第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元自测·强化卷）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 第二章一元二次函数、方程和不等式单元强化卷，覆盖基础与综合应用，适配单元复习，助力数学眼光、思维与语言核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|不等式性质、函数最值、充要条件|基础巩固，考查抽象能力| |选择题（多选）|3/18|不等式解集、实数性质|分层选拔，培养推理意识| |填空题|3/15|代数式求值、函数交点|细节检测，提升运算能力| |解答题|5/77|不等式恒成立、方程根、实际应用（菜园篱笆、保管员室）|综合应用，体现模型意识与应用意识|

第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A A B C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． / / 14．12 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 16．（15分） 【解析】（1）由题意，，，得， ，． 因为， ， 解得：， ； （2）显然，这说明与都不为0，所以．因为为整数， 所以，进而，其中符合的有，3，4，5，8． （3）， 因为，所以，且，，， 所以，这等价于，这是恒成立的． 综上可以取所有不等于的实数． 17．（15分） 【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 18．（17分） 【解析】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19．（17分） 【解析】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 3．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若对于，都有或成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 8．设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 10．（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 11．（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，且，则的值为____________． 13．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 14．已知二次函数，反比例函数.若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数有________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 16．（15分）已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 17．（15分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 18．（17分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19．（17分）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 2．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 3．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 4．已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 5．已知函数，若对于，都有或成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，当时，，不合题意； 当时，， 当时，当时，；当时，， 若对于，都有或成立， 只需在时恒成立， 若，即时，满足题意； 若，即时，只要即可， 解得，则． 综上可知， 故选：B． 6．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 7．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 8．设函数.若当时，对于任意，，都有，则实数的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】，开口向上，对称轴为， 当时，对于任意，，都有， 则，故，得， 由对称性得， ，即， ，即实数的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）关于的不等式的解集有下列说法，其中正确的是（   ） A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABD 【详解】对于A，若，解集为，故A正确； 对于B，当时，，解集为，故B正确； 对于C，若不等式的解集为，则， 显然该不等式组无解，假设不成立，故C错误； 对于D，若不等式的解集是， 则且方程的两根为， 所以，解得， 所以当时，不等式的解集是，故D正确． 10．（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 11．（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，且，则的值为____________． 【答案】 【详解】由已知条件，，， 可得：当时，取到最大值， ； 当时，取到最小值为， . 因此，而题设给出， 故必有，当且仅当或时成立. 当时，，，，； 当时，，，，. 因此，的值为 13．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 / / 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 14．已知二次函数，反比例函数.若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数有________个. 【答案】12 【详解】联立这两个函数解析式，得到，注意到始终是方程的根， 所以可以将方程整理为， 当时，， 只要为正整数，， 因此不是方程的根. （1）若无实根，则两个函数图象只有1个交点， 此时，解得， 又，所以,共11个； （2）若有整数根，显然， 分离参数有，这说明可能是，. 当时，不符合题意；当时，； 当时，不符合题意；当时，， 此种情况下，只能取16. 综上，符合条件的正整数有12个. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）①当，即时， 不等式转化为， 此不等式无解，解集为，满足题设； ②当，即时， ， 解得； 综上：实数的取值范围为. （2）因为，所以， 解得，即， 因为，所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故实数的取值范围为. 16．（15分）已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)，3，4，5，8． (3)可以取所有不等于的实数． 【详解】（1）由题意，，，得， ，． 因为， ， 解得：， ； （2）显然，这说明与都不为0，所以．因为为整数， 所以，进而，其中符合的有，3，4，5，8． （3）， 因为，所以，且，，， 所以，这等价于，这是恒成立的． 综上可以取所有不等于的实数． 17．（15分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 18．（17分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19．（17分）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $