专题01 集合与常用逻辑用语（期中复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

高一数学上学期期中复习 考点大串讲 专题01 集合与常用逻辑用语 人教A版 1 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 3 期中考情透视 一、考点与题型 1.集合：核心考查集合的含义与表示、集合间的关系（子集 / 真子集）、集合的基本运算（交并补），常结合不等式、函数定义域值域命题；题型以选择题、填空题为主，偶与函数、方程综合出简单解答题。 2.常用逻辑用语：重点考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，以及全称量词命题、存在量词命题 的否定与真假判断；命题多结合代数、几何背景，题型为选择、填空。 二、难易度 整体为基础题、难度低，少量出现中档题；侧重基本概念、公式和运算，计算量小，主要考查 识记、理解与简单推理。 三、考情总结 本专题是期中考试必考基础板块，考点固定、题型稳定、难度低，以小题形式出现，侧重集合运算与 充分必要条件判定。 4 PART 02 复习目标锚定 5 复习目标锚定 识记 1、记住集合元素三大特性（确定性、互异性、无序性）；熟记 、 、⊆、⫋、、∪、 等集合符号；牢记空集、子集、真子集定义。 2、记住充分条件、必要条件、充要条件定义；记住全称量词∀、存在量词∃；掌握全称命题、特称命题的否定形式规则 理解 集合：理解元素与集合、集合与集合两种关系的区别；理解空集的特殊性（空集是任何集合的子集）；理解全集与补集的含义；能看懂描述法表示的集合，分清代表元素。 常用逻辑用语：理解充分、必要条件和集合包含关系的联系；理解命题否定与否命题的差异；能判断全称、特称命题的真假。 应用 集合：能求解集合交、并、补运算；会利用数轴、Venn 图处理集合运算；已知集合关系求参数范围，注意空集讨论；结合一元一次、一元二次不等式求集合； 常用逻辑用语：能在不等式、函数背景下判定充分，必要条件；会写出全称量词命题、存在量词命题的否定；利用充分、必要条件转化为集合关系，求解参数取值 6 PART 03 知识体系构建 7 知识体系构建 8 知识体系构建 9 PART 04 核心要点精讲 考点一 辨别元素与集合，集合与集合的关系 考点二 根据元素与集合的关系求参数 考点三 根据集合中元素的个数求参数 考点四 列举法和描述法 考点五 子集（真子集）问题 考点六 根据集合关系求参数 考点七 集合的并，交，补综合运算 考点八 根据集合的运算结果求参数 考点九 图的应用 考点十 充分性，必要性的判断 考点十一 根据充分性，必要性求参数 考点十二 命题的否定 考点十三 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 10 ⚠️ 核心要点精讲 11 核心要点精讲 12 ⚠️ 核心要点精讲 13 核心要点精讲 14 ⚠️ 核心要点精讲 15 核心要点精讲 16 核心要点精讲 17 ⚠️ 核心要点精讲 18 核心要点精讲 19 核心要点精讲 20 ⚠️ 核心要点精讲 21 核心要点精讲 22 核心要点精讲 23 ⚠️ ❌ 核心要点精讲 24 核心要点精讲 25 核心要点精讲 26 核心要点精讲 27 核心要点精讲 28 ⚠️ 核心要点精讲 29 核心要点精讲 30 核心要点精讲 31 ⚠️ 核心要点精讲 32 核心要点精讲 33 核心要点精讲 34 核心要点精讲 35 核心要点精讲 36 核心要点精讲 37 核心要点精讲 38 核心要点精讲 39 核心要点精讲 40 ⚠️ 核心要点精讲 41 核心要点精讲 42 核心要点精讲 43 ⚠️ 核心要点精讲 44 核心要点精讲 45 核心要点精讲 46 核心要点精讲 47 ⚠️ 核心要点精讲 48 核心要点精讲 49 核心要点精讲 50 核心要点精讲 51 核心要点精讲 52 核心要点精讲 53 PART 05 重难题型突破 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 根据集合中元素的个数求参数 题型三 根据集合关系求参数 题型四 根据集合的运算结果求参数 题型五 根据充分性，必要性求参数 题型六 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 题型七 不等式在非 区间上恒（能）成立问题 题型八 二次函数在 上的恒（能）成立问题 01 02 03 04 05 06 07 08 54 💡 重难题型突破 55 重难题型突破 56 重难题型突破 57 💡 重难题型突破 58 重难题型突破 59 重难题型突破 60 重难题型突破 61 💡 重难题型突破 62 重难题型突破 63 重难题型突破 64 重难题型突破 65 💡 重难题型突破 66 重难题型突破 67 重难题型突破 68 💡 重难题型突破 69 重难题型突破 70 重难题型突破 71 💡 重难题型突破 72 重难题型突破 73 重难题型突破 74 💡 重难题型突破 75 重难题型突破 76 重难题型突破 77 重难题型突破 78 重难题型突破 79 💡 重难题型突破 80 重难题型突破 81 PART 06 限时分层演练 82 （限时：15分钟） 基础固本练 83 基础固本练 84 基础固本练 85 基础固本练 86 基础固本练 87 基础固本练 88 基础固本练 89 基础固本练 90 （限时：15分钟） 综合进阶练 91 综合进阶练 92 综合进阶练 93 综合进阶练 94 综合进阶练 95 综合进阶练 96 综合进阶练 97 综合进阶练 98 综合进阶练 99 综合进阶练 100 综合进阶练 101 感谢聆听 102 1．(26-27高一上.四川.期中)设为自然数集,集合,则( ) A． B． C． D． 【详解】A选项, 且 ,所以,A选项错误； B选项, ,所以,B选项错误； C选项, ,所以 ,C选项错误； D选项, 且 不成立,所以,D选项正确. ⚠️概念辨析 考点一 辨别元素与集合,集合与集合的关系 元素与集合关系：属于()和不属于()两个关系 集合与集合关系：包含； 解题时注意区别判断元素与集合,集合与集合的所使用符号 【详解】由于,,,,故②错误,①③④正确. 3．(24-25高一上.贵州黔西南.阶段检测)已知集合,则下列表述正确的是(     ) A． B． C． D． 【详解】由,得,． 对于A,,A错误； 对于B,与集合不存在包含关系,B错误； 对于C,,C错误；对于D,,D正确,故选D． 4．(多选)(24-25高一上.广东.期中)如下四个结论中,正确的有(     ) A． B． C． D． 【详解】元素与集合的关系以及集合间的基本关系可知 正确,错误,正确,错误, 故选：AC. 2．(26-27高一上.全国.课堂例题)下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．(25-26高一上.河北.阶段检测)设集合,若且,则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【详解】因为集合,而且 且,解得. 故选：B 6．(26-27高一上.上海.开学考试)若,则__________． 【详解】因为, 所以或或, 所以或或或, 根据集合元素的互异性,排除的情况, 所以或或. ⚠️易混易错 考点二 根据元素与集合的关系求参数 解出参数后注意回代检查集合元素是否满足互异性 8．(24-25高一上.上海浦东新.阶段检测)已知集合,且,则________． 【详解】由,可得或, 由,解得,经过验证,不满足条件,舍去. 由,解得或,经过验证：不满足条件,舍去. ∴. 7．(25-26高一上.上海.阶段检测)设a是实数,集合,若,则__________. 【详解】由, 当,则,不满足元素的互异性, 当, 若,则,, 若,则,, 此时,满足. 当或, 若,则,不满足元素的互异性, 若,则,不满足元素的互异性, 综上,. 9．(2026.湖北孝感.二模)如果集合只有一个元素,则实数的值是(   ) A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【详解】集合, 表示关于的方程的解集, 当时,解得,则,符合题意； 当时,,解得,此时,符合题意, 综上可得或. ⚠️易混易错 考点三 根据集合中元素的个数求参数 对于或者特别容易忽视考虑,的情况 11．(25-26高一上.江苏常州.阶段检测)如果集合中只有一个元素,则实数的所有可能值的和为________. 【详解】当时,只有1个解,符合题意； 当时,对于一元二次方程只有1解,则,解得. 综上实数的所有可能值的和为. 10．(26-27高一上.辽宁沈阳.开学考试)关于的方程的解集中只含有一个元素,则的可能取值构成的集合为________． 【详解】方程两边同时乘以得,即, ①当,即时,方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时,方程也只有一个解, (i)若增根为0时,； (ii)若增根为1时,； 故k的值为或0或2,即的可能取值构成的集合为. (2)若中至多有一个元素,求实数取值范围. 【详解】(1)由于中有两个元素, 关于的方程有两个不等的实数根, ,且,即,且. 故实数的取值范围是或； (2)当时,方程为,集合只有一个元素； 当时,若关于的方程有两个相等的实数根,则中只有一个元素, 即,, 若关于的方程没有实数根,则中没有元素, 即. 综上可知,实数的取值范围是. (2)当时,方程为,集合只有一个元素； 当时,若关于的方程有两个相等的实数根,则中只有一个元素, 即,, 若关于的方程没有实数根,则中没有元素, 即. 综上可知,实数的取值范围是. 12．(24-25高一上.广东中山.阶段检测)已知集合. (1)若中有两个元素,求实数的取值范围； A． B． C． D． 【详解】由已知, 令,解得, 又,则,化简得. 故选：B. ⚠️概念辨析 在解描述法表示集合的题目时,注意分清代表元素,如：,, 13．若集合,则(     ) (2)______； (3)所有被5除余1的正整数所构成的集合______； (4)平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【详解】(1)因为,,所以均符合题意, 所以原集合可以表示为. (2)因为,所以,又因为,所以, 又因为,所以, 所以原集合可以表示为. (3)设,则被5除余1的正整数所构成的集合可以表示为 . (4)设平面直角坐标系中第一、三象限的点为,则, 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为. 故答案为：；；；. 14．(24-25高一.上海.课堂例题)用不同的方法表示下列集合： (1)______； 16．用列举法表示集合＝________． 【详解】, 为的因数 则 则答案为 15．集合,用列举法可以表示为____________ 【详解】根据集合中的可知可以取； 当时,,符合题意； 当时,,符合题意； 当时,,符合题意； 当时,,符合题意； 当时,,符合题意； 当时,,符合题意； 当时,,不符合题意； 当时,,不符合题意； 即符合题意的的值可以取, 对应的值依次是, 所以可得集合列举法可以表示为. 17．(2026.贵州六盘水.一模)集合的子集的个数为(    ) A．64 B．16 C．6 D．4 【详解】由题意且,的值可以为：,所以有6个元素. 故集合的子集有：个. ⚠️记忆口诀 考点五 子集(真子集)问题 若有限集中有个元素,则的子集有个,真子集有个,非空子集有个,非空真子集有个 【详解】方法一：因为集合,, 所以满足条件的集合C有： ,,,,,,,共7个． 方法二：集合中有2个元素,集合中有5个元素, 故满足条件的集合C可以是集合的任意一个真子集与集合A的并集, 因为集合的真子集的个数为, 所以满足条件的集合C有 18．(2026高一上.广东清远.专题练习)已知集合,,则满足B的 集合C的个数为(    ) A．4 B．7 C．8 D．15 20．(25-26高一上.浙江.期末)已知,,若,则所有集合B中全部元素之和为______. 【详解】因为,, 集合B可以为, 所有元素之和为. 19．(25-26高一上.广东珠海.阶段检测)满足的集合A共有______个 【详解】问题等价于求集合的真子集个数,故所求为． A． B． C． D． 【详解】当时,,解得, 当时,,解得, 综上所述,实数的取值范围是. ⚠️避坑指南 ❌ ,解题时容易忽视考虑, 考点六 根据集合关系求参数 21．(26-27高三上.陕西渭南.阶段检测)已知集合,,若, 则实数的取值范围是(     ) 【详解】解方程,因式分解得,解得或,故. 当时,方程无解,即,空集是任意非空集合的真子集,满足. 当时,,由可知： 若,解得； 若,解得.综上,实数的取值集合为. 22．(2026高三.全国.专题练习)已知集合,,若, 则实数m的取值集合是(    ) A． B． C． D． (2)若,求实数的取值集合； (3)若中有3个整数,求实数的取值集合； (4)若,求实数的取值集合； (5)若,求实数的取值取值集合； 【详解】(1)因为,,所以. (2)因为, 若,则,解得, 所以实数的取值集合为. 23．(2026高一.全国.专题练习)已知集合,． (1)若,求； (5)当时,如图, 此时,解得,此时无解；    当时,由,解得． 综上可得：的取值集合为． (3)因为,中有3个整数, 所以,解得, 当时,,符合题意, 当时,, 若中有3个整数,则,即, 此时集合中的整数为,符合题意； 当时,,不符合题意； 当时,, 若中有3个整数,则,即, 此时集合中的整数为,符合题意； 综上所述,实数的取值集合为. (4)当时,如图,此时．    则,即,因此的取值集合为． (2)若,求的取值范围． 【详解】(1)解：当时,, 对于集合中的每个元素,除该元素外还有个元素, 每个元素有选或不选两种可能,包含它的子集个数为, 故的所有子集中的元素之和为． (2)解：当,即时,满足． 当,即时,要使成立, 需,可得, 综上,的取值范围是或． 24．(25-26高一上.河南郑州.阶段检测)设集合,． (1)当时,求的所有子集中的元素之和； 25．(25-26高一下.河南新乡.期末)设全集,集合,,,则(    ) A． B． C． D． 【详解】,,, 其中组成了所有整数, 则, ⚠️记忆口诀 考点七 集合的并,交,补综合运算 特别注意区分交集()并集()符合的区别,解题时很多同学容易看错并集和交集的符号. 【详解】因为,所以, 因为,所以. 27．(25-26高一上.湖南长沙.期末)已知集合,,则(   ) A． B． C． D． 【详解】集合,, ∴,则． 故选：C. 26．(25-26高一下.江西宜春.阶段检测)已知集合,,则(   ) A． B． C． D． (2)求,． 【详解】(1)因为集合, 又集合, 所以, ． (2)因为全集,,, 所以或, 或, 所以或, 或或或. 28．(26-27高一上.河北保定.阶段检测)已知全集,集合,． (1)求,； 29．(26-27高三上.安徽阜阳.开学考试)已知集合,,若, 则实数a的取值范围是(     )． A． B． C． D． 【详解】∵集合, ∴集合, ∵, ∴, ∴, 解得且, 则实数a的取值范围是． ⚠️记忆口诀 考点八 根据集合的运算结果求参数 ①由,则 ②由,则 注意：解题时不要忽视了空集 【详解】,若,则, 因为,且, 当时,,,符合题意； 当时,,又,所以或,解得或； 综上可得实数的值为0或或. 故选：D 30．(25-26高一上.天津.阶段检测)设集合,若,则实数的值为(    ) A． B． C．或 D．0或或 【详解】(1)因为,所以, 所以,即, 所以不等式组无实数解. 故的取值范围为. (2), 当时,,解得,此时,符合题意； 当时,,即,所以. 综上,, 故的取值范围为. 31．(26-27高一上.湖北十堰.阶段检测)(1)已知集合,,, 求实数m的取值范围． (2)已知集合,,,求实数a的取值范围． (2)若,求实数的取值范围． 【详解】(1)因为集合,所以, 又, 集合,所以,解得, 所以. (2)因为,所以, 当,则,解得, 当,则,解得, 综上所述,实数的取值范围是,即. 32．(25-26高一上.河北.阶段检测)已知集合． (1)若,求实数的取值范围； (2)若,求实数的取值范围. 【详解】(1)解：由集合,或, 可得或,则或. (2)解：由(1)知,,或, 所以或, 可得, 当时,即时,,此时满足； 当时,即时,要使得, 则满足或,解得或, 综上可得,实数的取值范围为. 33．(24-25高一上.河南周口.阶段检测)已知集合,或,. (1)求； A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【详解】设集合,, . 由题可知, , 所以,即三项都参加的有2人,故A正确； 只参加100米的有人,故B正确； 只参加400米的有人,故C错误； 只参加1500米的有人,故D正确. 考点九 图的应用 34．(24-25高一上.贵州贵阳.阶段检测)某校“五一田径运动会”上,共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目,其中有8人参加“100米比赛”,有7人参加“400米比赛”,有5人参加“1500米比赛”,“100米和400米”都参加的有4人,“100米和1500米”都参加的有3人,“400米和1500米”都参加的有3人,则下列说法错误的是(     ) 【详解】设类课程全参加的有人,同时只参加劳动实践和技术培训的有人, 列出韦恩图,则, 可得,则只参加技术培训的人数为人． 35．(2026.安徽合肥.模拟预测)为了丰富学生的课余生活,促进学生全面发展,某校开设了劳动实践、研学参观、 技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程,其中有人报名参加劳动实践,有人 报名参加研学参观,有人报名参加技术培训,同时报名参加劳动实践和研学参观的有人,同时报名参加研 学参观和技术培训的有5人,只参加技术培训的人数为(    ) A． B． C． D． 【详解】不妨将评价了火箭军、太空军、网络军的市民分别用集合A,B,C表示, 则,,,, 不妨设总人数为,只评价了火箭军、太空军的人数为, 只评价了太空军、网络军的人数为, 只评价了火箭军、网络军的人数为, 则. 如图所示,用Venn图表示题设中的集合关系, 则,,, 由三个集合的容斥关系公式得, , 解得,故接受调查的市民共有190人. 故选：A 36．(25-26高一上.湖北咸宁.阶段检测)调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种,某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况,调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人,评价了太空军的有89人,评价了网络军的有80人,三个军种都评价了的有24人,评价了其中两个军种的有46人,这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有(     ) A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 【详解】设三个小组都参加的人数为,只参加科学、艺术的人数为,只参加艺术、体育的人数为, 只参加体育、科学的人数为,作出韦恩图,如图,    依题意,, 则,由于有16名学生只参加了2个兴趣小组, 得, 于是,即三个兴趣小组都参加的有4人, 因此参加兴趣小组的一共有人, 所以不参加所有兴趣小组的有人. 故选：C 37．(25-26高一上.山东枣庄.阶段检测)学校统计某班55名学生参加科学、艺术和体育三个兴趣小组的情况, 其中有25名学生参加了科学小组,有24名学生参加了艺术小组,有23名学生参加了体育小组,有28名学生只 参加了1个兴趣小组,有16名学生只参加了2个兴趣小组,则3个兴趣小组都没有参加的学生人数为(     ) A．5 B．6 C．7 D．8 (2)若且,则是的必要不充分条件 (3)若,则是的充要条件 (4)若且,则是的既不充分也不必要条件 38．(26-27高二上.湖南衡阳.开学考试)“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】． 因为是的真子集, 所以“”是“”的必要不充分条件． ⚠️记忆口诀 考点十 充分性,必要性的判断 (1)若且,则是的充分不必要条件 【详解】由函数是开口向上的二次函数,且, 若,,即方程有正实根, 则,解得,所以充分性成立； 若,则,即方程有实根, 又二次函数的对称轴, 即该方程必有正实根, 即,,所以必要性成立, 故“,”是“”的充分必要条件． 39．(2026.福建.三模)已知函数(),则“,”是“”的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【详解】由题意当时,满足,但,故充分性不满足； 当时,满足,但,故必要性不满足； 所以“”是 “”成立的既不充分也不必要条件. 41．(25-26高一上.重庆北碚.期末)设,则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】解不等式得, 因为“”是“”的充分不必要条件, 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 40．(2026.湖南岳阳.二模)设,为非零实数,则“”是 “”成立的(     ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (1)若,则是的充分不必要条件 (2)若,则是的必要不充分条件 (3)若,则是的充要条件 (4)若且,则是的既不充分也不必要条件 42．(25-26高一上.山东德州.阶段检测)已知,,若是的必要不充分条件, 则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【详解】由,得或, 因为是的必要不充分条件, 所以是的真子集, 当时,,符合题意； 当时,, 因为是的真子集, 所以,解得； 当时,, 因为是的真子集,所以, 解得, 综上所述,实数的取值范围是. 故选：C. ⚠️记忆口诀 考点十一 根据充分性,必要性求参数 若以集合的形式出现,以集合的形式出现,即：,：,则 【详解】若,则不等式无解,不符合题意； 若,由,得, 因为不等式成立的一个充分不必要条件是, 所以,等号不同时成立,解得, 当时,由,得, 因为为的真子集, 则是不等式成立的充分不必要条件,符合题意,所以, 故整数的最小值为. 43．(26-27高一上.安徽阜阳.阶段检测)若不等式成立的一个充分不必要条件是, 则整数的最小值为(     ) A． B． C． D． (2)若不是空集,若是成立的充分条件,求实数a的取值范围. 【详解】(1)由,得, 又,, 所以, , 或, 则. (2)因为是成立的充分条件,所以； ∵不是空集,由题意,解得, ∴实数的取值范围是. 44．(26-27高一上.河南信阳.阶段检测)设全集,集合,. (1)若,求,,； (2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围． 【详解】(1)当时,, 因为,所以； (2)因为是的必要不充分条件,所以是的真子集, 若是空集,则,得； 若不是空集,则,得, 则实数的取值范围为或 45．(26-27高一上.上海.开学考试)已知集合,,全集． (1)当时,求； ①全称量词命题：对中的任意一个,有成立；数学语言： ②全称量词命题的否定： 2存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素,有成立；数学语言： ②存在量词命题的否定： 46．(24-25高一上.贵州黔西南.阶段检测)命题“,”的否定是(     ) A．, B．, C．, D．, 【详解】命题“,”的否定是“,”． 47．(26-27高一上.全国.期中)命题“,”的否定是(    ) A．, B．, C．, D．, 考点十二 命题的否定 【详解】命题“,”是存在量词命题,其否定是全称量词命题, 所以所求否定是,． ⚠️记忆口诀 1全称量词命题及其否定 C．, D．, 【详解】命题,的否定是,. 49．(26-27高一上.上海.开学考试)命题“存在,使得”的否定是__________． 【详解】命题“存在,使得”的否定是“对任意,都有” 48．(2027高三.全国.专题练习)已知命题,,则为(    ) A．, B．, A． B． C． D． 【详解】命题“,都有”为假命题, 故命题“,都有”为真命题, 当时,,解得,满足要求；当时,需满足,解得且, 综上,实数的取值范围为. 考点十三 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 50．(25-26高一上.甘肃定西.开学考试)若命题“,都有”为假命题,则实数的取值范围为(     ) 【详解】因为命题“,使得”是假命题, 所以其命题的否定“,使得”是真命题： 当时,不等式即,符合题意； 当时,命题为真等价于,解得, 综上所述,. 52．(25-26高二下.河北沧州.阶段检测)已知命题“,使得”为真命题, 则实数的取值范围为____. 【详解】因为命题“,使得”为真命题,所以, 解得或,即实数的取值范围为. 51．(25-26高二下.江苏.阶段检测)若命题“,使得”是假命题,则实数m的取值范围是(     ) A． B． C． D． (2)设集合,若“”是“”的充分条件,求实数的取值范围. 【详解】(1)已知命题为真命题, 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为,存在实数满足方程,所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话,其判别式, 则,即且. 综上所述,实数的取值集合 (2)已知集合,,将集合写成, 因是的充分条件, 则集合是集合的子集, ①当集合为空集时,可得,符合题意； ②当集合不为空集时,则有,解得. 综上,可得, 即实数的取值范围是. 53．(24-25高一上.福建厦门.阶段检测)已知命题为真命题.设实数的取值集合为, (1)求实数的取值集合； (2)设集合,若“ ”是“ ”的必要条件,求实数的取值集合． 【详解】(1)命题：, 为假命题, 当时,方程为,解得,此时命题为真命题,不符合题意； 当时,, 为假命题等价于一元二次方程 无实根, 所以 ,解得 . 故实数的取值集合. (2)由,得,即. 因为“ ”是“”的必要条件, 所以.当 时, ,解得；当 时,,解得. 综上所述,实数的取值集合为或. 54．(25-26高一上.福建厦门.阶段检测)已知命题 ： , 为假命题． (1)求实数的取值集合； 【详解】因为,,且, 若,解得或, 当时,此时, 此时,不满足集合元素的互异性,舍去； 当时,此时, 此时,不满足集合元素的互异性,舍去； 若,,解得或, 前面已经分析不满足要求, 当时,此时, 此时集合,,满足集合元素的性质, 综上,,所以的取值集合为. 紧抓属于()和不属于()两个关系,同时注意回代检查集合元素的互异性 💡破题要诀 题型一 根据元素与集合的关系求参数 典例1 (24-25高一上.山东.期中)设集合,,已知且,则a的取值集合为_________. A． B．或 C． D． 【详解】因为集合,且, 当时,即,解得或, 若时,,,集合的元素出现重复,故舍去； 若时,,符合题意. 当时,,此时, 集合的元素出现重复,故舍去.综上所述,. 迁移应用 1．(25-26高二下.重庆.期中)已知集合,且,则(   ) 3．(25-26高一上.四川.期中)设关于x的不等式的解集为A,若,则实数m的取值范围是_________． 【详解】若,则满足该不等式,代入得, 则,则. 2．(25-26高一上.内蒙古鄂尔多斯.期中)已知且,且,则：若有且只有2个元素, 则集合的个数是________． 【详解】因为且,且, 若,则,此时满足要求； 若,则,此时满足要求； 若,则,此时含1个元素． 综上,当时,集合只有一个元素； 当集合有个元素时,或,故满足题意的集合有个. A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【详解】当时,方程变为,解得,满足集合有且只有一个元素. 当时,方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素, 所以.解得. 综上,实数的值为或. 故选：C. 分类讨论+判别法 💡破题要诀 题型二 根据集合中元素的个数求参数 典例1 (24-25高一上.四川达州.期中)如果集合 中只有一个元素,则实数m的值为(    ) A．0 B．1 C． D． 【详解】因为集合只有一个元素, 当时,方程,解得, 此时集合,满足题意； 当时,要使得只有一个实根,则满足, 即,解得,此时方程的解为,即,满足题意, 综上可得,实数的取值可以是或. 故选：AB. 迁移应用 1．(多选)(25-26高一上.四川眉山.期中)已知集合只有一个元素,则实数的取值 可以是(    ) (2)若中只有一个元素,求的取值范围； (3)若中至多有一个元素,求的取值范围． 【详解】(1)由于,所以是的实数根,故,故 (2)当时,原方程变为,此时,符合题意； 当时,方程为一元二次方程,,即时,原方程的解为,符合题意． 故当或时,原方程只有一个解,此时只有一个元素． (3)若中最多有一个元素,则中可能无任何元素,或者只有一个元素, 由(1)知当时只有一个元素, 当时,方程为一元二次方程,,即时,为空集； ,即时,方程有两个相等的根,中有一个元素．中最多有一个元素,或 2．(24-25高一上.四川内江.期中)已知集合． (1)若,求的值； (2)若,求实数的取值范围． 【详解】(1)对于, 当,即时,方程为,则,集合中只有一个元素, 满足题意；当时,方程为关于的一元二次方程, 由题意知,该方程有两个相等的实根, 所以, 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. 典例1 (25-26高一上.河北保定.期中)已知集合． (2)由题意可知,,若,则分以下几种情况讨论： ①当时,,即. ②当集合中只有一个元素时,由(1)知, 当时,,,； 当时,,,,； 当时,,,,. ③当集合中有两个元素时, 因为,所以,即, 即关于的方程的两根分别为1,2, 所以,无解. 综上所述,实数的取值范围是. 题型三 根据集合关系求参数 (1)若中恰有一个元素,求实数的取值构成的集合； 1．(24-25高一上.云南.期中)已知集合,. (1)若,求的值； (2)若,求的取值范围. 【详解】(1)因为,所以,将代入中的方程, 得,解得或, 当时,,满足条件； 当时,,满足条件, 综上,的值为或. (2)对于集合,. 当,即时,,此时； 当,即时,,此时； 当,即时,要想使,则, 此时,该方程组无解, 综上的取值范围是. 💡破题要诀 数轴法,列举法,特别注意不要忽视空集 迁移应用 2．(25-26高一上.上海.期中)已知集合,,且.若, 求实数的值. 【详解】因为 所以 解得或, 所以, 因为且, 所以或或, 当时,,方程无解； 当时,； 当时,,方程无解； 综上所述：. (2)若,求实数的取值范围. 【详解】(1),,解得：, 实数的取值范围为. (2)若,则, 解,得,集合, 当时,满足, 此时,解得, 当时,满足,解得, 综上所述：实数的取值范围为 . 3．(25-26高一上.安徽芜湖.期中)设,已知集合,. (1)当时,求实数的取值范围； (1)若,求的值及集合； (2)若为实数集,且,求实数的取值范围. 【详解】(1),. 因为,所以,则, 即,解得或. 验证：当时,, 则,满足题意； 当时,, 则,不满足题意. 综上可知,若,则,此时. (2)若,则,又, ①当时,则关于的方程没有实数根, 则,解得, 故当时,满足题意； ②当,即时, 若集合中只有一个元素,则, 即当时,,,满足题意； 若集合中有两个元素,则, 即当时,要使,则, 所以和是方程的两根,则由韦达定理得, 解得,满足条件.综上所述,或. 题型四 根据集合的运算结果求参数 典例1 (25-26高一上.浙江宁波.期中)设集合,. 1．(25-26高一上.浙江杭州.期中)设集合,集合． (1)若,求,； (2)若,求实数a的取值范围． 【详解】(1)当时,, 所以, 又, 所以. (2)因为,所以, 当时,,解得； 当时,则,解得, 综上,实数a的取值范围. 💡破题要诀 根据集合运算结果,推出包含关系,借助数轴或通过列举求参数 迁移应用 (2)若,求的取值范围． 【详解】(1)因,或,又,则, 解得,所以的取值范围为. (2)因为, 当,即时,,满足, 当时,由,得到,解得,所以, 综上所述,的取值范围为. 2．(25-26高一上.广东深圳.期中)已知,或． (1)若,求的取值范围； (1)若,求实数的取值范围； (2)设,,若是的充分条件,求实数的取值范围． 【详解】(1)已知或,若, 则A的所有元素都不在B中, 可得不等式组： , 解得,即m的取值范围为； (2)若p是q的充分条件,则,即A的所有元素都属于B, 因此有两种情况： ①,此时,解得； ②,此时,解得, 综上,m的取值范围是或. 题型五 根据充分性,必要性求参数 典例1 (25-26高一下.河北保定.期中)已知集合,集合或． 1．(25-26高二下.天津.期中)若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【详解】由“”是“”的必要不充分条件, 得集合是集合的真子集, 则,解得,所以实数的取值范围是. 💡破题要诀 数轴法,小范围推大范围,大范围不能推小范围 迁移应用 (2)若“”是“”的必要不充分条件,求的取值范围. 【详解】(1) 由题意得到,由“”是“”的充分条件可得, 则 ,解得,则实数的取值范围是. (2)由于集合B为非空集合,所以,解得, 由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集, 所以 ,解得,所以, 当且仅当 ,即 时,.该方程组无解, 所以恒成立,因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 2．(26-27高一上.全国.期中)设全集,集合,非空集合,其中. (1)若“”是“”的充分条件,求的取值范围； (2)若,,p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 【详解】(1)①若,此时,即,此时,满足题意； ②若,此时,即,若,则满足或, 又因为,得. 综上,实数m的取值范围为. (2)p是q的充分不必要条件,是的真子集, 则,且等号不能同时成立,解得. 3．(25-26高一下.山东潍坊.期中)已知集合,集合 (1)若,求实数m的取值范围. 【详解】由“,”是假命题, 得“,”, 则或, 解得或．故答案为：. 根据命题的否定,求出真命题解题,常涉及变量分离法,判别法,基本不等式等方法 迁移应用 1．(26-27高一上.辽宁.期中)命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是(     ) 【详解】因为命题“,”为真命题, 所以,恒成立,得到. 可得“”是“”的充分不必要条件,“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件,“”是“”的必要不充分条件. A． B． C． D． 💡破题要诀 题型六 根据全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 典例1 (24-25高一上.四川泸州.期中)若“,”是假命题,则的取值范围为_________． 【详解】命题“”是假命题,则其否定“”是真命题. 当时,若,则,满足条件. 若,则在上单调递增,的最小值为, 要使成立,则,即,则, 若,则在上单调递减,的最小值为, 要使成立,则,即,则, 综上,当原命题为假时的取值范围是, 下面判断各个选项：选项A：,不能推出,且也不能推出, 所以既不是充分条件也不是必要条件, 选项B：,能推出,但不能推出, 所以是充分不必要条件, 选项C：,不能推出,且不能推出, 所以是既不是充分条件也不是必要条件, 选项D：范围就是,为充要条件. 故选：B. 2．(24-25高一上.重庆.期中)已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是(     ) A． B． C． D． (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于,不等式恒成立,求的取值范围. 【详解】(1)依题意可得：,即, 其对应方程的两根为, 当,即时,不等式的解集为或；当,即时,解集为R； 当,即时,不等式的解集为或； 综上所述：当时,不等式的解集为或； 当时,不等式的解集为R； 当时,不等式的解集为或. (2)(1)因为,所以对于恒成立, 因为,所以,因此恒成立. 即. 令,则, 因为,所以,所以, 当且仅当,即,时取等号.故,所以. 题型七 不等式在非区间上恒(能)成立问题 典例1 (25-26高一上.福建泉州.期中)已知函数 1．(25-26高一上.吉林.期中)若关于的不等式在区间上有解,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【详解】当时,不等式, 由不等式在区间有解, 得不等式在上有解. 而,当且仅当时取等号, 所以的最小值为, 所以a的取值范围是. 故选：B 💡破题要诀 分离变量,基本不等式,对钩函数等方法 迁移应用 2．(24-25高一上.天津.期中)不等式对于恒成立,则m的取值范围______. 【详解】因为不等式对于恒成立, 所以不等式对于恒成立,所以不等式对于恒成立, 所以不等式对于恒成立, 而当时,, 等号成立当且仅当,所以当时,有最小值3, 则m的取值范围为. 3．(24-25高一上.广东广州.期中)若,不等式恒成立,则的取值范围为__________． 【详解】由时,恒成立,即恒成立, 对于,有,当且仅当时取等号, 又在上单调递减,在上单调递增,且,, ,故的取值范围是. 4．(25-26高一上.河北石家庄.期中)若存在,,则实数的最大值为___________． 【详解】原不等式化为 存在 只需, 令,则, 当且仅当,即时,等号成立, ,则实数的最大值为 A． B． C． D． 【详解】 正数满足,, 故, 当且仅当,即时等号成立, 不等式对任意实数x恒成立, 则对任意实数x恒有, 对任意实数x恒成立, 对任意实数x恒成立, 又, ,即实数的取值范围是, 故选：A 题型八 二次函数在上的恒(能)成立问题 典例1 (24-25高一上.内蒙古包头.期中)正数满足,,若不等式对任意实数恒成立, 则实数的取值范围是(     ) 1．(25-26高一上.山西太原.期中)若存在,使得不等式成立,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【详解】当,则,在上显然不成立, 当,则或, 得或, 综上,实数的取值范围是. 故选：D 2．(25-26高二下.吉林长春.期中)命题：“,”为假命题,则的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【详解】命题：“,”为假命题,即命题：“,”为真命题． ①当时,恒成立,符合题意；②当时,则,结合. 综上,． 💡破题要诀 判别法(注意,只有二次函数+范围才可单独使用判别法,否则都是错误的) 迁移应用 【详解】由,使得为假命题, 则,都有为真命题, 当,则,满足, 当,则,满足, 综上,. 4．(25-26高一下.浙江衢州.期中)若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【详解】根据题意当时,解得 当时,不等式恒成立,符合题意；当,不等式,不符合题意； 当,的不等式的解集为, 所以,解得综上所述,. 3．(25-26高一下.四川眉山.期中)若命题“,使得”是假命题,则实数m的取值范围为( ) A． B． C． D． 【详解】由集合,,则． 2．(26-27高一上.江苏.期中)若非空且互不相等的集合满足,,则( ) A． B． C． D． 【详解】非空且互不相等的集合满足,, 所以为的真子集,为的真子集,所以. 1．(26-27高一上.海南.期中)已知集合,,则( ) A． B． C． D． 【详解】因为集合,, 所以. 4．(26-27高一上.四川.期中)三国时期的蜀汉丞相诸葛亮是杰出的政治家、军事家、战略家、发明家和 文学家,他在《诫子书》中写道：“非学无以广才,非志无以成学．”据此推断,“立志”是“广才”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为“不立志”,所以“不成学”,因为“不成学”,所以“不广才”,所以设命题：若“不立志”,则“不广才”, 则命题的逆否命题为：若“广才”,则“立志”,即“立志”是“广才”的必要条件, 而题中并未提到若“立志”,则“广才”,所以“立志”不是“广才”的充分条件,即“立志”是“广才”的必要不充分条件． 3．(26-27高一上.江西.期中)已知集合,,则( ) A． B． C． D． 【详解】命题“,”的否定为“,”． 6．(多选)(26-27高一上.四川.期中)设集合,,若,则可以是( ) A． B． C． D． 【详解】因为,所以. 当时,此时,满足,符合条件； 当时,此时,集合不满足元素互异性,不符合条件； 当时,此时,满足,符合条件； 当时,则或(舍),此时,不满足,不符合条件. 所以的可取值为. 5．(26-27高一上.安徽.期中)命题“”的否定是(     ) A． B． C． D． 【详解】因为,又,, 所以或,解得或或, 当时,,,满足要求,当时,,,满足要求, 当时,,与元素互异性矛盾,不满足要求,所以或2. 8．(多选)(25-26高一上.浙江杭州.期中)已知集合,,若,则符合条件的 实数的值可能为(    ) A． B． C． D．0 【详解】由,可知. 当时,,此时,满足条件. 当时,,则有或, 解得或. 7．(多选)(25-26高二下.湖南衡阳.期中)已知集合,,若,则a的取值可以是(    ) A． B．0 C．2 D． 10．(25-26高二下.上海.期中)已知集合,,则____________. 【详解】已知,, 两个集合的公共元素为和,因此. 11．(24-25高一上.广西河池.期中)已知集合,其子集个数为__________, 真子集个数为__________． 【详解】集合的元素个数为4, 集合的子集个数为：个； 集合的真子集个数为：个． 12．(25-26高一下.四川成都.期中)已知集合,集合,则满足关系的所有 集合为__________________ 【详解】因为,,, 所以集合可以为 9．(25-26高一上.四川成都.期中)集合A有8个元素,集合B有3个元素,集合A和集合B的交集 可能有______个元素 【详解】A有8个元素,B有3个元素,说明共同的元素最多只能有3个,两个集合也可以毫不相关, 所以最少交集的元素0个, 所以集合A和集合B的交集可能有0,1,2,3个元素. 【详解】(1)因为集合或,所以, 又,所以. (2)集合,显然不为, 因为,,所以,解得, 所以实数的取值范围为. 13．(26-27高一上.江苏.期中)设全集,集合或,． (1)求； (2)设集合,若,求实数的取值范围． (2)求 (3)求 【详解】(1)因为,, 所以． (2)因为,, 所以． (3)因为, 所以或 14．(25-26高一上.江西南昌.期中)已知集合,集合 (1)求 (2)求. 【详解】(1)易知,又, 所以,. (2)已知全集,易知或,, 因此或. 15．(25-26高一下.陕西汉中.期中)已知集合,,全集. (1)求,； 【详解】,故A正确； ,故B错误； 集合可以表示为,其中, 即集合可描述为形式,故C错误； 集合A有6个元素,子集总数为,故D错误． 1．(25-26高一上.四川成都.期中)集合,集合,下面说法正确的是(     ) A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(25-26高二下.江苏苏州.期中)已知.则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【详解】若,且,则,等式成立,因此“”是“”的充分条件； 若,不一定能推出,取,则满足,且,即满足, 但,因此“”不是“”的必要条件； 综上,“”是“”的充分不必要条件. 2．(25-26高一下.上海闵行.期中)设集合、是全集的两个子集,则是的(    ) 【详解】若,可得,但集合不一定等于全集,所以充分性不成立； 例如：设全集,集合, 此时满足,但集合不是集合的子集,所以必要性不成立, 综上可得,是的既非充分也非必要条件. 【详解】充分性：由“”可得,但当时,,不满足“”,因此充分性不成立； 必要性：由“”可得,所以,即“”,可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件,故选B． 5．(25-26高三上.北京东城.期中)全集,集合,图中阴影部分表示集合为(   ) A． B． C．或 D．或 【详解】由Venn图可知,阴影部分表示集合, 由, 得, 所以或, 故选：D 4．(25-26高一下.河北衡水.期中)若a,,则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B． C．：关于的方程有解, 或 D． 【详解】对于A选项, ,即, ,即, 所以是的必要不充分条件,故A正确； 对于B选项,若取,则满足,不满足,则不是的充分条件,显然,即是的必要不充分条件,故B正确； 对于C选项,：关于的方程 有解,即, 而或, 所以是的充要条件,故C错误； 对于D选项, 仅是方程的一组解, 所以是的充分不必要条件,故D错误. 故选：AB. 6．(多选)(26-27高一上.安徽.期中)下列选项中,是的必要不充分条件的是(     ) A． B．集合,集合,若,则的值为 C．集合,,则“”是“"的充分不必要条件 D．集合,集合,则集合B中含有4个元素 【详解】对于A,因集合有且仅有2个子集,则集合中只有一个元素, 于是有或,即或,A不正确； 对于B,因为,则,即,所以,根据集合相等及互异性,所以,解得或(舍),所以,B正确； 对于C,当时,；当时,或,则或, 所以“”是“”的充分不必要条件,C正确； 对于D, 故有6个元素 , D不正确. 7．(多选)(25-26高一上.福建泉州.期中)下列说法中正确为(     ) A．集合,若集合有且仅有2个子集,则的值为 C．若中只有一个元素,则 D．不可能为 【详解】对于A,由,得,解得,A正确； 对于B,由,得,解得,集合有两个子集,B正确； 对于C,若集合只有一个元素, 当时,,合乎题意, 当时,则有,解得, 故当中只有一个元素时,或,C错误； 对于D,当时,则关于的方程无实数解, 所以,解得, 故当时,,D错误. 故选：AB. 8．(多选)(25-26高一上.云南昭通.期中)已知集合,则(     ) A．若,则 B．若,则有两个子集 10．(25-26高一上.山东枣庄.期中)已知集合,若,则______ 【详解】由,得,则或, 当时,得,则,集合中元素不满足互异性,舍去； 当时,解得或, 若,则,,合题意； 若,则,集合中元素不满足互异性,舍去； 综上,. 故答案为：2. 9．(25-26高一上.福建泉州.期中)已知非空集合,且⫋,则___________ 【详解】由题意得,中只有1个元素,则,解得, 当时,, 此时,则, 当时,,此时,则, 则. (ii)某班50人中,喜欢数学的有30人,喜欢物理的有25人,两科都喜欢的有10人．请画出韦恩图并求出两科都不喜欢的人数； (2)用韦恩图说明这个结论成立：,并思考韦恩图能不能用于严格证明这个结论．如果能,说明理由；如果不能,请用其他方法严格证明,并说明韦恩图用于证明这个的局限性． 【详解】(1)(i) (ii)两科都不喜欢的人数为5人 11．(25-26高一上.四川成都.期中)在集合问题中,韦恩图(Venn图)是一种直观表示集合之间关系的工具．通常用矩形表示全集,用圆或封闭曲线表示集合,重叠部分表示交集．现在请用韦恩图解决以下问题： (1)(i)假设有两个集合和,用韦恩图表示和两个部分； (2)显然,根据以上和的韦恩图可得到结论成立． 但韦恩图不能用于严格证明这个结论．先证：, 任取,则,且, 由,得,或, 若,且,则,所以； 若,且,则,所以, 因此． 再证：, 任取,则,或, 若,则,且,所以,且,故； 若,则,且,所以,且,故, 因此． 综上,． 韦恩图用于证明这个的局限性：韦恩图只能展示有限集合位置的情况(比如以上和的韦恩图只是展示了,,两两相交的情况),无法覆盖所有可能的集合关系(比如,,或,,两两不相交的情况等情况),直接观察不能用于严格证明． (2)设集合,求实数的取值范围. 【详解】(1)由命题为真命题,可知关于的方程无解, 则,解得, 故集合； (2)由条件可知, ①当时,,解得,满足； ②当,则需使,解得. 由①②可知,实数的取值范围为. 12．(24-25高一上.四川宜宾.期中)已知命题：“”为真命题,设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)若“”是“”的充分条件,求a的取值范围． 【详解】(1)当时,代入集合得, 由,因此, 求补集得. (2)因为“”是“”的充分条件,所以,分两种情况讨论： 当为空集,空集是任意集合的子集,此时满足,解得,符合要求； 当不为空集,需同时满足,解不等式组可得,综上可得,的取值范围是. 13．(25-26高一上.浙江杭州.期中)已知全集,集合,集合,其中． (1)当时,求； $