广东佛山市南海区南海中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

广东省佛山市南海中学2026-2027学年高一（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 1．【答案】B 【分析】特称命题的否定是全称命题，量词“”改为“”，结论“”改为“”。 【解答】命题“，”的否定是“，”。 故选：B． 2．（5分）设 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．【答案】A 【分析】先化简集合 ，再求并集。 【解答】，，所以 。 故选：A． 3．（5分）若 ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断。 【解答】A中若 ，则 ，A错误；B中 等价于 ，与 矛盾，B错误；C中当 时不成立，C错误；D中由 ，两边同除以 得 ，D正确。 故选：D． 4．（5分）使“”成立的必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 4．【答案】C 【分析】先解不等式，再判断“必要不充分条件”。 【解答】 等价于 ，解得 。选项C中的 包含解集且比解集大，所以是必要不充分条件；A是充要条件，B、D不能包含整个解集。 故选：C． 5．（5分）已知 ，且满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．【答案】B 【分析】利用“1”的代换和基本不等式。 【解答】由 ，得 。又 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号。 故选：B． 6．（5分）学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛。只参加球类一项比赛的人数是（　　） A． B． C． D． 6．【答案】B 【分析】设同时参加田径和球类的有 人，利用容斥原理。 【解答】设同时参加田径和球类的有 人。由容斥原理，，解得 。所以只参加球类一项的人数为 。 故选：B． 7．（5分）已知命题 ，不等式 的解集为 ，命题 ，不等式 。若 和 有且仅有一个正确，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．【答案】C 【分析】分别求出 为真时 的范围，再由“有且仅有一个正确”分类。 【解答】 为真时， 在 上的最小值为 ，故 ，即 ，得 。 为真时，存在 使 ，而 在 上的最小值为4，故 。 若 真 假，则 ；若 假 真，则 。所以 。 故选：C． 8．（5分）集合 ，集合 ，，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 8．【答案】D 【分析】由 及 确定 的左、右端点。 【解答】。因为 ，所以 必须包含 ，且右端点为2（开区间），设 ，其中 。由根与系数关系，，，所以 ，。因此 A、B、C 正确，D 错误。 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 9．【答案】ABC 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断。 【解答】A中0是集合 的元素，正确；B中两个集合元素相同，互为子集，正确；C中空集是任何集合的子集，正确；D中空集不含元素0，错误。 故选：ABC． 10．（6分）下列命题中真命题有（　　） A．已知 ，则“”是“”的充要条件 B．满足 的集合 的个数为7 C．已知 ，则 的最小值是3 D．集合 ，若 ，则 或2 10．【答案】CD 【分析】逐项判断命题真假。 【解答】A中 只说明 或 ，不能推出 ，不是充要条件，A假；B中 ，只需从 中任取子集并入，共有 个，B假；C中 ，当 取等号，C真；D中若 ，得 或 ；若 ，得 ，D真。 故选：CD． 11．（6分）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 且 B．若 ，则关于 的不等式 的解集也为 C．若 ，则关于 的一元二次不等式 的解集为 D．若 ，且 ，则 的最小值为 11．【答案】ACD 【分析】逐项分析二次不等式的解集与系数关系。 【解答】A中 且 时， 恒成立，故 的解集为空集，A正确；B中若比例常数为负，不等号方向改变，解集不一定为 ，B错误；C中由 得 ，，代入得 ，又 ，所以 ，即 或 ，C正确；D中由 得 且 ，即 。令 ，则 ，D正确。 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若实数 满足 ，，则 的取值范围是 ________。 12．【答案】 【分析】利用不等式的性质求 的范围。 【解答】由 ，，得 ，所以 。 13．（5分）若集合 有且仅有两个子集，则 的值为 ________。 13．【答案】 或 【分析】集合有两个子集，说明集合只有一个元素。 【解答】当 时，方程化为 ，只有一个解 ；当 时，二次方程只有一个实根，判别式 ，得 。 14．（5分）若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 ________。 14．【答案】 【分析】由恒成立条件确定 是第二个因子的根。 【解答】若 ，则 ，当 时第二个因子趋于 ，不等式不可能恒成立，所以 。要使不等式恒成立， 必须是 的根，代入得 ，所以 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知集合 ，集合 ，集合 。 （1）求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围。 15．【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）先求 的补集，再与 求交集；（2）按 是否为空集分类。 【解答】（1），所以 。又 ，所以 。 （2）当 时，，即 ，满足 。 当 时，，需 且 ，得 。综上，。 16．（本小题满分15分） （1）已知 都是正实数，且 ，试比较 与 的大小。 （2）已知 ，，求 的最小值。 16．【答案】（1）；（2）20。 【分析】（1）作差因式分解；（2）利用基本不等式。 【解答】（1）。因为 且 ，所以 ，故 。 （2）由 得 。设 ，则 。令 ，得 ，即 ，所以 ，。当 ，即 时取等号，最小值为20。 17．（本小题满分15分） 某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知 年内付出的各种维护费用之和 满足二次函数 ，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元。假定龙虾养殖基地使用 年后，每年平均费用为 万元（包括投资和维护费用，且维护费用累计到当年年底）。 （1）求 年内付出的各种维护费用之和 与 的函数关系式； （2）使用多少年后，每年平均费用最低？最低费用是多少万元？ 17．【答案】（1）；（2）9年，54万元。 【分析】（1）由第一年、第二年的维护费用列方程组；（2）利用基本不等式求平均费用最小值。 【解答】（1）第一年维护费用为 ；第二年维护费用为 ，所以 ，。 （2）年平均费用为 ，当且仅当 ，即 时取等号。所以使用9年后平均费用最低，最低为54万元。 18．（本小题满分17分） 设函数 （）。 （1）解关于 的不等式：； （2）当 时，函数 图像都在函数 的下方， 求 的取值范围； （3）当 时，已知 ，，若 ，求 的取值范围。 18．【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）。 【分析】（1）因式分解后按 的符号分类；（2）把不等式看成关于 的一次不等式恒成立；（3）转化为 在 上恒成立。 【解答】（1） 即 ，因式分解得 。 当 时，；当 时，；当 时， 或 ；当 时，；当 时， 或 。 （2）对 恒有 ，即 。因为 ，左边关于 递增，只需 时成立：，即 ，解得 。 （3）。当 时， 的图像开口向下，在 上的最小值在端点处取得。由 得 且 ，即 且 ，所以 。结合 ，得 。 19．（本小题满分17分） 已知有限集 （，），若 ，则称 为“完全集”。 （1）判断集合 是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合 为完全集，且 均大于0，证明： 中至少有一个大于2； （3）若 为“完全集”，且 ，试探索集合 中最多有几个元素？ 19．【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）最多3个。 【分析】（1）直接计算和与积；（2）由 变形为 ；（3）先找3个元素的例子，再证明4个及以上不可能。 【解答】（1）和为 ，积为 ，和等于积，所以是完全集。 （2）由 为完全集得 ，即 。若 都小于等于2，且其中一个小于1，则对应因子为负，乘积不可能为1；故 均大于1，此时 ，，乘积为1只能 ，此时集合只有一个元素，与集合 有两个元素矛盾。所以 中至少有一个大于2。 （3） 时， 满足 ，是完全集。若 ，设 ，则 。于是 ，而 。因为 时 ，所以乘积大于和，与完全集定义矛盾。所以最多有3个元素。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市南海中学2026-2027学年高一（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（5分）设 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．（5分）若 ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4．（5分）使“”成立的必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 5．（5分）已知 ，且满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛。只参加球类一项比赛的人数是（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知命题 ，不等式 的解集为 ，命题 ，不等式 。若 和 有且仅有一个正确，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）集合 ，集合 ，，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列表述正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（6分）下列命题中真命题有（　　） A．已知 ，则“”是“”的充要条件 B．满足 的集合 的个数为7 C．已知 ，则 的最小值是3 D．集合 ，若 ，则 或2 11．（6分）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 且 B．若 ，则关于 的不等式 的解集也为 C．若 ，则关于 的一元二次不等式 的解集为 D．若 ，且 ，则 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若实数 满足 ，，则 的取值范围是 ________。 13．（5分）若集合 有且仅有两个子集，则 的值为 ________。 14．（5分）若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 ________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知集合，集合，集合 。 （1）求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围。 16．（本小题满分15分） （1）已知 都是正实数，且 ，试比较 与 的大小。 （2）已知 ，，求 的最小值。 17．（本小题满分15分） 某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知 年内付出的各种维护费用之和 满足二次函数 ，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元。假定龙虾养殖基地使用 年后，每年平均费用为 万元（包括投资和维护费用，且维护费用累计到当年年底）。 （1）求 年内付出的各种维护费用之和 与 的函数关系式； （2）使用多少年后，每年平均费用最低？最低费用是多少万元？ 18．（本小题满分17分） 设函数 （）。 （1）解关于 的不等式：； （2）当 时，函数 图像都在函数 的下方， 求 的取值范围； （3）当 时，已知 ，，若 ，求 的取值范围。 19．（本小题满分17分） 已知有限集 （，），若 ，则称 为“完全集”。 （1）判断集合 是否为“完全集”，并说明理由； （2）若集合 为完全集，且 均大于0，证明： 中至少有一个大于2； （3）若 为“完全集”，且 ，试探索集合 中最多有几个元素？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $