专题02 期中压轴题型突破（1-4章）（六大题型）（高效培优期中专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题02 期中压轴题型突破（四大题型） 考点01 特殊平行四边形压轴题型（10题） 考点02 一元二次方程压轴题型（12题） 考点03 相似三角形压轴题型（11题） 考点04 视图投影压轴题型（12题） 考点01 特殊平行四边形压轴题型（12题） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，点是边上一个动点（点不与点，重合），以为边作一个，且过点，则以下说法中：①当时，；②当时，；③的面积始终不变；④在点与点重合的情形下，随着点运动，线段的取值范围是．正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点，在矩形边、上，且是等腰直角三角形，是上一点，满足，，，是的中点，连接交于点，连接．下面结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 3．（26-27九年级上·天津南开·开学考试）如图所示，在矩形纸片中，，．点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在射线上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是（     ） ①；②当点与点重合时，；③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．①②③ D．②④ 4．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 6．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，，交于点，为中点，连接，交于点，，与交于，①；②；③；④．其中正确的是__________． 7．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． (1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） (2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】(3)如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 8．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）【问题背景】 几何图形中蕴含着丰富的数量关系．从矩形中的勾股计算，到正方形中垂直线段的特殊性质，再到利用轴对称解决动点最值问题，都是重要的几何模型．让我们由浅入深进行探究． 【初步感知】(1)如图1，在矩形中，，．点E在边上，且，连接，求线段的长度． 【深入探究】(2)如图2，将矩形改为正方形（即），点E、F分别在边、上，且，垂足为点G． ①此时与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； ②若正方形边长为4，，求线段的长度． 【拓展应用】(3)如图3，在菱形中，，，点M、N在对角线上运动，且，连接，，是否存在某个位置使得的周长最小？若存在，请求出此时的周长；若不存在，请说明理由． 9．（25-26八年级下·湖北·期末）已知直线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，． (1)如图1，直接写出的周长是________； (2)如图2，在轴正半轴上有一动点，过点作于点（点在线段上且不与点，重合），连，，当点在轴的正半轴上运动时，求的值； (3)如图3，把图1中的直线向左平移1个单位后得到直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一动点且在点的右边，连，以为对角线作菱形（点在左边）且，直线经过菱形的顶点和轴上的一点，与轴交于点．当点在轴上运动时，点始终在点的上方（点不与点重合），求直线的解析式． 10．（2026·四川成都·二模）已知菱形的边长为6，，点M，N分别是菱形边上的点，沿折叠菱形得到四边形． (1)如图1，点M，N分别在边和上且始终经过点D，若，与交于点G，求证：． (2)如图2，点M，N分别在边和上且始终经过点D（F在上方），当F到的距离最大时，求的值． (3)如图3，当点M在边上，N与点C重合，，求的长． 考点02 一元二次方程压轴题型（12题） 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法：①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数；③若（k为正整数），，则．其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 5．（2026·山东淄博·中考真题）如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 6．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如果三条线段、、满足，且使得，，则_____ 7．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 8．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）小红在学完一元二次方程后发现可以用配方法求二次三项式的最值，于是对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入研究．下面是她收集的素材，汇总如下，请你根据素材帮助她完成相应的任务． 实践与探索：关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母视为常数，就能把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则可以转化为关于的一元一次方程． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求它的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得，再利用根的判别式来确定的取值范围，这种方法称为判别式法． 问题解决：(1)任务1：感受新知：用判别式法求代数式的最小值． (2)任务2：探索新知：若实数、满足，求代数式的最大值．对于这一问题，小红有下面大致的解题思路，请你帮助她写出具体的解题过程．思路： ①令，由此得到用含、的式子表示的代数式． ②将得到的代数式代入，整理得到关于的一元二次方程． ③利用判别式法得到代数式的最大值． (3)任务3：应用新知：如图，在中，，，记，．当的值最大时，求的值． 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． (1)若是方程①的一个根，求m的值； (2)若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 10．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程M：． (1)判断是否是方程M的根，并说明理由； (2)现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 12．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中材料： 一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为，．反过来，如果一元二次方程的两个根为，，那么，即．由此可得．因此，． 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】(1)已知一元三次方程的三个根为1，3，4， 计算可得：①三个根的和；②每两个根的乘积之和；③三个根的积． 观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程的三个根为，，，_______，_______，=_______．（用含a，b，c，d的代数式表示） (2)【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； (3)【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根之间的差相等，求实数a的最大值． 考点03 相似三角形压轴题型（12题） 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，点D为等边内部一点，，过点D做于点E，直线交延长线于点F，若，则的值为________． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，是上一点，连接，过交延长线于，连接．则下列结论：①；②；③；④若D是的中点，是上一动点，连接，则的最小值是．其中正确结论的序号是___________． 3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是___________ 4．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，，是矩形的对角线上的两点，，连接并延长交于点，连接，，，设，，则________（用含和的代数式表示）；若，，则________． 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，等边中，，点，分别为，边上的点，连接，交于点，且，为线段上一动点，则以下结论中正确的是_______________；（只填写序号即可）①；②；③当时，；④当点为边中点时，的最小值为． 6．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）【初步感知】 (1)如图1，和是等腰直角三角形， ，，  连接，，构建“手拉手”模型(如图1)，判断 与的数量关系，并证明 (2)如图2，和是等腰直角三角形，，，直接写出 与 的数量关系是： ； 【类比分析】(3)如图3，是等腰直角三角形， ，，点D为边 上一点(不与点A重合)，以为边作正方形 (点 C、D、E、F逆时针排列)，连接，证明：， 【变式拓展】(4)在等腰直角三角形中， ，，点 E为边 上一点， D是平面内一点，且 ， ，若 ， ，直接写出的长为 ． 7．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在菱形中，，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），，连接，，，． (1)求证：①；②是等边三角形；(2)若，，求的长； (3)如图2，连接，分别交，于点，．试判断的值是否为定值？如果是，请直接写出该定值；如果不是，请说明理由． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）【模型探究】（1）如图1，，连接相交于点G，过点G作线段交于点E，交于点F．求证：； 【迁移应用】（2）如图2，在菱形中，点E，F分别是，上的点，且，连接交于点G，连接并延长交于点H．①若，求的长； ②如图3，交于点M，若，求的值．（用含n的式子表示） 9．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）点E是矩形边上一点，连接，点F在上，过点F作交于G，交于H． (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，，连接、，若，求的长； (3)如图3，当，时，连接、，若，求的值． 10．（25-26九年级上·河南周口·期末）【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，过点作，交于点，连接，，则的形状是______，线段与的数量关系_____． 【初步探究】（2）将绕点顺时针旋转，则（1）中线段与的数量关系是否成立?若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展迁移】（3）如图3，正方形的边长为，在等腰直角三角形中，，．将图3中的绕正方形的顶点旋转一周，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的长． 11．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，中，，，，点D为射线上一点，，过点D作，交射线于点E．将绕点A顺时针旋转得到，其中旋转角（）． (1)求的值．(2)当，且时，当的面积为8，求的面积． (3)若点N为直线上一点，且在旋转过程中，的最小值为3．求k的值，并求当B、F、G三点共线时的面积． 考点04 视图投影压轴题型（12题） 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图：是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（2026·广西·模拟预测）如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 3．（2026·山东烟台·一模）如图所给的、、三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设、、三个几何体的主视图分别是、、；左视图分别是、、；俯视图分别是、、．、、、、、、、、这个图形中，是矩形的有几个（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 4．（2026·广东东莞·二模）如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是(  ) A．①②③④ B．④①③② C．②③①④ D．④③②① 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图是一些由棱长为的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为，按照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积为______． 8．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决：(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 11．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一：如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二：(3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 12．（25-26九年级上·山东·期中）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中压轴题型突破（四大题型） 考点01 特殊平行四边形压轴题型（10题） 考点02 一元二次方程压轴题型（12题） 考点03 相似三角形压轴题型（11题） 考点04 视图投影压轴题型（12题） 考点01 特殊平行四边形压轴题型（12题） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，点是边上一个动点（点不与点，重合），以为边作一个，且过点，则以下说法中：①当时，；②当时，；③的面积始终不变；④在点与点重合的情形下，随着点运动，线段的取值范围是．正确的说法有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，故说法①正确； 如图，过点作于点，∴， ∵在中，，，，， ∴，，， ∴，∴， ∴，∴，故说法②错误； 如上图，连接，∵四边形是平行四边形，，， ∴，∴以为底且边上的高为，∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴和的底边都是且高相等，设为，∴， ∴，∴的面积始终不变，故说法③正确； 当点与点重合时，如图，设交于点，连接、， ∵是平行四边形，∴即，， 当时，取得最小值，∵，，，即与之间的距离为， ∴取得最小值为，此时， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∴，， ∴， ∵点是边上一个动点（点不与点，重合），且， ∴，即，∴，故说法④错误， 综上所述，正确的说法有个． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点，在矩形边、上，且是等腰直角三角形，是上一点，满足，，，是的中点，连接交于点，连接．下面结论错误的是（     ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点，在矩形边、上，且是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，故A选项正确；∴，即， ∴，∴是等腰直角三角形，， ∵，，∴是等腰直角三角形，，∴， ∵，，∴，即，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，即平分，故B选项正确； ∵是等腰直角三角形，是的中点，∴，， ∵是的斜边，∴，∴，，故C选项错误，符合题意， ∵，，∴， ∴，， ∵垂直平分，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，故D选项正确；综上所述：结论错误的是C． 3．（26-27九年级上·天津南开·开学考试）如图所示，在矩形纸片中，，．点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在射线上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是（     ） ①；②当点与点重合时，；③的面积的取值范围是； ④当时，． A．①③ B．③④ C．①②③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形，∴，， 由折叠可得，，，，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴∴，∴四边形为平行四边形， 又∵，∴四边形为菱形，∴，，， ∵点、分别是矩形的边、上的动点，且点关于直线的对应点为点， ∴的长是变化的，即的长是变化的， 又∵，∴与不一定相等，故结论①不成立； 当点与点重合时，，， 在中，，，根据勾股定理得，， ∴，设，则， 在中，根据勾股定理得，，即，解得：，∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∴，故结论②成立； ∵四边形为菱形，∴， 当点E和点A重合时，最短，此时最小，此时 ，∴最小值为4， 当点F和点C重合时，最大，此时最大，此时 ，∴最大值为8， ∴，故结论③不成立； 当时，，∵四边形为菱形，∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∵折叠，∴，，， ∴在中，，故结论④成立． 4．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在正方形中，与交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交，于点，，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：设，∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，，， ∴，∴，故结论①正确； ∵，，∴， ∴，故结论②正确；∵四边形是正方形， ∴，，，，∴垂直平分， ∴，∴，∵，∴， ∴，即，解得，∴， ∴，∴，∴平分，故结论③正确； ∵，，∴，∴，∴， ∵，即， ∴，故结论④正确，∴正确的结论个数为． 5．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，正方形中，点E为边上一个动点，连接，以为对角线作正方形，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④若，那么正方形的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】③④ 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，且为正方形的对角线， ∴，，， ，，对于①：设与交于点H，如图所示： ∵，，∴，∵，， ∴，即，∴，故①错误； 对于②：在中，根据勾股定理得：， ∵，∴，∵，∴，∴，故②错误； 对于③：过点G作，交的延长线于点P，过点G作于点Q，过点F作于点M，作于点N，如图所示：则， ∵，∴四边形和四边形为矩形，由①知， ∵，∴，∴， ∴四边形为正方形，∴，同理得：， ∴，∴四边形为正方形，∴， ∴，∴，故③正确； 对于④：正方形的周长为：，∴当最小时，正方形的周长最小， ∵点 E为边上一个动点，又∵垂线段最短，∴当时，最小， ∴当点E与点D重合时，最小，且最小值为的长，∵四边形为正方形，∴， ∴正方形的周长最小值为，故④正确； 综上，正确的结论是③④． 6．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在正方形中，点为对角线上一点，连接，，交于点，为中点，连接，交于点，，与交于，①；②；③；④．其中正确的是__________． 【答案】①③④ 【详解】解：如图，过作于，过作于，记的交点为， ∴， 四边形是正方形，，，，，， ∴，四边形是正方形，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故①正确； 设正方形的边长为，为的中点，∴，， ∵，，∴，， ∴，，∴， 当成立，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故②错误； ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故③正确； ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， 如图，过作于，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∵，，，， ∴，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴．故④正确． 7．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． (1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） (2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】(3)如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵是菱形的对角线，且， ∴， ∵四边形是菱形，且，∵点都落在对角线上， ，，，∴， ∴四边形是平行四边形，∴． （2）解：如图②，连接． ∵四边形是菱形，，∴． ∵，∴．∴． ∵四边形是菱形，且， ∴，与互相垂直平分，，∴，是等边三角形，∴． ∵三点在同一条直线上，∴， ∴，∴是直角三角形，． ∴． （3）解：如图③，取的中点，连接，∴． ∵是菱形的对角线，且，∴， ∴和均为等边三角形，∴，∴． 连接，由（2）可知，是等边三角形，∴，． ∴，∴，即， ∴，∴．∵，∴， 过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方（包含点），连接， ∴，∴， ∴当点三点共线时，最小，最小值为，此时点在上， 设交于点，连接， ∵点在的内部或边上运动，∴， ∴当点在的边上时，最小，即最小， ∵四边形是菱形，∴点与点关于对角线对称， ∴此时点与点重合，即的最小值为的长． ∵是等边三角形，为的中点，， ∴,，∴． 即的最小值为．答：增设的灌溉水管的最小值为． 8．（25-26八年级下·湖南郴州·期末）【问题背景】 几何图形中蕴含着丰富的数量关系．从矩形中的勾股计算，到正方形中垂直线段的特殊性质，再到利用轴对称解决动点最值问题，都是重要的几何模型．让我们由浅入深进行探究． 【初步感知】(1)如图1，在矩形中，，．点E在边上，且，连接，求线段的长度． 【深入探究】(2)如图2，将矩形改为正方形（即），点E、F分别在边、上，且，垂足为点G． ①此时与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； ②若正方形边长为4，，求线段的长度． 【拓展应用】(3)如图3，在菱形中，，，点M、N在对角线上运动，且，连接，，是否存在某个位置使得的周长最小？若存在，请求出此时的周长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴， ∵，，∴在中，． (2)①，证明如下： ∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵在和中，，∴，∴． ②解：∵四边形是边长为4的正方形，∴，， ∵，∴在中，， ∵，∴． (3)解：存在，理由如下：连接， ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴． 过点D作的平行线，且在该平行线上取点，使得，连接， ∴四边形是平行四边形，∴，， ∴， 连接，则，∴， ∴当点E，N，B三点共线时，取得最小值，最小值为．连接，交于点O， ∵在菱形中，，，， ∴，，∴是等边三角形，∴． ∵，∴， ∴在中，，∴的最小值为． 9．（25-26八年级下·湖北·期末）已知直线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，． (1)如图1，直接写出的周长是________； (2)如图2，在轴正半轴上有一动点，过点作于点（点在线段上且不与点，重合），连，，当点在轴的正半轴上运动时，求的值； (3)如图3，把图1中的直线向左平移1个单位后得到直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴上的一动点且在点的右边，连，以为对角线作菱形（点在左边）且，直线经过菱形的顶点和轴上的一点，与轴交于点．当点在轴上运动时，点始终在点的上方（点不与点重合），求直线的解析式． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵点，∴，∵，∴， ∴，，∴的周长是； （2）解：作于点，由（1）知：， 设，则，∴，， ∵，，∴，∴，同理：， ∴，， ∴，∴，∴； （3）解：连接，∵把图1中的直线向左平移1个单位后得到直线与轴交于点，与轴交于点，∴点，即，，∴， ∵，∴，∴垂直平分， ∴，∴为等边三角形，∴， ∵菱形，，∴，， ∴为等边三角形，∴，， ∴，∴， ∴，∴，∴， 在中，，，∴， ∴，∴， 设直线的解析式为，把代入，得，∴直线的解析式为. 10．（2026·四川成都·二模）已知菱形的边长为6，，点M，N分别是菱形边上的点，沿折叠菱形得到四边形． (1)如图1，点M，N分别在边和上且始终经过点D，若，与交于点G，求证：． (2)如图2，点M，N分别在边和上且始终经过点D（F在上方），当F到的距离最大时，求的值． (3)如图3，当点M在边上，N与点C重合，，求的长． 【答案】(1)见详解(2)(3)，见详解 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，． ，．，， ．由折叠可知 ，，． 设，则 ． 由折叠可知 ．过点作，则． 在中 ，， ．， 解得．把 代入，得． （2）解：如图2，作点D关于的对称点D'，连接，，，由折叠易知在上，关于对称，，． ∵四边形是菱形 ，．， 是等边三角形，． 分别过作，垂足分别为，且交于点，根据垂线段最短可知，的最大值为6，此时重合（如图3）． 在中，易知，显然有， ，即点到的最大距离为．由条件易知． ，，， 为等腰三角形，．在中， ， ， ； （3）解：如图4，作点D关于的对称点，连接，则由对称性易知 ． 过点作，垂足为，延长线交于点， ，， ，． ， 连接，则易求得． ． 过点作，交延长线于，在中，易知 ， ．在和中， ，， ，，． 考点02 一元二次方程压轴题型（12题） 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：一元二次方程有解，判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有，，结合，得，解得， 将代入原方程，得，整理为，解得， 所以该方程的解是和． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∴或，解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴解得． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）已知正实数a，b，c满足（均不为整数），且．在a，b之间所有的整数依次记为，，，…，；在b，c之间所有的整数依次记为，，，…，，其中m，n为正整数，且．下列说法：①当时，c的取值范围为：，且； ②a，c之间共有6个整数；③若（k为正整数），，则．其中正确的个数是（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：①当时，∵，∴，∴， ∵正实数a，b，c满足（均不为整数），∴，故①正确； ②，∴，∴a，c之间共有个或个整数，故②错误； ∵若（k为正整数），，，∴当时， a，c之间有个整数，则a，b之间的个整数设为，，， b，c之间的个整数为，，，， ，或． 当a、c上有个整数，，无整数解． 当时，a、c间有个整数，则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，，， ，或， 当，a、c间有个整数时，则a，b之间的个整数设为，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解； 当时，则a，b之间的个整数设为，，，，， b，c之间的个整数为，， ，无整数解 或，无整数解 当时，则a，b之间的个整数设为，，，，，， b，c之间的个整数为， ，无解．综上所述，或或， 则或或．，或 是正整数．，故③错误；故选：B． 4.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：，，． 满足3的偏向方程的定义，，， ．． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义，，． 5．（2026·山东淄博·中考真题）如图，在由数字0和1组成的无限数阵中，每行中相邻两个数字的间距为，每列中相邻两个数字的间距也为．每过1秒，与数字1的间距为的数字将变为1．图①是初始状态（由一个1和无数个0组成），1秒后变为图②状态，2秒后变为图③状态，若秒后得到的图中数字之和为1861，则的值是______． 【答案】 【详解】解：观察图形可知： 图①（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图②（秒）中数字的个数为，数字之和为； 图③（秒）中数字的个数为，数字之和为； 由此发现，每过秒，增加的数字的个数比上一秒多个， 第秒增加个，第秒增加个，，第秒增加个， 则秒后数字的总个数为： ， 根据题意，得：，整理得：， 即：，解得：(舍去)，∵数字不断增加，． 6．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如果三条线段、、满足，且使得，，则_____ 【答案】 【详解】解：由题意得方程组 将代入，得 通分后交叉相乘：； ，等式两边同时除以，设，判别式， 由一元二次方程求根公式，线段长度大于0，舍去负根，得，即． 将代入，， ． 7．（26-27九年级上·福建三明·阶段检测）关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 【答案】1，2 【详解】解：，整理得：， 设方程的两个根为s，t，则，， ∴， ∵为整数，∴为整数，∴或． 8．（26-27九年级上·湖南衡阳·阶段检测）小红在学完一元二次方程后发现可以用配方法求二次三项式的最值，于是对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入研究．下面是她收集的素材，汇总如下，请你根据素材帮助她完成相应的任务． 实践与探索：关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母视为常数，就能把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则可以转化为关于的一元一次方程． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求它的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得，再利用根的判别式来确定的取值范围，这种方法称为判别式法． 问题解决：(1)任务1：感受新知：用判别式法求代数式的最小值． (2)任务2：探索新知：若实数、满足，求代数式的最大值．对于这一问题，小红有下面大致的解题思路，请你帮助她写出具体的解题过程．思路： ①令，由此得到用含、的式子表示的代数式． ②将得到的代数式代入，整理得到关于的一元二次方程． ③利用判别式法得到代数式的最大值． (3)任务3：应用新知：如图，在中，，，记，．当的值最大时，求的值． 【详解】（1）解：令，整理得． 令，即，解得，故的最小值为； (2)令，则．将代入，得 整理得．把看作是关于的一元二次方程， 由得，解得，，的最大值为； （3）解：如图，过点作于点． 根据题意，，，． ∵在中，，，，． ∵在中，，即．整理得． 令，则，将之代入上式得到关于的一元二次方程， 由得，解得，的最大值为26，即的最大值为26． 把代入得，， 整理得，解得．∴当的值最大时，． 9．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． (1)若是方程①的一个根，求m的值； (2)若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 【详解】（1）解：是方程①的根， ，即，解得； （2）解：设两方程的公共解为，则： ①， ②，①② 得：， 分两种情况：当，即时，解得，即两方程有唯一公共解，符合题意； 当，即， 当时，方程①为，解得， 方程②为，解得， 此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 同理，可解得当时，此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 两方程均为一元二次方程且各有两个不相等的实数根， ，，即， ，即， 综上所述，为不等于的实数． (3)证明：∵两方程的唯一公共解为，方程①的非公共根为，方程②的非公共根为. ∴方程①中，得， 方程②中，得； ，是方程的两根， ，， 即，. 将代入得： ， 上式 假设，则，即，去分母得， ，该方程无实数根，即不存在实数使得， ，． 10．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1)(2)420(3)1；3；6；10 【详解】（1）解：∵，∴， ∴，∴，∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数，∴，∴， ∵41只有因数1和41，∴，解得：， ∵，∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数，∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数，∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意；当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于x的一元二次方程M：． (1)判断是否是方程M的根，并说明理由； (2)现有一个关于x的一元二次方程N：，若方程M，N仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程M有两个整数根，求所有满足条件的实数对，并写出对应的整数根． 【答案】(1)解：不是方程的根，理由如下： ，方程的右边为， ∵，等式不成立，因此不是方程的根； (2)证明：设方程和相同的根为， 由题意得，两式相减得，整理得， ∵方程，仅有一个相同的根，∴， 若，两个方程完全相同，所有根都相同，不符合题意， 因此，得，由（1）知不是方程的根，故公共根为， 将代入方程，得，整理得，即，得证； （3）解：∵，∴， 将代入方程，整理得，设方程的两个整数根为，， 由根与系数的关系得，， 设，则，消去得， 整理得，配方得， ∵，是整数，∴，都是整数，列举所有可能的整数对： 当，解得，代入得，，，，不符合，舍去； 当，解得，代入得，，无解，舍去； 当，与上述情况结果相同，舍去； 当，解得，代入得，，，，符合条件； 当，解得，代入得，，，，符合条件； 当，与，结果相同，舍去； 综上，满足条件的实数对和对应整数根为： ，对应整数根为和； ，对应整数根为和． 12．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中材料： 一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为，．反过来，如果一元二次方程的两个根为，，那么，即．由此可得．因此，． 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】(1)已知一元三次方程的三个根为1，3，4， 计算可得：①三个根的和；②每两个根的乘积之和；③三个根的积． 观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程的三个根为，，，_______，_______，=_______．（用含a，b，c，d的代数式表示） (2)【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； (3)【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根之间的差相等，求实数a的最大值． 【详解】（1）解：根据题意可知：一般地，若一元三次方程的三个根为，，，，，． (2)证明：设三个根为，则． 展开右边可得：． 比较系数可得：；． ∴，，． （3）解：由题意可设三个根分别为， 由（2）可得：．∴， 代入可得：．∵三个根为实数，∴，∴， ∴当时取等，即三根均为1时，差为0，仍满足“差相等”，此时a的最大值为3． 考点03 相似三角形压轴题型（12题） 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，点D为等边内部一点，，过点D做于点E，直线交延长线于点F，若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，分别交于点M，交于点N， ∵是等边三角形，∴，， 又∵，∴，， ∴是等边三角形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 设，，∴，∴， ∴，在中，， ∴，设，∴， ∵，∴， ∵，∴，则， ∴，，∴， ∴，∴，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 2．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，是上一点，连接，过交延长线于，连接．则下列结论：①；②；③；④若D是的中点，是上一动点，连接，则的最小值是．其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②③ 【详解】解：∵，， ∴，又，∴，故①正确； ∵，∴， ∴，∴，，故②正确； ∵，∴，∴， 在中，，，∴， ∴，∴，故③正确； 作E关于的对称点，连接，， 则，当D、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， 连接交于点O，过作于H，则，， 在中，，，∴， ∵D为的中点，∴，则， ∵，即，∴，，∴， ∵，∴，∴，则， ∵， ∴，，∴，，（用相似证明也可以） 则，，∴，，则， 在中，， 故的最小值为，故④错误，综上，正确结论的序号为①②③，故答案为：①②③． 3．（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，连接．点为中点，连接，若，则的长是___________ 【答案】 【详解】解：如图所示，过点B作交的延长线于点F，过点C作交的延长线于点H，∴，∵，∴， ∵，∴，∴； 设，∵点为中点，∴； ∵，∴； ∵，∴， ∴，∴；∵，∴； 在中，由勾股定理得； ∵，∴，∴，∴，； ∵，∴，∴；∵，∴， ∴，∴，∴，∴． 4．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，，是矩形的对角线上的两点，，连接并延长交于点，连接，，，设，，则________（用含和的代数式表示）；若，，则________． 【答案】 【详解】解：①∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴； ②∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，， ∵，∴； 过F作，分别交、于M、N，则四边形是矩形， ∴，，， 设，∴，，∵，∴， ∴，即，∴，则， 在中，，在中，， ∵，即∴，解得， ∴，∴． 5．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，等边中，，点，分别为，边上的点，连接，交于点，且，为线段上一动点，则以下结论中正确的是_______________；（只填写序号即可）①；②；③当时，；④当点为边中点时，的最小值为． 【答案】①③/③① 【详解】解：∵等边，∴，， ∵，∴，①正确；∴， ∵，∴，∴，即， ∵，，∴不成立，②错误； ∵，∴，∴． 当时，在中，，则，∴，③正确； 如图，作交于点N，作交于点G， 当为中点时，结合可知是中点，此时， ∴∴， ∵，，∴，∴， ∴，即的最小值为，④错误；综上所述，正确的有①③． 6．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）【初步感知】 (1)如图1，和是等腰直角三角形， ，，  连接，，构建“手拉手”模型(如图1)，判断 与的数量关系，并证明 (2)如图2，和是等腰直角三角形，，，直接写出 与 的数量关系是： ； 【类比分析】(3)如图3，是等腰直角三角形， ，，点D为边 上一点(不与点A重合)，以为边作正方形 (点 C、D、E、F逆时针排列)，连接，证明：， 【变式拓展】(4)在等腰直角三角形中， ，，点 E为边 上一点， D是平面内一点，且 ， ，若 ， ，直接写出的长为 ． 【答案】(1)， 证明：和是等腰直角三角形，， ，，，，， 在和中，，， （2）解：和是等腰直角三角形， ，，，， ，在中，，，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：，， 在和中，，，，，； (3)证明：连接，如下图所示， 四边形是正方形，，，， ，是等腰直角三角形， ，，， 在中，，，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ，在和中，，， ，，； （4）在等腰直角三角形， ，，， 当点D在内部时，过点D作如下图所示， ，，， ，，，， ，即，，，， ，， 令，则，， 在中，由勾股定理得：，， 在中，由勾股定理得：，解得：，， 或， 当点D在外部时，过点D作如下图所示， ，，， ， ，， ，，，， ，即，，， 综上所述，的长为或． 7．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在菱形中，，点，分别是边，上的动点（不与端点重合），，连接，，，． (1)求证：①；②是等边三角形；(2)若，，求的长； (3)如图2，连接，分别交，于点，．试判断的值是否为定值？如果是，请直接写出该定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)证明：①∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴； ②由①得，∴，，∵， ∴，即，∴是等边三角形； （2）解：如图，作，垂足为，设， ∵是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在直角中，，，∴， 由勾股定理可得，， ∵，又∵， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，解得， ∴，∴； （3）解：∵四边形是菱形，∴，，， ∴，∴，同理，，∴， ∴，由（1）可得， ∴，∴，∴为定值． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）【模型探究】（1）如图1，，连接相交于点G，过点G作线段交于点E，交于点F．求证：； 【迁移应用】（2）如图2，在菱形中，点E，F分别是，上的点，且，连接交于点G，连接并延长交于点H．①若，求的长； ②如图3，交于点M，若，求的值．（用含n的式子表示） 【答案】（1）证明：∵，∴，， ∴，，∴； （2）①；② 【详解】（1）略 （2）解：①延长交的延长线于点I，设，则，，如图2所示， ∵，∴，∴，即，故， 由（1）可知，即，整理可得， 解得，则； ②延长交的延长线于点K，如图3所示， 设，则，设， 同①可得比例式，即，故． ∵，∴，则， ∴，即，即，∴， 又∵，即，故， 故，整理可得，解得，故， 故，∴． 9．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）点E是矩形边上一点，连接，点F在上，过点F作交于G，交于H． (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，，连接、，若，求的长； (3)如图3，当，时，连接、，若，求的值． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ∵，∴矩形为正方形，∴， ∵，∴，∴四边形为矩形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：如图：过点作于点， ， ∵，，∴，， 由（1）可得：，设，则， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， 解得：或（不符合题意，舍去），∴； （3）解：如图，过点作于点，交于， ∵，，∴设，，则，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴，∴， ∵四边形为矩形，∴，∵，∴， ∴四边形为矩形，∴，， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，∴， 解得或（不符合题意，舍去），∴，，， ∴，，∴垂直平分，∴， ∵，，∴， ∴，∴． 10．（25-26九年级上·河南周口·期末）【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，过点作，交于点，连接，，则的形状是______，线段与的数量关系_____． 【初步探究】（2）将绕点顺时针旋转，则（1）中线段与的数量关系是否成立?若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展迁移】（3）如图3，正方形的边长为，在等腰直角三角形中，，．将图3中的绕正方形的顶点旋转一周，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）等腰直角三角形，； 解： ∵四边形是正方形，， ．，， ，是等腰直角三角形．． ，．． ．∴．故答案为：等腰直角三角形，． （2）解：成立，证明如下：，． ∵，．．∴． （3）如图3，当点在点左侧时，设与交于点， 是等腰直角三角形，，． ∵四边形是正方形，，．．． ∵，．．∴． ，，． ．，． 设，则，．在中，， 即，解得（舍去），． ， ． ．． ．． 如图4，当点在点右侧时，，． ∵，．．∴．，． ，，．．． 综上所述，的长为或． 11．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，中，，，，点D为射线上一点，，过点D作，交射线于点E．将绕点A顺时针旋转得到，其中旋转角（）． (1)求的值．(2)当，且时，当的面积为8，求的面积． (3)若点N为直线上一点，且在旋转过程中，的最小值为3．求k的值，并求当B、F、G三点共线时的面积． 【答案】(1)(2)或(3)，当B、F、G三点共线时的面积为或 【详解】（1）解：在中，， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∵绕点A旋转至，∴，，， ∴ ，， ∴，∴； （2）解：当点在直线的下方时，过C作延长线于I；过C作，交延长线于H， 由（1）可知，∴，∴，， ∵旋转至，∴，，∵，∴， ∵，，，∴四边形为矩形， ∴， 在中，，∴， ∴； 当点在直线的上方时，过C作延长线于I；过C作，交于H，     由（1）可知，∴，∴，， ∵旋转至，∴，，∵，∴， ∵，，，∴四边形为矩形， ∴， 在中，，∴， ∴，综上：的面积为或． （3）解：∵当F、G两点分别在直线两侧，且F、N、G共线时，的值最小，此时，             ∴，∵，∴，∴， ， ①当B、F、G共线，F居中时，过C作垂直于M ， 在中，，∵，， ∴，又∵，∴， ∴，∴，   ∴，∴， ②当B、F、G共线，G居中时，    同①，， 综上所述， ，当B、F、G三点共线时的面积为或． 考点04 视图投影压轴题型（12题） 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图：是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【详解】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最多有6个小正方体；第二层最多有1个小正方体； 因此组成这个几何体的小正方体最多有个． 2．（2026·广西·模拟预测）如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（    ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为33的正方形， 则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个，故选：C. 3．（2026·山东烟台·一模）如图所给的、、三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设、、三个几何体的主视图分别是、、；左视图分别是、、；俯视图分别是、、．、、、、、、、、这个图形中，是矩形的有几个（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】B 【详解】解：几何体为圆柱，其主视图和左视图为矩形，俯视图为圆； 几何体为四棱柱，其主视图、左视图和俯视图均为矩形； 几何体为三棱柱，其主视图为三角形，左视图和俯视图为矩形；综上，矩形一共有个． 4．（2026·广东东莞·二模）如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一个塞子能够堵住孔形样板上的每一个洞，只有图B符合题意． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴，∴，且，则即为所求， ，∴，故选：C． 6．（25-26九年级上·贵州毕节·期末）如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是(  ) A．①②③④ B．④①③② C．②③①④ D．④③②① 【答案】B 【详解】解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北﹣北﹣东北﹣东， 故分析可得：先后顺序为④①③②．故选B． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如图是一些由棱长为的小正方体木块叠放成的几何体，其中第一个几何体的表面积为，按照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积为______． 【答案】 【详解】解：第一个几何体的表面积为：； 第二个几何体的表面积为：； 第三个几何体的表面积为：； ∴几何体的表面积依次增加； ∴第五个几何体的表面积为：． 8．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为个，最少为个，则______． 【答案】 【详解】解：由俯视图可知底层第一列有个小立方块，第二列有个小立方块， 由主视图可知，几何体有层，且每层至少有个并排的小立方块， 当上层每个“可放置位置”（对应俯视图中列的位置）都放满小立方块时，上层最多有小立方块(个)，下层也有个，∴最大总数量， 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即第一列、第二列各至少放个时，上层最少有(个)，下层有个，∴最小总数量，∴． 9．（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【详解】（1）解：图略 ∵，，∴， ∴，即，解得，∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于，∵，∴， ∴，即，解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即，∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变，∴视野盲区面积会增大． 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm 【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：，解得：x=120， 经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的影子长为120cm； （2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直， 则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， ∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子， 过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100， ∵斜坡坡度，∴，∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中， ，解得：m=20，∴CG=60，FG=80，∴BG=BC+CG=160， 过点F作FH⊥AB于点H， ∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm， FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四边形HBGF为矩形， ∴，∴AH==200， ∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圆柱的高度为280cm. 11．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一：如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二：(3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】(1)C (2)证明：∵，∴，，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，∴， ∴，∴，∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为，∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变，∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (3) 【详解】（1）解：∵，∴，， ∴，∴，∵，，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为，∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变，∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （2）略 （3）解：∵，，，，，， ∴，∴，，∴， ∴，即，∴，即，解得：， ∵，∴，，∴， ∴，由（1）知：，∴， ∴，∴此时投影的长度为． 12．（25-26九年级上·山东·期中）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 【答案】(1)学校旗杆的高度为12m (2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2) 【详解】（1）解：由题意，可知：， ∴，即：，∴； 答：学校旗杆的高度为． （2）解：①根据题意可知，， ∴，即．∴， ∴灯罩底面半径的长为24 cm． ②∵太阳光为平行光，∴，∴， 由题意，可知：，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，即：， ∴，∴， ∴从正面看灯罩为矩形，面积为：， 从上面看灯罩为圆形，面积为：． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $