专题二探索三角形相似的条件（七大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

探索三角形相似的条件 【知识解析】 知识点01 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02 相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：此方法判定两个三角形是否相似，重点是求出对应三边的比，若三边对应成比例，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【题型练习】 【题型1 两角对应相等，两个三角形相似】 【例1】已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 【对应练习】 1．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 3．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【题型2 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 【例2】 如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似． 根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 【对应练习】 1．如图，在中，点在边上，则下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 3．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【题型3 三边对应成比例，两个三角形相似】 【例3】如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 【对应练习】 1．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 3．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【题型4 判断三角形相似】 【例4】与按如图所示的位置摆放，点在边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定条件是解题的关键，逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 选项B：添加，两边对应成比例，夹角相等，则，不符合题意； 选项C：添加，无法判定,符合题意； 选项D：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 故选C． 【对应练习】 1．下列各条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 3．已知：如图，，，分别为的高和中线，，分别为的高和中线．求证：． 【题型5 添一个条件使两个三角形相似】 【例5】如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 【对应练习】 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 3．如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【题型6 与三角形相似有关的多结论题】 【例6】如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【对应练习】 1．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有______个． 3．如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【题型7 三角形相似的证明综合题】 【例7】如图，已知，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，则可证明，，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【对应练习】 1．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 3．如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 探索三角形相似的条件 【知识解析】 知识点01 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点02 相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：此方法判定两个三角形是否相似，重点是求出对应三边的比，若三边对应成比例，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【题型练习】 【题型1 两角对应相等，两个三角形相似】 【例1】已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 【对应练习】 1．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可推导出，即两个三角形有一组对应角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 对于A，若，结合，根据两边成比例且夹角相等可判定； 对于B，若，结合，根据两角分别相等可判定； 对于C，若，此时对应边的比例关系中，已知相等的角与不是这两组对应边的夹角，无法判定； 对于D，若，结合，根据两角分别相等可判定． 2．如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 先证明可得，再证明，结合可证明，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：9． 3．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 【题型2 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 【例2】 如图，在和中，，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质解决问题的关键是能证明两三角形相似． 根据题目条件可以利用“两组对应边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明，进而得到对应角相等． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 【对应练习】 1．如图，在中，点在边上，则下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确运用两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例的判定定理． 利用外角性质判断角的大小关系，排除错误选项；再根据公共角与对应边成比例且夹角相等判定相似． 【详解】解：是的外角， ， ， A选项不能判定，此选项不符合题意． B、，夹角不是，不能判定相似，此选项不符合题意． C、，， （两边成比例且夹角相等），此选项符合题意． D、，无法构成相似判定条件，此选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 【题型3 三边对应成比例，两个三角形相似】 【例3】如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 【对应练习】 1．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 2．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 3．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【答案】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； (2)， 【分析】（1）设每小格的长度为，勾股定理求出的长，进而得到，即可得出结论； （2）根据网格特点和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. 【题型4 判断三角形相似】 【例4】与按如图所示的位置摆放，点在边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定条件是解题的关键，逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 选项B：添加，两边对应成比例，夹角相等，则，不符合题意； 选项C：添加，无法判定,符合题意； 选项D：添加，两角对应相等，则，不符合题意； 故选C． 【对应练习】 1．下列各条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，需结合两角对应相等或两边成比例且夹角相等的条件逐一分析选项． 【详解】解：A．仅给出一边成比例和一个角相等，但缺少另一组对应边成比例或另一角相等的条件，无法判定相似，故A不符合题意； B．比例关系中，不是与的夹角，而也不是与的夹角，不满足相似的条件，故B不符合题意； C．由可得（三角形内角和为），再结合，即，且为两边的夹角，符合相似的条件，可判定相似，故C符合题意； D．原三角形角度为、、，另一三角形角度为、、，无对应相等的两角，不满足相似条件，故D不符合题意． 故选：C． 2．如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【答案】一定 【分析】先利用网格计算三角形的边长，再通过对应边的比例关系判断是否相似，核心是掌握“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理． 【详解】解：设网格的边长为， 在中，，，， 由勾股定理得， 由网格特点得，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴与一定相似． 3．已知：如图，，，分别为的高和中线，，分别为的高和中线．求证：． 【答案】证明：， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， ，， ， ， ，分别是，的高线， ， ． 【分析】先由得，，再根据中线得， 从而，由此可知，最后根据高线得，即可得证． 【详解】略 【题型5 添一个条件使两个三角形相似】 【例5】如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 【对应练习】 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 2．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】观察图形可知为和的公共角，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解： 在和中， ， 当添加条件或者或者时 ， ． 3．如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1) 选：， 理由：∵，， ∴； 选：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （）由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【题型6 与三角形相似有关的多结论题】 【例6】如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 【对应练习】 1．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可． 【详解】解：①当时，，， ②当时，，， ③当时，，， ④当时，，， 综上：一共有4个， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有______个． 【答案】4 【分析】根据等角或同角的余角相等，证明三角形相似即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC， ∴ 又 又 ， 又 与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个 故答案为：4 3．如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【题型7 三角形相似的证明综合题】 【例7】如图，已知，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，则可证明，，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【对应练习】 1．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，证明，再证明， 求得，最后用勾股定理，解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 2．如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【分析】结合平行四边形的性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 3．如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)10 【分析】（1）首先证明，，即可证明； （2）首先利用勾股定理解得，结合是的中点易得，由相似三角形的性质可得，然后代入数值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $