专题04 函数的概念及其表示（期中复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

高一数学上学期期中复习 考点大串讲 专题04 函数的概念及其表示 人教A版 1 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 3 期中考情透视 一、考点和题型 核心考点：函数的定义（定义域、值域、对应关系）；函数定义域求解；求函数解析式（代入法、配凑法、换元法）；分段函数求值、分段函数简单性质；同一函数的判定；区间的表示。 题型：选择题、填空题为主，选择常考同一函数判断、定义域求解；填空常考求解析式、分段函数求值；偶尔在解答题第一小问出现，也常和前面集合、不等式综合命题。 二、难易度 基础题：求定义域、分段函数直接求值、判断同一函数，属于基础送分题。 中档题：利用换元 / 配凑法求解析式、分段函数结合不等式求解，为本专题易错点。 难题很少：一般不单独设置压轴，多为概念陷阱题，难点集中在抽象表达式求解析式。 三、考情总结 本专题是函数模块的基础，期中必考。命题侧重对函数概念本质的考查，核心热点是定义域与分段函数。高频丢分点：求定义域忽略分母不为 0、偶次根式被开方数非负；判断同一函数只看解析式忽略定义域；分段函数忘记判断自变量所属区间。 4 PART 02 复习目标锚定 5 复习目标锚定 识记 1. 函数概念：记住函数定义，明确定义域、对应关系、值域是函数三要素；记住区间的各类表示符号（开区间、闭区间、半开半闭区间）。 2. 函数表示：熟记函数三种表示方法：解析法、图像法、列表法；记住分段函数的定义，分段函数是一个函数，不是多个函数。 3. 定义域规则：识记常见限制条件：分式分母≠0，偶次根式被开方数≥0，零次幂底数≠0。 理解 1. 理解函数本质：一个自变量 只能对应唯一的 ；理解判断同一函数的标准：定义域相同，且对应关系相同，与字母、解析式形式无关。 2. 理解分段函数：自变量在不同区间对应不同解析式，分段的分界点要分清归属；理解换元法求解析式中新元的取值范围。 3. 理解定义域优先原则：研究函数问题，先看定义域。 应用 1. 基础应用：求具体函数的定义域，用区间写出结果；分段函数代入自变量求值；识别函数图像。 2. 中档应用：用代入法、配凑法、换元法求函数解析式；已知 求 ；已知分段函数函数值，反求自变量。 3. 综合应用：结合不等式求解定义域；与集合、充分必要条件简单综合；利用分段函数解决简单不等式问题。 6 PART 03 知识体系构建 7 知识体系构建 8 知识体系构建 9 PART 04 核心要点精讲 考点一 判断函数关系 考点二 求函数定义域 考点三 根据定义域求参数 考点四 相等函数 考点五 求函数的值域 考点六 函数的表示法 考点七 求函数解析式 考点八 求分段函数值 考点九 根据分段函数值求参数 考点十 分段函数的值域或最值 考点十一 解分段不等式 考点十二 根据分段函数的值域（最值）求参数 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 10 ⚠️ 核心要点精讲 11 核心要点精讲 12 核心要点精讲 13 核心要点精讲 14 ⚠️ 核心要点精讲 15 核心要点精讲 16 核心要点精讲 17 核心要点精讲 18 核心要点精讲 19 核心要点精讲 20 ⚠️ 核心要点精讲 21 核心要点精讲 22 核心要点精讲 23 核心要点精讲 24 ⚠️ 核心要点精讲 25 核心要点精讲 26 核心要点精讲 27 核心要点精讲 28 核心要点精讲 29 核心要点精讲 30 核心要点精讲 31 ⚠️ 核心要点精讲 32 核心要点精讲 33 核心要点精讲 34 核心要点精讲 35 ⚠️ 核心要点精讲 36 核心要点精讲 37 ⚠️ 核心要点精讲 38 核心要点精讲 39 核心要点精讲 40 核心要点精讲 41 核心要点精讲 42 ⚠️ 核心要点精讲 43 核心要点精讲 44 核心要点精讲 45 ⚠️ 核心要点精讲 46 核心要点精讲 47 核心要点精讲 48 PART 05 重难题型突破 题型一 求抽象函数、复合函数定义域 题型二 求值域（最值） 题型三 根据值域求参数 题型四 换元法求函数解析式 题型五 方程组法求函数解析式 01 02 03 04 05 49 💡 重难题型突破 50 重难题型突破 51 重难题型突破 52 💡 重难题型突破 53 重难题型突破 54 重难题型突破 55 重难题型突破 56 💡 重难题型突破 57 重难题型突破 58 💡 重难题型突破 59 重难题型突破 60 PART 06 限时分层演练 61 （限时：15分钟） 基础固本练 62 基础固本练 