3.1.2 椭圆的简单几何性质同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南长沙高二上月考）已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 2.（2025-2026·湖南娄底高二上期末）椭圆的长轴长为（） A. B.3 C. D.6 3.（2025-2026·湖南长沙高二上月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 4.椭圆的焦点，，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是（） A.， B.， C.， D.， 5.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为，，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（） A.2 B. C. D.1 6.（2025-2026·湖南益阳高二下期末）已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（） A. B. C. D. 7.已知椭圆，三角形ABC的三个顶点都在椭圆C上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3(均不为0)，O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＝(　　) A. B. C. D.－3 8.（2024-2025·江西宜春高二上期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题） 9.若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 10.已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 11.（2025-2026·湖南高二上期中）已知为椭圆上一动点，的左、右焦点分别为，，定点，则下列选项正确的是（） A.的周长为定值 B.面积的最大值为 C.的最大值为 D.若直线与椭圆交于，两点，且的中点为，则的斜率为 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为                   ． 13.（2024-2025·湖南岳阳高二上期末）若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为                   . 14.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为                   ． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·岳阳县第一中学、汨罗市第一中学高二下期中）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求面积的最大值. 16.（2025-2026·新疆喀什高二上期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：为坐标原点）为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·湖南长沙高二上月考）已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由椭圆的方程，得，，焦点在轴上. 由椭圆参数关系得， 故，. 椭圆的离心率. 故选：B. 2.（2025-2026·湖南娄底高二上期末）椭圆的长轴长为（） A. B.3 C. D.6 【答案】D 【解析】由椭圆方程得, 所以, 故长轴长为. 3.（2025-2026·湖南长沙高二上月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为坐标原点．若椭圆上的点满足，，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过点作，垂足为， 由得， 从而. 由，结合勾股定理得，进而得. 由椭圆定义得， 即， 化简得离心率. 故选：A. 4.椭圆的焦点，，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是（） A.， B.， C.， D.， 【答案】C 【解析】椭圆方程为,由此可得焦点和的坐标分别为和. 设点在椭圆上,满足条件. 当为钝角时,向量与的夹角大于,即. 所以，化简得:. 由椭圆方程得, 代入上式得:，整理得,解得:. 因此,的取值范围为:. 故选:C. 5.（2025-2026·湖南岳阳高二上月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为，，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（） A.2 B. C. D.1 【答案】B 【解析】设的内切圆与分别切于，得，椭圆中， 故， 由椭圆定义得，联立得. 设，将代入， 化简得，结合得. 由重心坐标公式得的重心， 由轴得横坐标相等， 故，在第一象限故， 解得. 计算得， 故椭圆的方程为. 点在椭圆上， 设，， 代入得，整理为辅助角形式得， 故当时，取得最大值. 故选：B. 6.（2025-2026·湖南益阳高二下期末）已知由椭圆与椭圆的交点连线可构成矩形（点，在轴下方），且，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由椭圆对称性结合，得交点满足，即第一象限交点满足. 联立椭圆与方程，整理得，代入，解得. 将代入目标式，得，由均值不等式得，从而. 当且仅当，即时等号成立，满足的题设条件. 故选：D. 7.已知椭圆，三角形ABC的三个顶点都在椭圆C上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3(均不为0)，O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＝(　　) A. B. C. D.－3 【答案】A 【解析】由题意知， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 则＋＝1，＋＝1， 两式作差得＝－， 则＝－，又D为AB中点，故D，所以＝－k1， 即＝－kOD，同理可得， 所以＋＋＝－(kOD＋kOE＋kOM)＝－. 8.（2024-2025·江西宜春高二上期中）已知分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】已知椭圆，设. 直线斜率，直线斜率，则. 因为，所以，代入上式得. 因为，则有，即. 将代入，可得. 整理得，因为在第一象限，所以. ，可得. 由正弦定理，又， 所以. 二、多项选择题（共3小题） 9.若椭圆的离心率为，则实数的取值可能是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】AC 【解析】当焦点在轴上时，此时，则； 由椭圆的离心率公式可得，即，解得； 当焦点在轴上时，此时，则； 同理可得，解得． 则实数的取值可能是或； 故选：AC. 10.已知椭圆与椭圆，则下列说法错误的是( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 【答案】ABC 【解析】由已知条件得椭圆中，，，， 则该椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为； 椭圆中，焦点在轴上，，，，故这两个椭圆只有焦距相等. 故选：. 11.（2025-2026·湖南高二上期中）已知为椭圆上一动点，的左、右焦点分别为，，定点，则下列选项正确的是（） A.的周长为定值 B.面积的最大值为 C.的最大值为 D.若直线与椭圆交于，两点，且的中点为，则的斜率为 【答案】ABC 【解析】由椭圆，得，，. 的周长为，故A正确. 面积的最大值为，此时位于短轴端点，故B正确. 由椭圆定义得，坐标为，结合得，从而，当，，三点共线时取等号，故C正确. 设，，由的中点为，得，，结合，在椭圆上得，，两式作差得，整理得，解得，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为                   ． 【答案】 【解析】由,可知为直角三角形. 原点为斜边的中点, 故. 结合点在椭圆上的条件,可得. 由,得. 整理得, 即. 结合椭圆离心率的范围,得. 13.（2024-2025·湖南岳阳高二上期末）若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为                   . 【答案】 【解析】设弦的两个端点分别为,,已知线段的中点为,可得 由于点和点均在椭圆上，满足 将两式相减，得 即 整理得 从而 因此，直线的斜率为. 14.（2024-2025·湖南长沙高一下期末）已知AB为圆O：的直径，点P为椭圆上一动点，则的最小值为                   ． 【答案】2 【解析】方法一：坐标法 圆：，其圆心，半径. 椭圆，设点坐标为. 因为为圆直径，不妨设，. 则，. ， 可得， 将代入上式：， 因为，所以当时，取得最小值. 方法二：向量运算与几何性质 由于. 因为，，所以. 又，则. 所以. 设，由椭圆，根据椭圆性质，椭圆上的点到原点距离满足： . 因为，当时，取得最小值，此时. 所以的最小值为. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·岳阳县第一中学、汨罗市第一中学高二下期中）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】解：(1)依题意，右焦点，则左焦点，而，轴， 则，于是， 解得，，所以椭圆的方程为. (2)依题意，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去并整理得， ，解得， 设，则 则面积， 令，则，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 16.（2025-2026·新疆喀什高二上期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：为坐标原点）为定值. 【答案】(1) 解：抛物线的焦点为，椭圆的半焦距. 由，得，， 故椭圆的方程为. (2) 证明：直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，. 联立，整理得. 由，得. 设，. 由韦达定理得. . 由此得，. ，故为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $