专题02 等式与不等式性质、基本不等式（期中复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

高一数学上学期期中复习 考点大串讲 专题02 等式与不等式性质、基本不等式 人教A版 1 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 3 期中考情透视 一、考点和题型 1. 等式与不等式性质：核心考查不等式的基本性质、作差法比较大小；常结合函数、代数式判断不等 式命题真假，利用性质简单变形。以选择题、填空题为主，偶尔在解答题第一问中用于大小比较。 基本不等式：重点考查利用基本不等式求最值（和定积最大、积定和最小），注意 “一正、二定、三相等” 的条件；考查利用基本不等式证明简单不等式、求参数范围。题型：选择、填空高频，也常 在解答题中作为工具，与函数、应用题结合。 二、难易度 不等式性质：以基础题为主，多为概念辨析，陷阱较多，容易粗心丢分，少量中档题。 基本不等式：基础题直接套公式；中档题为变形配凑求最值，是期中重难点；难题较少，一般不出现复 杂综合压轴。 三、考情总结 本专题是期中考试重点板块，不等式性质侧重概念辨析，基本不等式是核心考点；小题考查判断、求最值，大题常作为解题工具。命题高频陷阱：忽略变量正负、等号取不到、直接套用不等式性质随意乘除 负数，属于易上手但易错的内容，是拉开小分的关键。 4 PART 02 复习目标锚定 5 复习目标锚定 识记 1、等式性质：熟记等式的四条基本性质 2、不等式性质：熟记不等式的传递性、可加性、可乘性（正数、负数对不等号方向的影响）、乘方开方性质；记住作差比较法的步骤 3、基本不等式：熟记基本不等式 ；记住一正、二定、三相等；分清算术平均数、几何平均数；记住和定积最大，积定和最小结论 理解 1、不等式性质：理解不等式两边同乘负数，不等号要变号；理解同向不等式可加但不可随便相乘；能判断关于不等式性质的命题真假 2、基本不等式：理解公式等号成立的条件是 ；理解 “一正” 是 必须为正数；理解 “二定” 指和或积为定值；区分直接使用和需要配凑的情况；明白等号取不到时不能用基本不等式求最值 应用 1、等式与不等式性质：用作差法比较两个代数式大小；利用不等式性质对代数式简单变形；根据条件判断代数式取值范围 2、基本不等式：会配凑（拆项、添项、变形）构造和或积为定值，求代数式最值；能检验等号能否取到；解决简单实际最值问题；结合不等式恒成立求参数范围 6 PART 03 知识体系构建 7 知识体系构建 8 PART 04 核心要点精讲 考点一 比较两个代数式的大小 考点二 基本不等式（和为定值求积的最值） 考点三 基本不等式（积为定值求和的最值） 考点四 基本不等式（凑项（系数）） 考点五 基本不等式（常数代换法） 考点六 基本不等式（消元法） 考点七 基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 考点八在实际问题中判断使用基本不等式求最值 01 02 03 04 05 06 07 08 9 核心要点精讲 10 核心要点精讲 11 ⚠️ 核心要点精讲 12 核心要点精讲 13 ⚠️ 核心要点精讲 14 核心要点精讲 15 核心要点精讲 16 核心要点精讲 17 ⚠️ 核心要点精讲 18 核心要点精讲 19 核心要点精讲 20 核心要点精讲 21 核心要点精讲 22 核心要点精讲 23 核心要点精讲 24 核心要点精讲 25 核心要点精讲 26 核心要点精讲 27 PART 05 重难题型突破 题型一 比较代数式的大小 题型二 利用不等式求值或取值范围 题型三 直接用基本不等式求和或积的最值 题型四 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 题型五 二次与二次（一次）的商式求最值 题型六 换元法求最值 题型七 利用基本不等式在恒（能）成立问题中求参数的范围 题型八 基本不等式的实际应用 01 02 03 04 05 06 07 08 28 💡 重难题型突破 29 重难题型突破 30 💡 重难题型突破 31 重难题型突破 32 重难题型突破 33 💡 重难题型突破 34 重难题型突破 35 💡 重难题型突破 36 重难题型突破 37 重难题型突破 38 重难题型突破 39 重难题型突破 40 重难题型突破 41 重难题型突破 42 重难题型突破 43 重难题型突破 44 重难题型突破 45 重难题型突破 46 重难题型突破 47 重难题型突破 48 重难题型突破 49 重难题型突破 50 重难题型突破 51 PART 06 限时分层演练 52 （限时：15分钟） 基础固本练 53 基础固本练 54 基础固本练 55 基础固本练 56 基础固本练 57 基础固本练 58 基础固本练 59 基础固本练 60 基础固本练 61 基础固本练 62 （限时：15分钟） 基础固本练 63 基础固本练 64 基础固本练 65 基础固本练 66 基础固本练 67 基础固本练 68 基础固本练 69 基础固本练 70 基础固本练 71 基础固本练 72 基础固本练 73 基础固本练 74 感谢聆听 75 A． B． C． D．与的大小关系不确定 【详解】 因为,, 所以,. 所以,得,即. 2．(26-27高一上.全国.课后作业)已知,则之间的大小关系是(    ) A． B． C． D．无法比较 【详解】由于, 且, 而, 则,即, 所以,即. 考点一 比较两个代数式的大小 1．(24-25高一上.湖北武汉.期末)已知,,记,,则与的大小关系是(    ) 4．(26-27高一上.全国.课后作业)试比较下列各数的大小,并说明理由： (1)与； (2)与． 【详解】(1),理由略； (2),理由略. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. 3．(26-27高一上.全国.课后作业)已知,试比较的大小. 【详解】因为, 所以. 5．(25-26高一上.福建厦门.阶段检测)已知、都是正数,若,则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【详解】因、都是正数,, 则由,可得. 当且仅当,即,时取等号. 所以的最大值为. 6．(25-26高二下.天津和平.期末)若,则的最大值为________． 【详解】因为,可得, 则, 当且仅当时,即时,等号成立,所以的最大值为. ⚠️记忆口诀 考点二 基本不等式(和为定值求积的最值) 已知,是正数,如果和等于定值,那么当且仅当时,积有最大值 【详解】且,则, 当且仅当,即时取等号, 所以当时,的最小值为. 8．(2026.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知正实数,满足,则的最大值是__________． 【详解】因为为正实数,由基本不等式可得,当且仅当时等号成立； 正实数满足,得,代入上述不等式可得：, 令,由得,不等式转化为：,整理得,即, 因为,所以,因此,即,故, 得,当且仅当时等号成立,因此的最大值为4. 7．(26-27高三上.北京顺义.阶段检测)已知,且,则的最小值(    ) A． B． C． D． 9．(25-26高一上.山东济宁.阶段检测)已知,则的最大值为(     ) A．8 B．6 C．5 D．4 【详解】因为, 所以, 即,当且仅当时取等号, 所以当时,有最大值. 10．(25-26高一上.山东济宁.阶段检测)若,则的最小值是(     ) A． B． C． D． 【详解】由,,所以, 由基本不等式可得, , 当且仅当,即时,取等号,此时取最小值为4. ⚠️记忆口诀 考点三 基本不等式(积为定值求和的最值) 已知,是正数,如果积等于定值,那么当且仅当时,和有最小值 12．(26-27高三上.山东德州.阶段检测)若,则的最小值为________． 【详解】因为,所以根据基本不等式的性质可得 , 当且仅当,即时等号成立, 此时取最小值为. 11．(26-27高三上.广东中山.阶段检测)已知,则的最小值是______. 【详解】因为,所以, 则 , 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值是． A． B． C． D． 【详解】因为, 所以, 当且仅当时等号成立. 14．(23-24高一下.云南文山.阶段检测)已知在处取得最小值,则的值为(    ) A． B． C．1 D．5 【详解】, 当且仅当时等号成立, 因为,所以解得时等号成立,取最小值,即. 考点四 基本不等式(凑项(系数)) 13．(25-26高一上.江西南昌.期中)已知实数,,满足,则的最小值是(    ) 16．(26-27高三上.福建龙岩.阶段检测)若实数,且,则的最小值为__________． 【详解】因,则, 从而, 当且仅当, 即时取等号. 15．(2026.广东湛江.二模)已知正数,满足,则的最大值为______. 【详解】由,得, 所以, 当且仅当,时等号成立. 2、乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数,将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开,凑出能用基本不等式求解的式子 17．(26-27高三上.湖南娄底.阶段检测)若正实数满足,则的最小值为(   ) A．4 B．8 C． D． 【详解】将等式两边同时除以,可得：, 所以,因为, 所以, 当且仅当,即,结合,可得时取等号,故的最小值为4. ⚠️记忆口诀 考点五 基本不等式(常数代换法) 1、找“1”或常数：观察条件,将已知等式变形出“1”或常数,用于构造可基本不等式形式 【详解】,当且仅当, 即,时取等号,所以的最小值为. 19．(2027高三.全国.专题练习)若正实数,满足,则取最小值时,的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．5 【详解】,且,,, 当且仅当,即时取等号． 18．(26-27高一上.湖南衡阳.阶段检测)已知x,y均为正数,满足,则的最小值为(    ) A．1 B． C．15 D．25 【详解】因为,且,所以,, 所以, 当且仅当时,即当时,等号成立, 故的最小值是. 20．(26-27高一上.安徽阜阳.阶段检测)若,且,则的最小值是(    ) A． B． C． D． A． B． C． D． 【详解】由得到,又,,则, 所以,当且仅当,即时取等号. 22．(2026.上海杨浦.模拟预测)已知实数满足,则的最小值为______. 【详解】已知实数满足,即,所以, 当且仅当时取等,解得,所以的最小值为36. 考点六 基本不等式(消元法) 21．(26-27高二上.广东梅州.开学考试),,,则的最小值是(    ) 24．(2026高三下.全国.专题练习)若正实数满足,则的最小值为______． 【详解】因为正实数满足,所以,解得,则, 可得, 当且仅当时取等号,所以的最小值为6. 23．(25-26高二下.重庆璧山.期末)若,,且满足,则的最小值为____________, 的最小值为____________． 【详解】①,由, 所以,,,当且仅当时取得等号,则的最小值为, 由条件得,,,, 当且仅当,时取得等号, 则的最小值为. A．1 B．2 C．4 D． 【详解】,, 则, 当且仅当时,即时,等号成立,的最小值为1． 26．(25-26高一上.河北承德.期末)已知,则的最小值为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】令,则,因为,可得, 可得, 当且仅当时,即时,即时,等号成立, 所以的最小值为. 故选：D. 考点七 基本不等式(二次与二次(或一次)商式) 25．(24-25高一上.贵州黔西南.阶段检测)已知,则的最小值为(    ) 28．求函数的最小值． 【详解】, 因为,所以,, 所以, 当且仅当,即时,等号成立,故函数的最小值为. 27．(25-26高一下.山西长治.期末)若,则的最大值是______． 【详解】令, 因为,所以,所以, 当且仅当,即,因为,所以时,等号成立. (1)求总车次的最小值,并写出此时一组x,y的值． (2)为保障游客体验,每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者,云龙湖景区每车配3名志愿者． 设志愿者总数为． (ⅰ)求两方向车次乘积xy的最小值．(ⅱ)求志愿者总数T的最小值,并写出此时一组x,y的值． 【详解】(1)由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元, 云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元, 且 , 因为为正整数,故, 当时,成立, 故的最小值为,此时,. (2)(i)由于,, 则,整理得, 当且仅当,时等号成立. 因此的最小值为60. (ii), 因为为正整数,故, 当时,成立且, 故的最小值为, 考点八 在实际问题中判断使用基本不等式求最值 29．(26-27高一上.江苏徐州.开学考试)徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间,徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车,向云龙湖景区发y车()．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (2)求该设备的年平均盈利额的最大值(年平均盈利额=盈利总额÷使用年数)． 【详解】(1)由题意,设备使用年后,总收入为万元,总维修保养费用为万元,购进设备花费万元, 所以盈利总额. 化简得,其中. (2)年平均盈利额为. 因为,所以, 当且仅当,即时取等号. 于是,所以该设备的年平均盈利额的最大值为万元. 30．(26-27高一上.全国.课堂例题)某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备,并立即投入使用,该设备使用后, 每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元,盈利总额为y万元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(), 若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. 【详解】(1)设甲工程队的总报价为y元, 则, 又, 当且仅当,即时等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为元. (2)由题意可得,对任意的恒成立, 即,所以, 又, 当且仅当,即时等号成立. 所以,所以的取值范围为. 31．(25-26高一上.四川.阶段检测)某火车站正在不断建设,目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(). (1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)已知,,,求证：． 【详解】(1),, ,. (2)略 作差(商)法：对不等式两边作差(商),结合已知条件判断差(商)的正负,进而确定不等式是否成立(作商法需注意正负), 部分复杂式子判断可用此思路延伸 💡破题要诀 题型一 比较代数式的大小 典例1 (25-26高一上.河北石家庄.期中)(1)设,比较与的大小； A． B． C． D． 【详解】因为, 对于A,,则,故A正确； 对于B,,故B错误； 对于C,,则,故C正确； 对于D,,则,所以,故D正确． 2．(24-25高一上.广西河池.期中)比较与的大小. 【详解】 迁移应用 1．(25-26高一下.上海.期中)已知,则下列不等式不成立的是(    ) A． B． C． D． 【详解】对于A,,即,故A正确； 对于B,由,得,所以,即,故B正确； 对于C,当时,得,所以,即,所以； 当时,；当时,得,所以.综上可得,,故C错误； 对于D,当时,得,所以,即,所以； 当时,；当时,得,所以.综上可得,,故D正确. 1、直接运算：依据不等式基本性质,对已知不等式变形求解即可 2、线性组合：若求多个式子线性组合的范围,先将目标式表示为已知范围式子的线性组合, 再利用不等式性质,分别求各组合部分范围后“同向可加”即可. 💡破题要诀 题型二 利用不等式求值或取值范围 典例1 (多选)(25-26高一上.四川成都.期中)已知实数a,b满足,,下面说法正确的有(     ) A． B． C． D． 【详解】由,得,而,则. 2．(25-26高一下.四川成都.期中)若,则的取值范围是() A． B． C． D． 【详解】设,解得. ,,相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围,再代入求.两式相加:两式相减:再算：得到：.和不是相互独立变量,与有约束关联,不能先拆开单独求范围再直接代入,拆开后放大了取值范围,求出的是虚假宽泛区间,不是真实范围. 迁移应用 1．(24-25高一上.广西河池.期中)已知,则的取值范围为(   ) A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 【详解】选项A：由,根据均值不等式,得,平方得, 即.当且仅当时取等号,故最大值为,A错误. 选项B：由,且,得., 这是开口向下的二次函数,对称轴.代入得最大值为,B错误. 选项C：由,得.结合A知, 故,当且仅当取等号,C正确. 选项D：由,得,则, 因此最小值不可能为,D错误. 题型三 直接用基本不等式求和或积的最值 典例1 (多选)(25-26高一下.四川成都.期中)已知正实数满足,则下列结论不正确的是( ) ③一正,二定,三相等,特别注意“一正”,“三相等”这两类陷阱 迁移应用 1．(26-27高一上.北京.期中)若,,且,则有(    ) A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【详解】由基本不等式可知, 即,∴,当且仅当时取等号. 所以有最大值. 💡破题要诀 ①已知,是正数,如果积等于定值,那么当且仅当时,和有最小值 ②已知,是正数,如果和等于定值,那么当且仅当时,积有最大值 【详解】已知,由基本不等式,当时,,解得,当且仅当时取等号,当时,,解得,当且仅当时等号成立,,故A正确； 因为关于的方程有解,所以因此,故B错误； 由,即由上可得,所以,,所以,故C正确； 因为,由选项A知,由,得,故D正确． 2．(多选)(25-26高一上.福建泉州.期中)已知实数满足,则( ) A． B． C． D． A． B． C． D． 【详解】因为,,且, 所以,,, 所以, 当且仅当,即,时,等号成立． ①找“1”或常数：观察条件,将已知等式变形出“1”或常数,用于构造可基本不等式形式. ②乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数,将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开,凑出能用基本不等式求解的式子 ③验证等号：展开后用基本不等式求最值,同时验证等号成立条件,确保最值有效 💡破题要诀 题型四 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 典例1 (25-26高一下.贵州遵义.期中)已知,,且,则的最小值为(     ) A． B． C．1 D．4 【详解】由,则、, 故 , 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为. 迁移应用 1．(25-26高二下.黑龙江佳木斯.期中)已知 ,则的最小值为(　　) 【详解】,,, , 当且仅当,时,等号成立, 的最小值为． 3．(25-26高一下.广东江门.期中)已知,,且,则的最小值为__________,此时__________. 【详解】由,,则, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为12,此时. 2．(25-26高一下.江西赣州.期中)已知正数a,b满足,则的最小值为(   ) A． B． C． D． 【详解】当时,当,. 若时,,当且仅当,即时等号成立,此时,即. 若时,,当且仅当,即时等号成立, 此时,即.综上所述,函数的值域为. 题型五 二次与二次(一次)的商式求最值 典例1 (25-26高一上.上海浦东新.期中)函数的值域是__________． (2)若,求函数的最小值,并写出取得最小值时的值. 【详解】(1)因,则有, 当且仅当,即时等号成立, 故当时,的最小值为4；      (2)当时, , 当且仅当,即时等号成立, 故当时,的最小值为6. 迁移应用 1．(24-25高一上.浙江杭州.期中)(1)若,求的最小值,并写出取得最小值时的值. 【详解】(1)因为,所以, 所以, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为； (2)因为,所以, 所以, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为. 2．(24-25高一上.安徽六安.期中)(1)已知,求的最小值； (2)已知两正数满足,求的最小值． 【详解】(1)因为,所以, 当且仅当时等号成立,所以的最小值为1； (2)因为,所以, 所以 , 当且仅当,即时,等号成立 所以的最小值为. 3．(23-24高一上.江苏常州.期中)(1)设,且,求的最小值； (2)设,求的最小值. 【详解】对已知变形有因式分解得,设,则, 因为都是正实数, 所以,联立方程组,解得, 因为所以,故, 所以 , 当且仅当,时取最小值.故答案为: 题型六 换元法求最值 典例1 (25-26高一上.重庆.期中)已知正实数 满足 ,则的最小值是_____. A．1 B．3 C．6 D．9 【详解】∵ ,,由基本不等式可得,当且仅当时等号成立. 又,代入上述不等式可得 设(),整理得, ∵ ,∴解得,当且仅当时等号成立,故的最小值为6. 2．(25-26高一上.云南红河.期中)已知正数a,b满足,则的最大值为________. 【详解】由题意,,故, 因为正数a,b满足,故. 令,则,, 故. 又,故当且仅当,即时,取最大值. 迁移应用 1．(25-26高一上.山东泰安.期中)已知,,且,则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【详解】因为,,, 所以, 当且仅当时,即当时,等号成立, 因为恒成立,故,即,解得, 因此,实数的取值范围是. 故选：A. 题型七 利用基本不等式在恒(能)成立问题中求参数的范围 典例1 (25-26高一上.广东深圳.期中)已知,,,若不等式恒成立,则实数的取值 范围是(    ) A． B． C． D． 【详解】令,则代入得, 将代入原不等式, 得, 两边同时除以,得, 把代入,得, 即, 由均值不等式可得,,当且仅当,即时等号成立,, 恒成立, 故实数的取值范围为. 故选：. 迁移应用 1．(25-26高三上.云南玉溪.期中)已知,,且若关于,的不等式 恒成立,则实数的取值范围为(   ) 3．(25-26高一上.贵州遵义.期中)关于x的不等式,对满足的任意正 实数都成立,则实数x的最大值为______． 【详解】由题设, 当且仅当时取等号,故, 所以,故实数x的最大值为9. 2．(25-26高一上.陕西宝鸡.期中)已知,且,若恒成立,则实数 的取值范围是_______． 【详解】∵,且, ∴． 当且仅当时取等号． 若恒成立,∴ ∴, 即得解得． 故答案为：． (1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入固定成本流动成本) (2)如果你作为公司的决策人,为使公司获得的年利润最大,每年应生产多少万件该芯片？ 【详解】(1)根据题意得,当时,； 当时,, 故. (2)当时,,由二次函数的性质可知,当时, 取得最大值； 当时,, 当且仅当,即时,等号成立. 因为,故当时,即每年生产万件该芯片时,公司获得的年利润最大,为万元. 题型八 基本不等式的实际应用 典例1 (25-26高一上.四川广安.期中)某公司生产一类电子芯片,且该芯片的年产量不超过40万件,每万件电子芯片的计划售价为18万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两部分,其中固定成本为35万元/年,每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为(单位：万元),当年产量不超过14万件时,；当年产量超过14万件时,.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完. (1)如果小王在A,B项目中分别投入6万元和4万元,求他能获得的收益； (2)请制定一个资金投入方案,使他能获得最大收益,并求出该最大收益． 【详解】(1)小王在A,B项目中分别投入6万元和4万元, 所以A,B两个项目所获得的收益分别为万元,万元, 所以他能获得的收益为万元. (2)设小王投入B项目万元,则投入项目万元,. 那么总收益为 万元,当且仅当时,即时,等号成立, 故小王投入B项目万元,投入项目万元时,获得最大总收益,总收益的最大值为万元. 迁移应用 1．(25-26高一上.重庆沙坪坝.期中)某大学生小王响应国家号召决定返乡创业,振兴乡村.现有两个不同项目A,B可以考虑投资,经过市场调查统计,当投资额为万元时,A,B两个项目所获得的收益分别为万元和万元,其中,,现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． (2)当该产品的年产量为多少时,公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【详解】(1)由题意可得,当时,,故, 故当时,； 当时,． 故年利润关于年产量的函数关系式为 ； (2)由(1)得当时, 当时,； 当时, , 当且仅当,即时,等号成立,．而,故当时,年利润最大,最大年利润是900万元． 综上所述,当年产量为50台时,该公司所获年利润最大,最大年利润是900万元． 2．(25-26高一上.山东济宁.期中)由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响,医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力,计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元,最大产能为80台．每生产台该产品,需另投入成本万元,且,当年产量为5台时,需另投入成本225万元．由市场调研知,每台该产品的售价为100万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)求出年利润(单位：万元)关于年产量(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)； (2)当日产量为多少百台时,该公司可获得最大日盈利？ 【详解】(1)由题设, 所以,； (2)当时, 元, 当且仅当,即百台时取等号, 此时,最大日盈利为元,而时, 所以日产量为84百台时,该公司可获得最大日盈利. 3．(25-26高一上.山东潍坊.期中)某科技公司研发并试生产一款高科技产品,由于精密零部件组装工艺复杂以及芯片性能调试难度较高,生产过程中会有一等品和二等品．根据试生产数据统计,该公司生产这款产品的二等品率与日产量(百台)之间的关系大致满足：,二等品率．已知预计每生产一台一等品可盈利120元,但每生产一台二等品亏损60元． (1)将该公司生产这款产品每天的盈利额(元)表示为日产量(百台)的函数； 【详解】当时,,故A不成立； 当时,满足,此时,故B不成立； 当时,满足,,故,故C不成立；,,, ,故成立． 2．(24-25高一上.四川宜宾.期中)下列命题中正确的是(    ) A．若,则 B．若,则 【详解】对于选项A,在时不成立；对于选项B,取时不成立；对于选项C,取时不成立； 对于选项D,由得,又,所以两式相加得. C．若,则 D．若,则 1．(25-26高一下.浙江.期中)若,则下列不等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【详解】对于A,由和不等式的性质,可得,,故A符合题意； 对于B,由不能判断的大小,故无法推得成立,例如,满足, 但,故B不合题意； 对于C,由也无法推得成立,例如满足,但,故C不合题意； 对于D,由也无法推得成立,例如满足,但,即此时.故D不合题意.故选：A. 4．(25-26高一上.云南昭通.期中)若,则的最小值为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】由,得,则, 当且仅当,即时取等号, 所以最小值为8. 故选：D. 3．(23-24高一上.湖南张家界.期中)已知实数a,b,且,下列结论中一定成立的是(    ) A． B． C． D． 【详解】因为,则可得, 当且仅当,即时,等号成立, 故的最大值是 故选：B. 6．(25-26高一上.广西玉林.期中)古希腊数学家欧几里得在研究线段比例与面积最值问题时,提出了一类“正实数约束下的分式最值”模型.这类问题不仅是平面几何的重要延伸,也为后世代数最值求解提供了思想基础.现已知正实数,满足,则的最小值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【详解】由题意有：, 当且仅当,即时,等号成立, 故选：C. 5．(25-26高一上.云南昭通.期中)已知,则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【详解】因为,所以, 所以, 当且仅当时,即当时,等号成立, 故当时,的最大值为. 故选：B. 8．(25-26高一上.安徽六安.期中)已知,且,则的最小值为(    ) A．2 B．3 C． D．4 【详解】因为,所以, 当且仅当,即时取等号, 所以的最小值为4. 故选：D. 7．(25-26高一上.江苏连云港.期中)已知,则的最大值为(   ) A． B． C． D． 【详解】对于A,由,得,而,则,A错误； 对于B,由,得,而,则,B正确； 对于C,由,得,而,则,C错误； 对于D,由,得；由,得,则, 因此,即,D正确. 故选：BD 9．(多选)(25-26高三上.云南楚雄.期中)已知,,则下列结论正确的有(    ) A． B． C． D． C．若,则 D．若,则 【详解】对于A,取,满足,而,A错误； 对于B,由,得,B正确； 对于C,由,得,则,C正确； 对于D,由,得, D错误. 故选：BC 10．(多选)(25-26高一上.江苏南通.期中)已知均为实数,则下列命题中正确的是(    ) A．若,则 B．若,则 C．有最大值 D．有最大值 【详解】对于A,由,得, 当且仅当即时取等号,A错误； 对于B,,当且仅当时取等号,B正确； 对于C,由B得,当且仅当时取等号,C正确； 对于D,,当且仅当时取等号, 所以有最小值,D错误.故选：BC 11．(多选)(25-26高一上.湖南株洲.期中)设正实数,满足,则(    ) A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值为4 D．的最小值为 【详解】由可得：, 因为,所以, 解得或,由于,所以舍去, 即, 此时取等号条件是,与联立可解得：,故A正确； 由可得：, 因为,所以 , 又因为,所以解得, 此时取等号条件是,与联立可解得：,故C正确； 由可得：,由,可得, 则, 此时取等号条件是,即,故D正确； 取,可得,故B错误；故选：ACD． 12．(多选)(25-26高一上.浙江丽水.期中)已知正实数满足,则下列说法正确的是(    ) A．的最大值为2 B．的最大值为1 14．(25-26高一上.上海.期中)若正数、满足,则的最大值为_____________. 【详解】由题意,, 则,即,当且仅当时等号成立, 则的最大值为. 15．(25-26高一上.广东深圳.期中)若,且,则的最小值为__________. 【详解】设(),由基本不等式得. 由,得,因此. 整理得,因式分解为. 因,故,即.验证等号成立条件： 当时,代入, 得,解得(舍去),此时,. 故答案为： 13．(25-26高一上.重庆.期中)已知实数满足,则的取值范围是______. 【详解】设, 则,解得, 因为,, 所以, 故答案为： (2)已知,求的最小值； (3)已知,,且满足,求的最小值. 【详解】(1)已知,,且满足, ,当且仅当, 即时等号成立,所以的最小值为12. (2)已知,有, 则, 当且仅当,即时等号成立, 所以的最小值为5. (3)已知,,且满足,则有, 所以, 当且仅当,即时等号成立, 所以的最小值为25. 16．(25-26高一上.吉林.期中)求最值： (1)已知,,且满足,求的最小值； 【详解】对于A：取,,则,故A不一定成立,不合题意； 对于B：不等式,由于,即a与b异号,则与同号, 则与异号,故与题设矛盾,故B不成立； 对于C：即,取,,满足,但,与题设矛盾,故C错误； 对于D：,设,则,不等式转化为, 因为当时,,而,因此该不等式恒成立,D正确. 1．(25-26高二下.安徽.期中)已知,则下列不等式中一定成立的是(   ) A． B． C． D． C．若,则 D．若且,则 【详解】对于A,取,满足,, 则,所以,故A错误； 对于B,当时,,故B错误； 对于C,因为, 所以,所以,故C错误； 对于D,因为且, 所以,, 即, 两边同时乘以,则,故D正确. 2．(25-26高一下.贵州.期中)已知,,,均为实数,则下列命题正确的是(   ) A．若,,则 B．若,则 【详解】因为,所以. , 当且仅当,即(在范围内)时,等号成立. 3．(25-26高一下.贵州毕节.期中)权方和不等式作为基本不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下：设,,,,则,当且仅当时,等号成立.根据权方和不等式,函数()的最小值为(   ) A．1 B． C． D．25 【详解】由题意设,仓库到车站的距离x＞0, 当x＝2,,由于,即, 所以两项费用之和为, 当且仅当,即x＝4时等号成立, 即要使这家公司的两项费用之和最小,则应该把仓库建在距离车站4km. 4．(25-26高一下.湖南邵阳.期中)某物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位：元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比,每月货物运输费(单位：元)与x(单位：km)成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小,则仓库应建在距离车站(    ) A．2km B．3km C．4km D．5km 【详解】两边同时除以,得到, , 当且仅当,即,时等号成立. 5．(25-26高二下.湖南长沙.期中)设,,且,则的最小值为(   ) A．8 B． C．10 D． 【详解】对于A,,当且仅当时,等号成立,故A错误； 对于B,, 所以,当且仅当时等号成立,故B正确； 对于C,, 当且仅当,即时,等号成立,故C错误； 对于D,因为,所以, 当且仅当时等号成立,故D错误． 6．(25-26高一上.浙江杭州.期中)若正实数a,b满足,则下列说法正确的是(   ) A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 C．若,则 D．若,则 【详解】A：由,,则成立,对,B：由,则,对, C：若,则,所以,对, D：由,则,错.故选：ABC 7．(多选)(25-26高一上.广东深圳.期中)下列说法正确的是(    ) A．若,则 B．若,则 C．的最小值为 D．的最小值为 【详解】A：由基本不等式：,两边平方得,即,等号成立当且仅当, 即,符合条件,因此最大值为,A正确； B：,得到的最小值为,无最大值,B错误； C：将代入得：,这是开口向上的二次函数,对称轴,代入得最小值为,C错误； D：,等号成立当且仅当即,符合条件, 因此最小值为,D正确. 8．(多选)(25-26高一下.海南海口.期中)已知,则下列结论正确的是(    ) A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值是2 D．的最小值是4 【详解】对A,当时,,A错误； 对B,,则,,当且仅当即时取等号,B正确； 对C,,当且仅当,即时等号成立, 但无实数解,因此C错误； 对D,,,当且仅当时取等号,D正确. 9．(多选)(25-26高一下.新疆.期中)下列说法正确的有(   ) A．的最小值是2 B．的最小值是2 11．(25-26高二下.云南玉溪.期中)函数的最小值为________. 【详解】,, 由均值不等式, 当且仅当,即时等号成立. 10．(25-26高一下.四川眉山.期中)已知为正数,,则的最小值为_________. 【详解】由题设,则, 求的最小值,即求的最小值, 其中, 由, 当且仅当,即时取等号,综上,的最小值为. (2)已知展房占地面积为108平方米,正面每平方米造价1200元,侧面每平方米造价800元,屋顶造价5800元,怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【详解】(1)因且,两边同除以,可得, ,, 当且仅当时,等号成立. 所以的最小值为9. (2)由题意,,设总造价为, 则 由解得,即当时,上式等号成立, 所以当展房正面长为12米,侧面长为9米时,总造价最低为92200元. 12．(25-26高一上.四川遂宁.期中)某公司准备搭建一间临时展房,用来开产品展览会,展房高为3米,背面靠墙,其余三面使用一种新型板材围成,板材厚度忽略不计.设展房正面长为米,侧面长为米. (1)若满足,求的最小值？ (2)若,把沿AC向折叠,AB折过去后交DC于点P． ①用x表示PC；②求的最大面积及相应x的值． 【详解】(1)∵矩形的周长为8,,∴,．而旋转形成的圆柱的侧 面积为．当且仅当,即时等号成立． ∴圆柱侧面积的最大值为． (2)①设,则．,,,,．在中,由勾股定理得,即,解得, 即,；②由①得,所以的面积为,,∴． 当且仅当,即时,的面积最大,最大面积为． 13．(25-26高一上.广东深圳.期中)已知矩形的周长为8cm,设． (1)矩形绕AB旋转形成一个圆柱,求圆柱侧面积的最大值； $