63 基础固本练 64 基础固本练 65 基础固本练 66 基础固本练 67 基础固本练 68 基础固本练 69 基础固本练 70 （限时：15分钟） 综合进阶练 71 综合进阶练 72 综合进阶练 73 综合进阶练 74 综合进阶练 75 综合进阶练 76 综合进阶练 77 综合进阶练 78 综合进阶练 79 感谢聆听 80 2、判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于轴的直线 ②在定义域内平行移动直线 ③若直线与图形有且只有一个交点,则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数 1．(26-27高一上.江苏.期中)已知集合,下列对应关系中,从到的函数为(　　) A． B． C． D． 【详解】对于A,当时,对应的不属于集合B,所以A错误； 对于B,当时,对应的不属于集合B,所以B错误； 对于C,当时,对应的分别为,所以C正确； 对于D,当时,对应的不属于集合B,所以D错误. ⚠️概念辨析 考点一 判断函数关系 1、判断一个对应关系是否为函数的方法 A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【详解】由题意知,函数的定义域为,值域为, 对于①中,函数的定义域不是集合,所以①不正确； 对于②中,函数的定义域为集合,值域为集合,能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系,所以②正确； 对于③中,集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应,所以③正确； 对于④中,集合中的元素在集合中对应两个函数值,不符合函数的定义,所以④不正确. 故选：C. 2．(25-26高一上.江西抚州.期中)设集合,,那么下面的个图形中,能表示集合到集合的函数关系的有(    ) 【详解】A选项,集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应,故A选项错误； B选项,,均存在唯一与其对应,故B选项正确； C选项,存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素,故C选项错误； D选项,集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素,故D选项错误； 故选：B. 3．(22-23高一上.陕西西安.期末)设集合,则下列图象能表示从集合到集合的 函数关系的有(   ) A． B． C． D． B．,,：A中的数的开方 C．,,：A中的数的倒数 D．,,：A中的数的2倍 【详解】选项A,集合中的每一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,可构成函数关系； 选项B,对于集合中元素,在集合B中有两个元素与之对应,因此不是函数关系； 选项C,中元素的倒数没有意义,在集合中没有元素与之对应,因此不是函数关系； 选项D,集合中的每一个元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,可构成函数关系． 4．(多选)(26-27高一上.全国.课后作业)下列两个集合间的对应中,是到的函数的有(　　) A．,,： A中数的平方 若的定义域为,则的定义域为在上的值域 5．(25-26高一上.安徽阜阳.阶段检测)求抽象函数的定义域. (1)已知函数,求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为,求的定义域. 【详解】(1)解：由, 得,解得：, ∴函数的定义域为； (2)解：∵函数的定义域为, ∴,则,即函数的定义域为, 由,得, ∴的定义域为． ⚠️记忆口诀 考点二 求函数定义域 若的定义域为,则的定义域可由不等式求出 (3)若函数 的定义域为 ,求函数 的定义域 【详解】(1)要使函数有意义,即, 解不等式得或, 故函数的定义域为； (2)由题意得,即, 故所求函数的定义域为. (3)由,得,故的定义域为. 6．(25-26高一上.广东揭阳.期中)(1)求函数 的定义域； (2)求 的定义域； (2)； (3). 【详解】(1)当且仅当,即时,函数有意义, 所以这个函数的定义域为. (2)函数有意义,则,解得,且, 所以这个函数的定义域为且. (3)函数有意义,则解得, 所以这个函数的定义域为. 7．(24-25高一上.全国.课后作业)求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域,求函数的定义域. 【详解】(1)设,由于函数定义域为, 故,即, 解得,所以函数的定义域为； (2)因为函数的定义域为,即, 所以,所以函数的定义域为, 由,得, 所以函数的定义域为. 8．(24-25高一上.河南信阳.阶段检测)求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为,求函数的定义域； A． B． C．或 D．或 【详解】由题设有对一切实数恒成立, 若,恒成立, 若,则,故, 综上,. 10．(24-25高一上.四川成都.期中)函数的定义域为,则(    ) A．2 B．－2 C．－1 D．1 【详解】因为的定义域为, 所以的解集为, 得,解得,,故.故选：A． 考点三 根据定义域求参数 9．(26-27高一上.河南开封.阶段检测)函数的定义域为,则实数的取值范围是(     ) 12．(25-26高一上.上海普陀.阶段检测)已知,函数的定义域为,则k的 取值范围是________． 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立, 当时,不等式即为,符合题意； 当时,则有,解得, 综上所述,的取值范围是. 11．(25-26高三下.甘肃金昌.阶段检测)若函数f (x)＝的定义域为,则实数a＝________． 【详解】要使函数有意义,需同时满足：偶次根式的被开方数非负：,解得； 分母不为零：,即. 已知函数的定义域为,说明上述两个约束的解集交集为, 因此根式约束的下界需等于定义域左端点,即,解得； 此时需满足,可保证时自动满足,完全符合定义域要求,故. 13．(多选)(26-27高一上.河南开封.阶段检测)下列选项的两个函数为同一函数的有(     ) A．和 B．和 C．和 D．和 【详解】A选项,,,表达式不一样,不是同一函数,错误； B选项,,其中,,其中,表达式一样,是同一函数,所以B选项正确； C选项,,,表达式一样,且定义域均为,是同一函数,正确； D选项,和表达式一样,且定义域均为,是同一函数,正确； ⚠️记忆口诀 考点四 相等函数 断两个函数是否为同一个函数,就是看两函数的定义域和对应关系是否相同, 若两者都相同,则为同一个函数,若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数 C．, D．, 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数,对应法则相同,是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0,定义域是,二者定义域不同,不是同一函数； 选项C：,定义域是；的分段表达式即为,定义域也是,定义域和对应法则都相同,是同一函数； 选项D：的定义域满足,即, 化简得：, 与的对应法则不同,不是同一函数. 14．(多选)下列各组函数是同一函数的为(   ) A．, B．, C．, D．, 【详解】的定义域为,的定义域为, 两函数定义域不同,故不是同一函数,故A错误, 的定义域为,的定义域为, 根据对数运算法则得,故B正确, 对于函数,由,得, 所以的定义域为, 对于函数,由得或, 所以函数的定义域为, 两函数定义域不同,故不是同一函数,故C错误, 的定义域为,对于,由得, 所以的定义域为, 两函数定义域不同,故不是同一函数,故D错误. 故选：B. 15．(25-26高一上.江苏淮安.期末)下列各组函数是同一个函数的是(   ) A．, B．, C．, D．, 【详解】对于A,函数的定义域为R,的定义域为,A不是； 对于B,函数与的定义域均为R,且,即对应法则相同,B是； 对于C,函数的定义域为R,的定义域为,C不是； 对于D,函数的定义域为R,的定义域为,D不是. 故选：B 16．(25-26高一上.天津武清.阶段检测)下列四组函数中,是同一个函数的是(   ) A．, B．, 2、配方法:若函数是二次函数形式,即可化为型的数,则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间上二次函数最值的求法 3、分离常数法：形如的函数,经常采用分离常数法,将变形为 再结合x的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域 4、换元法:运用换元,将已知函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.例如,形如(均为常数)的函数常用此法,即先令,求出,并注明的取值范围,再代入上式将表示成关于的二次函数,最后用配方法求值域 5、判别式法:求形如 (不同时为0)的值域,常利用去分母的形式把函数转化成关于的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出的取值范围,即得到函数的值域 ⚠️记忆口诀 考点五 求函数的值域 1、观察法：利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域 【详解】设,即,则, 所以函数的值域为． 18．(25-26高一下.河北保定.阶段检测)函数的值域为______. 【详解】令,则可得,即, 可得, 当时,取得最大值,即. 所以其值域为. 19．(26-27高一上.全国.课后作业)求函数的值域； 【详解】, 因为,所以, 则函数的值域为． 17．(26-27高一上.全国.课后作业)函数的值域为(   ) A． B． C． D． (2)． 【详解】(1)因为,所以,即函数的值域为. (2), 因为,所以的图象如图所示, 所以,当时,函数取得最小值； 所以的值域为. 20．(26-27高一上.全国.课堂例题)求下列函数的值域： (1)； A．-3 B．1 C．2 D．3 考点六 函数的表示法 21．(25-26高一上.河南信阳.期中)若函数的解析式满足下表,则(    ) 0 1 2 3 -3 3 1 2 【详解】由表可知：, 故选：C. 【详解】对于A,由图象法表示函数,且该图象符合函数的定义,A正确； 对于B,集合中大于2且小于等于4的数,在集合中没有元素与之对应,不符合函数定义,B错误； 对于C,集合中存在元素,在中与之对应的元素不唯一,如时,对应值有2个,C错误； 对于D,集合中存在元素,在中与之对应的元素不唯一,且的范围不对,D错误. 故选：A 22．(25-26高一上.四川南充.阶段检测)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义,设集合,,则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是(     ) A． B．C． D． C． D． 【详解】B项不满足每一个自变量仅对应一个因变量,ACD都满足每一个自变量仅对应一个因变量. 故选:B． 23．下列不可以表示函数图象的是(   ) A． B． 24．(25-26高一上.江西上饶.期末)根据表中数据,可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 【详解】由题意得,则, 故答案为：3. 2、配凑法：对的解析式进行配凑变形,使它能用表示出来,再用代替两边所有的“”即可 3、待定系数法：若已知函数的类型,求解析式时,用待定系数法.先设出它的一般形式, 根据条件确定相关的系数即可 4、方程组法(或消元法)：当题目中出现和,与的关系式时,经常通过构造方程组来求解 ⚠️记忆口诀 考点七 求函数解析式 1、换元法：设,解出,代入,求的解析式即可.注意换元时的取值范围 【详解】令,则, 所以,, 所以. 故选：B. 26．已知是二次函数,且,,,则的解析式为_________． 【详解】设, 根据题意得,解得, 所以 ． 25．已知函数,则(    ) A． B． C． D． (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【详解】(1)因为, 因为,所以； (2)设, 则, 所以,解得或, 所以或； (3)因为定义在上的函数满足①, 所以②, 由①②,得, 所以. 27．(2025高一上.河南安阳.专题练习)求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (3)若对任意实数x,均有,求的解析式. 【详解】(1)是一次函数,设, 由题可知： , 化简得, 因为,所以,解得.所以函数的解析式为. (2), 又,当且仅当,即时等号成立. 设,则, , 函数的解析式为 (3),①,② 由①②得,函数的解析式为. 28．(25-26高一上.内蒙古乌兰察布.期中)(1)已知是一次函数且,求的解析式； (2)已知,求的解析式； 29．(26-27高二.山东.学业考试模拟)设函数,则________． 【详解】,则. 30．(26-27高二上.陕西宝鸡.开学考试)已知函数,则______. 【详解】满足分段函数的条件,因此, 可得：, 满足的条件,因此, 代入计算得：, 将代入,得. ⚠️记忆口诀 考点八 求分段函数值 根据分段函数解析式求函数值,首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. 当出现的形式时,应从内到外依次求值 32．(25-26高一上.天津滨海新区.阶段检测)已知函数,则______. 【详解】,则, 则, ,则, 则. 31．(25-26高二下.浙江宁波.期末)函数,则______． 【详解】由题意可得,, 所以. 2、可以通过函数的图像,找出对应的每段函数的值域,直接找出所属区间,从而求得值 33．(25-26高一上.贵州毕节.期末)已知函数,若,则的值是(   ) A．1 B． C． D．1或 【详解】当时,,得到,负根舍去； 当时,,得到,符合题意； 综上所述,或. 故选：D 34．(25-26高二下.天津红桥.期末)已知分段函数,,则实数________． 【详解】当时,,解得； 当时,,解得(舍)或, 所以或. ⚠️记忆口诀 考点九 根据分段函数值求参数 1、对每段函数直接求解然后再检验是否在该区间内 【详解】当时,,得到,满足条件； 当时,,得到或, 因为,所以； 综上所述,或. 故选：C. 36．(25-26高一上.湖南.期中)已知函数若,则的值为(    ) A．1 B．或2 C．1或2 D．2 【详解】当时,由,得,解得,不满足,舍去； 当时,由,得,解得或(舍去)； 当时,由,得,解得,不满足,舍去；综上所述：的值为2. 故选：D 35．(25-26高一上.辽宁丹东.期末)已知,若,则(   ) A． B． C．或 D．或 A． B． C． D． 【详解】若,即,即或； 若,即； 所以, 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时,； 当时,可得, 因此则的值域是. 考点十 分段函数的值域或最值 37．(26-27高一上.全国.课后作业)设函数,则的值域是(    ) 39．(25-26高一上.安徽.期中)函数的值域是___________． 【详解】当时,．当时,． 故函数的值域是． 38．(24-25高一下.重庆.阶段检测)函数,则函数的值域为__________. 【详解】当时,,图象对称轴为,当时,取最小值0, 当时,取最大值1,所以；当或时,, 综上,,则函数的值域为. 40．(25-26高一上.宁夏银川.阶段检测)设,记． 若,则的最大值是__________． 【详解】函数,, 由,得,解得或； 由,得,解得, 则, 又,,作出的大致图象,如图,结合图象知的最大值为. 41．(25-26高二下.河北.期末)已知函数若,则t的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【详解】, 当,即时,,由,得； 当,即时,,由,得,解得, 综上,,即的取值范围为. ⚠️记忆口诀 考点十一 解分段不等式 先确定自变量所在区间,将不等式转化为各段内的代数不等式,分别求解,最后将各段解集合并. 注意分段点处需单独验证是否满足原不等式(因开闭区间可能影响取值) 【详解】①当时,,不等式等价于：, 化简可得,解得,因为,所以此时不等式解集为； ②当时,,不等式等价于：, 当时,得,显然不成立, 当,不等式两边同除以,得,得,因为,所以此时不等式解集为. 综上,不等式解集为. 42．(25-26高一下.山东潍坊.期中)已知函数则的解集为( ) A． B． C． D． 【详解】当时,有,即,解得；当时,有, 即,解得. 综上,不等式的解集为. 44．(2026高三.全国.专题练习)已知,若,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【详解】由题得或,解得,故选项D正确． 43．(2026高二下.浙江.)已知函数,则不等式的解集为(     ) A． B． C． D． 2、要求值域为某特定区间: 这类题更苛刻,要求并集恰好等于目标区间,不能多也不能少 (1)各段值域必须都落在目标区间内(不能有超出部分) (2)各段值域的并集必须完整覆盖该区间(不能有缺漏) (3)通常需要分类讨论各段的最值是否等于区间的端点 45．(26-27高三上.云南昆明.阶段检测)设函数.若是的最小值,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【详解】由题意得：, 当时,,当且仅当时等号成立, 即, 当时,对称轴为,当时,即,因为是的最小值, 所以,即,解得, 所以, 当时,即, 所以,不满足题意, 综上所述,. ⚠️记忆口诀 考点十二 根据分段函数的值域(最值)求参数 1、要求值域为：各段值域拼接后,不能有“空洞”,且两端必须延伸到正负无穷 【详解】当时,, 当且仅当,即时,等号成立. 由对勾函数的性质可得,在上单调递增,在上单调递减. 当时,函数单调递减,. 函数在定义域内有最大值,则,即实数的取值范围是. 47．(25-26高一上.广东深圳.期末)已知函数的值域为,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【详解】当时,, ∵的值域为,∴,即, ∴时,, ∴,解得,又因为,所以, ∴实数的取值范围是． 故选：B． 46．(2026.广东茂名.二模)已知函数在定义域内有最大值,则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． 48．(25-26高一上.上海.期末)已知函数的值域为,则实数的取值范围为______． 【详解】设, 当时,,即函数在上的值域为, 要使得函数的值域为,则该函数在上的值域包含, 若,即时,当时,,不符合题意； 若,即时,当时,,不符合题意； 若,即时,当时,, 所以函数在上的值域为, 由题意可得,所以,解得. 综上所述,实数的取值范围是. A． B． C． D． 【详解】由函数的定义域为,可得,解得, 所以的定义域为, 又因为,解得,所以函数的定义域为. 若的定义域为,则的定义域可由不等式求出 若的定义域为,则的定义域为在上的值域 💡破题要诀 题型一 求抽象函数、复合函数定义域 典例1 (26-27高一上.全国.期中)已知函数的定义域为,则的定义域为(    ) A． B． C． D． 【详解】由,得,所以, 所以函数的定义域是. 故选：B. 2．(25-26高一上.山东青岛.期中)函数的定义域为的定义域为___________． 【详解】因为函数的定义域为,令, ,所以的定义域为, ,即, 所以函数的定义域为. 故答案为：. 迁移应用 1．(25-26高一上.安徽马鞍山.期中)已知函数的定义域是,则函数的定义域是(   ) 【详解】由,解得,的定义域为,且. 由柯西不等式得,, 当且仅当即时等号成立； ,即的最大值为. 题型二 求值域(最值) 典例1 (25-26高一下.福建漳州.期中)函数的最大值为________． 3、判别式法:求形如 (不同时为0)的值域,常利用去分母的形式把函数转化成关于的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出的取值范围,即得到函数的值域 💡破题要诀 1、换元法,将已知函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.例如,形如(均为常数)的函数常用此法,即先令,求出,并注明的取值范围,再代入上式将表示成关于的二次函数,最后用配方法求值域 2、分离常数法：形如的函数,经常采用分离常数法,将变形为再结合x的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域 A． B． C． D． 【详解】由题意得,解得,即的定义域为,令,则,所以, 且, 则原函数转化为,因为与在上均为单调递减函数, 所以在上单调递减, 所以的最大值为,的最小值为, 所以的值域为,即原函数的值域为. 迁移应用 1．(25-26高一上.浙江杭州.期中)函数的值域为(   ) A． B． C． D． 【详解】当时,,则恒成立,显然不符合题意；要使函数的值域为, 需使,解得. 故的取值范围是.故选：D 迁移应用 1．(25-26高一上.广东湛江.期中)若函数的值域为,则的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【详解】当时,,值域为,不满足题意,故, 因为的值域为, 所以, 解得,即的取值范围是. 故选：D. 题型三 根据值域求参数 典例1 (25-26高一上.福建福州.期中)函数的值域为,则的取值范围为(    ) (2)判断在上的单调性,并用定义法予以证明； (3)函数,,若在上的值域是,求,的值. 【详解】(1)因为函数是定义域在上的奇函数, 可得,即,解得, 当时,, 则, 可知为定义域在上的奇函数,符合题意, 所以,. (2)略 (3)因为的图象开口向下,对称轴为, 因为,则, 若在上的值域是,则, 可知在上单调递增, 则,解得,,所以,． 2．(25-26高一上.广东深圳.期中)已知函数是定义域在上的奇函数. (1)求,； A． B． C． D． 【详解】令,则, 所以,. 所以. 故选：B. 设,解出,代入,求的解析式即可.注意换元时的取值范围 💡破题要诀 题型四 换元法求函数解析式 典例1 (25-26高一上.湖南岳阳.期中)已知函数,则( ) 2．(24-25高一上.北京.期中)若函数,则________；______. 【详解】因为函数, 设,则, 所以, 所以,则. 故答案为：； 迁移应用 1．(25-26高一上.安徽淮北.期中)已知,则___________________． 【详解】令,则, 由,得, 所以,即. 【详解】由, 用替换得, 则, 两式联立消去,得, 令,即,, 则,即, 所以函数的解析式为. 当题目中出现和,与的关系式时,经常通过构造方程组来求解 💡破题要诀 题型五 方程组法求函数解析式 典例1 (25-26高一上.江西南昌.期中)已知函数满足,其中且, 求函数的解析式. (1)求的解析式； 【详解】(1)由,① 得,② ②①,得, 所以. 2．(25-26高一上.广东揭阳.期中)已知函数满足,求的解析式. 【详解】由,得, 两式联立消去得, 解得, 所以的解析式为. 迁移应用 1．(25-26高一上.云南.期中)已知函数满足. 【详解】由题意得 ,解得且,故D正确. 2．(26-27高一上.黑龙江吉林.期中)设函数的定义域为,则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【详解】由,解得：,所以函数的定义域为． 1．(26-27高一上.广西.期中)函数的定义域为(    ) A．且 B．且 C． D．且 【详解】对于A,的定义域为,的定义域为,故与不是同一个函数,错误； 对于B,的定义域为,的定义域为,故与不是同一个函数,错误； 对于C,与的定义域均为,对应关系相同,故与是同一个函数,正确； 对于D,的定义域为,的定义域为,故与不是同一个函数,错误. 3．(26-27高一上.广西.期中)下列各组函数是同一个函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】因为, 所以. 5．(25-26高一上.河北唐山.期中)下列函数中哪个与函数是同一个函数(   ) A． B． C． D． 【详解】函数的定义域是, 值域是, A.函数的定义域是,所以A错误； B.函数的定义域是,所以B错误； C.函数与的对应法则不同,所以C错误； D.函数,与函数是同一个函数,所以D正确. 6．(23-24高一上.河北唐山.期中)已知函数则的值为(    )． A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】由已知, 所以. 4．(26-27高一上.广西.期中)设函数 ,则 (    ) A． B． C． D ． C．与 D．与 【详解】对于A：,定义域为,而,定义域也是,两个函数的定义域和对应法则 都相同,所以是同一个函数,故A正确； 对于B：,定义域为,而,定义域为,定义域不同,所以不是同一个函数,故B错误； 对于C：,需满足,即,而,需满足,即, 且,所以两个函数的定义域和对应法则相同,为同一个函数,故C正确； 对于D：,定义域为,而,定义域为,且,所以两个函数的定义域和 对应法则相同,为同一个函数,故D正确. 7．(多选)(25-26高一上.浙江杭州.期中)下列各组函数中,两个函数表示同一个函数的是(   ) A．与 B．与 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．是定义域上的减函数 【详解】对于A选项,由题意得,则,故函数的定义域为,A正确； 对于B选项,的定义域为,的定义域为,两函数不是同一函数,B错误； 对于C选项,由于,故,所以,则的值域为,C正确； 对于D选项,的定义域为,又在上单调递减, 又,,,,故在定义域上不单调递减,D错误. 故选：AC 8．(多选)(25-26高一上.山东泰安.期中)下列说法正确的是(    ) A．函数的定义域为,则函数的定义域为 10．(25-26高二下.黑龙江佳木斯.期中)已知 ,则函数的解析式为_________. 【详解】设,那么,则 , 所以,. 9．(26-27高一上.北京.期中)函数的定义域为______. 【详解】依题意,解得且,的定义域为. (2)画出该函数的图象(不写画法),写出该函数的定义域、值域． 【详解】(1)当, ；当,. 故； (2)略 12．(25-26高一上.甘肃兰州.期中)(1)已知是一次函数且,求的解析式； (2)已知都是正实数,且,试比较与的大小,并证明． 【详解】(1)已知是一次函数,可设,由题可知：, 即, 因为,所以, 解得． 所以函数的解析式为． (2)略 11．(25-26高一上.四川眉山.期中)已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)求不等式的解集． 【详解】(1)设二次函数,由,得,则； 由, 得, 即,因此,解得,, 所以二次函数的解析式为. (2)由(1)知,,不等式, 即,解得或, 所以原不等式的解集为或. 13．(25-26高一上.重庆.期中)已知二次函数满足：,． (1)求二次函数的解析式； (2)求的值； (3)解不等式． 【详解】(1)由图可知,单调递增区间为,单调递减区间为. (2)由得,,. (3)由图可知,当时,恒成立；当时,,解得, 当时,,解得.综上所述,所以不等式的解集为. 14．(25-26高一上.天津静海.期中)已知函数的解析式为 (1)在坐标系中画出这个函数的图象,并由图象直接写出的单调区间； 【详解】因为函数的定义域为,所以函数的定义域为, 所以的定义域需满足： ,解得. 2．(26-27高一上.辽宁.期中)若函数的定义域为,则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【详解】由题可得在上恒成立. 当时,则不等式可化为,在上恒成立； 当时,由在上恒成立,可得, 解得. 综上可知. 1．(25-26高一上.甘肃兰州.期中)已知函数的定义域是,则函数的定义域是(   ) A． B． C．[1,3] D．(1,3] 【详解】由. 又. 原式. 4．(25-26高二下.重庆江津.期中)函数的定义域为R的充要条件是(     ) A． B．且 C． D． 【详解】由题意得恒成立,, 当时,由二次函数的性质可得且,解得, 当时,一次函数不恒成立, 综上, . 3．(25-26高一上.江西南昌.期中)设,则(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】由题意知,在R上单调递增, 当时,,满足题意； 当时,需满足,解得,所以. 综上,. 5．(25-26高一下.贵州毕节.期中)已知在R上满足,则实数的取值范围为(   ) A． B． C． D． 详解】解法一：(赋值)令得,所以；令得, 所以； 令得,所以；令得, 所以； 令,得,所以； 令,得,所以． 解法二：(赋值递推)令得,所以, 所以,累加得,所以． 解法三：(抽象函数具体化)观察发现满足题意且, 所以． 6．(25-26高二下.浙江.期中)若,,则(    ) A．50 B．55 C．99 D．101 C．的定义域为 D． 【详解】对于A,依题意,, 则,故A错误； 对于B,当时,,当且仅当时取等号, 因此的值域为,故B正确； 对于C,在中,令,解得, 因此的定义域为,故C正确； 对于D,,因此,故D正确． 7．(多选)(25-26高一上.福建泉州.期中)已知函数满足,则( ) A． B．的值域为 B．函数的最小值为6 C．若,则 D．已知函数的定义域为,则函数的定义域为 【详解】由,解得,所以的定义域为, 由,解得, 所以的定义域为, 又, 故函数与是相同的函数,故A正确； , 当且仅当时取等号,方程无解, 等号不成立,故B错误； 因为,所以,故C正确； 由,得,所以的定义域为,故D正确． 8．(多选)(24-25高二下.陕西榆林.期中)下列说法正确的是(   ) A．函数与是相同的函数 10．(25-26高一上.浙江杭州.期中)若函数的定义域为,则实数m的取值范围为______． 【详解】要使有意义,则有, 因为函数的定义域为,故在上恒成立, 当时,,恒成立； 当时,则有,解得； 综上,实数的取值范围为. 9．(25-26高二下.黑龙江佳木斯.期中)已知函数对于任意实数满足条件,若, 则________. 【详解】由,则, 故是以为周期的周期函数, 则, 由,可得. (2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(利润＝总收入－总成本) 【详解】(1)因为月产量为台,则总成本为, 所以当时,, 当时,,综上,. (2)当时,. 所以当时,取得最大值,最大值为30000； 当时,是减函数, 所以. 综上,当时,的最大值为30000,即每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为30000元． 11．(24-25高一上.福建厦门.期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元,每生产一台仪器需增加投入100元, 已知总收入满足函数： ,其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)求在上的最小值； (3)求(2)中函数的最大值． 【详解】(1)由题意得,对恒成立, 则,得, 故的取值范围为； (2)对称轴为,且开口朝上, 则在上单调递减,在上单调递增, 当,即时,； 当,即时,； 当,即时,, 则； (3)由(2)可知,当时,；当时,； 当时,, 故的最大值为. 12．(25-26高一上.广西玉林.期中)已知函数()． (1)对都有成立,求实数取值范围； $