则有 则 故选：A. 5．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径. 【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点 在圆上， 所以， 故选：A 6．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求直线的方程，与椭圆方程联立，求交点的坐标，再代入数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】已知椭圆的右焦点，则直线l的方程为代入椭圆方程可得， 所以，由上方程，不妨令，则，， 所以． 故选：C 二、多选题 7．如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C有公共点 【答案】ABCD 【分析】将直线与椭圆的公共点的个数问题，转化为联立方程组成方程组的解的个数问题，消元后得到一元二次方程，结合，，分别判断即可. 【详解】对于A，由方程组消去y，得①， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．故A正确； 对于B，由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线与椭圆有且只有一个公共点．故B正确； 对于C，由，得，或．此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．故C正确； 对于D，由选项A与选项B可知，D正确. 故选：ABCD 8．已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】BCD 【详解】联立可得. 依题意得，，解得. 所以可取、、. 9．已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】设与直线l平行的直线为，与椭圆联立，根据判别式，可得t值，结合两平行线间距离公式，分析计算，即可得答案. 【详解】求椭圆上的点到直线的最小距离，即求直线与平行于的椭圆切线之间的距离的最小值， 设与直线l平行且与椭圆C相切的直线为， 联立，得， 判别式，解得， 当时，切线为，与直线l的距离， 当时，切线为，与直线l的距离. 所以的最小值为. 故答案为： 11．如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则的平分线所在的直线方程为______． 【答案】 【分析】由椭圆切线方程结论，结合椭圆的光学性质求出角平分线的斜率，由点斜式可得. 【详解】过点的切线方程为，即，斜率， 根据椭圆的光学性质，可知的平分线与切线垂直， 所以角平分线所在直线的斜率为2， 又角平分线所在直线过点， 所以角平分线所在的直线方程为，即． 故答案为：. 12．已知曲线. （1）若，则由曲线围成的图形的面积是_____． （2）曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 2 或 【分析】（1）若，曲线，表示对角线长为2的正方形，可得曲线围成的图形的面积是2； （2）椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，时，曲线与椭圆有四个不同的交点；再考虑相切时的情形，即可得出结论. 【详解】（1）若，曲线，易知曲线关于轴，轴对称， 作出当，时的图象，根据对称性得到曲线的图象如下图： 曲线表示对角线长为2的正方形， 故曲线围成的图形的面积是2； （2）由（1）可知，曲线表示对角线长为的正方形， 因为椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1， 所以当时，曲线与椭圆有四个不同的交点； 当，时，联立， 可得， 当时，直线与椭圆相切， 此时，，， 根据曲线的对称性知，此时曲线与椭圆有四个不同的交点， 所以或. 故答案为：2；或. 四、解答题 13．已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 14．已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据离心率，可得a值，根据的关系，可得，即可得答案. （2）根据直线方程，可得P点坐标，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据条件，可得，联立求解，可得m值. 【详解】（1）因为右焦点为，所以， 因为离心率，所以， 则，所以的方程为. （2）由与轴交于点，令，解得，则， 联立直线与椭圆，得， 判别式，解得或， 设， 则， 因为是的中点，所以， 解得， 则，解得符合题意， 所以的值为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质（第3课时：直线与椭圆的位置关系） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【例2】已知椭圆的焦距为，且 (1)求的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆有交点，求在y轴上的截距的取值范围． 【例3】在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 2．已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 4．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（   ） A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点 B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点 C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点 D．当时，直线l与椭圆C有公共点 8．已知直线与椭圆有公共点，则可取（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 9．已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 三、填空题 10．已知是椭圆上一点，是直线上一点，则的最小值为___________. 11．如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，则的平分线所在的直线方程为______． 12．已知曲线. （1）若，则由曲线围成的图形的面积是_____． （2）曲线与椭圆有四个不同的交点，则实数的取值范围是_____． 四、解答题 13．已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 14．已知椭圆的右焦点为，离心率为. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $