专题一 平行线分线段成比例（六大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

平行线分线段成比例 【知识解析】 知识点01平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线11、12、13是一组等距离的平行线，14、15是任意画的两条 直线，分别于这组平行线一下相交于点A,B,C,D,E,F,则比例式 促=怨=%正竖成立 要点：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 上-上上上左上左全 下=下全全'右上右全等等. (2)有推论可以得出以下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截 得的对应线段成比例： A型基本图形 X型基本恩形 知识点O2把已知线段AB五等分. 己知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分· AL B 作法： 1.以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA=A4=AA=AA4=A44. 1 2.连结B,并过点A,A,A:,A4分别作AB的平行线，依次交AB于点B, B,,B4.则点乃，B,B,B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作1∥AB,根据平行线分线段成比例的基本事实，就可 以得到如下关系式 照=B8=B盟-=B盟 AA AAAAAAAA .AA=AA2=AA5=A5A4=A4A5, ∴.AB=BB=BB=BB4=B4B, ∴.点，B,,B4把线段AB五等分. 要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规，不能使用直尺进行量 取，尺规作图中的直尺是没有刻度的，它的用途是画线或者连线 【题型练习】 【题型1A型平行线分线段成比例】 【例1】如图，直线I,I吗，直线AC,DF与这组平行线依次交于点A,B,C ，D,E,F,则下列结论错误的是() D B BC EF A.BE2=AD.CF B.AC DF AB DE C.BC EF D.AB·DF=AC·DE 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成 比例定理进而得出结论. 【详解】解：马 BCEF ACDF,故B正确： AB DE BCEF,故C正确； AB DE ACDF,即ABDF=ACDE,故D正确； BE CF A选项的BE2=ADCF,即ADBE,不符合平行线分线段成比例定理，故A错 误： 故选：A. 【对应练习】 1.如图，两条直线被三条平行线所截，已知AB:BC=1:2,若DE=3,则EF= 3 B A.12 B.9 C.6 D.3 【答案】c 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握 平行线分线段成比例定理. DE AB 根据平行线分线段成比例定理得到F=BC即可得解。 DE AB 【详解】解：根据平行线分线段成比例可得：EFBC, .AB:BC=1:2 DE=3 DE AB 1 EF BC2 ∴.EF=2DE=6 故选：C 2.如图，两条直线被三条平行线所截，若DE=3,EF=6,BC=8,则AB= D E 4 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键。 【详解】，两条直线被三条平行线所截，且DE=3,EF=6,BC=8, AB DE :BC EF AB 3 .86’ 解得AB=4, 故答案为：4. 3.【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比 AD FE 例关系：DB=EC,这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段 成比例”) m D 【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF∥AD 交边DC于点F,点P、O分别在矩形的边AD、BC上，连结PO交EF于点M. 5 求证：PM=OM P D D E M M M N B B 0 B(O) C(R) 图① 图② 图③ 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边BC上（不与点Q重 合)，连结PR交EF于点N (1)若MN=4,则线段QR的长为 (2)当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC=I0,且△PMN周 长的最小值为12，则边AB的长为 【答案】 [问题原型]证明：，点E为边AB的中点， .'AE=BE, 在矩形ABCD中，AD∥BC, ,EF∥AD, ∴.AD∥EF∥BC PM_AE=1 .OM BE .PM=OM 6 [结论应用](1)8；(2)26 【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证： PM_AE=1 [结论应用](1)根据平行线分线段成比例得出QMBE PN-AE=1 ,RBE,进 而得到MN是△PQR的中位线，即可求解； (2)根据(1)的结论得出MN是是△PQR的中位线，当P为中点时得出△PBC 的周长的最小值为24，进而勾股定理即可求解. 【详解】[问题原型]略 [结论应用](1)根据题意可得AD∥EF∥BC PM-AE=1 PN-AE=1 ..OM BE,NRBE .'.OR=2MN=8 故答案为：8. (2)解：如图所示， G D E B(O C(R) 图③ 作点C关于AD的对称点，连接PG,BG,DG, ∴.PB+PC=PB+PG≥BG, 当P在BG上时，取得最小值， 又·PD∥BC,D是CG的中点， .PD是BC的中位线， ∴.P是AD的中点，则PB=PG=PC 即当P顶点是AD中点时，三角形PBC的面积取得最小值， :根据(1)的结论得出MN是是△P2R的中位线，BC=10,且△PMN周长的最 小值为12， .△PBC的周长为24， P4-PD=-ADBC=5:PB+PC=24-10=14 2 2 .PB=7, :4B=PB2-AP=V7P-5-26 【题型2X型平行线分线段成比例】 【例2】如图，！山L,两条直线与这三条平行线分别交于点4、B、C和点 AB 3 D、E、F,已知BC=2,DE=6,则DF的长为( B A. 4 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到EF，即可得到DF的长. 【详解】解：， DE AB 3 :EF BC2 4 ∴.DF=DE+EF=I0 【对应练习】 1.如图，AD∥BE∥CF,直线4、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F,若4B=4,BC=2,DE=3,则EF的长为() 、A E B A B.2 C.2 D.3 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例，即 可求出EF的长， 【详解】解：AD∥BE∥CF, AB DE .BC EF, .AB=4 BC=2 DE=3 4-3 2EF’ .EF=3 2· 故选：A. 2.如图所示，（∥4∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D AB 3 ，E,F,已知BC2,DE=18,则DF的值为 E B 【答案】30 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，关键是准确运用定理得到 对应线段的比例式.根据三条平行线截两条直线的比例关系，先由已知比例和 10 DE 的长度求出BF的长度，再通过线段和计算DF的长度. 【详解】解：4， AB DE 3 18 BC EF 2 EF 解得EF=12, .DF=DE+EF=18+12=30 故答案为：30 3.如图①，直线a∥b∥c,直线1和m被这组平行线所截，两直线相交于点 O,直线1和m与直线a、b、c分别交于A、B、C、D、F、F.点D是直线a上的 动点，已知AB=4,BC=BE=3,直线1与直线a所成的锐角为60°. m D B E 图① 图② DE (1)求EF的值. (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点D,使OE=EF. (3)当CF=5时，求AD的长. (4)作点B关于直线m的对称点B',当点AE、B三点共线时，直接写出CF的 11 长 4 【答案】(1) (2)如图，点D即为所求： m D a 图② 141 (3)4D的长为3或3 21+31321-3V13 (4)CF的长为4或4 【分析】(1)根据平行线分线段成比例求解： (2)以点E为圆心，BE为半径画弧，交AB于点O,作直线OE交a于点D,交 c于点F即可； (3)当点F在1右边时，证明△0E∽△0CP,得到C=,求0B-号， OB BE 2 01=0B-AB=2,0C=0B+BC AD OA 2,证明AOAD∽aOCF,得到CF=OC,然后 代入求解：当点F在1左边时，同理求解即可： (4)过点A作4G⊥BE于点G求出BG=2A4B=2,进一步利用勾股定理求出 12 AE=AG+GE=,当点B在线段B上时，过点0作OH1BE于点：过点 O作OI⊥AE于点I,过点E作E⊥AB于点)，由对称的性质得到∠BEO=∠AEO AE A0 13 然后得到OH=OL,然后利用等面积法得到BEBO3,设A0=3t, B0=,求出'-3，得到0B=3-9,0C=35-6, 然后利用相似三角 形的性质求解：当点B在线段AE延长线上时，同理求解即可. 【详解】(1)解：a∥b∥c,AB=4,BC=BE=3, DE AB 4 ∴·EFBC3: (2)解：作图略： 由作图得，BE=OE, :直线1与直线a所成的锐角为60°，ab ∴.∠ABE=60° ∴.△OBE是等边三角形 ∴.OB=BE=OE BC=BE=3, ∴.OB=BC .b∥c 13 0B_0E-1 :.BCEF ∴.OE=EF: (3)解：如图，当点F在1右边时， AD A B E b F .b∥c ∴.△OBE∽△OCF OBBE ∴.OCCF OB 3 .OB+35 9 ..OB= 2 241 ..OA=OB-AB=9_ +315 OC=0B+BC= 2, 2 2 .a∥c '.AOADOAOCF AD OA CF OC 1 AD 2 .515 2 14 :AD= Γ3； 如图，当点F在1左边时， D m a E 70 .b∥c ∴.△OBE∽△OCF OB BE ∴.OCCF OB 3 .3-OB5 9 .0B=8 :01=0B+AB=9+4= 1.0C=BC-0B=3-9=15 8 8， 88 .a∥c ∴.△OAD∽AOCF AD OA ∴.cF=oC 41 5=5 8 .:AD=41 3； 15 141 综上所述，4D的长为3或3； (4)解：如图，过点A作AG⊥BE于点G, ∠ABE=60°，AG⊥BE ∴.∠BAG=30° &6c-号B=2 GE-BE-BG=3-2=1 AG-VAB-BG2-2 4E-VAG+GE-3 当点B在线段AE上时，过点O作OH⊥BE于点H,过点O作OI⊥AE于点I,过 点E作E⊥AB于点J,如图， m D b B/HG 作点B关于直线m的对称点B',当点AE、B三点共线时， ∴.∠BEO=∠AEO .OH⊥BE,OI⊥AE ∴.OH=OI 16 ,EJ⊥AB 2AE.0 AO.EJ SAAOE SABOE BEOH 2 1BO-EJ AE A0 13 .BE BO 3 设A0=V13t,B0=31 .AO+BO=AB .131+3t=4 ∴.t=V13-3 :0B=3(Vi3-3)=313-9 ∴.OC=OB+BC=3V13-9+3=3V13-6 .b∥c .△OBE∽△OCF OB BE ∴.OcCF 3V13-93 ∴.3V13-6CF ,CF=21+3v3 4; 如图，当点B在线段AE延长线上时，过点O作OH⊥BE于点H,过点O作 17 OI⊥A 于点，过点E作1B 点， H B C 作点B关于直线m的对称点B,当点A、E、B'三点共线时， ∴.∠BEO=∠B'EO .OH⊥BE,OI⊥AE ∴.OH=OI .EJ⊥AB 1 S40E= -AE.OI AO.EJ S.BOE E.OH =BO·EJ 2 AE A0 13 ∴.BEBO3 设A0=V13t,B0=31 .AO=BO+AB .V13t=3t+4 ∴.t=V13+3 18 .0B=3(M3+3)=313+9 ∴.0C=0B-BC=3W13+9-3=3V13+6 .b∥c ∴.△OBE∽△OCF OB BE ..OC CF 3V13+93 ∴.33+6C℉ .CF=21-3v3 4; 21+3V1321-3v13 综上所述，CF的长为4或4 【题型3A字三角形】 【例3】如图，△ABC中，点D、E分别是边AB、BC上的点，且DEIAC,下 列结论错误的是( ) 0 E CE AD BE CE BE BC A.BC AB B.BD AD C.BD AB D. 19 DE BD AC AD 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质，列出正确的比例 式，逐一比对选项即可得出结论 CE AD 【详解】解：A··DEI AC,BCAB, 故该选项不符合题意： BE BD BE CE B·:DE‖AC,∴EC=AD,∴.BDAD,故该选项不符合题意； BE BD BE BC C.DEW AC,BC=BBDB 故该选项不符合题意： DE BD DE BD D··DE‖AC,·△BDE∽ABAC,AC=AB,无法得出AC=AD, 故该选项 符合题意： 【对应练习】 AD 2 1.如图，△ABC中，DE∥BC,AB5,SADE=4,则SAMc=( A.9 B.10 C.21 D.25 【答案】D 20 【分析】由平行线得出三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方 求解 【详解】，DElIBC, ∴.△ADE~△ABC, S.ADE= AD S.ac AB AD 2 AB=5,S.ADE=4, 44 S. =25 '.S.AnC =25 AD 2.如图，DEIRC,且D-2,求ADE与AHC的周长比为 B 【答案】2：3 AD -2得到B行，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可求 AD 2 【分析】由BD 解. AD=2, 【详解】解：：B AD 2 AB3’ 21 .DENI BC, .△ADE∽aABC, C.ADE=AD=2 C.AMC AB-3 3.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若∠A=40°，∠B=65°， ∠AED=75° D (1)求证：△ADE∽△ABC: (2)已知AD:BD=2:3,AE=3,求AC的长： (3)在(2)的条件下，若△ABC的面积为36，求△ADE的面积. 【答案】(1)证明：∠A=40°，∠B=65°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=75° .∠AED=∠C :∠A=∠A ∴.△ADE∽△ABC 5 (2)2 22 144 (3)25 【分析】(1)首先利用三角形内角和定理计算∠C的度数，因为∠A是两个三角 形的公共角，如果能得到另一组对应角相等，那么可根据两角分别相等的两个 三角形相似的判定定理证明相似： (2)由AD:BD=2:3可推出AD与AB的比值，因为已证两个三角形相似，所以 对应边成比例，结合AE的长度，代入比例式即可求解AC: (3)根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，因为已得 到两个三角形的相似比，结合△ABC的面积，即可求出△ADE的面积. 【详解】(1)略 (2)AD:BD=2:3, ∴.AD:AB=2:5 ·.'△ADEP△ABC ABAC,即C,解得4C= AD AE 23 21 15 ·AC的长为2； (3)△ADE∽△ABC, SADE AD )2 SABC S4E=4 AB), 即3625， 23 144 .S.ADE 25, 144 ·AADE的面积为25 【题型4X字三角形】 【例4】如图，已知D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC. 下列比例式中错误的是( D B AC AB AC CD DE AD A.AD AE B.AB BE C.BCAC D. AD AE AB AC 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，对各选项 进行逐一判断即可. 【详解】解：A、DE∥BC, AC=AB AD AE 故该选项正确； B、DE∥BC, 24 ACAB CD BE AC CD AB=BE,故该选项正确； C、DE∥BC, ,.∴△ADESAACB DE AD BC=AC,故该选项正确： D、DE∥BC, ADAE AC AB, 故该选项错误 【对应练习】 1.如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶 点，钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则AE的长为 C E 4v5 35 A.5 B.V5 C.25 D.5 【答案】A 25 【分析】利用网格平行线性质证明△ACE∽△BDE,得出线段比例关系，结合勾 股定理求解。 【详解】解：由图可知，AC∥BD, ∴.∠CAE=∠DBE,∠ACE=∠BDE ∴.△ACE△BDE , AE AC BE BD' 由网格可知AC=2,BD=3, AE 2 .BE3' AE 2 AB=5, 由勾股定理得B=V4+2=25 ∴AE=24B=45 5 AE 1 2.如图，ABICD,ED3,BC=12,那么EC= 【答案】9 AE BE 1 BE 1 【分析】由题意得出EDCE3,则BC=4,求出BE=3,即可求出结论. 【详解】解：：ABICD 26 AE BE 1 .EDCE3’ BE 1 .BC4' BC=12, .BE=3, .EC=12-3=9. 3.如图，点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长线上，且DE∥BC.若 D=2,B=6,4C=),D=4,求ME、BC的长. D A B 【答案】BC=12,AE=3 【分析】证明△ADE∽△ABC,再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可. 【详解】解：，DE∥BC, ∴.∠D=∠B,∠E=∠C, .△ADE∽△ABC, BC AC AB BC96 ∴.ED=AE=AD,即4=AE2, .BC=12,AE=3. 27 【题型5类A字三角形】 【例5】如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,AC,BC上的点，且 DE∥BC,BF∥B,若BF:C=2:3,MB=15,则BD=（ A.6 B.9 C.10 D.12 【答案】B 【分析】由题意易得四边形BFED是平行四边形，△EFC∽aABC,然后根据平行 四边形的性质及相似三角形的性质可进行求解. 【详解】解：.DE∥BC,EF∥AB, ∴.四边形BFED是平行四边形，△EFC∽aABC, EF CF .AB CB'EF =BD' .BF:FC=2:3,AB=15 ..EF=2AB=9 3 5 ∴BD=9 【对应练习】 28 1.如图，己知点D、R、F分别在△ABC的三边上，且DE∥BC,EF∥AB,则下 列等式不成立的是() E B AD AE AE BF EF CF A.AB AC B.EC FC C.AB CB D. AD FC BD BF 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A和B:根据△EFC∽△ABC可判 AD AEAE BF 断C;根据BDEC,ECFC可判断D. 【详解】解：DE∥BC, AD AE AB AC, 故选项A成立； .EF AB AE BF EC FC, 故选项B成立： .EF AB ,.△EFC∽△ABC EF CF ABCB,故选项C成立； 29 AD AEAE BF BD EC EC FC AD BF AD FC BD-FC,而选项D中为BD=BF, 故选项D不成立 2.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E,作ED∥AB, EF AC ,符到四边形DF,它的面积记为8，取5的中点5，作 E,D∥FB EE∥EF 得到四边形A ，它的面积记作S,照此提律，则8一 D D V3 【答案】209 【分析】首先由ED∥AB得出△CDE∽△CAB,根据相似三角形的性质得出 -1 =15 =4,根据4C的面积求出 15 44, ，S=X 44,求 13 11115 1=× 1 S2= 1x11x3 5=x-x-x-x 出 24,同理 2 2444, 24444,…,根 据规律可写出S,再将n取2024，计算即可得答案 【详解】解：连接AE, 30 D 的中点， 是边长为1的等边三角形， AB F .BC E△ABC .AE L BC, AC-CCC 2, 133 2 24, ED∥AB DE CE 1 ·ABEB2, ÷DE=AB :ED∥AB .△CDE∽△CAB S. -日. 5 :△ABC的面积是4， -15 S.m=4X4, S.ME=1 同理SBMc4, 15 ·.S=4X4, 31 &=5_x5lx5x5 4444424, 1 11x3S=xx-xY 2=Sr=2×4X 11113 同理 2 244, 2444, 111 3155 S2024 2 44“4×42×42m=20丽】 2024个 3.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连接DE,EF DE 1 ·己知四边形BFED是平行四边形，且BC=4. (1)若AB=8,求线段AD的长： (2)若△ADE的面积为2，直接写出四边形BFED的面积是 【答案】(1)2 (2)12 【分析】由四边形BFED是平行四边形，可得DEIBC,因此△ADE与△ABC相 似，这是解题的突破口. DE1 (1)因为相似三角形对应边成比例，所以结合BC4与AB的长度，即可求出 AD 的长 32 (2)因为相似三角形面积比等于相似比的平方，所以先求出△ABC的面积，再 减去△ADE和△EFC的面积，就能得到平行四边形BFED的面积，其中△EFC与 AABC 的相似比可由线段比例关系推导得出. 【详解】（1).四边形BFED是平行四边形， .'DEl/BC. .△ADEP△ABC. AD DE1 :.ABBC4 AB=8, AD 1 .84 .AD=2. 1 (2):AADE和△ABC的相似比为4， S4DE=2 .SMBc=2×16=32 又，平行四边形对边平行，EFAB, .△EFCr△ABC: AE 1 ,AC4, 33 EC 3 .AC4 3 即AEFC与AABC的相似比为4， :顶积比为6。 9 Smc=32×号=18 9 16 .S网边形FD=32-2-18=12 【题型6类X字三角形】 【例6】如图，在△ABC中，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F.则图中的相 似三角形有( )对. B A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【分析】设BE,CF交于点O,先得出LOFB=∠AFC=90°，∠OEC=∠AEB=90°， 再根据相似三角形的判定即可得. 【详解】解：如图，设BE,CF交于点O, 34 :BE⊥AC,CF⊥AB, ∴.∠OFB=∠AFC=90°，∠OEC=∠AEB=90°， 在△BOF和△BAE中， ∠OBF=∠ABE ∠OFB=∠AEB=90°， ∴.△BOFABAE, 在△BOF和△COE中， ∠BOF=∠COE ∠0FB=L0EC=90°， ∴.△BOFACOE, 在△COE和△CAF中， ∠OCE=∠ACF ∠OEC=∠AFC=90°， ∴.ACOEACAF, ∴.△BAEACOE,△BOFACAF, ∴.△BAEn△CAF, 35 综上，图中的相似三角形有6对. 【对应练习】 L.如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，过点A作AE⊥BD交BC于点E ,交BD于点F.若∠ADB=∠ABC,AD=3,CD=5,则DF的长为 A. 2-3 B.1 C.3 D. 【答案】B 【分析】先根据三角形外角的性质得∠ADB=∠CBD+∠C,再根据角平分线定义 得∠ABC=∠CBD+∠ABD,然后根据∠ADB=∠ABC可得∠ABD=∠C,进而说明 △ABDAACB 接下来根据相似三角形的性质求出M,最后根据勾股定理求出 答案即可. 【详解】解：：∠ADB是△BCD的外角， ∴.∠ADB=∠CBD+∠C. 36 .BD平分∠ABC, .∠ABC=∠CBD+∠ABD,∠CBD=∠ABD」 ,∠ADB=∠ABC, ∴.∠ABD=∠C=∠CBD, ∴.△ABD△ACB,BD=CD=5, AB AD ·ACAB’ .AC=AD+CD=3+5=8 .AB2=24 在RtAABF和Rt△ADF中，AB2-BF2=AD2-DF2, 即24-(5-DF)2=9-DF2 解得DF=1. 2.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于 点E,若BF:FD=3:1,BC=10,则CE的长为 【答案】4 【分析】取AE的中点G,连接GD,根据三角形中位线性质得GD‖CE, 37 D-CE,再证明BrnG0r,得二5-月，从而求得影-C5，然后 BE BF 3 2 根据BE+CE=BC=I0,代入即可求解. 【详解】解：取AE的中点G,连接GD, G ,D是AC的中点，G是AE的中点， .GD是△ACE的中位线， .GDIICE, CE, GD-2 ∴.△EBFAGDF BE BF 3 .'GD FD1, ∴.BE=3GD, BE+CE=BC=10, CE+CE=10 .2 ∴.CE-4 3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,点D在边BC上，点E在边AC上， 38 连接AD、BE,交于点F.已知CD=2BD, D AE (1)若AF=6DF,求EC的值. (2)若BD2=DF,AD,求证：BC2=3CE·AC. (3)在(2)的条件下，若AE:EC=1:2,判断△ABC的形状，并说明理由 【答案】(1)2 (2)证明：BD=DF.AD, BD FD .AD BD, 又：∠BDF=∠ADB, .△BDF∽△ADB ∴.∠FBD=∠BAD 即<CBE-<BAD 又·AB=AC, .∠ECB=∠DBA .∴△ECBADBA BC CE .AB BD, .CD=2BD 39 又：AB=AC, BC CE 3 .BC2=3CE.AC (3)解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下： AE:EC=1:2 EC EC EC 2 AC AE+EC1 EC+EC 3 CE-2AC 3 由(2)得BC2=3CE·AC, BC2=3x2AC.AC=2AC2 3 AB=AC .BC2 =2AC2=AC2+AB2 .△ABC 是等腰直角三角形。 【分析】(1)作AG∥BC,与BE的延长线交于点G,先根据平行证明 AG AF △GAFABDF,推出DBDF=6,再证AGAE-ABCE,根据对应边长成比例即 可求解： 40 (2)由BD'=DF·AD,∠BDF=∠ADB,证明△BDF∽△ADB,推出∠CBE=∠BAD BC CE 结合AB=AC证明△ECB∽ADBA,推出ABBD,通过等量代换即可证明 BC2=3CE·AC EC2 (3)由AB:EC=1:2可得AC=3,结合BC2=3CE·4C,可得 BC2=2AC2 =AC2+AB2 由勾股定理的逆定理可证明△MC是等腰直角三角形. 【详解】(1)解：如图，作AG∥BC,与BE的延长线交于点G, D .AF=6DF AF =6 .DE :AG∥BC ∴.∠GAF=∠BDF∠AGF=∠DBF ∴.△GAF∽ABDF AG AF ∴DBDF =6 .AG=6DB CD=2BD .BC=3DB 41 AG∥BC .∠GAE=∠BCE∠AGE=∠CBE .△GAE∽ABCE AE AG 6DB =2 .EC BC 3DB (2)略 (3)略 42 平行线分线段成比例 【知识解析】 知识点01 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点02 把已知线段AB五等分. 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法: 1.以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2.连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 【题型练习】 【题型1 A型平行线分线段成比例】 【例1】如图，直线，直线，与这组平行线依次交于点，，，，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解： ，故B正确； ，故C正确； ，即，故D正确； A选项的，即，不符合平行线分线段成比例定理，故A错误； 故选：A． 【对应练习】 1．如图，两条直线被三条平行线所截，已知，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则______． 3．【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”）    【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：．    【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________． 【题型2 X型平行线分线段成比例】 【例2】如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 【对应练习】 1．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，已知，，则的值为_____． 3．如图①，直线，直线l和m被这组平行线所截，两直线相交于点O，直线l和m与直线a、b、c分别交于A、B、C、D、E、F．点D是直线a上的动点，已知，，直线l与直线a所成的锐角为． (1)求的值． (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点D，使． (3)当时，求的长． (4)作点B关于直线m的对称点，当点三点共线时，直接写出的长． 【题型3 A字三角形】 【例3】如图，中，点D、E分别是边、上的点， 且， 下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质，列出正确的比例式，逐一比对选项即可得出结论． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，∴，无法得出，故该选项符合题意； 【对应练习】 1．如图，中，，，，则（     ） A．9 B．10 C．21 D．25 2．如图，，且，求与的周长比为_______ 3．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)在（2）的条件下，若的面积为，求的面积． 【题型4 X字三角形】 【例4】如图，已知D、E分别在的边、的延长线上，且．下列比例式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故该选项正确； B、， ， ，故该选项正确； C、， ， ，故该选项正确； D、， ，故该选项错误． 【对应练习】 1．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，那么________． 3．如图，点、分别在的边、的延长线上，且．若，，，，求、的长． 【题型5 类A字三角形】 【例5】如图，在中，，，分别是，，上的点，且，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得四边形是平行四边形，，然后根据平行四边形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【对应练习】 1．如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A． B． C． D． 2．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点E，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则________． 3．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，且． (1)若，求线段的长： (2)若的面积为，直接写出四边形的面积是________． 【题型6 类X字三角形】 【例6】如图，在中，，垂足分别是E，F．则图中的相似三角形有（     ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设交于点，先得出，，再根据相似三角形的判定即可得． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 综上，图中的相似三角形有6对． 【对应练习】 1．如图，在中，是的角平分线，过点作交于点，交于点．若，，，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 2．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 3．如图，在等腰三角形中，，点在边上，点在边上，连接、，交于点．已知． (1)若，求的值． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，判断的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $