培优专题 相似三角形与特殊四边形结合专项训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形与特殊四边形结合专项训练 1．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，在中，，，，四边形是的内接正方形，点D，E，F分别在边，，上，则正方形的边长是（     ） A． B．4 C． D． 4．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，平行四边形中，E，F分别为，边上两点，，，连接，交于点P，若平行四边形的面积为S，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 7．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（     ） A．27 B．36 C．24 D．38 8．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，在正方形中，对角线相交于点，点为上一点，于点，连接，若，，则的值为（     ）． A． B． C．7 D． 9．（25-26九年级下·全国·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 10．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 11．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，在轴上，，为中点，在轴上，，连接，若为轴正半轴上的点，且与相似，则点的坐标为________． 12．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接，则的长为______． 13．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）如图，矩形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，，过点作于点，当时，的长为__________． 14．（26-27九年级上·四川·期中）如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长______． 15．（26-27九年级上·四川·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，交于点，若是的中点，则的长为________． 16．（26-27九年级上·山东济宁·开学考试）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为________． 17．（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上的一个动点，为上的一个定点，则的最小值为________． 18．（2026·四川德阳·中考真题）如图，在矩形中，，点在边上，且，为边上一动点（含端点），连接，过点作的垂线，交矩形的边于点，当点在边上运动时，为了使点能落在边上（含端点），则的长度可以是_______（答案不唯一，只需写出一个整数即可）． 19．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）如图，四边形是正方形，连接，点是上一点，连接交于点，连接，过点作于点，连接．若，则的值为_______________． 20．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，平行四边形中，分别在边上，相交于点．若，，那么的值是______． 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 22．（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）如图所示，在矩形中，E是上一点，于点F． (1)求证：． (2)若，点E是边的中点，求的长． 23．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 24．（26-27九年级上·河北张家口·开学考试）如图，在正方形中，点、分别为边，上的点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长． 25．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为____________． 26．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 27．（26-27九年级上·四川·期中）如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)点为线段延长线上．连接，若，求的长． 28．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，矩形的对角线与相交于点O；，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：； (3)当时，求四边形的面积． 29．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F． (1)若平分，求证：； (2)若，，求的长度． 30．（26-27九年级上·全国·单元复习）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即如图①所示的矩形．他先通过对折找到边的中点E，再将沿着直线翻折得到，连结，小亮猜想． (1)【问题解决】小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：为边的中点， ． 将沿着直线翻折得到， ， ． 请你补全余下的证明过程． (2)【结论应用】如图①，在【探索发现】的基础上，若的面积为6，求矩形的面积； (3)如图②，在【探索发现】的基础上，过点作交线段于点F．若，则矩形的周长为______． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形与特殊四边形结合专项训练 1.(26-27九年级上黑龙江绥化阶段检测)如图，四边形DBCF为平行四边形，则图中相似的三角形共 有() B A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 2.(25-26八年级下山东东营期末)如图，在口ABCD中，E是BC上一点，连接DE,交对角线AC于 点本者B距=2 CE号AF=4,则CF的长为() B E 4.2 5 B. 5 C.8 n 3.(26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5,AC=12, 四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形，点D,E,F分别在边BC,AB,AC上，则正方形CDEF的 边长是() D 80 B.4 17 D. 4.(26-27九年级上·福建福州·阶段检测)如图，平行四边形ABCD中，E,F分别为AB,AD边上两点， AE=2BE,DF=子AF,连接AC,EP交于点P,若平行四边形ABCD的面积为S,则△CPF的面积 试卷第1页（共3页） 为() B.5 C. p. 5.(26-27九年级上陕西西安阶段检测)如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，连接BE,点F 在线段BE上，且BF=3EF,折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG,若AB=V10,则折痕 DG的长为() A.V10 B.2V5 c.2V10 D.4 6.(26-27九年级上辽宁本溪阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为2V5,E为边AB的中点，连接 CE,过点D作DF⊥CE,垂足为F,G为DF上一点，且DG=CF,则CG的长为() A D E A.V5 B.2V2 C.3 D.V30 7.(26-27九年级上·四川成都阶段检测)如图，矩形ABCD的边BC上有一点E,连接AE并延长交DC 的延长线于点F.己知△ABE的面积为12，且△ABE的面积与△CFE的面积比为4：1，则矩形ABCD 的面积为() D A.27 B.36 C.24 D.38 8.(26-27九年级上重庆期中)如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O,点M为CD上一点， 试卷第2页（共3页） BN⊥AM于点N,连接ON,若ON=22,BN=10,则DM的值为(). A.634 B.723 C.7 D.5V2 5 9.(25-26九年级下·全国·期中)如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G,F分别为AD,BC边 上的点.若AG=1,BF=2,∠GEF=90°，则正方形的边长为 C G 4 B E 10.(25-26八年级下·重庆期末)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点D作 DF⊥AE,垂足为点F.若AB=6,BE=8,AD=12,则DF= B E C 11.(26-27九年级上·陕西西安·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形， B,C在X轴上，BC=6,O为BC中点，A在y轴上，OA=4,连接OD,若E为x轴正半轴上的点，且 △AOE与△DAO相似，则点E的坐标为 B 12.(26-27九年级上山西太原·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是BC的中 点，连接AE,AF平分∠DAE交CD于点F,连接EF,则EF的长为· 试卷第3页（共3页） B 13.(26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测)如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=3,点E为CD的中点， 点P为边AB上一个动点，连接AE,PE,过点P作PQ⊥AE于点Q,当△PQE一△ADE时，AQ的长 为 14.(26-27九年级上·四川·期中)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=3.点E在边AB上，点F在边 CD上，点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长=· D C E B 15.(26-27九年级上·四川·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边 AB,BC上，AE=2cm,BD,EF交于点G,若G是EF的中点，则BG的长为 cm. A D E G 16.(26-27九年级上山东济宁·开学考试)如图，在口ABCD中，E是BC上一点，连接DE,交对角线 AC于点R,若能=AF=4,则CF的长为 D B 17.(26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试)如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=4,BC=5,对 试卷第4页（共3页） 3 角线BD=3,P为AD上的一个动点，Q为AB上的一个定点，则PQ+二PD的最小值为 D 0 B 18.(2026四川德阳中考真题)如图，在矩形ABCD中，DC=10,点E在边CD上，且CE=2,F为 BC边上一动点（含端点），连接EF,过点E作EF的垂线，交矩形的边于点G,当点F在边BC上运动时， 为了使点G能落在边AD上（含端点），则AD的长度可以是 (答案不唯一，只需写出一个整数即 可) G 19.(26-27九年级上·福建泉州阶段检测)如图，四边形ABCD是正方形，连接AC,点E是CD上一点， 睡接BE交AC于点F,连接AE,过点D作DG上AE于点G,连接GF,若GFCD,则的值为 E B 20.(26-27九年级上·江苏常州阶段检测)如图，平行四边形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上， A,B5相交干G,苦S-2.P-4,那么G的他是一 ED B 21.(26-27九年级上·全国课后作业)已知：如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, AC=2BC.求证：△BOC一△ABC. 试卷第5页（共3页） B 22.(25-26九年级上·四川眉山阶段检测)如图所示，在矩形ABCD中，E是CD上一点，BF⊥AE于 点F (I)求证：△ABF~△EAD」 (2)若AB=2,BC=3,点E是边CD的中点，求BF的长. D F E 23.(26-27九年级上·浙江温州·开学考试)如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F, 使CF=BE,连接DF,AF,CD交AF于点G (I)求证：四边形AEFD为矩形 (2)若AE=3,EC=2CF,CD⊥AF,求EF的长. 24.(26-27九年级上·河北张家口·开学考试)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边CD,AD上 的点，AE=BF,AE,BF交于点H (I)求证：AE⊥BF: 试卷第6页（共3页） (2)若AB=4,CE=1,直接写出FH的长. 25.(26-27九年级上·吉林长春·开学考试)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接 AC、BE,它们相交于点F,且∠ACB=∠ABE. (1)求证：△FEA一△AEB: (2)若AE=2,EF=1,则BF的长为 A E D F B 26.(26-27九年级上·陕西西安·阶段检测)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD 的中点，点F,G在AB上，EF⊥AB,OG‖EF. (1)求证：四边形OEFG是矩形： O若AD=10,BG=品求BD的长， E 0 B 27.(26-27九年级上·四川·期中)如图，在矩形ABCD中，连接BD,过A作AE⊥BD于H.交DC于 点E,AD=4. 试卷第7页（共3页） (I)求证：△ADE一△DCB: (2)若CD=8,求EH的长： B)点F为线段AE延长线上.连接CF,若EF=CF=BD,求DE的长. B D 28.(26-27九年级上·四川成都-阶段检测)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O:CD‖OE ,直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD,AD于点F,G,连接DE. (1)判断四边形CDEO的形状，并说明理由： (2)证明：CO=CG·FC: (3)当CD=4时，求四边形CDEO的面积. G B 29.(26-27九年级上全国·单元测试)如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE,AC与BD相 交于点O,BE与AC相交于点F. (I)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC: (2)若OF=3,EF=2,求DE的长度. 30.(26-27九年级上·全国单元复习)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了矩形纸张，即 如图①所示的矩形ABCD.他先通过对折找到AB边的中点E,再将△AED沿着直线DE翻折得到 试卷第8页（共3页） △AED,连结AB,小亮猜想AB‖DE, D D F E B A E B 图① 图② (1)【问题解决】小亮对上面AB‖DE的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：.E为AB边的中点， ∴.AE=EB .'将△AED沿着直线DE翻折得到△AED, .∴.AE=AE,∠DEA=∠DEA, ∴.AE=BE .∴.∠EAB=∠EBA. 请你补全余下的证明过程： (2)【结论应用】如图①，在【探索发现】的基础上，若AB:DE=3:5,△AEB的面积为6，求矩形 ABCD的面积： (3)如图②，在【探索发现】的基础上，过点A作AF‖AB交线段DE于点F.若AF=V3,DF=1,则 矩形ABCD的周长为一 试卷第9页（共3页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D D B B A 1.C 【分析】由题意得出DF‖BC,BD‖CF,进而得出相似三角形即可. 【详解】解：，四边形DBCF为平行四边形， .DF‖BC,BD‖CF ∴.△ADE~△ABC,△ADE~△CFE, ∴.△ABC一△CFE, ∴图中相似的三角形共有3对. 2.A 【分析】根据平行四边形的性质得到AD‖BC,AD=BC,进而证明△AFD一△CFE,利用相似三角 形对应边成比例即可求解. 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AD=BC, .△AFD一△CFE, .AF=AD CF CE :BE、2 'CE 3' ∴.设BE=2k,CE=3k,则BC=BE+CE=5k, ∴.AD=BC=5k, .AF=5k_5 CF 3k 3' .AF=4, 3 4_5 解得CF=12 3.A 【分析】设正方形的边长为X,证明△BDE一△BCA,列出比例式进行求解即可. 【详解】解：设正方形的边长为X, 答案第1页（共2页） DE=CD=x,BD=BC-CD=5-x, :四边形CDEF是Rt△ABC的内接正方形， .DE‖AC, ∴.△BDE一△BCA, BDDE 5-X=x 512 +s60 7, E力CDTF边长是罗 4.D 【分折1过万作EGAD交AC于G由AC:AB-2:3,得△ADG-△ABC,放EG=号AD, AG=号AC,结合AP号AD得EG=AC,E△ECP≌△FAPIASAI,推出AP=吉AC,再由同商三 3 形面积比等于底之比，逐步计算得SACPF: 【详解】解：AE=2BE, .AE:AB=2:3, DF=号A, .AF:AD=2:3, 过点E作EG‖AD,交AC于点G,如图： E G p ABCD D 四边形 是平行四边形， .AD BC, EG‖BC. .∴.△AEG一△ABC, EG AEAG2 BCAB AC-3' G-号nc-号D.AG-号Ac 答案第2页（共2页） .EG‖AF, .∴.∠GEP=∠AFP,∠EGP=∠FAP, 又：EG-号AD,An-号AD, ∴.EG=AF 在△EGP和△FAP中， ∠GEP=∠AFP EG=FA ∠EGP=∠FAP .∴.△EGP≌△FAP|ASA, ∴AP=PG :.AP=1AG, 2 :AP=号xAC=号AC,PC=AC-AP=AC, 23 3 3 ·平行四边形对角线平分面积， :△ACF与△CDF同高， ,面积比等于底的比AF:FD=2:1, 2 _2S_S SAACF-3SAACD=23 :△CPF与△AFP同高， .面积比等于底的比PC:AP=2:1, 2 =2×=2s. S&cr3 SAACF-5×3g 5.D 【分析】通过构造辅助线充分利用BF=3EF的条件，再结合AB=V10利用相似三角形列方程. 【详解】 ME D ---- NG 答案第3页（共2页） 过点F作MN⊥AD,交AD、BC于点MN, ,四边形ABCD为矩形， AD‖BC, ∴.∠MEF=∠NBF, 又，∠FME=∠FNB=90°， ∴.△FME一△FNB, MF_EF ·NF-BF' .BF=3EF, 樱 由∠A=∠ABN=∠BNM=90°可得四边形ABNM为矩形， ∴.MN=AB=10, r=N-30Mr子w四 4 4 由折叠的性质可得CD=DF=10,∠C=∠DFG=90 在Rt△FMD中，由勾股定理得MF2+MD2=DF2即MD=IOP-得 0-56, 4 4 .∠MDF+∠DFM=∠DFM+∠NFG=90, ∴.∠MDF=∠NFG, 又，∠DMF=∠FNG=90°， ∴.△MDF-△NFG, MD-FN。 5V63V10 DFFG即4 4二，解得FG=6, R10 FG ∴在Rt△DFG中，由勾股定理得DF2+FG2=DG2,即DG=102+旧/6=4 6.B 【分析】先利用正方形的性质和DF⊥CE证明△BCE一△FDC,推出DG=CF=FG=号DE,再利用 勾股定理求出CF=2,即可求解. 【详解】解：四边形ABCD是正方形， .∠B=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD=2V5, 答案第4页（共2页） .∠BCE+∠DCF=90°， ,DF⊥CE, ∴.∠DFC=90°=∠B,∠FDC+∠DCF=90°， ∴.∠FDC=∠BCE, .△BCE~△FDC, DE=BC 'FC BE :E为边AB的中点，AB=BC, ∴.BC=2BE :DE=BC=2,即DF=2FC. FC BE .DG=CF, ..DF=2DG, DG=CF=FG-DF 根据勾股定理得：CD2=25}=DF2+CF2=5CF2 解得：CF=2(负值舍去)， CG-RCF+GF2-22 7.B 【分析】先证明△ABE一△FCE,由面积比得到相似比，推出线段比例，再求出△ADF的面积，减去 △CEF面积得到四边形AECD面积，最后加上△ABE面积得到矩形面积. 【详解】解：.四边形ABCD是矩形， ∴.ABDF,AB=CD,AD=BC, .∴∠B=∠ECF,∠BAE=∠CFE, ∴.△ABE一△FCE, .AB:CF=BE:CE」 SAABE:SACFE=4:1,SAABE=12 ∴.SACFE=3,相似比AB:CF=V4:1=2:1. ∴.BE:EC=2:1,AB=2CF, ..DF=DC+CF=3CF,BE:BC=2:3, 答案第5页（共2页） ..AB:DF=2CF:3CF=2:3, △ABE与△ADF,高的比BE:AD=BE:BC=2:3,底的比AB:DF=2:3, .SAABE:SAADF=4:9, '.SAADF=27 ,.S四边形AECD=SAADF-SACFE=27-3=24. ∴.S矩形ABcD=S△ABE+S四边形AEcD=12+24=36。 8.A 【分析】由正方形的性质可得OA=OB,AC⊥BD,∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD,令AC与 BN交于点E,作OK⊥ON交BN于点K,证明△AON≌△BOK AAS,得出OK=ON,AN=BK, 从而可得△OKN为等腰直角三角形，求出KN=V2ON=4,则AN=BK=6,结合勾股定理可得 AD=AB=2RV34,证明△ADM-△BNA可得DM=DA NA -BN 代入相关数据计算即可， 【详解】解：，四边形ABCD为正方形， .OA=OB,AC⊥BD,∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD, 如图，令AC与BN交于点E,作OK⊥ON交BN于点K, D K M .∠KON=∠AOB=90°， ∴.∠KON-∠AOK=∠AOB-∠AOK, ∴.∠AON=∠BOK, .BN⊥AM, .∠AWB=90° .∠AEN+∠EAN+∠ANE=180°，∠OBE+∠OEB+∠EOB=180°且∠AEN=∠OEB, .∠OBE=∠EAN. 在△AON和△BOK中， ∠OAN=ㄥOBK ∠AON=∠BOK OA=OB ∴.△AON≌△BOK AAS, 答案第6页（共2页） ∴.OK=ON,AN=BK, ∴，△OKN为等腰直角三角形， .ON=22 .KN=2ON=4, ..AN=BK=BN-KN=6, AB-AN2+BN2-2834' ∴.AD=AB=234, ,∠ADC=∠BAD=90, ∴.∠AMD+∠MAD=∠BAN+∠MAD=90°， ∴.∠AMD=∠BAN, .∠BNA=∠ADM=90°， .△ADM-△BNA, DM DA NA BN' 器 DM=634 51 9. 22 AEAG 【分析】先根据正方形的性质说明△AEG一△BFE,可得 再代入数值可得答案。 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠B=90°. ,∠GEF=90°， ∴.∠AEG+∠BEF=180°-∠GEF=90°， .∠AEG+∠AGE=180°-∠A=90°， .∠AGE=∠BEF, .△AEG一△BFE, ..AE=AG BF BE ,点E是AB的中点， 答案第7页（共2页） ∴.AE=BE .AG=1,BF=2, 受证 即AE2=2, 解得AE=V2, ..AB=2AE=22 所以正方形的边长为22. 10.7.2 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合DF垂直AE得到另一组直角相等，证 出△ABE与△DFA相似；再在直角三角形ABE中用勾股定理算出斜边AE,最后根据相似三角形对应边 成比例列等式，代入已知边长求出DF的长度. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， ∴.ADBC,∠B=90°， ∴.∠DAF=∠AEB, DF⊥AE, .∠AFD=90°=∠B, 在△ABE和△DFA中， ∠AEB=∠DAF ∠B=∠AFD .△ABE一△DFA, 常浩 在Rt△ABE中，AE=√AB+BE=VG+8=10 .AB=6,AE=10,AD=12, 08 DF=6x12=7.2 10 答案第8页（共2页） 【能I解：白△A0E与△a10帽饮.可得沿8品沿沿 D B E 当AD-A Ao OE 时，点E即如图点E, :四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD=BC=6, 此时有AO=AD·0E,即OE=5=/ D B E主 当AD=OE 时，E即如图点E2, AO AO AD OE26 OE2 0A0有44，解得0E,=6, 由 E26,0 综上点B的坐标为8,0或6,0 3 12.910 【分析】延长AF,交BC延长线于点G,由矩形性质可得AD=BC=6,AB=CD=4,AD‖BC, 答案第9页（共2页） ∠B=∠BCD=90°，则△ADF-△GCF,所以AD=DF GGCE,通过勾股定理求得AE=5,然后由角平 分线定义和平行线的性质得∠EAF=∠G,所以AE=≥=5，故CG=之~EC=2,然后代入A0-DP GC CF 求得CF=1,最后通过勾股定理即可求解. 【详解】解：如图，延长AF,交BC延长线于点G, G ,四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=6,AB=CD=4,ADBC,∠B=∠BCD=90°， ∴.△ADF~△GCF, AD-DF 'GC CF' :点E是BC的中点， ∴BE=CE=BC=3, 在Rt△ABE中，AE=AB2+BE-/4+3=5 AD‖BC ∴.∠DAF=∠G, .AF平分∠DAE, ∴.∠DAF=∠EAF, ∴.∠EAF=∠G, .AE=≥=5， ∴.CG=≥-EC=5-3=2, 9器 ∴.DF=3CF, CD=DF+CF=4. .CF=1, 答案第10页（共2页) 在Rt△ECF中，EF=VCF'+CE=T+3-yI0即EF的长为y10 【分析】根据相似三角形的性质可得∠DEA=∠PEQ,过点E作EF⊥AB于点F,则∠EFP=90°， 可得到四边形ADEF是矩形，从而得到AF=DE=4,EF=AD=3,进而得到AP=PE,根据等腰三角形 三线合一计算即可. 【详解】解：矩形ABCD中，，AB=8,AD=3, ∴.BC=AD=3,CD=AB=8,ADBC,ABCD,∠ADE=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°， ,点E为CD的中点， ∴.DE=CE=4, .PQ⊥AE, ∴.∠PQE=90°， ∴.∠ADE=∠PQE, .△PQE△ADE, .∠DEA=∠PEQ, 如图，过点E作EF⊥AB于点F,则∠EFP=90°， D ∴.∠ADE=∠DAF=∠AFE=90°， .四边形ADEF是矩形， ..AF=DE=4,EF=AD=3, 六AE=-AF2+EF2=5 .AB DC .∠DEA=∠EAP, .∠DEA=∠PEQ, ∴.∠PAE=∠AEP, ∴AP=PE, .PQ⊥AE, 答案第11页（共2页） aQ 2 4早 【分析】连接EF,菱形的对角线互相平分且垂直，矩形每个角都是直角，对边平行且相等，从而证明 △CFO≌△AOE,利用勾股定理求出AC的值，得到AO的值，利用两角相等的两个三角形相似证明 △AOE一△ABC,用相似比求出答案. 【详解】解：连接EF交AC于O, D G B ,四边形EGFH是菱形， ∴.EF⊥AC,OE=OF, ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠D=90°，ABCD, .∴.∠ACD=∠CAB, 在△CFO与△AOE中，i, .∴.△CFO≌△AOE AAS, .∴.A0=CO, .:AC=VAB+BC2=39/51 A0=号AC=35 2 .·∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°， .∴.△AOE△ABC, ..AOAE AB AC 3V5 名始 ·AE=15 4 15.V13 答案第12页（共2页) 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm,∠ABC=∠C=90°，AB‖CD,从而可得 ∠ABD=∠BDC,然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG,进而可得∠BEG=∠BDC,再 证明△EBF一△DCB,利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，用勾股定理求出 EF的长，即可得到BG的长. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=6cm,∠ABC=∠C=90°，AB‖CD, ∴.∠ABD=∠BDC, .AE=2cm, .BE=AB-AE=6-2=4 (cm) G是EF的中点， G=c号 ∴.∠BEG=∠ABD, .∠BEG=∠BDC, 又，：∠ABC=∠C=90° ∴.△EBF一△DCB, EBBF :DC CB “合 .BF=6, .'EF=BE2+BF2=42+62=29/13cm .BG=号EF=9V13(am). 6号 【分析】根据平行四边形得到AD‖BC,AD=BC,然后可得△AFD一△CFE,再由相似三角形对应 边成比例求解即可 【详解】解，四边形ABCD是平行四边形， ..AD BC,AD=BC, ∴.△AFD一△CFE, 答案第13页（共2页） :A迟=AD CF CE ..BE_2 CE 3' ∴.设BE=2k,CE=3k,则BC=BE+CE=5k, ..AD=BC=5k, 器0發号 .AF=4, 4_5 CF3 CF=12 17.3 【分析】过P作PE⊥CD,交CD延长线于E,过Q作QF⊥CD,交CD延长线于F,连接QE,证明 △BCD-△PDE,求出PE=号PD,可得PQ+DP=PQ+PE≥QE≥QE,然后证明四边形BDFQ 是矩形，可得BD=FQ=3,进而可得答案. 【详解】解：如图，过P作PE⊥CD,交CD延长线于E,过Q作QF⊥CD,交CD延长线于F,连接 QE,则∠PED=∠QFD=90°， F 0 ,四边形ABCD为平行四边形，AB=4,BC=5,BD=3, ∴.CD=AB=4, 32+42=52, .∴.BD2+CD2=CB2, ,△BCD是直角三角形，∠CDB=90°， .四边形ABCD为平行四边形， ∴.CDAB,ADBC, .∴.∠C=∠EDP,∠CDB=∠FDB=∠DBA=90°， 答案第14页（共2页) .∴.∠PED=∠CDB=90°， ∴.△BCD△PDE, ·PE-BD_3 ·PDBC5 Eep. PQ+3DP=PQ+PE≥QE≥QF, .·∠FDB=∠DBA=∠QFD=90°， ∴.四边形BDFQ是矩形， ∴.BD=FQ=3, :当P是FQ与AD交点时，PQ+3DP=PQ+PE=QE=QF=3, 5 枚PQ+居PD的最小省为3， 18.4(答案不唯一，大于等于4的整数即可) 【分析】证明△DGE一△CEF,得到DG·CF=16,设AD=BC=x>0,构造不等式解答即可. 【详解】解：当点G能落在边AD上（含端点）时，如图， ,四边形ABCD是矩形， .∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC, U⊥EF, ∴.∠GEF=90, .∠GDE=∠ECF=90°，∠DEG=90°-∠CEF=∠CFE, ∴.△DGE一△CEF, DG=CE 'DE CF DC=10,CE=2, ∴.DE=DC-CE=8, 答案第15页（共2页） 些品 .DG·CF=16, 设AD=BC=x>0, ,点F在边BC上运动，点G能落在边AD上（含端点）， ∴.0≤DG≤X,0≤CF≤X, x2≥DG·CF, 即x2≥16， .X≥4， 故AD的值答案不唯一，可以为4（大于等于4的整数即可)· 19. 5-1 2 【分析】设正方形ABCD边长为a,DE=x,则CE=a-X,由ABCD得到△ABF一△CEF,从而 AG_AF FC a-x ,再根据GFCD,利用平行线分线段成比例得到G正FC:在Rt△ADE中借助面积法与 勾股定理求出AG与GE:计算得到AC-g,联立建立方程求解出DE'再代入化简求出CE即可. GE x DE 【详解】解：设正方形ABCD边长为a,DE=X,则CE=a-X, .AB‖CD .△ABF一△CEF, .GF‖CD, AG=AF-a GE FC a-x 在Rt△ADE中，AD=a,DE=X, ..AE=VAD2+DE2=Va2+x2 .DG⊥AE, SaAE号AD×DE=号AEx DG, 答案第16页（共2页） ∴DG=AD×DE=ax AE Va+x 在Rt△ADG中，AG=AD-DG=Q-gX aa+x-ax a a2+x2 a2+x2 Va+x2 Va+x R△G-DE-DG-父- =x4 a2+x- a2+x2 Va2+x2 Va+x2 ·AG=a, …GE 0sa2, a-x x2 1 q-xx ∴.x2=aa-x' ∴.x2+ax-a2=0, ‘x>0, X=-a+a2+4a. 只5-1a, 2 2 ∴DE=S-1la 2 .∴.CE=a-X=a- 5-1a_3-5a 2 2 3-V5 院 20 3-5_3-V5V5+1_5-1 V5-1.5-15-1川5+12 -a 2 20. 8 15 【分析】延长AF、BC交于点H,由平行四边形的性质得AD=BC,AD‖BC,可证明 答案第17页（共2页） AE=2,得 △ADF-△IcF.为e8F-4.则HC-An-号c,所以HR=号c,由 4 4 4 2BC AE=号AD-号BC,再证明△AGE-△HGB.则EEAE 3 3 =8 父B5一15，于是得到问题的答案. 41 【详解】解：延长AF、BC交于点H, B CH :ABCD是平行四边形， ..AD=BC,AD BC, .△ADF~△HCF, :40=DE=4, HC CF :.HC=1AD=IBC, 4 4 即HB=5BC, Ag=2, ED .AE=2AD=2BC. 3 3 AD‖BC, ∴.△AGE一△HGB, 2BC EG_AE 8 GB HB 15 4 21.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .OC=TAC, .AC=2BC, 答案第18页（共2页) ∴AC2=2BC2, BC2=号AC2=0CAC BC_AC OCBC .∠BCO=∠ACB, ∴.△BOC~△ABC BCAC 【分析】证出OC=BC1 由相似三角形的判定可得出结论. 【详解】略 22.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=∠D=90°， .∴.∠EAD+∠BAF=90°， ,BF⊥AE, ∴.∠AFB=90°=∠D,∠ABF+∠BAF=90°， .∠ABF=∠EAD, ∴.△ABF一△EAD, (②BF=3/10 5 【分析】(1)根据矩形的性质、直角三角形的性质求出∠APFB=90°=∠D,∠ABF=∠EAD,根据 “两角对应相等的两个三角形相似”即可得解： (2)由矩形的性质得AB=CD=2,BC=AD=3,DE=CD=1,根据勾股定理求出AE=10,再根 2 据相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：，四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=3,点E是边CD的中点， AB-CD=2,BC=AD-3.DE-CD=1. AE=-AD2+DE=32+1=R101 ,△ABF~△EAD, BF-AB AD AE 答案第19页（共2页) BF2 .3101 BF=310 23.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD‖BC且AD=BC, 又，CF=BE .'BC=EF, ∴.AD‖EF且AD=EF, .∴.四边形AEFD为平行四边形. .AE⊥BC, ∴.∠AEF=90°， ∴.四边形AEFD为矩形. (2)3V3 【分析】本题考查平行四边形，矩形的判定与性质，相似三角形的判定.第一小问的解题关键点是先通 过边的等量代换证明四边形AEFD是平行四边形，再结合垂直条件证得矩形，第二小问通过设参数证明 相似三角形建立方程求解EF的长度. 【详解】(1)略. (2)解：设CF=x, EC=2CF, ∴.EC=2x,EF=3x .四边形AEFD为矩形， .∠ADF=∠DFC=90°，AD=EF=3X,DF=AE=3, .∴.∠ADG+∠GDF=90° .∵CD⊥AF, ∴.∠DGA=90°， .∴.∠GAD+∠GDA=90 .∠GAD=∠GDF ∴.△ADF△DFC, 品器 3x=3 即 3 x 解得x=3:X,=-3(舍)· 答案第20页（共2页) .EF=3x=3V3. 24.(①)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DA,∠BAF=∠D=90°， .∠DEA+∠DAE=90, 在Rt△ABF和Rt△DAE中， BF=AE AB-DA :.Rt△ABF≌Rt△DAE HL, .∠AFB=∠DEA, ∴.∠AFB+∠DAE=90°， ∴.∠AHF=180°-∠AFB+∠DAE=90°， ∴.AE⊥BF 明 【分析】(1)先证出Rt△ABF≌Rt△DAE,则∠AFB=∠DEA,再得出∠AHF=90即可得证； (2)先求出DE,AE,AF的长，再证出△AHF一△ADE,根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】(1)略， (2)解：，四边形ABCD是正方形，AB=4, ∴.AD=CD=AB=4,∠D=90°， CE=1, .DE=CD-CE=3, 在Rt△ADE中，AE=AD2+DE=5 由(1)已证：Rt△ABF≌Rt△DAE,∠AHF=90°， ∴.AF=DE=3, 在△AHF和△ADE中， ∠AHF=∠D=90° ∠HAF=∠DAE ∴.△AHF一△ADE, FH_AF ·DEAE' 即阻=3 35 解得H号 答案第21页（共2页) 25.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， .AD‖BC, ∴.∠EAF=∠ACB, .'∠ACB=∠ABE, .∴.∠EAF=∠ABE ·∠AEF=∠AEB, ∴.△FEA一△AEB (2)3 【分析】(1)利用平行四边形的性质得到AD‖BC,进而可证∠EAF=∠ABE,再根据 ∠AEF=∠AEB即可得证： (2)设BF=x,则BE=X+1,根据相似三角形的性质可得AE=EE 据此列方程即可得解。 BE AE 【详解】(1)略 (2)解：设BF=X,则BE=X+1, .△FEA一△AEB, 能是 ·2=1 X+121 X=3, .BF=3. 26.(①)证明：，四边形ABCD是菱形， ..OB=OD .E是AD的中点， .∴.OE是△ABD的中位线 ∴.OE‖FG OG‖EF, ∴四边形OEFG是平行四边形. .EF⊥AB, .∴.∠EFG=90°， ∴.四边形OEFG是矩形： (2)6 答案第22页（共2页) 【分析】(1)利用菱形的性质可得OB=OD,从而得OE是△ABD的中位线，推出OE‖FG,又由平 行四边形的定义可得四边形OEFG是平行四边形，利用一个角是直角证明矩形 (2)证明△BGO一△BOA,即可由对应线段成比例求出BO的长，进而得出结论. 【详解】(1)略 (2)解：.四边形ABCD是菱形， .∴.BD⊥AC,即∠AOB=∠AOD=90°，AB=AD=10, 由(1)知四边形OEFG是矩形， ∴.∠OGB=∠OGF=90°=∠AOB, .∠OBG=∠ABO, ∴.△BGO~△BOA, BGBO 'BO BA' 9 即10B0, BO 10 解得BO=3, .∴.BD=2BO=6. 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、 相似三角形的判定和性质、勾股定理.熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是 解题的关键， 27.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠ADC=∠DCB=90°， ∴.∠ADH+∠CDB=90°， ,AE⊥BD, ∴.∠AHD=90°， .∠ADH+∠DAE=90°， ∴.∠DAE=∠CDB .△ADE一△DCB 2 (3)25-2 【分析】(1)由四边形ABCD是矩形，可得∠ADC=∠DCB=90°，∠ADH+CDB=90°，再由 答案第23页（共2页） AE⊥BD,可得∠ADH+∠DAE=90°，则∠DAE=∠CDB,即可证明结论： (2)由四边形ABCD是矩形，AD=4,CD=8,可得DB=4V5,由△ADE一△DCB,可得DE=2, 再证明△HDE一△CDB,即可求解： (3)过点F作FT⊥DC于点T,证明△FTE~△DCB,可得ET=2,EC=4,则DC=DE+4,再由 △ADE一△DCB,可得DC·DE=16,即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：四边形ABCD是矩形，AD=4,CD=8, ..BC=AD=4,AB=CD=8,DCB=90, 在Rt△DCB中，DB=DC2+BC-82+4=R64+16=45 由(1)可知，△ADE一△DCB, 認器号吧 84 DE=4X4=2, 8 .AE⊥BD, .∠EHD=90°， .∴.∠EHD=∠DCB=90°， ,∠HDE=∠CDB, △HDE-△CDB, BC DB 4_4V5 小HEDE, 即 HE 2 HE=4×2-25 4V55 (3)解：如图，过点F作FT⊥DC于点T,则∠FTE=90°， .EF=CF, 答案第24页（共2页) ET-1C-EG, ,四边形ABCD是矩形，AD=4, ∴.∠ADC=90°，BC=AD=4, .∠ADC=∠FTE, .∠AED=∠FET, ∴.△ADE一△FTE, 由(1)可知，△ADE一△DCB, .△FTE△DCB, AD_DE DC BC 品既 DC·DE=AD·BC=16, EF=CF=1BD, BD ∴.ET_EF_2 1, BC BDBD 2 42, .EC=2ET=4, .∴.DC=DE+EC=DE+4, .DC·DE=16 .DE+4DE=16, DE2+4DE+4=16+4即DE+2P=20 DE+2=±2PV5, DE=25-2或DE=-2V5-2(舍去). 28.(1)证明：四边形OCDE是菱形， 理由如下： ,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, 0c=0D-号Ac-BD, ,直线CE是线段OD的垂直平分线， ∴.CO=CD,EO=ED, 答案第25页（共2页） .CO=CD=OD,即△COD是等边三角形， ∠0CD=∠CD0=∠D0C=60,∠0CF=∠DCF= ∠OCD=30°， .CD OE, .∴.∠EOD=∠CDO=60°， ∴.△EOD是等边三角形， ∴.CO=CD=EO=ED, .四边形OCDE是菱形. (2)证明：，CE是线段OD的垂直平分线， .DO⊥CE,CO=CD. .∠DFC=∠CDA=90°， 又，∠DCF=∠DCG, ∴.△DCF-△GCD, 恶光 ∴.CD=CFCG, ∴.C02=CGFC. (3)8V3 【分析】(1)证明△COD和△EOD是等边三角形，即可推出四边形OCDE是菱形. (2)证明△DCF一△GCD,可得- CFCD CD CG ,CD=CFCG,结合CD=CO即可得到结论. (3)利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF和CF的长，利用菱形的性质得到 EF=CF=2V3,进一步可得面积. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：CD=4,△OCD为等边三角形， ∴.OC=OD=CD=4, :直线CE是线段OD的垂直平分线，且∠DCF=30°， .DF-CD=2,CF=3DF=2V3. 由(1)得四边形OCDE是菱形， EF=CF=2/3, :.CE=43, 答案第26页（共2页) ∴四边形0CDE的面积为：2×4×43=83. 29.(1)证明：如图，在矩形ABCD中，OD=OC,AB‖CD,∠BCD=90°， 5 ∴.∠2=∠3=∠4∠3+∠5=90° DE=BE, ∴.∠1=∠2 又BE平分∠DBC, ∴.∠1=∠6， ∴.∠3=∠6， .∴.∠6+∠5=90°， .∠BFC=90°， ∴.BF⊥AC. (2)DE=3+V19 【分析】(1)由矩形的性质得到∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90°，然后结合DE=BE得到∠3=∠6， 然后等量代换推出∠BFC=90°，即可证明： 2)证明△BCr-△0BF,得6-83。第出30A=2B趾+9.然后证所ABAF-AOnF,到 E-器推6r-3OA+3=33+号nF求出BF=1+西进面求解可 BE AF 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知∠1=∠2=∠3. 又.'∠EFC=∠BFO, ∴.△ECF一△OBF, EF_CF OF BF ·2=CF 2 ·3BF 即CF=BF, 3 答案第27页（共2页） :OA-OC-OF+FC-3+2BF, 3 .3OA=2BF+9. 由(1)可知∠1=∠2=∠4. 又.'∠BFA=∠OFB, ∴.△BAF一△OBF, ·OF_BF ·BFAF1 .∴.BF2=OF·AF, BF2=310A+3=33+2BF 3 解得BF=1+19(负值已舍去)， .∴.DE=BE=EF+BF=2+1+V19=3+19. 30.(1)证明：.E为AB边的中点， ∴.AE=EB .将△AED沿着直线DE翻折得到△AED, ∴.AE=AE,∠DEA=∠DEA, ∴.AE=BE, ∴.∠EAB=∠EBA, .·2∠DEA=∠AEA=∠EAB+∠EBA=2∠EBA, ∴.∠DEA=∠EBA, .AB‖DE: (2)S知形ABCD=40 (3)43+26 【分析】(1)由折叠的性质可得出结论： (2)连结AA交DE于点M连接BD,设AB=3X,则DE=5x,DM=弓x,再证明 △AME-△DMA,可得AM=Z 2 x,从而得到AA=2AM=V21x,然后证明△AAB一△DAE, 即可求解； (3)连结AA交DE于点N,设FN=EN=y,根据△ANE一△DAE,可得y的值，从而得到 FN=EN=1,DE=3,AD=6,即可求解 答案第28页（共2页） 【详解】(1)略 (2)解：如图，连结AA交DE于点M,连接BD, D 根据题意设AB=3x,则DE=5x. .E为AB的中点，M是AA的重点， :.ME=1AB-3x ..DM-DE-ME-7x, 由折叠的性质得：AA⊥DE,AA=2AM,即∠AME=90°， .∴.∠ADM+∠DAM=90°， 又.'∠MAE+∠DAM=90 .∠MAE=∠ADM, 又.'∠AME=∠AMD=90, .∴.△AME一△DMA, .AM=ME ·DMMA 7 MA 2 AM=2x《负值已合去)， 2 ..AA=2AM=21x, .DE‖AB,∠EMA=90, ∴.∠AAB=180°-90°=90°， .AB=VAA2+AB2=30x' .'∠AAB=∠ADE,∠AAB=∠DAE=90°， 答案第29页（共2页) ∴.△AAB一△DAE, 、SAAAB=AB2 30x-6 SAADE DE 5x :E为AB的中点，S6AEB=6 .SAAAB=2S△AEB=12' ..SAADE=10, .SAABD=2S△ADE=20 .S矩形ABCD=2S△ABD=40; (3)解：连结AA交DE于点N,如图， .AF‖AB ∴.∠AFE=∠AED, ,'∠AED=∠AED, ∴.∠AFE=∠AEF, .'.A'E=A F=83, ∴.AE=AE=V3, .AB=23, 由折叠的性质得：AA⊥DE, ∴.FN=EN, 设FN=EN=y, .∠NAE=∠ADE,∠ANE=∠DAE, .∴.△ANE-△DAE, AE=NE ·DEAE .3-y …1+2y31 解得y=1(y=-3金 2舍去)， 答案第30页（共2页） .∴.FN=EN=1, .∴.DE=3, ∴.AD=DE2-AE=V6 ∴.矩形ABCD的周长=2AB+AD=223+V6=4V3+2V6 答案第31页（共2页）