专题03 二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期中复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

高一数学上学期期中复习 考点大串讲 专题03 二次函数、一元二次不等式 与其他常见不等式的解法及应用 人教A版 1 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 3 期中考情透视 一、考点和题型 核心考点：一元二次函数图像与性质；一元二次不等式求解、含参数的一元二次不等式；分式不等式、高次不等式（穿针引线法）、绝对值不等式的简单解法；二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系（三个二次）；恒成立、能成立问题。 题型：选择、填空必考，解答题高频。小题多考查解不等式、二次函数图像判断；解答题常考查含参一元二次不等式求解，也会和集合、充分必要条件、基本不等式综合命题。 二、难易度 基础题：不含参一元二次不等式、简单分式 / 绝对值不等式，直接看图求解，属于必拿分。 中档题：含参数一元二次不等式，需要分类讨论（讨论二次项系数、判别式、根的大小）；简单恒成立问题，为本专题期中重点难点。 难题较少：一般不设置过于复杂的多参数综合压轴，常作为中档小题或解答题中间一问。 三、考情总结 本专题是期中核心重点板块，“三个二次” 关系是命题主线。命题注重数形结合思想，分类讨论是高频考查思想；常见失分点：忽略二次项系数是否为 0、漏讨论根的大小、分式不等式直接去分母忘记分母不为 0。经常和前面集合、逻辑、不等式知识综合，是期中拉开分数的关键内容。 4 PART 02 复习目标锚定 5 复习目标锚定 识记 1. 二次函数：记住二次函数解析式三种形式（一般式、顶点式、交点式）；熟记开口方向、对称轴、顶点坐标公式；牢记二次函数图像与 轴交点和一元二次方程根的对应关系。 2. 一元二次不等式：识记 “三个二次” 对应结论，能背诵根据判别式 ， ， 直接写出一元二次不等式解集的结论。 3. 其他不等式：记住分式不等式、绝对值不等式基础形式的转化方法；识记穿针引线法（数轴标根法）操作要点：化正、求根、标根、穿线，奇穿偶回。 理解 1. 理解 “三个二次” 内在联系：二次函数图像、一元二次方程的根、一元二次不等式解集三者的转化关系，体会数形结合。 2. 理解分类讨论的动因：解含参一元二次不等式，为什么要讨论二次项系数、判别式、两根大小；理解二次项系数等于 0 时，不等式退化为一次不等式。 3. 理解常见不等式转化的限制条件：分式不等式不能直接两边乘分母（分母正负不确定，且分母≠0）；理解绝对值不等式几何意义；理解恒成立问题的本质是函数最值问题。 应用 1. 基础应用：会画简单二次函数草图；熟练求解不含参一元二次不等式、简单绝对值、分式、高次不等式。 2. 中档应用：求解含参数一元二次不等式，规范分类讨论；利用二次函数性质处理一元二次不等式恒成立、能成立问题；利用二次函数求区间上最值。 3. 综合应用：和集合、充分必要条件、基本不等式综合；利用二次模型解决简单实际问题；借助图像分析不等式解集关系。 6 PART 03 知识体系构建 7 知识体系构建 8 PART 04 核心要点精讲 考点一 解不含参的一元二次不等式 考点二 解含参一元二次不等式（可因式分解型） 考点三 解含参一元二次不等式（不可因式分解型） 考点四 解分式不等式 考点五 绝对值不等式 考点六 一元二次不等式在 上的恒（能）成立问题 考点七一元二次不等式在区间上的恒（能）成立问题 01 02 03 04 05 06 07 9 ⚠️ 核心要点精讲 10 核心要点精讲 11 核心要点精讲 12 核心要点精讲 13 核心要点精讲 14 核心要点精讲 15 核心要点精讲 16 核心要点精讲 17 ⚠️ 核心要点精讲 18 ⚠️ 核心要点精讲 19 核心要点精讲 20 核心要点精讲 21 核心要点精讲 22 核心要点精讲 23 PART 05 重难题型突破 题型一 一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 题型二 一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 题型三 一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 题型四 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 题型五 一元二次不等式在 上恒（能）成立 题型六 不等式在区间 上恒（能）成立 01 02 03 04 05 06 24 💡 重难题型突破 25 重难题型突破 26 重难题型突破 27 重难题型突破 28 重难题型突破 29 💡 重难题型突破 30 重难题型突破 31 重难题型突破 32 💡 重难题型突破 33 重难题型突破 34 💡 重难题型突破 35 重难题型突破 36 重难题型突破 37 重难题型突破 38 💡 重难题型突破 39 重难题型突破 40 💡 重难题型突破 41 重难题型突破 42 重难题型突破 43 重难题型突破 44 基础固本练 45 PART 06 限时分层演练 46 （限时：15分钟） 基础固本练 47 基础固本练 48 基础固本练 49 基础固本练 50 基础固本练 51 基础固本练 52 （限时：15分钟） 综合进阶练 53 综合进阶练 54 综合进阶练 55 综合进阶练 56 综合进阶练 57 综合进阶练 58 综合进阶练 59 综合进阶练 60 综合进阶练 61 综合进阶练 62 综合进阶练 63 感谢聆听 64 ①时,求出两根,且(注意灵活运用十字相乘法) ②时,求根③时,方程无解 (3)根据不等式,写出解集 1．(26-27高三上.四川成都.开学考试)不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【详解】由,其中, 所以,可得,故不等式的解集为. ⚠️记忆口诀 考点一 解不含参的一元二次不等式 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数； (2)写出相应的方程,计算判别式 【详解】,, 即不等式的解集为. 故选：A. 3．(2027高三.全国.专题练习)解关于的不等式： (1)； (2)； 【详解】(1)对于不等式,由且二次项系数,故不等式的解集为． (2)原不等式等价于或, 故不等式的解集为． 2．(2026高三.全国.专题练习)不等式的解集是( ) A． B．或 C．或 D． (2) 【详解】(1)由,得, 解得, 所以不等式的解集为． (2)将不等式,化简为,即, 解得或, 所以解集为． 4．(25-26高一上.安徽合肥.期末)求下列不等式的解集 (1) (1)若关于的不等式的解集是空集,求实数的取值范围； (2)当时,解关于的不等式． 【详解】(1)当时,,解,得,解集不是空集,故舍去． 当时,要使的解集为空集,必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点, 即,,即,解得． 综上,实数的取值范围是． (2)由题意,得,即,整理得,即． 因为,所以． 当,即时,不等式的解集为； 当,即时,不等式的解集为； 当,即时,不等式的解集为． 综上,当时,不等式的解集为；当时,不等式的解集为； 当时,不等式的解集为． 考点二 解含参一元二次不等式(可因式分解型) 5．(26-27高三上.河南新乡.阶段检测)已知函数． 7．(26-27高一上.北京西城.阶段检测)求关于的不等式的解集 【详解】原不等式可化为 , 两边除以得,对应方程的根为, 当即时,不等式解集为； 当即时,不等式化为,解集为空集； 当即时,不等式解集为. 6．(26-27高一上.湖北随州.阶段检测)当时,求关于的不等式的解集. 【详解】当时,解集为；当时,, 即,,当,即时,解集为或； 当时,解集为； 当,即时,解集为或. A． B． C． D． 【详解】(1)当时,原不等式即为,此时原不等式的解集为； (2)当时,,解原不等式可得, 取,此时原不等式的解集为； (3)当时,原不等式可化为,, ①当时,即当时,原不等式的解集为； ②当时,即当时,原不等式即为,即, 此时原不等式的解集为； ③当时,即当时,解原不等式可得或, 此时原不等式的解集为.综上所述,原不等式的解集不可能为. 考点三 解含参一元二次不等式(不可因式分解型) 8．(多选)(26-27高一上.江苏镇江.阶段检测)不等式的解集可能是(     ) 【详解】(1)对于一元二次方程,判别式． 当时,的解集为； 当时,的解集为；当时,,方程的两根分别为,且, 则的解集为． 综上,当时,不等式的解集为,当时,不等式的解集为． (2)对于一元二次方程, 当时,,的解集为； 当时,的解集为； 当或时,,方程的两根分别为,且, 所以不等式的解集为． 综上,当时,不等式的解集为； 当或时,不等式的解集为． 9．(26-27高一上.全国.课后作业)解下列关于的不等式： (1)； (2)． 10．解关于的不等式：． 【详解】当时,不等式为,其解集为, 当时,, 当时,抛物线开口向下,, 方程的根为,且, 故不等式解集为； 若,抛物线开口向上, 当时,,抛物线与轴无交点,函数值恒大于0,不等式解集为； 当时,,方程的根为, 不等式,则,解集为； 当时,,方程的根为, 则不等式解集为． ③④⑤ 11．(24-25高二下.云南昆明.阶段检测)不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【详解】不等式, 转化为,即, 即且, 解得,故解集为. 12．(25-26高三上.陕西榆林.阶段检测)不等式的解集为__________． 【详解】由,得, 则,解得, 则不等式的解集为. ⚠️记忆口诀 考点四 解分式不等式 ①移项化零：将分式不等式右边化为0 ② 13．(26-27高一上.江苏镇江.阶段检测)解下列不等式：． 【详解】,即, 所以或, 解得或, 所以不等式的解集为. 14．(25-26高一上.黑龙江大庆.期中)求下列不等式的解集：. 【详解】原不等式可化为,即,解得. 所以原不等式的解集为. 15．(25-26高一上.陕西西安.期中)求下列不等式的解集：. 【详解】,故不等式的解集为：. ⚠️记忆口诀 考点五 绝对值不等式 (1) (2) A．0 B． C．2 D．4 【详解】当时,原不等式不成立, 时,函数对应的图象是开口向下的抛物线,根据图象特征, 一定存在使得原不等式成立． 时,则,即解得, 综上所述,的取值集合是或, 结合选项,所以实数可取值,4, 故选：BD 17．(25-26高一下.上海宝山.期末)若对任意,不等式都成立,则实数的取值范围是______． 【详解】对任意,不等式都成立, 所以,即, 解得,即k的取值范围是. 18．(26-27高三上.新疆巴州.阶段检测)关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为_________. 【详解】当时,恒成立,所以满足题意；当时,必须满足 且,解得.综上所述,实数的取值范围为. 考点六 一元二次不等式在上的恒(能)成立问题 16．(多选)(25-26高一上.山西晋城.期末)存在使得不等式成立,则实数的取值可以是(   ) 19．(2026高一.全国.专题练习)设,命题：,使得不等式成立,若为真命题, 求的取值范围. 【详解】因为：,使得不等式成立为真命题, 当时,不等式化为,为假命题,不符合题意； 当时,函数开口向上, 则,使得不等式成立,为真命题,符合题意； 当时,需满足,解得. 综上所述,的取值范围为. 18．(26-27高三上.新疆巴州.阶段检测)关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为_________. 【详解】当时,恒成立,所以满足题意； 当时,必须满足且,解得. 综上所述,实数的取值范围为. A． B． C． D． 【详解】若,不等式恒成立, 则,可得恒成立, 因为, 当且仅当,即时,等号成立, 可得,所以实数的取值范围为. 21．(2026高三.全国.专题练习)若关于的不等式在区间内有解,则实数的取值范围是______． 【详解】不等式在区间内有解,即在区间内有解, 那么, 设. 根据二次函数的性质可知,所以. 考点七 一元二次不等式在区间上的恒(能)成立问题 20．(26-27高一上.山西大同.阶段检测)若,不等式恒成立,则实数的取值范围为(     ) 23．(25-26高三.全国.一轮复习)不等式,对任意 恒成立,求实数的取值范围. 【详解】根据不等式,构造关于的函数,令,, 根据题意,对任意,恒成立,由于是一次函数,只要两端点的函数值都小于即可, 即,所以,化简得,解得. 22．(25-26高一上.重庆开州.阶段检测)已知关于的不等式在区间有解,则实数的取值范围为________. 【详解】令函数, 由题意可知函数在区间的最大值 由二次函数可知, ,,, ①时,,,即,∴, ②时,,,即,∴,综上所述：. 故答案为：. 题型一 一元二次不等式(含参)的求解(二次项系数不含参数) (2)解关于x的不等式． 【详解】(1)由题可知,,解得． (2)由题得,, 当,即时,不等式的解集为, 当时,即时,不等式的解集为, 当时,即时,不等式的解集为, 综上所述,时,不等式的解集为, 时,不等式的解集为, 时,不等式的解集为． 十字相乘法+分类讨论法 💡破题要诀 典例1 (25-26高一上.浙江杭州.期中)已知． (1)若的解集为,求a的取值范围； (1)若不等式的解集为,求的值； (2)求关于的不等式的解集. 【详解】(1)因为不等式的解集为, 所以的两个实数根为,, 故,即,解得. (2)因为. 当时,不等式的解为或；当时,不等式化为,不等式的解集为全体实数； 当时,不等式的解为或. 综上所述,当时,不等式的解集为或； 当时,不等式的解集为； 当时,不等式的解集为或. 迁移应用 1．(25-26高一上.河北唐山.期末)已知函数,. 【详解】(1),即,解得, 则解集为. (2)由不等式,则, 当,即时,解得或； 当,即时,解得； 当,即时,解得或． 综上,当时,不等式的解集为或； 当时,不等式的解集为； 当时,不等式的解集为或． 2．(25-26高一上.湖南邵阳.期中)(1) 解不等式； (2) 解关于的不等式． (1)若,解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【详解】(1)当时,函数化简为,代入不等式,得,得, 得原不等式转化为, 由分母不为0,得,所以得, 所以,所以, 得不等式解集为； 题型二 一元二次不等式(含参)的求解(二次项系数含参) 典例1 (25-26高一下.山东潍坊.期中)设函数. (2), 当=0,即时,,则的解集为, 当0,方程的两个根为 当0,即时,二次项系数,抛物线开口向上,且, 不等式的解集为. 当0,即, 当时,,不等式化为, 解集为, 当时,二次项系数,抛物线开口向下,且不等式的解集为, 当时,二次项系数,抛物线开口向下,且不等式的解集为, 综上所述,当时,解集为；当时,解集为；当时,解集为； 当时,解集为；当时,解集为 1．(25-26高二下.宁夏银川.期中)已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为,求a,b的值； (2)若,求已知关于的不等式的解集． 【详解】(1)因为不等式的解集为, 所以,且和是方程的两个实根, 可得,,解得,； (2)当 ,不等式为 ,即 ①当时,不等式化为,解得,解集为； ②当时,若,则,不等式解集为；若,则,不等式为,解集为； 若,则,不等式解集为； ③当时,不等式化为解得或,解集为. 💡破题要诀 十字相乘法+分类讨论法 迁移应用 2．(25-26高一上.河北唐山.期中)解关于的不等式． 【详解】由已知,得,：当时,不等式化为,解得； 当时,不等式等价于,若,解得,或； 若,解得, 若,解得,或； 当时,不等式等价于,解得. 综上所述,当时,不等式的解集为, 当时,不等式的解集为, 当时,不等式的解集为全体实数, 当时,不等式的解集为, 当时,不等式的解集为. (1)已知曲线恒过定点,,求它们的纵坐标之和；(2)求的解集. 【详解】(1)由题意有：,令,解得或, 所以,所以, 所以纵坐标之和为：； (2)由, 当时,,所以； 当时,由, 所以方程有两个不等实根, 不妨令,所以, 当时,,由有, 所以的解集为, 当时,,所以,即, 由有或, 所以的解集为； 题型三 一元二次不等式(含参)的求解(不能十字相乘法) 典例1 (25-26高一上.江西赣州.期中)已知函数. 1．(25-26高一上.黑龙江哈尔滨.期中)已知函数. (1)当时,求不等式的解集； (2)求不等式的解集. 【详解】(1)当时,.,即. 设方程的两根分别为,解得,, 不等式的解为 函数的解集为. 💡破题要诀 法 迁移应用 (2)由题意,得, ①当时,不等式化为,解得； ②当时,开口向上,此时,(i),即时,方程无解,不等式解集为； (ii),即时,方程有唯一解,不等式解集为； (iii),即时,方程有两解, ,且, 则不等式解集为. ③时,开口向下,此时,显然,方程有两解, , 且,不等式解集为. 综上所述, 当时,不等式解集为； 当时,不等式解集为； 当时,不等式解集为； 当时,不等式解集为； 当时,不等式解集为. (1)求实数a与b的值； (2)求不等式的解集. 【详解】(1)由不等式的解集为,得方程的解为-2和3, 根据韦达定理,得. 所以. (2)由(1)得,代入不等式, 得,即. 解得：,或. 所以不等式的解集为或. 根与系数的关系 💡破题要诀 题型四 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 典例1 (25-26高一上.安徽阜阳.期中)若不等式的解集为. A． B． C． 的解集为 D． 的最大值为 1 【详解】对于A：因为不等式的解集为, 所以对应函数开口向上,所以,A错误； 对于B：由已知可知的两根为, 由韦达定理可得,所以,B正确； 对于C：因为不等式的解集为,所以的解集为, 即的解集为,C正确； 对于D：由得,所以, 当时,取得最大值,D正确；故选：BCD. 迁移应用 1．(多选)(25-26高一上.重庆.期中)已知关于 的不等式 的解集为 , 则下列说法正确的是(    ) C． D．不等式的解集为 【详解】对于A选项：由题意,方程有两根为和2,且,A正确； 由韦达定理,,即. 对于B选项：, 因,故该函数在上单调递增,B正确. 对于C选项：因,且, 故,C正确； 对于D选项：由, 即,解得或,D错误.故选：ABC. 2．(多选)(25-26高一上.山东淄博.期中)若关于的不等式的解集为, 则下列选项正确的是(   ) A． B．函数在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【详解】因为一元二次不等式的解集为或 所以,且一元二次方程的解,, 由韦达定理有,所以且,A正确； 不等式等价于解得或,B错误. 因为函数,二次函数开口向上,对称轴,所以函数在上单调递增, 且,所以,即,C正确； 不等式等价于,所以不等式的解集为,D正确.故选：ACD. 3．(多选)(25-26高一上.河北唐山.期中)关于的一元二次不等式的解集为或,则(   ) A．且 B．不等式的解集为 【详解】当时,不等式为,不恒成立,舍去； 当时,,解得. 综上,实数的取值范围为. 故答案为： 判别法+分类讨论法 💡破题要诀 题型五 一元二次不等式在上恒(能)成立 典例1 (25-26高一上.安徽六安.期中)若对于恒成立,则实数的取值范围是__________. A． B． C． D．或 【详解】当时,不等式即恒成立,满足题意； 当时,则有,解得. 综上所述,的取值范围是. 故选：A 2．(25-26高一上.山西太原.期中)若存在,使得不等式成立,则实数的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【详解】当,则,在上显然不成立, 当,则或, 得或,综上,实数的取值范围是.故选：D 迁移应用 1．(25-26高一上.福建福州.期中)若不等式对一切实数都成立,则的取值范围为(   ) (1)若关于的不等式的解集为,求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立,求的取值范围． 【详解】(1), 因为关于的不等式的解集为, 所以, 解得 (2)因为不等式对任意恒成立, 所以对任意恒成立, 因为, 所以 所以,对任意恒成立, 而,当且仅当 ,即 时,取等号, 所以,所以的取值范围. 变量分离法 💡破题要诀 题型六不等式在区间上恒(能)成立 典例1 (25-26高一上.辽宁大连.期中)已知定义在上的函数(其中)． A． B． C． D． 【详解】当时,抛物线开口向下,对称轴为,在区间上函数单调递减,且当时,,由连续性知,必存在使得,故满足条件； 当时,不等式化简为,解得,故满足条件； 当时,抛物线开口向上,需满足以下条件：判别式,即,所以对称轴； 所以最小值,此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于区间内,故存在使得,即满足条件.综上,的取值范围为.故选：B. 迁移应用 1．(25-26高一上.江苏无锡.期中)已知存在是不等式一个解．若,则实数m的取值范围是(   ) 【详解】当时,不等式, 由不等式在区间有解, 得不等式在上有解. 而,当且仅当时取等号, 所以的最小值为, 所以a的取值范围是. 故选：B 2．(25-26高一上.吉林.期中)若关于的不等式在区间上有解,则的取值范围是(   ) A． B． C． D． (2)当时, 恒成立,试求的取值范围. 【详解】(1)时,的解集为, 则的两根分别为, 故,,得. (2)因为的两根分别为, 所以,,得,, 则, 因为当时,恒成立, 所以对恒成立, 则且,得, 故的取值范围为. 3．(25-26高二下.江苏常州.期中)设函数,关于的不等式(为常数) 的解集为. (1)若,求实数的值； 【详解】由可得,解得,由解得或, 因为集合是集合的真子集, 即由可推出或,由或,推不出, 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．(26-27高一上.北京.期中)“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为,所以,解得, 因为,所以,解得, 若,则成立,所以“”是“”的充分条件； 若,则不一定成立,所以“”是“”的不必要条件, 综上,“”是“”的充分不必要条件. 1．(26-27高一上.北京.期中)设,则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时,恒成立,此时不等式的解集为,满足条件； 当时,则,解得, 综上,关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是． 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件． 故选：A． 5．(25-26高一上.河北承德.期中)“”是“关于的不等式的解集为”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C．若,,则的解集为 D．若,则 【详解】选项A：由题意知,,,是方程的两个根, 所以,. 若,则,那么,即, 又,所以,故选项A错误. 选项B：若,,则,4是方程的两个根,且, 由韦达定理得,解得. 则不等式可化为, 又,化简得,解得, 即的解集为.故选项B正确. 选项C：由选项B可知,,, 则不等式可化为, 又,化简得, 即, 解得,所以不等式的解集为,故选项C错误. 选项D：若,则方程可化为, 由题意知,,,是方程的两个不等实根, 所以,即,所以.故选项D正确. 故选：BD. 6．(多选)(25-26高一上.四川.期中)若关于的不等式的解集为,,,,均为实数,则下列正确的有(    ) A．若,则 B．若,,则的解集为 【详解】由,且,所以,则问题转化为对于恒成立. 又,当且仅当,即时等号成立. 所以,即实数的取值范围为, 结合选项可知A错误,BCD正确. 故选：BCD． 8．(多选)(25-26高一上.江西.期中)若不等式对任意恒成立,则的值可能是(    ) A． B． C． D． 【详解】当,即时,不等式为,不恒成立； 当时,由, 解得．综上所述,. 故选：AC 7．(多选)(25-26高一上.江苏扬州.期中)若关于的不等式在上恒成立, 则实数的可能取值为(    )． A．7 B．5 C．3 D． 10．(25-26高一上.福建三明.期中)解不等式的解集为___________． 【详解】不等式的解集为, 9．(25-26高三上.上海.期中)不等式的解集是________. 【详解】等价于且,得, 故不等式的解集是. 【详解】(1)已知, 当时,,即, 解得, 时,的取值为2,3． (2)函数开口向上, 当时,的取值范围为或． (3)函数开口向上, 当时,的取值范围为． 11．(24-25高一上.广西河池.期中)已知函数, (1)求时,的取值； (2)求时,的取值范围； (3)求时,的取值范围． (2)若,求实数的取值范围． 【详解】(1)由,可得,即, 所以故 (2)由,可得,即 所以,解得或. 12．(25-26高一下.上海杨浦.期中)已知集合 (1)若,求实数的取值范围； 【详解】因为,, 所以有两个不等根, 其中一根小于,另一根为, 则,即,故B、D选项错误； 消元解得,故A错误,C选项正确. 1．(25-26高一上.广西玉林.期中),,若,则以下结论 正确的是(    ) A． B． C． D． 【详解】解：因为正实数满足,所以, 当且仅当时,等号成立,即时,等号成立, 因为正实数满足时,有恒成立, 所以,即, 即,得最大值为8． 2．(25-26高一上.福建泉州.期中)已知正实数满足时,有恒成立,则的最大值为(   ) A． B． C． D． 【详解】由的解集为, 得和是方程的两个实数根, 所以,所以等价于,即, 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件；或是的一个充分不必要条件. 3．(25-26高一下.云南昆明.期中)已知的解集为,则的一个 充分不必要条件是(   ) A． B． C．或 D．或 4．(25-26高二下.天津滨海新区.期中)若命题“”是假命题,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【详解】解：因为正实数满足, 所以, 当且仅当时,等号成立,即时,等号成立, 因为正实数满足时,有恒成立, 所以,即, 即,得最大值为8． 【详解】由的解集为,得和是方程的两个实数根, 所以, 所以等价于,即, 其充要条件为或.所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 3．(25-26高一下.云南昆明.期中)已知的解集为,则的一个充分不必要 条件是(   ) A． B． C．或 D．或 【详解】原全称命题“”为假命题, 则其否定“”为真命题, 即方程在上有解,的取值范围就是函数在上的值域. ,这是开口向上,对称轴为的二次函数,. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：.因此的值域为,即. 5．(25-26高二下.北京朝阳.期中)“”是“不等式的解集为空集”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】“不等式的解集为空集”等价于“不等式在上恒成立”, 其充要条件为,即. 因为能推出,推不出, 所以“”是“不等式的解集为空集”的充分不必要条件. 4．(25-26高二下.天津滨海新区.期中)若命题“”是假命题,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． C． D．的解集为或 【详解】根据题意,可得的两根为,且,故A正确. 由根与系数的关系可得,即 ． 因为,所以B正确． 令,则,所以C正确. 由,得, 所以,即, 解得,所以D错误． 6．(多选)(26-27高一上.广西.期中)已知不等式的解集为或},则下列结论正确的是(    ) A． B． C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【详解】对于A,若,解集为,故A正确； 对于B,当时,,解集为,故B正确； 对于C,若不等式的解集为,则, 显然该不等式组无解,假设不成立,故C错误； 对于D,若不等式的解集是, 则且方程的两根为, 所以,解得, 所以当时,不等式的解集是,故D正确． 7．(多选)(25-26高一上.浙江杭州.期中)关于的不等式的解集有下列说法,其中正确的是(   ) A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 8．(26-27高一上.广西.期中)若不等式对任意实数均成立, 则实数的取值范围是__________． 【详解】当时,不等式为,恒成立,符合题意； 当时,不等式对任意实数均成立, 即,解得.综上所述,实数的取值范围是. 【详解】(1)由的解集为, 可知,且的两根为, 所以,解得：； 此时不等式即,符合题意； (2)对于, 当时,得,解得, 当时, 时,不等式的解集为或；,则,不等式的解集为； 时,不等式的解集为空集； 时,,不等式的解集为, 综上：时,不等式的解集为, 时,不等式的解集为, 时,不等式的解集为,时,不等式的解集为,时,不等式的解集为. 9．(25-26高一上.广东汕头.期中)已知函数． (1)若不等式的解集为,求实数的值； (2)解不等式． (3)若不等式对一切实数恒成立,求的取值范围； 【详解】(1)当时,,若,即,,解得. 故若, 的解集为. (2)当时,,则不等式为,分式不等式等价于,解得或. 故若,的解集为. (3)不等式对一切实数恒成立可整理为对一切实数恒成立. 当时,不等式变为,不满足对一切实数恒成立,舍去； 当时,对一切实数恒成立需满足对应的二次函数开口向上且, 即,整理得,解得. 故的取值范围为. 10．(25-26高一上.广东江门.期中)设函数． (1)若,求的解集． (2)若,求的解集． $