专题01 比较大小·作差法·作商法·利用性质·综合范围五大高频问题（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 以比较大小为核心，系统整合作差法、作商法等五大方法，构建从基础表示到综合应用的递进式训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用不等关系表示不等式|10题|实际情境抽象为不等式|从现实问题到数学符号表达，奠定应用基础| |作差法比较大小|10题|作差变形定符号|通过代数变形培养逻辑推理，强化大小比较通法| |作商法比较大小|10题|商与1比较（正实数）|针对正数情境，拓展比较方法，提升运算技巧| |利用性质比较大小|10题|不等式性质灵活应用|深化性质理解，建立方法间内在联系| |综合求范围问题|10题|多变量范围综合分析|整合前四法，培养复杂问题解决能力，发展数学思维|

专题01比较大小·作差法·作商法·利用性质·综合范围五大高频问题 题型一 用不等关系表示不等式 题型二 作差法比较大小 题型三 作商法比较大小 题型四 利用性质比较大小 题型五 综合求范围问题 题型一 用不等关系表示不等式 1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 5．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 6．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 7．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 8．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 9．用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 10．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 题型二 作差法比较大小 11．（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 12．某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 13．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 15．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 16．（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 18．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 19．（多选）以下四个命题中，是真命题的有（   ） A．若命题，则p的否定为： B．若，则 C．若且，则 D．“”是“”的充分不必要条件 20．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 作商法比较大小 21．已知为正实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 23．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 24．（多选）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 25．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 26．（多选）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 27．（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 28．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 29．（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 30．（多选）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型四 利用性质比较大小 31．已知，试比较与的大小. 32．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 33．设，，则（    ）． A． B． C． D． 34．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 35．如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 36．（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 37．（多选）已知，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 38．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 39．若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 40．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 题型五 综合求范围问题 41．已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 42．（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 43．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 44．（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 45．已知，且，则的最大值是________． 46．（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 47．（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 48．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 49．已知，，则的取值范围是________． 50．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01比较大小·作差法·作商法·利用性质·综合范围五大高频问题 题型一 用不等关系表示不等式 题型二 作差法比较大小 题型三 作商法比较大小 题型四 利用性质比较大小 题型五 综合求范围问题 题型一 用不等关系表示不等式 1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】由题意可知，， 所以， 故选：D 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质确定，再根据同向不等式的可加性即得答案. 【详解】因为，所以， 故, 故选：B 3．已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】，，，. 故选：C. 4．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 5．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 6．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 7．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 8．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货箱共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节型货箱. (1)据此安排，两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货箱的运费是万元，每节型货箱的运费是万元，哪种方案的运费最少？ 【答案】(1)三种 (2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少. 【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 9．用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 10．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 题型二 作差法比较大小 11．（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 【答案】CD 【分析】根据已知结合不等式与不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“”，故A错误； 对于B，小明比小华轻，应表示为“”，故B错误； 对于C，的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c， 则可表示为“且且”，C正确； 对于D，若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“”，D正确. 故选：CD 12．某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 13．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 14．（多选）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 【答案】AD 【分析】根据不等式性质、作差法比较大小及基本不等式的应用逐一分析 【详解】对于A，因为，所以，故，可得，A对； 对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错； 对于C，作差得，若，则，反之，，C错； 对于D，根据基本不等式，当且仅当，即时，取等号，D对 15．下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 16．（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 17．（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 18．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 19．（多选）以下四个命题中，是真命题的有（   ） A．若命题，则p的否定为： B．若，则 C．若且，则 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】AC 【详解】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确； 对于B，若，则， 即，故B错误； 对于C：因为且， 所以， 则，故C正确； 对于D，因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误． 20．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用作差法根据不等式性质即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可得出结论. 【详解】若，则，， 所以，即充分性成立， 令，则，，满足关系，但， 即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 题型三 作商法比较大小 21．已知为正实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】判断充分性（由能否推出）， 因为，，所以， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 因此，由可以推出，充分性成立. 判断必要性（由能否推出）， 因为，所以， 因为， 所以 ，即，即， 则，即由“”可以推出“”，必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 22．（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 23．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 24．（多选）已知，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较和作商比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由，所以，所以A正确； 对于B，因为，由不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C，由， 因为，可得，且，， 所以，即，所以，所以C错误； 对于D，由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以D正确. 故选：ABD. 25．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 26．（多选）给定下列推导过程，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A：只有当时，才成立，故A错误； 显然，B正确； 对于：只有当且时，才成立，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：ACD. 27．（多选）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 28．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）； （2），，又， 又， ， . 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2）略 29．（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论. 【详解】依题意，正实数x，y满足，， 若，则，所以①错误. ，所以②正确. 由于，所以，所以③正确. ，所以④正确. 故选：BCD 30．（多选）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质可判断A，由基本不等式可判断B，利用指数函数的单调性判断C，由作差法判断D. 【详解】对于A项：因为，所以，又，所以，A错； 对于B项：因为，所以，B对； 对于C项：，因为，，所以，又因为，所以，C对； 对于D项：，所以，D错. 故选：BC． 题型四 利用性质比较大小 31．已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 32．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 33．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 34．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 35．如果满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则. 对于选项A：因为，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，则，且，所以，故B正确； 对于选项C：例如满足，但，故C不一定成立； 对于选项D：因为，则，且，所以，故D正确. 36．（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 37．（多选）已知，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对A，当时，可得；当时，可得；当时，可得.故A错误； 对B，由可得，两边同除以，不等号方向不变，可得.故B正确； 对C，当时，C选项的结论不成立，故C错误； 对D，因为，，所以，， 所以，所以，故D正确. 38．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 39．若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和充要条件的判定方法逐一判断各选项即得. 【详解】因，故A显然不合要求； 对于B，若取，显然满足，但得不出， 即不是的充分条件，不合题意； 对于C，因，故也不是的充分条件，不合题意； 对于D，，故可得，即是的充分条件； 同时，因，若取满足，但得不出， 即不是的必要条件，故D正确. 40．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】使用不等式的性质进行分析. 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 题型五 综合求范围问题 41．已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 42．（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 43．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 44．（多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 45．已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 46．（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 47．（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 48．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 49．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 50．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01比较大小·作差法·作商法·利用性质·综合范围五大高频问题 题型一 用不等关系表示不等式 题型二 作差法比较大小 题型三 作商法比较大小 题型四 利用性质比较大小 题型五 综合求范围问题 题型一 用不等关系表示不等式 1．D 2．B 3．C 4．D 5． 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 6．D 7．D 8．(1)三种 (2)安排型货箱30节，型货箱20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货箱的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货箱的运费，得出方案三运费最少. 【详解】（1）设安排两种货箱分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货箱28节，型货箱22节； 方案二，安排型货箱29节，型货箱21节； 方案三，安排型货箱30节，型货箱20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货箱分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货箱分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货箱30节，型货箱20节时，运费最少，为31万元. 9．A 10．D 题型二 作差法比较大小 11．CD 12．B 13．B 14．AD 15．B 16．BC 17．ACD 18．C 19．AC 20．A 题型三 作商法比较大小 21．C 22．ABD 23．B 24．ABD 25．ACD 26．ACD 27．ABD 28．（1）； （2），，又， 又， ， . 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2）略 29．BCD 30．BC 题型四 利用性质比较大小 31． 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 32．A 33．D 34．A 35．C 36．AB 37．BD 38．B 39．D 40．AC 题型五 综合求范围问题 41．B 42．AD 43．BD 44．ABD 45．5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 46．ABD 47．（1）；（2）． 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 48．(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 49． 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 50．D 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $